Пифагоровы тройки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пифагоровы тройки

Введение

Актуальность темы. Ценность теоремы Пифагора и пифагоровых троек доказана многими учёными мира на протяжении многих веков. Проблема, о которой пойдёт речь в моей работе выглядит довольно простой потому, что в основе её лежит математическое утверждение, которое всем известно, - теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

Благодаря этому пифагорову заклинанию, теорема запечатлелась в мозгу миллионов, если не миллиардов, людей.

Это - фундаментальная теорема, заучивать которую заставляют каждого школьника. Но, несмотря на то, что теорема Пифагора доступна пониманию десятилетних она является вдохновляющим началом проблемы, при решении которой потерпели фиаско величайшие умы в истории математики. Теорема Пифагора даёт нам соотношение, которое выполняется для всех прямоугольных треугольников и, следовательно, определяет прямой угол. В свою очередь, прямой угол определяет перпендикуляр, т.е. отношение вертикали к горизонтали, а, в конечном счете, - отношение между тремя измерениями нашего мира. Математика - через прямой угол - определяет самую структуру пространства, в котором мы живём. Это очень глубокая мысль.

Существует легенда, согласно которой Пифагор в честь какого-то из своих открытий принёс в жертву не то быка, не то сто быков. Витрувий утверждает, что столь важным Пифагору показалось открытие двух квадратов, сумма которых равна третьему квадрату.

Теперь тройки натуральных чисел x, y, z, для которых x² + y² = z², принято называть пифагоровыми тройками. Оказывается, пифагоровы тройки знали уже в Вавилоне. Постепенно нашли их и греческие математики.

Цель данной работы - анализ теоремы Пифагора и пифагоровых троек.

В соответствии с целью работы поставлен ряд следующих задач:

1. Показать уникальность открытия Пифагора.

2. Анализ универсальных свойств пифагоровых троек.

3. Анализ практического применения открытия Пифагора.

1. Биография Пифагора

Пифагор Самосский - древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.

Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом».

Основными источниками по жизни и учению Пифагора являются сочинения философа-неоплатоника Ямвлиха (242-306 гг.) «О Пифагоровой жизни»; Порфирия (234-305 гг.) «Жизнь Пифагора»; Диогена Лаэртского (200-250 гг.) кн. 8, «Пифагор». Эти авторы опирались на сочинения более ранних авторов, из которых следует отметить ученика Аристотеля Аристоксена (370-300 гг. до н.э.) родом из Тарента, где сильны были позиции пифагорейцев.

Таким образом, самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных.

Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с Самоса. Мнесарх был камнерезом (Диоген Лаэртский); по словам же Порфирия он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Первая версия предпочтительнее, так как Павсаний приводит генеалогию Пифагора по мужской линии от Гиппаса из пелопоннесского Флиунта, бежавшего на Самос и ставшего прадедом Пифагора. Партенида, позднее переименованная мужем в Пифаиду, происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе.

Рождение ребёнка будто бы предсказала Пифия в Дельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит «тот, о ком объявила Пифия». В частности, Пифия сообщила Мнесарху, что Пифагор принесет столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесет в будущем никто другой. Поэтому, на радостях, Мнесарх дал жене новое имя Пифаида и дал имя ребенку Пифагор. Пифаида сопровождала мужа в его поездках, и Пифагор родился в Сидоне Финикийском (по Ямвлиху) примерно в 570 до н.э.

По словам античных авторов, Пифагор встретился чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, греками, персами, халдеями, египтянами, впитал в себя всё накопленное человечеством знание. В популярной литературе иногда приписывают Пифагору Олимпийскую победу в боксе, путая Пифагора-философа с его тёзкой (Пифагором, сыном Кратета с Самоса), который одержал свою победу на 48-х Играх за 18 лет до рождения знаменитого философа.

В юном возрасте Пифагор отправился в Египет, чтобы набраться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Диоген и Порфирий пишут, что самосский тиран Поликрат снабдил Пифагора рекомендательным письмом к фараону Амасису, благодаря чему он был допущен к обучению и посвящён в таинства, запретные для прочих чужеземцев.

Ямвлих пишет, что Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов в разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 до н.э. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.

