Методы оптимальных решений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации

Кафедра статистики

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

на тему «Методы оптимальных решений»

Вариант 7

Исполнитель Хвастунова А.С.

Факультет: заочной экономики

Направление: Бухгалтерский учет анализ аудит

Группа: 201, № зачетной книжки: 100.30/13097

Руководитель: Граф А.А.

Челябинск 2015



Задача 1

запас заказ критерий

Годовая потребность автозавода в аккумуляторах «АКБ Подольск 6 СТ44А» составляет 18 тыс. шт. Затраты на размещение заказа - 220 руб. Доставка заказа осуществляется в течение семи дней. Годовые издержки на хранение запасов - 20 руб. на одно изделие. Предприятие работает 365 дней в году.

Определите:

а) оптимальный размер поставки;

б) годовые расходы на хранение запасов;

в) период поставок;

г) точку заказа.

Дано:

T = 365 дней;

М = 18 000 шт/год;

h = 20 руб./шт;

K = 220 руб.;

t = 7 дня.

Определить: Qопт, издержки, уровень повторного заказа, число циклов за год, расстояние между циклами.

Решение

1. Количество единиц в одной поставке:

2. Общие издержки за год:



3. Периодичность поставок (интервал между поставками):

то есть одна поставка происходит каждые 12 дней.

4. Точка заказа:

Каждый раз, когда остается 3 ед, делается новый заказ на 345 ед.

Ответ: оптимальный объем заказа = 629 ед; годовые расходы на хранение запасов = 12585,71 руб; период поставок = 13 дней; точку заказа = 345 ед.

Задача 2

1. Для платёжной матрицы антагонистической игры 3 3, соответствующей Вашему варианту, найти нижнюю и верхнюю цены игры;

2. для этой же матрицы игры и смешанных стратегий игроков и найти выигрыш первого игрока и проигрыш второго;

3. Найти оптимальное решение задачи в смешанных стратегиях, используя надстройку «Поиск решения» в MS Excel/

Варианты платёжных матриц следующие:



№ 7

Решение:

1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B1	B2	B3	a = min(Ai)
A1	6	2	1	1
A2	9	2	8	2
A3	5	4	1	1
b = max(Bi)	9	4	8

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = 2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₂.

Верхняя цена игры b = min(b_j) = 4.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ? b, тогда цена игры находится в пределах 2 ? y ? 4. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.

Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.

Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если a_ij ? a_kj для всех j Э N и хотя бы для одного j a_ij > a_kj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) - доминирующая, k-я - доминируемая.

Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M a_ij ? a_il и хотя бы для одного i a_ij < a_il. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю - доминируемой.

Стратегия A₂ доминирует над стратегией A₁ (все элементы строки 2 больше или равны значениям 1-ой строки), следовательно исключаем 1-ую строку матрицы. Вероятность p₁ = 0.

9	2	8
5	4	1

С позиции проигрышей игрока В стратегия B₂ доминирует над стратегией B₁ (все элементы столбца 2 меньше элементов столбца 1), следовательно исключаем 1-й столбец матрицы. Вероятность q₁ = 0.

2	8
4	1

Мы свели игру 3 x 3 к игре 2 x 2.

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.

Запишем систему уравнений.

Для игрока I

2p₁+4p₂ = y

8p₁+p₂ = y

p₁+p₂ = 1

Для игрока II

2q₁+8q₂ = y

4q₁+q₂ = y

q₁+q₂ = 1

Решая эти системы методом Гаусса (решение см. ниже), находим:

y = 3¹/₃

p₁ = ¹/₃ (вероятность применения 1-ой стратегии).

p₂ = ²/₃ (вероятность применения 2-ой стратегии).

Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (¹/₃; ²/₃)

q₁ = ⁷/₉ (вероятность применения 1-ой стратегии).

q₂ = ²/₉ (вероятность применения 2-ой стратегии).

Оптимальная смешанная стратегия игрока II: Q = (⁷/₉; ²/₉)

Цена игры:

y = 3¹/₃

Задача 3

Шесть экспертов оценивали по 20-и балльной шкале степень безопасности проезда в 7 видах транспорта. Результаты экспертов представлены в таблице.

