10-я проблема Гильберта

Размещено на http://www.allbest.ru/

10-я проблема Гильберта: история математического открытия (Диофант, Ферма, Гильберт, Джулия Робинзон, Николай Воробьев, Юрий Матиясевич)

Проблемы Гильберта

гильберт математический диофантовый уравнение

Летом 1900 г. математики собрались на свой второй Международный конгресс в Париже. Знаменитый немецкий математик, профессор Геттингенского университета Давид Гильберт (1862-1943) был приглашен сделать один из основных докладов. Крупнейший математик мира, он прославился своими работами по алгебре и теории чисел, а незадолго перед конгрессом решительно перестроил аксиоматику евклидовой геометрии в своем фундаментальном сочинении "Основания геометрии" (1899 г.). После долгих колебаний Гильберт выбрал необычную форму доклада. В своем докладе "Математические проблемы" он решил сформулировать те проблемы, которые, по его мнению, должны определять развитие математики в наступающем веке.

Обращение Гильберта к Международному Математическому Конгрессу, состоявшемуся в 1900 г. в Париже, является, возможно, наиболее значительной лекцией, прочитанной математиком для математиков и посвященной проблемам математики. В своей лекции Гильберт изложил 23 главные математические проблемы, которые должны быть решены в новом столетии. Некоторые из них являются весьма широкими, такие, как аксиоматизация физики (6-я Проблема) и, возможно, никогда не смогут быть завершены полностью. Другие проблемы, такие, как 3-я Проблема, имели значительно более специальный характер и были быстро решены. Некоторые из них были решены в противовес ожидания Гильберта, например, "континуум-гипотеза" (1-я Проблема).

Лекция Гильберта была больше, чем простое собрание математических проблем. Она отражала его философию математики и предлагала проблемы, важные с точки зрения его философии. И хотя прошло более столетия, лекция Гильберта является такой же важной и может быть прочитана с большим интересом каждым, кто интересуется математическими исследованиями.

Давид Гильберт (1862 - 1943)

В нашем Музее мы не будем анализировать детально все 23 проблемы Гильберта. Мы остановимся только на одной из них, 10-й Проблеме Гильберта. Ее блестящее решение было сделано недавно (1970 г.) русским математиком Юрием Матиясевичем. Почему мы выбрали именно эту проблему Гильберта? Во-первых, потому, что эта проблема уже решена, а во-вторых, потому что в ее решении существенную роль сыграли числа Фибоначчи, являющиеся предметом настоящего Музея.

Диофантовы уравнения

Как известно, 10-я проблема Гильберта называется "Задачей о разрешении диофантовых уравнений" и для того, чтобы объяснить суть этой проблемы, мы должны возвратиться на 17 веков назад к античному математику Диофанту. Мы очень мало знаем о Диофанте, который считается последним великим математиком античности. Его творчество сыграло столь значительную роль в истории алгебры, что многие историки математики приложили немало усилий, чтобы определить срок его жизни. Предполагается, что он жил в середине 3-го столетия н.э. и прожил 84 года. Его творчество сыграло настолько большую роль в истории алгебры, что многие историки математики потратили немало усилий, чтобы определить время его жизни. Основным произведением Диофанта была "Арифметика". Именно это фундаментальное математическое сочинение, состоящее из 13 книг, явилось поворотным пунктом в развитии алгебры и теории чисел. Именно в этой книге произошел окончательный отказ от так называемой "геометрической алгебры" (когда решение алгебраической задачи сводилось к геометрическому построению с помощью циркуля и линейки) и переход к новому математическому языку, так называемой "буквенной алгебре".

Уже в 5-м веке до н.э. в греческой математике появились задачи, которые не могли быть решены средствами классической геометрической алгебры. Обычно при этом упоминают три знаменитые математические задачи древности: задача удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга. Впоследствии к этим задачам была присоединена и четвертая: узнать, какие многоугольники с простым числом сторон могут быть построены циркулем и линейкой?

Как известно, одной из важнейших задач алгебры всегда было решение алгебраических уравнений, к которым сводятся многие задачи математики. Решения уравнений первой и второй степени "в радикалах" не представляли особых трудностей для математиков (по крайней мере, любой школьник знает общую формулу для вычисления корней алгебраического уравнения второй степени), решение уравнений третьей степени оказалось более сложным и общая формула для вычисления корней такого уравнения была найдена только в 16-м веке итальянскими математиками Ферро и Тарталья. Одной из самых важных задач теории алгебраических уравнений в 17-18-м веках стало отыскание формулы для решения уравнений 5-й степени. Эти исследования были завершены работами французского математика Эвариста Галуа и привели к созданию новой алгебры.

Что же нового в развитие этой области внес Диофант и почему его имя до сих пор не сходит со страниц математических учебников? Проблема нахождения решений алгебраических уравнений в области целых чисел хорошо известна с момента возникновения математики. Некоторые из таких алгебраических уравнений вообще не имеют решений. Например, уравнение 2x - 2y = 1 не может быть решено в области целых чисел, так как левая часть уравнения всегда является четным числом. Некоторые другие уравнения имеют конечное число решений. Например, уравнение 3x = 6 имеет единственное решение x=2. И наконец, некоторые уравнения имеют бесконечное множество решений. В качестве примера найдем решения алгебраического уравнения 7x - 17y = 1:

x = (17y + 1)/7 = 2y + (3y + 1)/7.

Число (3y + 1)/7 должно быть целым, обозначим его через z. Тогда 3y + 1 = 7z и x = 2y + z. Таким образом, мы пришли к уравнению 3y - 7z = -1, имеющему меньшие коэффициенты по сравнению с исходным. Теперь применим "метод уменьшения коэффициентов" еще раз:

y = (7z - 1)/3 = 2z + (z - 1)/3.

Число (z - 1)/3 должно быть целым, обозначим его через t. Тогда мы имеем:

z = 3t + 1, и y = 2z + t = 7t + 2, x = 2y + z = 2(7t + 2) + 3t + 1 = 17t + 5.

Если теперь принять t = 0, 1, -1, 2, -2, ..., мы получим бесконечное множество решений уравнения 7x - 17y = 1 (более того, мы получаем таким путем все решения этого уравнения):

x = 5, y = 2; x = 22, y = 9; x = -12, y = -5; x = 39, y = 16; ... .

В общем рассмотренное выше "алгебраическое уравнение в области целых чисел" может обозначено как P = 0, где P является полиномом с целыми коэффициентами и одним, двумя, тремя и более переменными ("неизвестными"). Например, 7x2 - 5xy - 3y2 + 2x + 4y - 11 = 0, или x3 + y3 = z3. Проблема состоит в следующем: дано алгебраическое уравнение P(x, y, ...) = 0, как определить - имеет ли оно решения в области целых чисел, и если имеет, то как их найти наиболее эффективно? Такие уравнения называются Диофантовыми уравнениями.

Размещено на Allbest.ru