По Порфирию, Пифагор покинул Самос из-за несогласия с тиранической властью Поликрата в 40-летнем возрасте. Так как эти сведения основываются на словах Аристоксена, источника IV века до н.э., то считаются относительно достоверными. Поликрат пришёл к власти в 535 до н.э., отсюда дата рождения Пифагора оценивается в 570 до н.э., если допустить, что он уехал в Италию в 530 до н.э. Ямвлих сообщает, что Пифагор переехал в Италию в 62-ю Олимпиаду, то есть в 532-529 гг. до н.э. Эти сведения хорошо согласуются с Порфирием, но полностью противоречат легенде самого Ямвлиха (вернее, одного из его источников) о вавилонском пленении Пифагора. Точно неизвестно, посещал ли Пифагор Египет, Вавилон или Финикию, где набрался по легендам восточной мудрости. Диоген Лаэртский цитирует Аристоксена, который говорил, что учение своё, по крайней мере что касается наставлений по образу жизни, Пифагор воспринял от жрицы Фемистоклеи Дельфийской, то есть в местах не столь отдалённых для греков.

Разногласия с тираном Поликратом вряд ли могли послужить причиной отъезда Пифагора, скорее ему требовалось возможность проповедовать свои идеи и, более того, претворять своё учение в жизнь, что затруднительно осуществить в Ионии и материковой Элладе, где жило много искушённых в вопросах философии и политики людей.

Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей. Их привлекала не только мистическая философия, которую он убедительно излагал, но и предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и строгой морали. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, и которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, как дети родителям, а в остальном сознательно, подчиняясь нравственному авторитету. Ученики Пифагора образовали своего рода религиозный орден, или братство посвящённых, состоящий из касты отобранных единомышленников, буквально обожествляющих своего учителя и основателя. Этот орден фактически пришёл в Кротоне к власти, однако из-за антипифагорейских настроений в конце VI в. до н.э. Пифагору пришлось удалиться в другую греческую колонию Метапонт, где он и умер. Почти 450 лет спустя во времена Цицерона (I в. до н.э.) в Метапонте как одну из достопримечательностей показывали склеп Пифагора.

У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь.

По Ямвлиху, Пифагор возглавлял своё тайное общество тридцать девять лет, тогда приблизительная дата смерти Пифагора может быть отнесена к 491 до н.э., к началу эпохи греко-персидских войн. Диоген, ссылаясь на Гераклида (IV в. до н.э.), говорит, что Пифагор мирно скончался в возрасте 80 лет, или же в 90 лет (по неназванным другим источникам). Из этого следует дата смерти 490 до н.э. (или 480 до н.э., что маловероятно). Евсевий Кесарийский в своей хронографии обозначил 497 до н.э. как год смерти Пифагора.

2. Теорема Пифагора

Теорема Пифагора - теорема геометрии, приписываемая Пифагору: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Простейшее доказательство

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два.

Теорема доказана.

Доказательства методом разложения

Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: «Смотри!», как это делалось в сочинениях древних индусских математиков. Следует, однако, заметить, что на самом деле доказательство нельзя считать полным, пока мы не доказали равенства всех соответствующих друг другу частей. Это почти всегда довольно не трудно сделать, однако может (особенно при большом количестве частей) потребовать довольно продолжительной работы.

Доказательство Эпштейна

Начнем с доказательства Эпштейна (рис. 1); его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF.

Разложение на треугольники можно сделать и более наглядным, чем на рисунке.

Доказательство Нильсена

На рисунке вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена.

Доказательство Бетхера

На рисунке дано весьма наглядное разложение Бетхера.



Доказательство Перигаля

В учебниках нередко встречается разложение указанное на рисунке (так называемое «колесо с лопастями»; это доказательство нашел Перигаль). Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.

пифагор теорема математик доказательство

Доказательство Гутхейля

Изображенное на рисунке разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника.

Доказательство 9 века н.э.

Ранее были представлены только такие доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты, построенные на катетах, с другой, складывались из равных частей. Такие доказательства называются доказательствами при помощи сложения («аддитивными доказательствами») или, чаще, доказательствами методом разложения. До сих пор мы исходили из обычного расположения квадратов, построенных на соответствующих сторонах треугольника, т.е. вне треугольника. Однако во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов.

На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н.э., индусы называли «стулом невесты». Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.



Доказательство первое

Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем.

От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом - квадрат, построенный на гипотенузе. Ведь если в равенствах

В-А=С и В₁-А₁=С₁

часть А равновелика части А₁, а часть В равновелика В₁, то части С и С₁ также равновелики.

Поясним этот метод на примере. На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.

Другое доказательство методом вычитания

Познакомимся с другим доказательством методом вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:

1. треугольники 1, 2, 3, 4;

2. прямоугольник 5;

3. прямоугольник 6 и квадрат 8;

4. прямоугольник 7 и квадрат 9;

Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Этими частями будут:

1. прямоугольники 6 и 7;

2. прямоугольник 5;

3. прямоугольник 1 (заштрихован);

4. прямоугольник 2 (заштрихован);

Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что:

1. прямоугольник 5 равновелик самому себе;

2. четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;

3. прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);

4. прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2 (заштрихован);

Доказательство закончено.