По данным этих оценок по критериям Лапласса, Вальда, Гурвица и Сэвиджа выявить самые безопасные виды транспорта. Для критерия Гурвица взять б=0,4

Таблица - Экспертные оценки безопасности транспорта

Вид транспорта	Эксперт
	3
Воздушный	17
Железнодорожный	15
Водный	А=7
Автомобильный	14
Мотоцикл	11
Велосипед	19
Метро	16

Значение параметра а взять равным номеру варианта

Решение:

Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:

q₁ = q₂ = ... = q_n = 1/n.

q_i = 1/2

Ai	П1	П2	?(aij)
A1	0.5	8.5	9
A2	1	7.5	8.5
A3	1.5	1.5	3
A4	2	7	9
A5	2.5	5.5	8
A6	3	9.5	12.5
A7	3.5	8	11.5
pj	0.5	0.5

Выбираем из (9; 8.5; 3; 9; 8; 12.5; 11.5) максимальный элемент max=12.5

Вывод: выбираем стратегию N=6.

Критерий Вальда.

По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.

a = max(min a_ij)

Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Ai	П1	П2	min(aij)
A1	1	17	1
A2	2	15	2
A3	3	3	3
A4	4	14	4
A5	5	11	5
A6	6	19	6
A7	7	16	7

Выбираем из (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7) максимальный элемент max=7

Вывод: выбираем стратегию N=7.

Критерий Севиджа.

Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:

a = min(max r_ij)

Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Находим матрицу рисков.

Риск - мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b_j = max(a_ij) характеризует благоприятность состояния природы.

1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.

r₁₁ = 7 - 1 = 6; r₂₁ = 7 - 2 = 5; r₃₁ = 7 - 3 = 4; r₄₁ = 7 - 4 = 3; r₅₁ = 7 - 5 = 2; r₆₁ = 7 - 6 = 1; r₇₁ = 7 - 7 = 0;

2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.

r₁₂ = 19 - 17 = 2; r₂₂ = 19 - 15 = 4; r₃₂ = 19 - 3 = 16; r₄₂ = 19 - 14 = 5; r₅₂ = 19 - 11 = 8; r₆₂ = 19 - 19 = 0; r₇₂ = 19 - 16 = 3;

Ai	П1	П2
A1	6	2
A2	5	4
A3	4	16
A4	3	5
A5	2	8
A6	1	0
A7	0	3

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

Ai	П1	П2	max(aij)
A1	6	2	6
A2	5	4	5
A3	4	16	16
A4	3	5	5
A5	2	8	8
A6	1	0	1
A7	0	3	3

Выбираем из (6; 5; 16; 5; 8; 1; 3) минимальный элемент min=1

Вывод: выбираем стратегию N=6.

Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:

max(s_i)

где s_i = y min(a_ij) + (1-y)max(a_ij)

При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим - оптимистический критерий (максимакс).

Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.

Рассчитываем s_i.

s₁ = 0.4*1+(1-0.4)*17 = 10.6

s₂ = 0.4*2+(1-0.4)*15 = 9.8

s₃ = 0.4*3+(1-0.4)*3 = 3

s₄ = 0.4*4+(1-0.4)*14 = 10

s₅ = 0.4*5+(1-0.4)*11 = 8.6

s₆ = 0.4*6+(1-0.4)*19 = 13.8

s₇ = 0.4*7+(1-0.4)*16 = 12.4

Ai	П1	П2	min(aij)	max(aij)	y min(aij) + (1-y)max(aij)
A1	1	17	1	17	10.6
A2	2	15	2	15	9.8
A3	3	3	3	3	3
A4	4	14	4	14	10
A5	5	11	5	11	8.6
A6	6	19	6	19	13.8
A7	7	16	7	16	12.4

Выбираем из (10.6; 9.8; 3; 10; 8.6; 13.8; 12.4) максимальный элемент max=13.8

Вывод: выбираем стратегию N=6.

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A₆.

Размещено на Allbest.ru

...