Размещено на http://www.allbest.ru/

Задачи по геометрии с решениями. Окружность

Выполнила Шепелева Полина

ученица 9 «А».

Задача 1

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AD, BE, CF. Найти BC, если известно, что AC = 1, а вершина A лежит на окружности, проходящей через точки D, E, F.

Решение

Так как вписанный четырехугольник AFDE симметричен относительно прямой AD, то диаметром описанной около него окружности является отрезок AD, а прямая BC -- касательной к этой окружности, проведенной в точке D.

Пусть AE = x, тогда EC = 1 - x, BD = DC = y. Применим к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника:

Так как произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату длины касательной, проведенной к окружности из той же точки, имеем:

CA•CE = CD2

1 - x = y2.

Следовательно,

Значит,

Ответ:

Задача 2

В окружность вписан треугольник со сторонами 7, 24 и 25. Вычислить площадь кругового сегмента, стянутого хордой длины 7.

Решение

Пусть в данном треугольнике ABC AB = 24, BC = 7, AC = 25. Так как верно равенство 72 + 242 = 252, то треугольник ABC -- прямоугольный (угол B -- прямой), центр O окружности, описанной около этого треугольника, является серединой гипотенузы AC, а радиус этой окружности равен 12,5. Пусть BAC = ?. Из треугольника ABC получаем, что

Значит,

Тогда BOC = 2?, и площадь сегмента окружности, стянутого хордой BC, равна

Ответ:

Задача 3

В равнобедренном треугольнике ABC угол между равными сторонами AB и AC равен Из вершин треугольника ABC на его стороны опущены высоты AA1, BB1, CC1. Через точки A, B1 и C1 проведена окружность O, а через точки B, A1 и C1 -- окружность O1. Найти отношение площади круга O к площади общей части кругов O и O1.

Решение

Пусть H -- точка пересечения высот треугольника ABC, Q и Q1 -- центры окружностей O и O1 соответственно, R и R1 -- их радиусы. Рассмотрим четырехугольник AC1HB1. Так как его противолежащие углы AC1H и AB1H равны то окружность O является описанной около этого четырехугольника, а ее центр Q есть середина отрезка AH. Аналогично, окружность O1 описана около четырехугольника BA1HC1, а ее центр Q1 есть середина отрезка BH. Пусть R = 1, тогда

Так как угол AB1B -- прямой, то угол ABB1 равен и

Общая часть кругов O и O1 есть объединение двух непересекающихся сегментов круга O и круга O1. Вычислим отдельно площадь каждого из этих сегментов. Дуга C1H сегмента круга O имеет угловую величину

поэтому площадь этого сегмента равна

Дуга C1H сегмента круга O1 имеет угловую величину

поэтому площадь этого сегмента равна

Искомое отношение равно

Ответ:

Задача 4

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 3 и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся стороны BC. Найти длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

Решение

Пусть D, E, F -- соответственно середины сторон AB, AC и BC треугольника ABC, O -- центр данной окружности, G -- точка касания окружности с отрезком BC. Так как центр окружности, проходящей через точки D и E, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DE, который является также серединным перпендикуляром к отрезку BF, то BG = GF = 1, а GC = 3. Пусть H -- вторая точка гипотенузы AC, лежащая на окружности. Применив теорему Пифагора к треугольнику ABC, найдем длину гипотенузы AC:

Так как произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату длины касательной, проведенной к окружности из той же точки, имеем:

Ответ:

Задача 5

Вне прямого угла с вершиной C, на продолжении его биссектрисы взята точка O так, что С центром в точке O построена окружность радиуса 2. Найти площадь фигуры, ограниченной сторонами угла и дугой окружности, заключенной между ними.

Решение

Пусть K и M -- точки пересечения окружности со сторонами угла. Разобьем фигуру, площадь которой надо найти, на сегмент MK и треугольник CMK и найдем площади S1 и S2 этих частей. Сначала вычислим площадь сегмента. Рассмотрим треугольник OCK, в нем

Применим к этому треугольнику теорему синусов:

Следовательно,

Площадь сегмента MK равна

Вычислим теперь площадь треугольника CMK. Применив снова к треугольнику OCK теорему синусов, получим, что

Значит, площадь треугольника CMK равна

Следовательно, искомая площадь равна

Ответ:

Задача 6

В равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании ? вписана окружность. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся боковых сторон треугольника и вписанной в него окружности. Определить радиус второй окружности.

Решение

Обозначим через B вершину, а через AC -- основание данного треугольника. Пусть M и T1 -- точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB соответственно, O1 и r1 -- соответственно центр и радиус этой окружности.

Пусть также вторая окружность с центром O2 и радиусом r2 касается первой окружности в точке T, а стороны AB -- в точке T2. Так как треугольник ABC -- равнобедренный, то точки B, O2, T, O1 и M лежат на одной прямой, являющейся высотой этого треугольника. Радиус r1найдем из прямоугольного треугольника AO1M:

Найдем отношение r1: r2. Заметим, что треугольники BO1T1 и BO2T2 подобны, поэтому верно равенство

где Продолжая полученное равенство, получаем, что

Ответ:

Задача 7

На плоскости дан прямой угол. Окружность с центром, расположенным внутри этого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках A и B и пересекает биссектрису угла в точках C и D. Длина хорды AB равна длина хорды CD равна Найти радиус окружности.



