Бесконечные произведения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава І. Бесконечные произведения. Основные понятия

§1.1 Простейшие свойства бесконечных произведений

§1.2 Критерий Коши сходимости бесконечных произведений

§1.3 Бесконечные произведения с действительными сомножителями

§1.4 Дзета-функция Римана

Глава II.

Применение дзета-функции Римана в математическом анализе

Заключение

Список использованной литературы



Введение

Актуальность исследования:

Представленная работа посвящена теме «Бесконечные произведения».

Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов.

Тема «Бесконечные произведения» изучается на стыке сразу нескольких взаимосвязанных дисциплин. Для современного состояния науки характерен переход к глобальному рассмотрению проблем тематики «Бесконечные произведения». Вопросам исследования посвящено множество работ. В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий характер, а в многочисленных монографиях по данной тематике рассмотрены более узкие вопросы, проблемы «Бесконечных произведений». Однако, требуется учёт современных условий при исследовании проблематики обозначенной темы. Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность проблемы определяют несомненную новизну данного исследования. Дальнейшее внимание к вопросу о проблеме «Бесконечные произведения» необходимо в целях более глубокого и обоснованного разрешения частных, актуальных проблем тематики данного исследования.

Актуальность данной работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теме «Бесконечные произведения» в современной науке, с другой стороны, её недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит, как и теоретическую, так и практическую значимость. Результаты могут быть использованы для разработки методики анализа «Бесконечных произведений». Теоретическое значение изучения данной проблемы заключается в том, что избранная для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу нескольких научных дисциплин.

Объект исследования: числовые ряды.

Предмет исследования: бесконечные произведения.

Цель курсовой работы: изучение темы «Бесконечные произведения» с точки зрения новейших отечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике.

Основные задачи исследования:

· Выполнить анализ литературы по теме;

· Осветить историю развития проблемы «Бесконечные произведения»;

· Определить и пояснить на примерах понятия, используемые в работе;

· Выделить основные свойства бесконечных произведений;

· Определить связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов;

· Рассмотреть бесконечные произведения вещественных или комплексных функций;

· Подобрать и решить задачи по данной теме.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: анализ литературы, синтез, обобщение, решение задач по теме.

Практическая значимость проведённого исследования состоит в том, что в ходе работы была выявлена связь между сходимостью бесконечных произведений, определены и доказаны основные свойства бесконечных произведений, подобран теоретический и практический материал по теме, решены задачи.



Глава I. Бесконечные произведения. Основные понятия

§1.1 Простейшие свойства бесконечных произведений

Аналитическое выражение, имеющее вид произведения бесконечного множества сомножителей, называется бесконечным произведением. Дадим более детальное и строгое определение этого понятия.

Определение 1: Пара последовательностей комплексных чисел {a_n} и {p_n}, где

pn = a₁a₁….a_n, n = 1,2 …, (1.1)

называется бесконечным произведением и обозначается

(1.2)

Члены последовательности {an} называются сомножителями бесконечного произведения (1.2), а члены последовательности {p_n} - его частичными произведениями (порядка n).

Если последовательность частичных произведений {p_n} имеет конечный или определённого знака бесконечный предел p:

то это предел называется значением конечного произведения (1.2) и пишут

Таким образом, аналогично случаю ряда, здесь одним и тем же символом обозначают как само бесконечное произведение, так и его значение, если оно существует.

Если хотя бы один из сомножителей бесконечного произведения равен нулю, то и значение этого бесконечного произведения равно нулю:

Поэтому естественно предполагать, что все сомножители рассматриваемых бесконечных произведений отличны от нуля. Это всегда и будем делать, не оговаривая специально, в дальнейшем.

Особый интерес представляют бесконечные произведения, значениями которых являются числа, отличные от нуля, так как для них можно построить теорию, аналогичную теории сходящихся рядов. Этим оправдывается следующее определение.

Определение 2: Бесконечное произведение называется сходящимся, если оно имеет конечное значение, отличное от нуля.

В противном случае бесконечное произведение называется расходящимся. Таким образом, бесконечное произведение называется расходящимся, если предел последовательности его частичных произведений, либо равен нулю, либо , либо не существует. В частности если

то произведение называется расходящимся к нулю.

Если в бесконечном произведении (1.2) отбросить первые n сомножителей, по получившееся бесконечное произведение

называется n-м остаточным произведением.

Отметим простейшие свойства бесконечных произведений.

1⁰. Если бесконечное произведение сходится, то и все его остаточные произведения сходятся.

Если какое-либо остаточное произведение сходится, то и само бесконечное произведение сходится.

Таким образом, для бесконечного произведения, как отбрасывание конечного множества первых сомножителей, так и присоединение конечного множества отличных от нуля первых сомножителей не влияют на его сходимость.

