Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

1 Постановка задачи Коши для ОДУ и систем ОДУ. Классификация методов решения

2 Общие понятия теории многошаговых методов (определение, построение, устойчивость, сходимость)

3 Явные и неявные формулы Милна

4 Реализация неявных разностных схем

5 Практические способы оценки погрешности приближенного решения

6 Автоматический выбор шага интегрирования

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОДУ И СИСТЕМ ОДУ. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

(1.1)

с начальным условием

(1.2)

где - достаточно гладкая, в общем случае, нелинейная функция двух переменных. Будем считать, что для данной задачи (1.1), (1.2), называемой задачей Коши или начальной задачей, выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность на отрезке её решения .

Рассмотрим теоремы, связанные с задачей Коши для ОДУ и систем ОДУ.

Теорема 1. Если функции в области непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по переменным , то на отрезке существует решение начальной задачи.

Теорема 2 . При выполнении условий теоремы 1 начальная задача имеет на единственное решение.

Теоремы существования и единственности решения начальной задачи для одного уравнения являются справедливыми и в случае нормальной системы.

Методы решения начальных задач для ОДУ можно разделить на три группы:

- точные аналитические методы;

- приближенные аналитические методы;

- численные методы.

К методам первой группы относят такие, которые позволяют находить решения в виде формулы, однако круг их применимости достаточно узок

В приближенных аналитических методах строятся последовательности функций, сходящиеся к точному решению задачи. Основная сложность при их реализации - вычисление большого числа производных и интегралов, среди которых могут быть «неберущиеся» интегралы.

Наиболее значимыми в настоящее время являются численные методы решения дифференциальных уравнений, предполагающие получение числовой таблицы приближенных значений искомого решения на некоторой сетке значений аргумента . Решение получается в виде массива чисел, являющих приближенным значение решения на системе точек.

Численное решение задачи (1.1)-(1.2) ищется в узлах сетки

.

Обозначим , расстояние между соседними узлами сетки. Если , сетка называется равномерной (регулярной); в противном случае - неравномерной (нерегулярной). В случае равномерной сетки для неравномерной сетки , где - параметр нерегулярности.

На выходе из численного метода мы получаем последовательность значений , являющихся приближениями к значениям точного решения в узлах сетки. Набор чисел называется каркасом приближенного решения задачи Коши. Набор чисел называется проекцией точного решения задачи Коши на сетку .

Значение, определяемое в узле , может вычисляться явно

или неявно

.

- функция, характеризующая тот или иной численный метод. В соответствии с нахождением методы делятся на явные и неявные.

Также численные методы делятся на одношаговые и многошаговые - шаговые. В одношаговых методах для получения точки требуется лишь информация о последней рассчитанной точке . В - шаговых методах для получения точки требуется информация о предыдущих рассчитанных точках.

2 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОГОШАГОВЫХ МЕТОДОВ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ПОСТРОЕНИЕ, УСТОЙЧИВОСТЬ, СХОДИМОСТЬ)

В данном вопросе рассматриваются численные методы решения задачи Коши, которые могут быть заданы формулой:

(1.3)

Здесь значение решения в точке определяется через значения решения в точках, предшествующих . Такой метод называется - шаговым.

Из класса (1.3) выделим многошаговые методы вида

,(1.4)

применяемые на сетке с постоянным шагом

(1.5)

Разность между наибольшим и наименьшим значениями индекса неизвестной функции , входящей в уравнение (1.5), равна . Поэтому соотношение (1.4) является разностным уравнением -го порядка, общее решение которого зависит от параметров. Чтобы выделить единственное решение этого уравнения, необходимо задать дополнительных условий на функцию . Этими дополнительными условиями являются значения функции при



которые предполагаются известными, их можно найти с помощью одношаговых методов.

Используя значения (1.6), из уравнения (1.4) при = 0 можно найти , затем, используя значения и полагая в (1.4) = 1, найти. Таким образом, данный метод численного решения дифференцального уравнения (1.3), (1.4) состоит в решении разностной задачи Коши для разностного уравнения (1.4) и начальных условий (1.6).

Если искомое решение входит в правую часть этого уравнения, что бывает, когда, то формула (1.4) определяет неявный метод.

Если, то искомое решение в правую часть не входит и уравнение (1.4) может быть разрешено относительно В этом случае формула (1.6) определяет явный метод.

Введем в рассмотрение многочлены

(1.7)

(1.8)

и оператор Е сдвига по узлам:

= ,=

Тогда уравнение (1.4) может быть представлено в виде

(1.9)

где .

Наряду с (1.4) и (1.9) будем пользоваться также следующей записью разностного уравнения:

(1.10)

Уравнения (1.4), (1.6) и (1.10) называются также конечно-разностными схемами.

