Оптимизация процессов товарооборота в практике организаций потребительской кооперации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Российский университет кооперации

Оптимизация процессов товарооборота в практике организаций потребительской кооперации

Грицан Владимир Николаевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационных технологий и математики

г. Мытищи, Московская обл., Российская Федерация

Аннотация

Актуальность. В современных условиях функционирования организаций кооперации возникает потребность оптимизации этих процессов. Цель работы привести примеры применения методов динамического программирования для решения конкретных задач оптимизации процессов товарооборота.

Ключевые слова: динамическое программирование, планирование прироста выпуска продукции, товарооборот, оптимальный маршрута перевозок товаров.

Abstract

OPTIMIZATION OF PROCESSES OF COMMODITY TURNOVER IN PRACTICE OF THE ORGANIZATIONS OF CONSUMER COOPERATION

Gritsan V.N. - Candidate of Physico -Mathematical Sciences, Associate Professor, the Department of Information Technologies and Mathematics, Russian University of Cooperation (Mytischi, Moscow Region, Russian Federation).

Relevance. In modern conditions of functioning of cooperation organizations, the need arises to optimize these processes. The purpose of the work is to provide examples of the application of dynamic programming methods for solving specific problems of optimizing the processes of turnover.

Keywords: dynamic programming, planning of output growth, trade turnover, optimal route of goods transportation.

В практике работы кооперативных организаций приходится решать задачи связанные с организацией производства, товарооборота, разработок оптимальных маршрутов перевозок и т.п. В настоящее время оптимальных результатов можно достигнуть с помощью динамического программирования. Ряд примеров приводим в данной статье.

Ценность методов динамического программирования заключается частично в том, что они позволяют для ряда задач, которые не могут быть решены с помощью классического анализа, найти (иногда достаточно простой) вычислительный алгоритм, приводящий к их решению.

Задача 1. В приводимой ниже таблице (табл. 1) указан возможный прирост выпуска продукции четырьмя плодоконсервными заводами при осуществлении дополнительных капиталовложений на их реконструкцию и модернизацию.

Составить план распределения капиталовложений, максимизирующий общий прирост выпуска продукции.

Решение. Обозначим через gt (х) прирост продукции на ^м предприятии при капиталовложениях х руб. Мы могли бы начать с поисков оптимального распределения суммы с = 200 тыс. руб. между двумя предприятиями затем перейти к рассмотрению трех и, наконец, четырех предприятий. Предположим, что четвертому предприятию выделено х руб. Пусть, как и раньше, через Т (с) обозначен максимально возможный прирост выпуска продукции при распределении суммы с между четырьмя предприятиями. Тогда в соответствии с основным функциональным уравнением Беллмана имеем:

Покажем теперь, как получить численное решение нашей задачи. Строим таблицу с четырьмя колонками (табл. 2), в которые заносим значения функций Fx (х), F2 (х), F3 (х) и (х). Поскольку F1 (х) = g1 (х), то в первую колонку заносим цифры из первой колонки табл. 1.

Теперь, пользуясь соответствующими функциональными уравнениями вычисляем элементы остальных колонок:

F2 (50) = max [g(x)+ F1 (50 - x)] = max [g (0) + g (50); g (50) + g (0)] = max[0 + 25; 30 + 0] = 30 F2 (100) = max [g(x)+ F1 (100 - x)] = max [g (0) + g (100); g (50) + g (50) + g (100) + g (0)] = max[0 + 60; 30 + 25; 70 + 0] = 70 и т.д.

Пусть элементы второй колонки найдены.

Вычислим:

F3 (150)= max [g(x)+ F2 (150 - x)] = max [g (0) + F2 (150); g (50) + F2 (100); g (100) + F2 (50); g (150) + F2 (0)] = max[0 + 100; 36 + 70;

64 + 30; 95 + 0] = 106.

Аналогично вычисляются все остальные элементы таблицы (2).

Все вычисления можно значительно упростить, воспользовавшись следующей таблицей (табл. 3).

Предположим, что требуется вычислить F2 (150). F2 (150) есть максимальное значение суммы Fx + g2. В колонке Fx двигаемся от числа 100 вверх, а в колонке ft - от 0 вниз, образуя при этом суммы 100 + 0; 60 + 30; 25 + 70; 0 + 90. Наибольшая из этих сумм 100. Следовательно, F2 (150). Из таблицы (3) видно, что наибольший прирост продукции, который могут дать предприятия, составляет 146 тыс. руб.:

Fi (200) = F3 (50) + g4 (150) = 36 + 110 = 146.

Отсюда следует, что третьему заводу нужно выделить 50 тыс. руб., а первым двум - 0 руб.

Итак, решением нашей задачи служат значения х = 0; х 2 = 0; = 50 тыс. руб.; х 4 = 150 тыс. руб. При таком распределении 200 тыс. руб. между четырьмя заводами прирост продукции будет максимальным и составит 146 тыс. руб.