2⁰. Если бесконечное произведение (1.2) сходится, то последовательность его остаточных произведений

имеет пределом единицу:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Если

то

Так как

то

3⁰. (необходимое условие сходимости бесконечного произведения). Если бесконечное произведение (1.2) сходится, то последовательность его сомножителей стремится к единице:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: В самом деле, , n = 2, 3, …, поэтому

Отметим, что выполнение условия (1.8), т.е. стремление последовательности сомножителей бесконечного произведения к единице, недостаточно для его сходимости.

ПРИМЕРЫ:

№ 1.

Бесконечное произведение сходится, и его значение равно 1.

№ 2.

Бесконечное произведение расходится, так как для него , а последовательность {(-1)ⁿ} не имеет предела.

№ 3.

Бесконечное произведение расходится, так как и, следовательно, .

№ 4.

Бесконечное произведение расходится к нулю, так как здесь .

№ 5.

Для бесконечного произведения имеем

Поэтому , т.е. бесконечное произведение сходится и его значение равно .

§1.2 Критерий Коши сходимости бесконечных произведений

Установим необходимые и достаточные условия сходимости бесконечных произведений.

ТЕОРЕМА 1 (критерий Коши). Для того чтобы бесконечное произведение (1.2) сходилось, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое n_o, что для всех n n_o и всех m 0 выполняется неравенство



ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. НЕОБХОДИМОСТЬ: Пусть бесконечное произведение (1.2) сходится, и, следовательно, не равно нулю:

Поэтому существует такой номер n_o, что для всех n n_o выполняется неравенство , т.е. последовательность k = 1, 2, …, ограничена снизу, а так как все сомножители , n = 1, 2, …, то и вся последовательность {} ограничена снизу положительной постоянной: существует такое число c 0, что

n = 1, 2, …. (1.10)

Зададим произвольное . Из сходимости последовательности {}, согласно критерию Коши для последовательности, следует, что найдётся такой номер n_o, что для всех номеров n n_o и всех m 0 выполняется неравенство

(1.11)

тогда

,

т.е. выполнено условие (1.9).

Достаточность: Пусть выполнено условие (1.9). Тогда для

= 1 сушествует такой номер , что для всех m 0 выполняется неравенство

,

откуда

+,

и, следовательно, последовательность {} ограничена, т.е. существует такое c0, что

, n = 1,2,…. (1.12)

Зададим произвольное 0. В силу условия теоремы, найдётся такой номер n_o, что для всех номеров n n_o и всех m 0 будет выполняться неравенство

, (1.13)

т.е.

.

Это означает, что числовая последовательность {} удовлетворяет критерию Коши сходимости числовых последовательностей и, следовательно, сходится.

Покажем, что предел p = не равен нулю. если бы он был равен нулю, то перейдя к пределу в неравенстве (1.13) m (n фиксировано), мы получили бы неравенство 1 , что противоречит произвольному выбору 0

§1.3 Бесконечные произведения с действительными сомножителями

До сих пор все доказанные для бесконечных произведений теоремы были справедливы, не зависимо от того, являлись ли их сомножители комплексными или только действительными числами. Перейдем теперь к изучению бесконечных произведений, сомножители которых являются только действительными числами. В этом случае из необходимое условия сходимости (1.8) бесконечного произведения (1.2) следует, что все его сомножители, начиная с некоторого номера положительны. Согласно же свойству 1⁰, отбрасывание конечного множества сомножителей не влияет на сходимость бесконечного произведения, поэтому дополнительное предположение о том, что все сомножители бесконечного произведения положительны, не будет ограничивать общности изучения сходимости бесконечных произведений с действительными сомножителями.

Взаимно обратную связь между бесконечными произведениями с положительными сомножителями и рядами устанавливает следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 2: Для того чтобы бесконечное произведение

сходилось, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

Если при сходимости ряда (1.15) число sявляется его суммой, а число p - значение бесконечного произведения (1.14), то

p =

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: В самом деле, если - частичная сумма порядка n для ряда (1.15), а - частичное произведение того же порядка для бесконечного произведения (1.14), то

следовательно, . Перейдя здесь к пределу при n , получим формулу (1.16).

При исследовании бесконечного произведения (1.2) часто бывает удобным его сомножители представлять в виде

В случае сходящего бесконечного произведения (1.2), в силу его свойства 3⁰, последовательность {} является бесконечно малой.

ТЕОРЕМА 3: Если все , знакопостоянны (т.е. все ), то, для того чтобы сходилось бесконечное произведение

необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Согласно необходимому условию сходимости бесконечного произведения и необходимому условию сходимости ряда, из сходимости бесконечного произведения (1.17), так же, как и из сходимости ряда (1.18), следует, что

Поэтому будем предполагать это условие выполненным.