Рассмотрим построение разностных схем методом неопределенных коэффициентов.

Коэффициенты и выбираются таким образом, чтобы разностное уравнение (1.2) аппроксимировало дифференциальное уравнение с достаточно гладкой правой частью с некоторым порядком s. Это означает, что невязка , которая получается после подстановки точного решения у (х) дифференциального уравнения в разностное уравнение (1.2):

является величиной . Число s называется порядком аппроксимации, или степень разностного уравнения (1.2). Величина

(1.)

Называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения разностным уравнением (1.2).

Другими словами, это невязка, которая получается после подстановки точного решения дифференциального уравнения в разностном уравнении (1.10).

Воспользуемся формулой Тейлора:

Отсюда видно, что для того, что бы величина , необходимо выполнение условий:

решение обыкновенный дифференциальный уравнение

Вместе с условием нормировки

Получаем систему из

Наивысший достижимый порядок аппроксимации неявных шаговых методов рамен а явных - 2

Рассмотрим понятие устойчивости многошаговых методов.

Обратимся к общему разностному уравнению (1.4) и рассмотрим алгебраическое уравнение

(1.37)

где - многочлен, определяемый по формуле (1.9). Уравнение (1.37) называется характеристическим уравнением, а многочлен - характеристическим многочленом разностного уравнения (1.4).

Допустим, что у многочлена имеется корень , такой, что 1, или кратный корень , такой, что 1. Применим многошаговый метод (1.4) к решению задачи Коши

(1.38)

Формула (1.2) примет вид

(1.39)

В качестве начальных условий для (1.39) возьмем начальные значения

Тогда решением (1.39) будет сеточная функция

Если зафиксировать узел , то при h



При наличии кратного корня в качестве начальных условий для (1.39) возьмем следующие начальные условия:

Тогда решением уравнения (1.39) будет функция

.

При фиксированном узле имеем

В обоих случаях решение разностного уравнения не стремится при к решению дифференциального уравнения (1.38), которое тождественно равно нулю. Следовательно, метод (1.4) не является сходящимся.

Из сказанного выше можно сделать вывод, что не все методы (1.4), коэффициенты которых удовлетворяют условиям (1.5), пригодны для численного решения задачи Коши (1.3), (1-2). Среди методов (1.4) следует забраковать те, для которых характеристический многочлен (1.7) имеет корни, по модулю большие единицы, или кратные корни, по модулю равные единице.

В связи с этим формулу (1.4) называют устойчивой, если все корни характеристического многочлена (1.7) расположены в единичном круге на комплексной плоскости с центром в начале координат, а на границе круга нет кратных корней.

Теперь рассмотрим Сходимость многошаговых методов

Классификация погрешностей.

Обозначим решение разностного уравнения (1.4) с начальными условиями (1.6), совпадающими с точными значениями решения дифференциальной задачи (), (). Разность между решением исходной задачи Коши (). () и решением разностной задачи (1.4), (1.6)

(1.40)

называется погрешностью метода (1.4). В действительности вследствие ошибок округления, неточного вычисления правой части дифференциального уравнения и приближенного решения неявного разностного уравнения (1.4) вычисляется не функция, а другая сеточная функция, удовлетворяющая разностному уравнению

(1.41)

с некоторой невязкой Величина называется погрешностью округления.

Функция является решением разностного уравнения (1.41) с начальными условиями

которые приближенно находятся с помощью некоторой процедуры разгона. Разность между точным решением разностной задачи (1.4), (1.6) и решением возмущенной разностной задачи (1.40) и (1.41)



называется вычислительной погрешностью. Разность между точным решением дифференциальной задачи (1-1), (1-2) и решением возмущенной разностной задачи (1.40), (1.41)

(1.42)

называется полной погрешностью приближенного решения . Из (1.40), (1.41), и (1.42) следует, что полная погрешность равна сумме погрешности метода и вычислительной погрешности

Вычитая (1.40) из (1.11), получаем, что полная погрешность удовлетворяет разностному уравнению

(1.43)

где

Мажорантная оценка полной погрешности. Если разностное уравнение (1.4) устойчиво и правая часть дифференциального уравнения удовлетворяет сформулированным выше условиям, то при всех достаточно малых h, удовлетворяющих условий справедлива мажорантная оценка полной погрешности, сходная с оценкой (1.39) для одношаговых методов:

(1.43)

где - некоторые постоянные, зависящие от коэффициентов разностного уравнения (1.4) и дифференциального уравнения (1-1) и не зависящие от h. В частности, если погрешность на начальном участке

(1.44)

Погрешность округления

(1.45)

Формула (1.4) имеет степень s , т.е

(1.46)

То имеет место оценка

(1.47)

из которой следует сходимость приближенного решения к точному решению задачи Коши при .