Задача 2. Торгующая сеть райпотребсоюза располагает пятью автолавками, которые могут быть в базарный день направлены в три населенных пункта. Допускается, что товарооборот зависит лишь от количества и ассортимента направляемых товаров и определяется числом посланных в тот или иной населенный пункт машин. Среднее значение товарооборота в каждом из населенных пунктов дается табл. 4.

Найти распределение автолавок по населенным пунктам, максимизирующий общий товарооборот.

Таблица 1 Прирост выпуска продукции

Таблица 2Значение функций f (X)

Таблица 3Значение функций f (X) и g

Решение. Из табл. 4 видно, что с увеличением числа направляемых в данный населенный пункт автолавок товарооборот в целом возрастает. Однако чрезмерное насыщение рынка товарами имеет и обратное воздействие на спрос, и наличие пятой торгующей автолавки значительного увеличения оборота не приносит.

Предположим, что мы х автолавок направляем в первый населенный пункт. Товарооборот их составит g1 (х) руб. Остальные 5 - х автолавок направляем во второй и третий населенные пункты. Наша цель заключается в максимизации суммы товарооборотов х машин, направляемых в первый населенный пункт при условии, что оставшиеся 5 - х автолавок будут распределены между остальными двумя пунктами наилучшим образом.

Обозначив через ^ (5) максимально возможный оборот пяти автолавок, распределенных между к населенными пунктами, мы можем записать основное функциональное уравнение Беллмана для нашей задачи: (5) = шах ^ (х) + Ґ2 (5 - х)];

0 < х <5

Ґ1 (5) = тах (х)].

0<х<5

Найдя Р1 (5), мы вычислим Р2 (5), а затем и Г3 (5). Численное решение задачи проводим по изложенной ранее схеме. Строим табл. 5 и вычисляем все элементы колонок F2 и Г3, пользуясь указанной в предыдущей задаче методикой. Из табл. 5 видно, что максимальный товарооборот составляет 6400 руб. Он получается, как сумма товарооборота одной автолавки в третьем населенном пункте (1800 руб.) и товарооборота четырех автолавок, направленных в первые два населенных пункта (4600 руб.), т. е. Г3 (5) = gs (1) + Р2 (4). В свою очередь (4) = 4600 = 3100 + 1500 = ga (3) + ^ (1).

Следовательно,

Г (5) = Вз (1) + ^ (3) + ^(1) = I ^ (1) + ^ (3) + Вз.

Иными словами, товарооборот будет максимальным, если в первый населенный пункт направить одну автолавку, во второй - три и в третий - одну. динамический товарооборот капиталовложение

Задача 3. Из пункта А1 требуется доставить товар в пункт Ап, Между А1 и Ап находятся пункты А2, А3... Ап-1 и двигаться можно по различным соединяющим их дорогам. Найти маршрут, минимизирующий расстояние из А1 в Ап. Решение. Заметим, что задача имеет весьма реальный практический смысл. Минимизация длины пути завоза товара означает не только сокращение транспортных издержек, но и сокращение времени пребывания товара в пути, что очень важно, когда последний является скоропортящимся. Ради простоты рассмотрим случай п = 9. Метод решения этой частной задачи легко распространяется и на общий случат с любым числом пунктов.

На рис. 1 дана сеть которую образуют населенные пункты А, А2 А9 и расстояния между ними. Наша задача состоит в выборе кратчайшего пути или кратчайшей ломаной из А1 в Ау

Заметим, что по существу имеем дело с задачей динамического программирования. В самом деле, цель достигается в том случае, когда минимизируется сумма длин последнего звена ломаной, идущего непосредственно в А9 и остальной ее части (исходящее из А) при условии, что последняя построена наилучшим образом. Решение задачи в целом сводится, таким образом, к многошаговому процессу принятия решений. Своеобразие задачи позволяет сформулировать весьма простой алгоритм для ее решения. Сущность алгоритма состоит в том, что сравниваются различные ломаные, ведущие из пункта I в пункт } и из них выбираются наименьшие по длине. Чтобы гарантировать просмотр всех возможных дорог, ведущих из А1 в А9 строят специально таблицу расстояний. В нее заносят все расстояния йЪ 9 между непосредственно соединенными пунктами I и у начиная от пункта А2 (табл. 6).

Таблица 4 Среднее значение товарооборота

Таблица 5 Элементы колонок 1 (X) и g

Теперь строим вспомогательную таблицу (табл. 7), которая служит как бы первым опорным решением задачи. В эту таблицу заносим расстояния от пункта А1 до всех пунктов сети. При этом, если А1 соединяется с А. звеном, то вместо В.Г] пишем длину звена если же А1 с А. звеном не соединены (т.е. прямой дороги из А1 в А. не пролегающей через другие пункты, нет), то вместо Я19 пишем некоторое число М, большее суммы длин всех звеньев.