Решение

Пусть Q -- вершина прямого угла, O -- центр данной окружности, OM и ON -- перпендикуляры, опущенные из точки O на прямые QC и QB соответственно. Обозначим через R радиус данной окружности, через K -- точку касания окружности со стороной угла, через L -- точку пересечения прямых KO и QC. Применим к треугольнику AON теорему Пифагора:

Из построения вытекает, что четырехугольник OKQN является прямоугольником, а треугольники KLQ и LMO -- прямоугольными и равнобедренными. Имеем:

Применив теперь к треугольнику DMO теорему Пифагора, получим

откуда R2 = 2 или Геометрический смысл имеет лишь значение

Ответ:

Задача 8

На отрезке AB длины 2R как на диаметре построена окружность. Вторая окружность такого же радиуса, что и первая, имеет центр в точке A. Третья окружность касается первой внутренним образом, второй -- внешним образом, а также касается отрезка AB. Найти радиус третьей окружности.

Решение

Обозначим через O и Q соответственно центры первой и третьей окружностей, через C -- точку касания первой и третьей окружностей, через D -- точку касания второй и третьей окружностей, а через K -- точку касания третьей окружности и отрезка AB. Пусть r -- радиус малой окружности.

Так как центры касающихся окружностей и точка их касания лежат на одной прямой, то

OQ = R - r, а AQ = R + r. Применим к треугольнику AKQ теорему Пифагора:

Применив теперь теорему Пифагора к треугольнику OQK, получим:

Ответ:

Задача 9

В плоском четырехугольнике ABCD длина стороны AB равна длина стороны AD равна 14, длина стороны CD равна 10. Известно, что угол DAB -- острый, причем синус его равен косинус угла ADC равен Окружность с центром в точке O касается сторон AD, AB и BC. Найти длину отрезка BO.

Решение. Опустим перпендикуляры BM и CN из точек B и C на прямую AD. Так как угол DAB острый, точка M лежит с той же стороны относительно точки A, что и D.

Из треугольника ABM находим:



поэтому точка M лежит между A и D. Из того же треугольника ABM можно найти

Аналогично, cos ADC < 0, поэтому угол ADC -- тупой. Следовательно, точка D лежит между точками A и N. Из треугольника CDN находим:

Отметим, что BM < CN. Опустим перпендикуляр BP из точки B на отрезок CN. Рассмотрим треугольник BCP, в нем

Применим к треугольнику BPC теорему Пифагора:

Применив теперь теорему косинусов к треугольнику ACD, получим



Применив теорему косинусов к треугольнику ABC, найдем угол ABC:

Пусть BAD = ?, ABC = ?. Рассмотрим треугольник ABO. Так как окружность касается сторон AD, AB, BC, то ее центр O находится в точке пересечения биссектрис углов BAD и ABC. Значит,

Для нахождения длины отрезка BO воспользуемся теоремой синусов:

Вычислим входящие в это выражение значения:

(косинус положителен, так как угол острый);

Тогда:

Ответ:

Задача 10

В треугольнике ABC известно, что ?BAC = ?, ?BCA = ?, AC = b. На стороне BC взята точка D так, что BD = 3DC. Через точки B и D проведена окружность, касающаяся стороны AC или ее продолжения за точку A. Найти радиус этой окружности.

Решение

Пусть K -- точка касания прямой AC с окружностью, CD = x, тогда BD = 3x. Произведение длины отрезка секущей на длину ее внешней части равно квадрату касательной, проведенной к окружности из той же точки, следовательно, верно равенство CK2 = CDжCB = 4x2, откуда

CK = 2x. Для нахождения x применим теорему синусов к треугольнику ABC:

Применим к треугольнику KDC теорему косинусов:

Рассмотрим треугольник BCK, в нем BC = 4x, KC = 2x, ?BCK = ?. Применив к этому треугольнику теорему косинусов, получим:

Треугольник BDK вписан в данную окружность. Поэтому искомый радиус -- это радиус описанной около треугольника BDK окружности. Найдем его по формуле

Площадь треугольника BDK вычислим по формуле Герона:

Следовательно,

Ответ:

Задача 11

окружность хорда дуга площадь

Составить уравнение окружности, проходящей через точку A (2; 1) и касающейся осей координат.

Решение

Пусть (a; 0) - координаты точки касания окружности с осью Ox. Тогда (см. рисунок) точка касания окружности с осью Oy имеет координаты (0; a), центр окружности имеет координаты (a; a) и радиус окружности равен a, поскольку окружность проходит через точку A(2; 1), у которой каждая координата больше нуля. Это означает, что окружность расположена в I квадранте, в котором a > 0.

Следовательно, уравнение окружности имеет вид (x - a)² + (y - a)² = a².

Так как окружность проходит через точку A(2; 1), то имеем (2 - a)² + (1 - a)² = a², откуда a = 1 или a = 5. Искомое уравнение окружности: (x - 1)² + (y - 1)² = 1 или (x - 5)² + (y - 5)² = 25.

Задача 12

Задача 13

Задача 14

Размещено на Allbest.ru

...