Как и для одношаговых методов, полная погрешность состоит из трех частей: во-первых, из погрешности, обусловленной приближенным заданием начальных условий (эта погрешность не превосходит величины ); во-вторых, из глобальной погрешности метода, которая не превосходит величины ; в-третьих, из вычислительной погрешности, обусловленной ошибками округления и неточным решением неявного разностного уравнения (эта погрешность не превосходит).

Для многошаговых методов справедливы многие утверждения, сходные с утверждениями об одношаговых методах.

3 ЯВНЫЕ И НЕЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ МИЛНА

Имеем следующую формулу

(1.48)

для вывода первого уравнения Милна проинтегрируем уравнение (1.1) на отрезке

Если заменить подинтегральную функцию первым полиномом Ньютона , построенным по четырем узлам ,

Тогда после замены имеем

=

Получается следующее выражение:

(1.49)

имеющее четвертую степень. Локальная погрешность формулы (1.47)

Если положить = 5 (что означает интегрирование по отрезку интерполяционного многочлена построенного по шести узлам ,), то получается разностное уравнение

шестой степени. Погрешность формулы (1.51):

Заметим, что формулы (1.50), (1.51) характеризуются расположением ординат, симметричным относительно средней ординаты. Они называются формулами Милна.

Явные формулы можно представить в ординаторной форме:

Имеет 4 порядок,4 степень и локальную погрешность

Имеет 6 порядок,6 степень и локальную погрешность

Неявные формулы Милна. Класс разностных формул может быть получен интегрированием интерполяционного многочлена Ньютона по отрезку . Это приводит к неявным разностным формулам Милна

с коэффициентами

(1.52)

Локальная погрешность формулы Милна

n заключено между и .

Выражая разности через значения функции с помощью (1.52), получим неявные формулы Милна.

Имеет 4 порядок,4 степень и локальную погрешность

Схема «3 / 8»

Имеет 3 порядок,4 степень и локальную погрешность

Имеет 4 порядок,6 степень и локальную погрешность

Имеет 5 порядок,6 степень и локальную погрешность

4 РЕАЛИЗАЦИЯ НЕЯВНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Рассмотрим нахождение численного решения задачи с помощью неявных многошаговых методов. Отыскание решения разностного уравнения сводится к решению алгебраического или трансцендентного уравнения. Часто это уравнение решается методом итераций. Обратимся к общей разностной формуле. Обозначим начальное приближение к искомому решению . Тогда итерационный процесс вычисления может быть представлен в виде

Итерационный процесс (1.52), (1.54) сходится к решению уравнения если



где L - константа Липшица функции .

Обсудим вопрос о выборе начального приближения для итерационного процесса (1.53) и о количестве выполняемых итераций. Начальное приближение может быть выбрано различными способами. Например, можно положить. В качестве начального приближения можно взять значение, полученное по явной разностной формуле. В таком случае явная формула называется предсказывающей (или предиктором), неявная формула - исправляющей (или корректором), а весь комбинированный процесс называется предсказывающее исправляющим методом, или методом прогноза и коррекции (или методом предиктор-корректор).

Количество итераций , которое необходимо выполнить, зависит от величины шага интегрирования, степеней явной и неявной формул и требуемой точности решения неявного уравнения. Если степень предсказывающей формулы меньше степени исправляющей формулы, то каждая вновь выполняемая итерация (1.54) или (1.55) увеличивает порядок точности очередного приближения на единицу до тех пор, пока не будет достигнут порядок исправляющей формулы.

Для того чтобы точность приближенного решения определялась степенью неявной формулы, число итераций должно быть не меньше разности степеней неявной и явной формул. Если Р обозначить вычисление с помощью предсказывающей формулы начального приближения , Е - вычисление значения правой части дифференциального уравнения С - уточнение полученного приближения с помощью исправляющей формулы, то методы прогноза и коррекции можно представить в символическом виде РЕС, если исправляющая формула применяется один раз, или , если исправляющая формула применяется более одного раза. Если полученное после итераций приближение к решению использовать для вычисления значения правой частипри отыскании решения в следующем узле, то методы прогноза и коррекции принимают следующий вид: РЕСЕ или .

5 ПРАКТИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ

Из выражения (1.16) для невязки (1.11) разностной формулы (1.4) s-й степени на решении дифференциального уравнения () вытекает следующая асимптотическая оценка локальной погрешности метода

(1.56)

Здесь - точное решение дифференциального уравнения (), удовлетворяющее условию - известная постоянная, точное решение разностного уравнения

(1.57)

Заметим, что если

то решение уравнения

(1.58)

имеет оценку того же порядка, что и решение :

.

