Планирование и управление запасами

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Планирование и управление запасами

Задание 1

Объем продаж некоторого магазина составляет N=88рулонов обоев в месяц. Причем спрос равномерно распределен в течение месяца.Магазин производит заказ партии обоев непосредственно у производителя по цене Ц_з=35 д.е. за рулон. Время доставки заказа от поставщика составляет t=10 рабочих дней (при 6-дневной рабочей неделе). Стоимость подачи заказа составляет С_под=88 д.е., а издержки хранения С_хр-- 20% среднегодовой стоимости запасов.

Требуется:

1. Найти оптимальный размер заказа обоев у производителя, обеспечивающий минимум годовой общей стоимости запаса единицы продукции.

2. Найти интервал и уровень повторного заказа. Принять, что магазин работает 300 дней в году.

3. Показать, является ли выгодной для магазина скидка S=2% при заказе размера партии более 500 рулонов.

РЕШЕНИЕ

Общая стоимость запасов в год (С_зап) является суммой общей стоимости подачи в год и общей стоимости хранения запасов в год (рис.1.1).

Рисунок 1.1 Зависимость стоимости и объема заказов

Если потребность в обоях составляет N рулонов в месяц, а каждый заказ подается на партию вq рулонов, то ежегодное количество заказов составит:

, (1.1)

а ежегодная стоимость подачи заказа:

, (1.2)

В простейшей ситуации, когда уровень запасов изменяется линейно (по времени) и принадлежит промежутку от q до 0, средний уровень запасов равен q/2. Тогда ежегодная стоимость хранения определяется по формуле:

, (1.3)



и, следовательно, общая стоимость запасов в год составляет:

, (1.4)

или

, (1.5)

Нетрудно заметить, что если размер заказа невелик, то стоимость подачи заказа является доминирующей. В этом случае заказы подаются часто, но на небольшое количество продукции. Если размер заказа является достаточно большим, основной компонентой становиться стоимость хранения -- делается небольшое число заказов, размер которых достаточно велик.

Если принять во внимание стоимость закупки продукции, то можно рассчитать общую годовую стоимость закупки и хранения:

С=С_зап+С_зак, (1.6)

где С_зак-- стоимость закупки обоев:

С_зак=12NЦз (1.7)

Путем дифференцирования (1.5.) получим, что стоимость запасов С_запбудет минимальна, если объем заказа будет равен:

, (1.8)



Полученный объем называется экономичным размером заказа (EOQ).

Исходя из условия, он равен:

Количество заказываемых рулонов должно быть целым, поэтому в качестве EOQ выберем значение 163. Минимальное значение стоимости запасов равно:

д.е.

Общая стоимость закупки и хранения запасов в год:

С=1140,61+128835=38100,61

Таким образом, стоимость запасов составляет 3,0% общей стоимости в год.

Заказ новой партии обоев необходим по истечении периода, равного q/(12*N). Если в году 300 рабочих дней, то интервал повторного заказа равен:

,дней (1.9)

Т.е. для нашего примера:

=43 рабочий день

Объем продажи обоев за 10 дней поставки составит:

, (1.10)

рулонов

Следовательно, уровень повторного заказа равен 35 рулонам, т.е. подача нового заказа производиться в тот момент, когда уровень запасов равен 35рулонам.

Если магазин захочет получить скидку производителя, то размер партии увеличится, поскольку в этом случае она должна составлять не менее 500 рулонов в год, тогда как в настоящий момент уровень запасов составляет 163 рулона. Будет ли скомпенсировано увеличение издержек хранения снижением закупочной цены и стоимости подачи заказа?

Из вышеизложенных расчетов имеем, что при закупочной цене 35 д.е. значение общей годовой стоимости составляет 38100,61 д.е. Рассмотрим вариант, когда закупочная цена с учетом скидки 2% равна 34,3д.е. Оптимальный уровень запаса равен:

, т.е. 165

Полученное значение меньше, чем 500. Следовательно, оптимальный объем заказа, соответствующий новой цене, не является допустимым. Минимально возможная стоимость за год будет равна:

д.е.