Другие доказательства



Доказательство Евклида

Это доказательство было приведено Евклидом в его «Началах». По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги «Начал».

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:

FB = AB, BC = BD

РFBC = d + РABC = РABD

Но

S_ABD = 1/2 S BJLD,

так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично

S_FBC=1\2S _ABFH

(BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что

S_ABD=S_FBC,

имеем

S_BJLD=S_ABFH.

Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что

S_JCEL=S_ACKG.

Итак,

S_ABFH+S_ACKG= S_BJLD+S_JCEL= S_BCED,

что и требовалось доказать.

Упрощенное доказательство Евклида

Как в доказательствах методом разложения, так и при доказательстве евклидового типа можно исходить из любого расположения квадратов. Иногда при этом удается достигнуть упрощений.

Пусть квадрат, построенный на одном из катетов (на рисунке это квадрат, построенный на большем катете), расположен с той же стороны катета, что и сам треугольник. Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т.к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника (он заштрихован) - площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника

Доказательство Хоукинсa

Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого - трудно сказать.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

S_CAA'=bІ/2

S_CBB'=aІ/2

S_A'AB'B=(aІ+bІ)/2

Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому:

S_A'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c (DA+DB)/2=cІ/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

aІ+bІ=cІ

Теорема доказана.

Доказательство Вальдхейма

Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами.

Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.



Sтрапеции=(a+b)І/2

Sтрапеции=aІbІ+cІ/2

При равнивая правые части получим:

aІ+bІ=cІ

Теорема доказана.

Доказательство, основанное на теории подобия

В прямоугольном треугольника АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия (по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол a, треугольники CBD и АВС - общий угол b. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику. Впрочем, это можно установить и непосредственно.

Доказательство индийского математика Басхары изображено на рисунке. В пояснение к нему он написал только одну строчку: «Смотри!». Ученые считают, что он выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)І. Следовательно:

cІ=4ab/2+(a-b)І

c=2ab+aІ-2ab+bІ

cІ=aІ+bІ

Теорема доказана.

Векторное док-во

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b+c=a

откуда имеем

c = a - b

возводя обе части в квадрат, получим

cІ=aІ+bІ-2ab

Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда

cІ=aІ+bІ или cІ=aІ+bІ

Нами снова доказана теорема Пифагора.

Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.

Обратная теорема Пифагора:

Для всякой тройки положительных чисел x, y и z такой, что x² + y² = z², существует прямоугольный треугольник с катетами x, y и гипотенузой z.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Данный факт даже нашёл отражение в художественной литературе: в повести «Приключения Электроника» Евгения Велтистова главный герой на школьном уроке математики приводит у доски 25 различных доказательств теоремы Пифагора, повергнув в изумление учителя и всех одноклассников.

3. Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н.э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

Пифагоровы тройки - это тройки (x, y, z) натуральных чисел x, y, z, для которых выполняется равенство (*) x² + y² = z².

Например, (3, 4, 5) является пифагоровой тройкой. Геометрический смысл пифагоровых троек состоит в том, что они выражают стороны прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник, с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называется египетским треугольником. Площадь этого треугольника равна совершенному числу 6. Периметр равен 12 - числу, которое считалось символом счастья и достатка.

С помощью верёвки разделенной узлами на 12 равных частей древние египтяне строили прямоугольный треугольник и прямой угол. Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий. Необходимо взять шнур и три колышка, шнур располагают треугольником так, чтобы одна сторона состояла из 3 частей, вторая из 4 долей и последняя из пяти таких долей. Шнур расположится треугольником, в котором есть прямой угол.

Этот древний способ, по-видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора, прямоугольный.

Нахождением пифагоровых троек занимались Евклид, Пифагор, Диофант и многие другие.

Ясно, что если (x, y, z) - пифагорова тройка, то для любого натурального k тройка (kx, ky, kz) также будет пифагоровой тройкой. В частности, (6, 8, 10), (9, 12, 15) и т.д. являются пифагоровыми тройками.
По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются всё реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.

Тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются простейшими.

Рассмотрим некоторые свойства пифагоровых троек.

Свойство 1. Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно просты.

Действительно, если два из них, например x и y имеют простой общий делитель p, то из равенства (*) следует, что на p делится и третье число z. Это противоречит тому, что тройка - простейшая.

Следствие. В простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным.

Свойство 2. В простейшей пифагоровой тройке числа x и y не могут быть одновременно нечётными.

Пифагор нашёл формулы, которые в современной символике могут быть записаны так: a=2n+1, b=2n (n+1), c=2 n² +2n+1, где n - целое число.

Эти числа - пифагоровы тройки.

Пифагоровы числа обладают рядом любопытных особенностей:

· Один из катетов должен быть кратен трём.