Если

(1.59)

то решение уравнения (1.58) имеет такую же оценку (1.57), что и решение :

(1.60)

Рассмотрим способ оценки локальной погрешности метода прогноза и коррекции в предположении, что степени предсказывающей и исправляющей формул вида (1.4) равны. Локальные погрешности этих формул можно представить согласно (1.59) в виде

(1.61)

(1.62)

Погрешность приближенного решения полученного в результате уточнения предсказанного значения имеет тот же главный член, что и в (1.62). Поэтому

()

Решая систему двух уравнений (1.62), (1.63) относительно. Отсюда следуют апостериорные асимптотические оценки для локальных погрешностей предсказанного значения и исправленного значения

(1.64)

(1.65)

Оценка (1.65) может быть использована для уточнения полученного приближенного решения

(1.66)

При этом локальная погрешность составляет

Из (1.66) следует, что оценки (1.64), (1.65) остаются в силе, если для вычисления и использовать не точные значения решения , i=0, 1, ... , , а приближенные значения, удовлетворяющие условию (1.61). Практическое значение этого замечания состоит в том, что при интегрировании дифференциального уравнения с помощью рассматриваемого метода прогноза и коррекции использование оценок (1.64), (1.65) обоснованно только тогда, когда производится уточнение найденного решения по формуле (1.66).

6 АВТОМАТИЧЕСКИЙ ВЫБОР ШАГА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Как и для одношаговых методов, вопрос о выборе величины шага интегрирования для многошаговых методов имеет существенное значение, так как от него зависит не только точность вычисления решения, но и общий объем вычислительной работы, а значит, и машинное время, необходимое для решения задачи. Имея оценки для локальной погрешности, можно организовать для многошаговых методов автоматический выбор шага интегрирования, руководствуясь теми же соображениями, что и для одношаговых методов. Однако использование конечно-разностных схем вносит свою особенность в этот процесс. Рассмотрим его.

Удвоение и деление шага пополам.

Пусть интегрирование ведется с использованием конечно-разностной формулы (1.4). Допустим, что после оценки погрешности принято решение об изменении величины шага интегрирования. Рассмотрим сначала случай удвоения шага. Для того чтобы продолжить счет по той же формуле (1.4), но с удвоенным шагом, необходимо помнить значения решения и правой части в дополнительных точках.

Рассмотрим случай деления шага пополам. Для того чтобы продолжить счет по той же формуле (1.4), но с половинным шагом, необходимо заново вычислить значения решения и правой части в дополнительных точках. Эти дополнительные точки расположены посередине между узлами сетки. Дополнительные значения могут быть вычислены с помощью интерполяционных или конечно-разностных формул. Чтобы точность вновь вычисляемых значений решения соответствовала степени разностной формулы (1.4) численного интегрирования, можно привлекать для их вычисления кроме значений решения в узловых точках значения правых частей. Это может быть сделано с помощью интерполяционного полинома Эрмита. Проиллюстрируем эту идею на примере метода Милна четвертого порядка точности.

Пусть интегрирование выполнено до точки х = . Если принято решение о делении шага пополам, то для того чтобы продолжить счет по формулам (1.49), (1.51) с половинным шагом, необходимо иметь значения решения в промежуточных точках

Эти значения могут быть найдены с помощью интерполяционного многочлена Эрмита пятой степени, построенного по значениям решения, и производной

Построить многочлен Эрмита можно, записав его в виде

где - интерполяционный многочлен Лагранжа

Многочлен второй степени определим из условия совпадения производных многочлена Эрмита и решения дифференциального уравнения в узлах ,сетки:

Условия (150) дают

Следовательно,

 (1.69)

Подставляя (1.69) в (1.67), получаем следующее выражение для многочлен Эрмита:

(1.70)

Полагая в (1.70) имеем интерполяционные формулы

которые имеют остаточный член O. Таким образом, вновь вычисленные значения не изменяют главного члена локальной погрешности.

Располагая узлами

и значениями решения в них

можем продолжить интегрирование по формулам (1.49), (1.51) с шагом для нахождения решения в узлах

, i > 0.

Переход к произвольному шагу.

Переход к произвольному шагу может быть осуществлен тем же способом, что и к половинному шагу, а именно с помощью интерполяционного полинома Эрмита (1.70). Пусть

(1.71)

- новая длина шага интегрирования. Обозначим новые узлы

1.72)

Решение в этих узлах найдем по интерполяционной формуле Эрмита

Теперь можем продолжить интегрирование по формулам (1.49), (1.50) с шагом для нахождения решения в узлах

Таким образом, при переходе к новому шагу интегрирования (1.72) используется та же конечно-разностная схема, но с другим фронтом.

Размещено на Allbest.ru

...