Очевидно, что предоставляемая производителем скидка невыгодна магазину, так как приводит к увеличению общей стоимости на 21,05 д.е.



Задание 2

Предприятие закупает агрегат с запасными блоками к нему. Стоимость одного блока составляет b=35д.е. В случае выхода агрегата из строя из-за поломки блока, отсутствующего в запасе, простой агрегата и срочный заказ нового блока к нему обойдется в a=1300 д.е. Опытное распределение агрегатов по числу блоков, потребующих замену, представлено ниже.

Требуется:

Определить оптимальное число запасных блоков, которое необходимо приобрести вместе с агрегатом.

Подтвердить полученное значение аналитическим путем.

Число деталейr	1	2	3	4	5	6 и более
Статическая вероятность	0,83	0,1	0,04	0,02	0,01	0,00

РЕШЕНИЕ

Обозначим через sуровень запаса. Если спрос rниже уровня запаса s, то появляются издержки из-за омертвления средств и увеличиваются затраты на хранение запаса bд.е. на единицу. И, наоборот, если спрос rвыше уровня запаса s, то это приводит к "штрафу" за дефицит aд.е. на единицу.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривается её среднее значение или математическое ожидание. В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения Р(r), математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:

(1.11)

В выражении (1.11) первое слагаемой учитывает затраты на хранение излишка s-rблоков (при rs), а второе -- штраф за дефицит на r-s блоков (при rs).

Рассмотрим численное решение задачи при b=35 д.е., a =1300 д.е.

На основании (1.11) подсчитаем ожидаемый суммарный расход при различных уровнях запасов, т. е. от1 до5:

=130,2 д.е.

=108,55 д.е.

=113,6д.е.

=172,05д.е.

=364д.е.

Оптимальный уровень запасов равен4.

Аналитическое решение задачи основано на том, что при дискретном случайном спросе r выражение (1.11) минимально при запасе r_о, удовлетворяющем неравенству:

, (1.12)

где F(s) -- функция распределения спроса r:

F(s)=P(r s) (1.13)

F(s_о), F(s_о+1) -- её значения;

-- плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса:

, 0 1 (1.14)

Учитывая (1.13), найдем значения функции распределения спроса:

s	1	2	3	4	5	6 и более
r	1	2	3	4	5	6 и более
P(r)	0,83	0,10	0,04	0,02	0,01	0
F(r)	0	0,83	0,93	0,97	0,99	1

Воспользовавшись формулой (1.14), имеем:

Проверяем выполнение условия (1.12):

0,97 0,974 0,99

Очевидно, что аналитическое решение задачи подтверждает, что оптимальным уровнем запаса является s = 4.



2.Планирование объема производства

Задание 3

Производственный процесс компании по производству цветных телевизоров основан по принципу выпуска партии общим объемом N=150 штук в неделю. Спрос на наиболее популярную модель телевизора составляет D_s=900 штук в год и равномерно распределяется в течение года. Вне зависимости от того, в какой момент времени возникает необходимость в производстве партии телевизоров популярной модели, стоимость производственного процесса составляет С_пр=3200д.е. Стоимость хранения составляет С_хр=80 за штуку.

Требуется:

1. Определить объем партии телевизоров популярной модели, при которой затраты на производство и хранение были минимальны.

2. Рассчитать число производственных циклов в год, их периодичность, а также продолжительность производства одной партии телевизоров. Количество рабочих недель в году -- 50.

3. Определить, на сколько процентов увеличиться общая ежегодная стоимость производства телевизоров по сравнению со стоимостью при экономичном размере партии, если объем выпускаемой партии увеличить на 20 единиц.

РЕШЕНИЕ

Размер экономичной партии (EBQ) рассчитывается по формуле:

, (2.1)



Поскольку кривая общей стоимости запасов (в данной задаче, производства) (рис.1.1) не обладает высокой чувствительностью по отношению к небольшим изменениям q, вполне вероятно, что выбранное в качестве EBQ значение, равное 270, не приведет к значительному увеличению общей стоимости. Это легко проверить:

для q=268,3 д.е.

для q=269 д.е.

для q=270 д.е.