· Один из катетов должен быть кратен четырём.

· Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

По-видимому, вавиловяне знали, как вычислить пифагоровы числа, но как они к этому пришли - неизвестно. Как позднее это делали древние греки - известно. По существу, их доказательство в модернизированном виде воспроизводится во многих книгах.

На одной из страниц второй книги своего произведения «Арифметика» Диофант решает следующую задачу: «Найти два квадрата, сумма которых тоже является квадратом». Задача сводится к решению в целых числах неопределённого уравнения:

x²+y² = z²

Это уравнение называют «пифагоровым», так как выражает известное из «теорем Пифагора» метрическое соотношение, связывающее стороны прямоугольного треугольника, имеет бесконечное множество решений, например: 3, 4, 5; 5, 12, 13 и т.д. Все такие тройки чисел x, y, z, удовлетворяющие уравнение (1), называются «пифагоровыми» числами. Чтобы найти их, можно воспользоваться следующими формулами:

x=mІ-n²

y=2mn

z=mІ+n²

где m и n - целые, произвольно взятые числа, причём m>n.

Применяя указанные формулы, легко найти все решения уравнения (1) в натуральных и взаимно простых числах, если для значений m и n взять взаимно простые натуральные числа. Например:

Возьмём два натуральных числа m=9 и n=7, где m>n.

Решим уравнение, по формуле:

x=mІ-n²

y=2 x m x n

z=mІ+n²

x=9²-7²=81-49=32

y=2 x 9 x 7= 126

z=81+49=130

пифагор теорема математик доказательство

Исходя из формулы x²+y² = z^2, решим уравнение:

32² x 126² = 130²

1024+15876=16900

16900=16900

Давайте исследуем обратную задачу. Допустим надо построить прямоугольный треугольник с катетом 20, решим уравнение:

y=20

20=2 x m x n

m x n=10, тогда

m=5 n=2

Используем формулы:

x=mІ-n²

y=2mn

z=mІ+n²

так как, нам известно значение y, найдём значение x, z:

x=5² - 2², т.е.

x=25-4=21

z=5²+2², т.е.

z=25+4=29

Проверим будет ли этот прямоугольный треугольник являться Пифагоровыми тройками. Исходя из формулы x²+y² = z² найдём:

21²+20²=29²

441+400=841

841=841

Значит прямоугольный треугольник со значениями x, y, z, будет являться пифагоровыми тройками.

Эти уравнения связанны с Великой теоремой Ферма xⁿ + yⁿ = zⁿ,

Которое не имеет целых решений для n>2

В настоящее время установлено, что «Большая теорема Ферма» верна для всех n<10000.

16 лет назад английский математик Эндрю Уайлс доказал Великую теорему Ферма. В прошлом двадцатом веке случилось событие, равного по масштабу которого в математике не было за всю ее историю. 19-го сентября 1994 года была доказана теорема, сформулированная Пьером де Ферма (1601-1665) более 350-ти лет назад в 1637 году. Она известна также как «последняя теорема Ферма» или как «большая теорема Ферма», поскольку есть еще так называемая «малая теорема Ферма». Ее доказал 41-летний, до этого момента в математическом сообществе ничем особо непримечательный, и по математическим меркам уже немолодой, профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс.

Заключение.

Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» - греческое, в переводе означает «землемерие».

Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Уже за 3-4 тыс. лет до н.э. каждый клочок плодородной земли в долинах Нила, Ефрата и Тигра, рек Китая имел значение для жизни людей. Это требовало определённого запаса геометрических и арифметических знаний.

Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.

И в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло производиться только на основе предварительных расчётов. Также строились водопроводы. Всё это требовало чертежей и расчётов. К этому времени были хорошо известны частные случаи теоремы Пифагора, уже знали, что если взять треугольники со сторонами x, y, z, где x, y, z - такие целые числа, что x² + y² = z², то эти треугольники будут прямоугольными.

Все эти знания непосредственным образом применялись во многих сферах жизнедеятельности человека.

Так до сих пор великое открытие учёного и философа древности Пифагора находит прямое применение в нашей жизни.

Пифагоровы тройки находят прямое применение в проектировании множества вещей, окружающих нас в повседневной жизни.

А умы учёных продолжают искать новые варианты доказательств теоремы Пифагора.

Литература

1. Аносов Д.В. Взгляд на математику и нечто из неё. - М.: МЦНМО, 2003.

2. Детская энциклопедия. - М.: Издательство Академии Педагогических Наук РСФСР, 1959.

3. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. - М.: Наука, 1991.

4. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. - М.: Прометей, 2001.

5. В. Серпинский Пифагоровы треугольники. - М.: Учпедгиз, 1959. - 111 с.

Размещено на Allbest.ru

...