Рис. 1. Сеть населенных пунктов А и расстояние между ними

После этого приступаем к отысканию оптимального решения задачи. Предположим, что пункт А4 лежит на оптимальном (кратчайшем) пути. Тогда из А4 в А4 следует проехать наилучшим образом. Кратчайшим будет маршрут А1А2 А4, так как й12 = 3, (124 = 2 и й12 + йи < йи (3 + 2 < 7). Ясно, что в окончательном решении должен фигурировать именно этот маршрут из А4 в А4.

Таблица 6 Расстояние между населенными пунктами

Таблица 7 Вспомогательная таблица

Но мы не знаем, пролегает ли оптимальный путь через А В связи с этим будем проверять все маршруты, ведущие из А1 в Ав, где Ав - любой пункт сети, и из всех их выбирать самый короткий. Когда Ав совпадет с конечным пунктом А9, мы обнаружим кратчайший маршрут из А1 в А9. Решение задачи сводится к последовательному улучшению таблицы (7) и построению новой табл. 8, в которой среди расстояний R1. от пункта Ар до пункта А. имеются и кратчайшие.

Табл. 8, называемая таблицей решений, строится следующим образом: выбираем из таблицы расстояний (6) последовательно, начиная с первой строки, каждое расстояние Я. и составляем для него сумму R1. + Я. Эту сумму сравниваем с R1.. Если R1. + Я. < R1., то в табл. 8 вместо R1. проставляем эту сумму. Если же R1. + Я. > R1j,то в табл. 8 заносится R1j, взятое из табл. Так как из А1 в А)' можно прийти несколькими маршрутами, то в колонке R1. табл. 8 может оказаться несколько расстояний. Существенно, однако, то, что среди них будет и наименьшее расстояние от А до А) Проделав указанные операции со всеми расстояниями табл. 6, мы заполним все строки табл. 8 и в конечном итоге найдем ^ - кратчайшее расстояние от А1 до А9.

Приведем пример, поясняющий сказанное выше. Рассматриваем первую строку табл. 6. В ней дано расстояние Я24 = 2. Составляем сумму R12 + Я24 = 3 + 2 = 5. R12 взято из табл. 7. В этой же таблице находим R= 7. Следовательно, здесь R12 + Я24 < R14. В связи с этим в табл. 8 в качестве R14 (меньшего чем R14, расстояния от А 1 до А 4) пишем число 5, равное R12 + Я24 Теперь переходим к следующей строке. В ней Я25 = 8. Составляем сумму R12 + Я25 и сравниваем ее с R15. R12 + Я25 = 3 + 8 = 11: R15 = М. Так как 11 < М, то вместо R15 = М в табл. 8 записываем число 11. Рассматриваем третью строку: Я34 = 3. Составляем сумму R13 + Я34 = 9 + 3 = 12; далее R = 7. В данном случае R13 + Я34 > Ru- Следовательно, в качестве R14 берем R = 7. Мы получили уже два значения для R14 : 5 и 7. Естественно, что в дальнейших расчетах можно ограничиться значением R = 5. Продвигаясь аналогичным образом дальше, мы заполним все строки табл. 8. Соответствующие числа приведены выше.

Из последней строки видно, что кратчайшее расстояние между А1 и А9 составляет 12 км. В А9 мы приходим непосредственно из А7, в А из А5, в А5 из А4, в А4 из А2, в А2 из А1. Таким образом, оптимальным является маршрут:

А1 -- А2 -- А4 -- А5 -- А7 -- А9

В заключении укажите, что подобные процедуры решения задачи товарооборота позволяют оптимизировать этот процесс.

При этом отметим, что в каждой из рассмотренных задач исходное состояние системы и ее параметров и пошаговой процесс решения задачи однозначно определяет ее конечный результат.

Такие процессы называются детерминированными.

Таблица 8 Таблица решений

Между тем большинство практических задач несет стохастический характер. Конечное решение не может быть однозначно определено. Например, осуществление капиталовложений в какое -то предприятие не гарантирует с достоверностью получения в течении данного периода соответствующей прибыли или прироста продукции. В связи с этим для большинства задач логика следующая постановка выбора: при данных начальный знаниях параметров системы ее конечное состояние следует ожидать с какой-то вероятностью. Тот факт, что оптимизируется величина является случайной, не вносит существенных трудностей в процесс решения задач. Всегда можно ставить вопрос об оптимуме ее среднего значения. Описанный выше метод функционирования уравнений приложим и к решению такого рода задач.

Список используемых источников

1. Красс М.С., Чупрынов Б.Т. Основы математики и ее применение в экономическом образовании. - М.: Дело, 2000. - 688 с. - С. 488-505.

References

1. Krass M.S., CHuprynov B.T. Osnovy matematiki i eyo primenenie v ehkonomicheskom obrazovanii. - M.: Delo, 2000. - 688 s. - S. 488-505.

Размещено на Allbest.ru