Наиболее удобный размер партии, равный 270 единицам, по сравнению с оптимальным размером приводит к увеличению общей стоимости на 0,42 д.е. (0,002%). Примем в качестве EBQ значение, равное 270единицам телевизоров популярной марки.

Число производственных циклов составит:

, (2.2)

(т.е. 10 циклов за каждые 3года)

Если принять, что в году 50 рабочих недель в году, то интервал между двумя любыми производственными циклами будет равен:

, (2.3)

недель

Если объем производства в неделю равен 150 единицам, то процесс производства одной партии займет:

, (2.4)

недели

При увеличении на 20 единиц относительное изменение объема партии по сравнению с оптимальным составит:

, (2.5)

Для определения относительного изменения общей стоимости удобно использовать следующую формулу:

, (2.6)

Она свидетельствует об определенной устойчивости суммарных затрат по отношению к наиболее экономичному объему партии, ибо при малых q относительное изменение затрат примерно на порядок меньше относительного изменения объема партии по сравнению с оптимальным.

, т.е. стоимость организации производства увеличилась на 0,3%



Задание 4

На некотором станке производятся детали в количестве P=1500единиц в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке производительностью D=420 единиц в месяц; оставшиеся детали образуют запас. Издержки производства составляют С_пр=750, а издержки хранения -- 20% среднегодовой стоимости запасов в год. Стоимость производства одной детали равна К=5 д.е.

Требуется:

Определить размер партии деталей, производимой на первом станке, а также частоту организации цикла для производства этих деталей.

Рассчитать общую переменную стоимость производства.

Проанализировать, как изменяться величины, полученные в п.1, 2, при снижении стоимости производства в 2 раза.

РЕШЕНИЕ

Если производственный цикл длится t лет, то объем продукции, производимой в течение цикла, определяется по формуле:

(2.7)

Следовательно:

, лет (2.8)

Максимальный уровень запасов равен (P^год-D^год)*t. Подставив вместо tвыражение (2.8) получим, что максимальный уровень запасов равен (P^год-D^год)*(q/P)деталей. Таким образом, уравнение общей переменной стоимости имеет следующий вид:



, (2.9)

Минимальное значение С достигается при:

, (2.10)

Если С_пр=750 д.е., Р=1500 деталей в месяц (18000 в год), D=420 деталей в месяц (5040 в год), К=5 д.е., то:

Оптимальный размер партии составляет 3240 деталей. Количество партий деталей, которое необходимо произвести, определяем по формуле (2.2):

Следовательно, частота производства партии деталей равна:

, лет (2.11)

лет или 7,72 месяца

Общую переменную стоимость определяем согласно формуле (2.9):



д.е.

Если стоимость организации производства снизится в 2 раза, то можно ожидать изменения экономичного размера партии и, следовательно, общей переменной стоимости производства.

д.е.

Если можно снизить стоимость производства наполовину, то экономия общей переменной стоимости составляет 683,34 д.е. В этом случае производство деталей будет осуществляться партиями по 2291 штук каждые 5,5 месяцев.



3.Планирование замены оборудования

Задание 5

В аппарате диспетчерской сигнализации используется три типа элементов, которые периодически выходят из строя и подлежат замене. По данным наблюдения за работой элементов установлено распределение500 элементов по времени их службы.Общее время на замену одногоэлемента -- 6мин, двух -- 8 мин, трех -- 9 мин. Стоимость нового элемента --5000 д.е. Заработная плата механика за замену элементовсоставляет 4000 д.е. в час. Потери от простоев -- 6000 д.е. в час.

Требуется:

1.Разработать модель возможного выхода из строя всех типов элементов.

2. Сравнить затраты средств по двум вариантам: а) замена только выбывшего из строя элемента: б) замена всех элементов, если один выходит из строя.

РЕШЕНИЕ

Таблица 3- Исходные данные для расчетов

	Элементы
Часы	Количество	Кумулятивное количество	Кумулятивный процент
0--299	5	5	1
300--349	13	18	3,6
350--399	21	39	7,8
400--449	42	81	16,2
450--499	49	130	26
500--549	55	185	37
550--599	68	253	50,6
600--649	80	333	66,6
650--699	167	500	100
Всего	500	--	--



Во второй графе таблицы данные сгруппированы на основании учета продолжительности службы выбывших из строя элементов.