Сходимость бесконечного произведения (1.17), согласно теореме 1, равносильна сходимости ряда

В силу же (1.19), имеет место эквивалентность

и так как все одного знака, то, согласно признаку сравнения рядов, ряд (1.20) сходится и расходится одновременно с рядом (1.18).

Отметим, что нами уже было непосредственно и очень просто показано, что бесконечное произведение расходится. Из этого утверждения, в силу теоремы 3, следует, что ряд расходится, - ещё одно доказательство расходимости гармонического ряда.

В случае знакопеременных имеет место следующее достаточное условие сходимости ряда (1.17).

ТЕОРЕМА 4: Если сходятся ряды

то бесконечное произведение сходится.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Прежде всего из сходимости рядов (1.21) следует выполнить условие (1.19). Тогда, согласно формуле Тейлора,



и, следовательно

Из этого равенства, согласно признаку сравнения рядов, следует, что ряд

сходится, так как, по условию, сходится ряд По условию сходится и ряд , поэтому из сходимости ряда (1.22), следует и сходимость ряда , что в силу теоремы 2, означает сходимость бесконечного ряда (1.17).

Примеры:

№ 1.

Произведение

сходится при и расходится при . Согласно теореме 3, это следует из того, что ряд сходится при .

№ 2.

Имеет место равенство Эйлера

Произведения и сходятся, так как сходятся соответственно ряды и (см. теорему 3). Заметим ещё, что в силу аналогичных соображений сходится и бесконечное произведение , следовательно, в силе критерия Коши сходимости бесконечных произведений, выполняется условие

Теперь имеем

§1.4 Дзета-функция Римана

Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда.

Определение: Дзета-функцией Римана ж(s) называют функцию, которая любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда

(1.24)

если она существует.

Основной характеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашей функции.

Пусть сначала s?0, тогда s=?t, где t принадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R₊{0}. В этом случае

и ряд (1.24) обращается в ряд

,

который, очевидно, расходится как при t>0, так и при t=0. То есть значения s?0 не входят в область определения функции.

Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1.24) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию ,

где , которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:

1) 0<s<1.

Тогда ,

поэтому ряд (1.24) расходится и промежуток (0;1) не входит в область определения дзета-функции;

2) s=1.

Получаем ,

то есть при s=1 дзета-функция Римана также не определена;

3) s>1.

4)

В этом случае

.

Ряд (1.24) сходится.

Обобщив результаты, находим, что область определения дзета-функции есть промежуток . На этом промежутке функция оказывается непрерывной и дифференцируемой бесконечное число раз.

Докажем непрерывность функции ж(s) на области определения. Возьмём произвольное число s₀>1. Перепишем ряд (1.24) в виде

.

Как было выше показано, ряд сходится, а функции при s>s₀ монотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s₀ ряд (1.24) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s₀ дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s₀ ж(s) непрерывна на всей области определения.

Теперь почленным дифференцированием ряда (1.24), пока формально, найдём производную дзета-функции Римана:

(1.25).

Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (1.25) равномерно сходится на промежутке и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s₀>1 и представим ряд (1.25) в виде

для s>s₀.

Множители , начиная с n=2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (1.25) сходится равномерно при s>s₀, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можно заключить между и , где , а ; к промежутку применима вышеуказанная теорема.

Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:

.

Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s=1.

В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1.24), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем

.

При n=1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому .

Чтобы исследовать случай , докажем некоторые вспомогательные оценки.

Во-первых, известно, что если для ряда существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция , определённая на множестве , такая, что , и имеет первообразную , то остаток ряда оценивается так:

,

где . Применяя вышесказанное к ряду (1.24), найдём, что необходимая функция

, а и .

Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем

(1.26).

В левом неравенстве положим n=0, тогда , то есть . В правом же возьмём n=1 и получим , далее , и, наконец, . Переходя в неравенствах к пределу при , находим .

Отсюда, в частности, следует, что . Действительно, положим . Тогда , то есть . Поэтому . Из того, что , а , вытекает доказываемое утверждение.

Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n равенства

.

Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму и вычтем .

Имеем .

Пусть здесь s стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить и .

Мы пока не знаем, существует ли предел выражения при , поэтому, воспользовавшись наибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так:

.

Ввиду произвольности n возьмём . Первое и последнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C0,577).

Значит , а, следовательно, существует и обычный предел и .

Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения , где k - натуральное число.

Возьмём известное разложение

,

где - знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое в левую часть равенства. Слева получаем cth, а в правой части - ,

то есть cth.

Заменяем на , получаем cth.

С другой стороны, существует равенство cth, из которого cth.

Подстановкой вместо находим cth . Если , то для любого N

и по теореме о сложении бесконечного множества степенных рядов cth .

Приравняем полученные разложения:

,

следовательно . Отсюда немедленно следует искомая формула

(1.27),

где - k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.

Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения.



Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение:

,

где p_i - i-е простое число (1.27).

Докажем тождественность ряда (1.25) и произведения (1.27). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство

Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим заданного натурального числа N, то получившееся частичное произведение окажется равным

,

где символ * означает, что суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел этим свойством обладают, то

(1.28).

Сумма содержит не все числа, большие N+1, поэтому, очевидно, .

Из (1.28) получаем

(1.29).

Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а есть произведение (1.27). Значит из неравенства при

,

что и требовалось доказать.

Формула (1.27) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив , а именно показав, что

,

где остаётся ограниченным при .

Из (1.27) следует, что

где N, а при . Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда .

Натуральные логарифмы под знаком суммы разлагаются в ряд:

.

Подставив полученные разложения в равенство и устремив N к бесконечности, имеем . Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что .

Последнее равенство справедливо, так как . Далее, очевидно, , что и завершает доказательство.



ГЛАВА II

Применение дзета-функции Римана в математическом анализе

бесконечный произведение коша риман

Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с её помощью несколько интересных утверждений.

Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел, обозначим их p₁, p₂, … , p_n. Рассмотрим число p₁p₂…p_n+1, оно не делится ни на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению. Значит, количество простых чисел не может быть конечным.

Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s=1, получим

,

отсюда и ввиду расходимости гармонического ряда, имеем при

(2.1).

Если бы количество простых чисел было конечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученный результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.

Теперь перепишем (2.1) в виде . Опираясь на теорему о сходимости бесконечного произведения, из расходимости предыдущего делаем вывод, что ряд расходится. Это предложение даёт некоторую характеристику роста простых чисел. Подчеркнём, что оно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о части его членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь угодно длинные промежутки без простых чисел, например: , , … , .

Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было исследование функции , то есть количества простых чисел не превосходящих x. В качестве примера формулы, связывающей и , мы сейчас получим равенство

(2.2).

Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: .

Из логарифмического ряда , учитывая, что , приходим к ряду .

Значит, .

Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при , то .

Во внутреннем интеграле положим , тогда и

,

отсюда .

В промежутке интегрирования , поэтому верно разложение и .

Получаем .

Теперь

.

Если сравнить полученное значение интеграла с рядом для , то увидим, что они тождественны и равенство (2.2) доказано.

Используем формулу (2.2) для доказательства одной очень серьёзной и важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения простых чисел, то есть покажем, что

.

В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.

Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это уравнение относительно , то есть обратить интеграл. Сделаем это с помощью формулы обращения Меллина следующим образом. Пусть .

Тогда

(2.3).

Этот интеграл имеет нужную форму, а не повлияет на асимптотику . Действительно, так как , интеграл для сходится равномерно в полуплоскости , что легко обнаруживается сравнением с интегралом .

Следовательно, регулярна и ограничена в полуплоскости . То же самое справедливо и относительно , так как .

Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем . Обозначим левую часть через и положим , , (, и полагаем равными нулю при ). Тогда, интегрируя по частям, находим при , или .

Но непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как , то () и (). Следовательно, абсолютно интегрируема на при . Поэтому при , или при . Интеграл в правой части абсолютно сходится, так как ограниченна при , вне некоторой окрестности точки . В окрестности и можно положить , где ограниченна при , и имеет логарифмический порядок при . Далее, . Первый член равен сумме вычетов в особых точках, расположенных слева от прямой , то есть . Во втором члене можно положить , так как имеет при лишь логарифмическую особенность. Следовательно, .

Последний интеграл стремится к нулю при . Значит,

(2.4).

Чтобы перейти обратно к , используем следующую лемму.

Пусть положительна и не убывает и пусть при . Тогда .

Действительно, если - данное положительное число, то (). Отсюда получаем для любого Но так как не убывает, то .

Следовательно, . Полагая, например, , получаем .

Аналогично, рассматривая , получаем , значит , что и требовалось доказать.

Применяя лемму, из (2.4) имеем, что , , поэтому и теорема доказана.



Заключение

В данной курсовой работе было произведено исследование одного из типов числовых рядов - бесконечных произведений. В ходе работы был выполнен анализ литературы по данной теме, на основании которого были выделены основные понятия и свойства бесконечных произведений и рядов, рассмотрены разложения различных функций в бесконечное произведение, решены различные задачи по данной теме.

Рассмотрены такие понятия, как абсолютная сходимость бесконечного произведения, равномерная сходимость и др.

В итоге, можно заметить, что рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.



Список использованной литературы

1. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. М.,1970 г.

3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.,1999 г.

4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.,1987 г.

5. Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.

6. Колмогоров "Функц. анализ"

7. Привалов "Введение в ТФКП" www.depositfiles

8. "Вся высшая математика" Соболев; Краснов; Кисилев

Размещено на Allbest.ru

...