В третьей графе определено накопительное количество выбывших из строя элементов путем суммирования.

Эти данные использованы затем для определения показателей четвертой графы -- кумулятивного (накопительного) процента испорченных элементов.

Модель возможного выхода из строя элементов строится в виде следующей таблицы:

Таблица 4 Расчетные данные примера

Элемент 1	Элемент 2	Элемент 3
Случай-ное число	Время выбы-тия	Кумуляти-вное время выбытия	Случай-ное число	Время выбы-тия	Кумулятивное время выбытия	Случайное число	Время выбы-тия	Кумулятивное время выбытия
6	380	380	7	390	390	3	340	340
45	580	960	56	620	1010	55	615	955
32	530	1490	44	575	1585	19	465	1420
53	610	2100	37	550	2135	0	0	1420
11	420	2520	71	660	2795	70	655	2075

Случайные числа, выбираются из таблицы случайных чисел и означают кумулятивный процент. Используя график (рис.2), построенный на основе данных таблицы 3, устанавливаем значение срока службы (время выбытия) для каждого случайного числа. После этого подсчитывается кумулятивный срок службы.

Рисунок 2 Кривая распределения выбытия элементов

Строим графики (рис.3) замены элементов по каждому варианту.

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

1-ый вариант
(замена только
выбывшего из
строя элемента)

0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000

2-ой вариант
(замена всех элементов,
если один
выходит из строя)

Рис. 3 Графики замены элементов по 2-м вариантам

Графики составлены в пределах 3000 часов работы аппарата. Точки на линии означают время замены элементов.

1-ый вариант:

Первое выбытие элемента1происходит после380 ч работы, соответственно первая точка ставятся на прямой в пределах значения300--600 ч. Следующее выбытие происходит через580 ч, кумулятивное время составляет960 ч. Соответственно вторая точка расположена в пределах900--1200 ч и т.п.

Имея данные о выбытии элементов, мы можем подсчитать затраты средств на замену элементов.

Стоимость новых элементов:15 элементов х 5000,0 =75000,0 д.е.

Заработная плата механику за замену элементов:

15 замен х 6 мин = 90мин (1,5 ч.) 1,5х 4000,0 = 6000,0 д.е.

Потери от простоя аппарата:1,5х 6000,0 = 9000,0 д.е.

Итого: 90000,0 д.е.

2-ой вариант:

Если ориентироваться на минимальный срок службы элемента 3 (340 ч), то нужно сменить все элементы через 340 ч. После первой замены быстрей всех выйдет из строя элемент 1 (580 ч.). Минимальная продолжительность работы элементов составит 920 ч (340+580). После второй замены быстрей всех выйдет из строя элемент 3(465 ч.). Кумулятивное время равно 1385 ч. и т.д.

Подсчитаем затраты средств на замену элементов.

Стоимость новых элементов:15 элементов х 5000,0 =75000,0 д.е.

Заработная плата механику за замену элементов:

5 замен х 9 мин = 45 мин (0,75 ч.) 0,75 х 4000,0 = 3000,0 д.е.

Потери от простоя аппарата:0,75 х 6000,0 = 4500,0 д.е.

Итого: 82500,0 д.е.

Результаты моделирования вариантов по затратам таковы: по 1-му варианту -- 90000,0 д.е.; по 2-му варианту -- 82500,0 д.е.

1-ый вариант замены выбывающих элементов приводит к наибольшим затратам. 2-ой вариант позволяет снизить эксплуатационные расходы на7500,0 д.е.

Задание 6

Станок эксплуатируется в течение 8 лет, после чего продается. В начале каждого года нужно принять решение сохранить станок или заменить его новым. Стоимость нового станка P=30 д.е. После t лет эксплуатации (1 t 8) станок можно продать за S(t)=18-2*t д.е. (ликвидная стоимость). Стоимость продукции, производимой на станке возраста t, r(t) и эксплуатационные затраты u(t) на станок приведены ниже.

Требуется определить оптимальную стратегию эксплуатации станка возраста 1…8 лет.

РЕШЕНИЕ заказ стоимость оптимальный

В качестве системы рассматривается станок. Единственный параметр -- возраст станка -- может меняться. В качестве возможных управлений рассматриваются два -- решение о сохранении имеющегося станка и решение о замене имеющегося станка на новый. Решения принимаются в моменты времени n=1,2,…,N-1,N(N-- продолжительность планового периода в годах, n-- количество лет до конца планового периода).

Анализ задачи динамического программирования проведем с помощью функций Беллмана -- F₁(t),F₂(t),…,F_N(t), учитывающих вклад последующих шагов в общий эффект. Для этого надо рассматривать процесс планирования с последнего года планового периода.

Рассмотрим процесс решения задачи при следующих исходных данных:



Таблица 3.4 Исходные данные для расчетов

T	0	1	2	3	4	5	6	7	8
R(t)	65	62	61	60	58	58	56	56	55
U(t)	45	47	49	50	50	52	53	54	55
R(t)-u(t)	20	15	12	10	8	6	3	2	0

Предположим, что к началу последнего года (n=1) планового периода имеется станок возраста t. Имеются две возможности:

а) сохранить станок и, следовательно, получить за последний год прибыль r(t)-u(t);

б) продать имеющийся станок и купить новый, что обеспечит в последний год прибыль S(t)-P+r(0)-u(0).

Прибыль за последний год планового периода равна максимальному из выражений и записывается следующим образом:

(3.1)

Задача будет решена, если будет установлена связь между выражениями дляF_n+1и F_n.Последовательно, двигаясь с конца, где n=1, и зная F₁(t), можем найти F_2,F_3,…,F_N.

Оптимальная политика за последние n+1 лет при условии, что в начале этого периода из n+1 лет имеется станок возраста t, есть политика, обеспечивающая за последние n+1 лет максимальную прибыль, равную наибольшему из выражений:

(3.2)



Станок возраста 8 лет невыгоден. Поэтому, если к началу n+1 года до конца планового периода имеется станок 8 лет, то оптимальной политикой всегда является замена. Используя выражения (3.1) и (3.2), рассчитаем значения F при различных значениях n и t:

n=1:

Нетрудно заметить, что значение (-p+r(0)-u(0)) в выражении (3.1) не изменяется с изменением t. Поэтому значение прибыли при сохранении станка будет всегда больше, чем при замене и первая строка в таблице 3.5 совпадает с последней строкой таблицы 3.4.

n=2:

n=3:

И так далее при n=4…8.

Результаты расчетов F(t) при n=1…8 приведены в табл.5.

Таблица 5 Расчетные показатели

	Возраст станка t, лет
Fn(t)	0	1	2	3	4	5	6	7	8
F1(t)	20	15	12	10	8	6	3	2	0
F2(t)	35	27	22	18	15	13	11	9	7
F3(t)	47	37	31	29	27	25	23	21	19
F4(t)	57	46	41	39	37	35	33	31	29
F5(t)	66	56	51	48	46	44	42	40	38
F6(t)	76	66	60	58	56	54	52	50	48
F7(t)	86	75	70	68	66	64	62	60	58
F8(t)	95	85	80	77	75	73	71	69	67

Выделенные цифры соответствуют политике замены станка. Таблица содержит много информации и позволяет решить целый ряд задач.

Пусть имеется станок возраста 5 лет. Какова должна быть оптимальная политика действий для получения максимальной прибыли за 8 лет, равной согласно расчетам 73 д.е. Данная величина прибыли записана в таблицу выделенным шрифтом, что означает: для достижения её необходимо заменить станок на новый в первый же год планового периода. Через год будем иметь станок возраста 1 год. Значение прибыли, соответствующее этому возрасту записано в таблицу невыделенным шрифтом, что означает: станок целесообразно сохранить. То же самое касается и станка возраста 2 года. На 3-ом году до конца планового периода, когда станку 3 года, его следует заменить на новый. К началу 5-го года имеется станок возраста 1 год и в оставшиеся 2 года оптимальная политика -- сохранение станка, в последний год станок заменяется.

Размещено на Allbest.ru

...