Кривые постоянной ширины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Государственное учреждение образования «Синявская государственная общеобразовательная средняя школа Клецкого района»

секция МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

Кривые постоянной ширины

Выполнил:

Плескацевич Антон

Синявка

2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Кривые постоянной ширины

1.1 Понятие кривой постоянной ширины.

1.2 Треугольник Рело.

1.3 Симметричная кривая постоянной ширины с закругленными углами

1.4 Способы построения кривых постоянной ширины

1.5 Свойство кривых постоянной ширины

ГЛАВА 2. Тела постоянной ширины

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ КРИВЫХ ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ

2.1 Сверло Уаттса

2.2 Двигатель Ванкеля

2.3 Грейферный механизм

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение

Выбрать эту тему меня заставило любопытство. На уроках труда, вытачивая круглые отверстия, я задался вопросом какой инструмент используют для того, чтобы отверстие было квадратным. Сразу понял, что очень трудно даже представить такой инструмент. Я прочитал много литературы. Оказалось, что для сверления квадратных отверстий был изобретен в 1914 году английским инженером Джеймсом Уаттсом инструмент. «Мы все слыхали о гаечных ключах, приспособленных для гаек с левой резьбой, завязанных в узел водопроводных трубах и бананах из чугуна, - было написано в одной из рекламных листовок этой фирмы. - Мы считали подобные вещи смешными безделушками и отказывались даже верить, что они когда-нибудь встретятся нам в действительности. И вдруг появляется инструмент, позволяющий сверлить квадратные отверстия!»

В основе этого инструмента была использована кривая постоянной ширины.

Моя работа посвящена рассмотрению основных свойств фигур постоянной ширины, я доказываю, что из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

Объект исследования - кривые постоянной ширины.

Предмет исследования - возникновение, построение, использование кривых постоянной ширины.

Цель данной работы - познакомится с кривыми постоянной ширины научится их строить, рассмотреть области применения фигур постоянной ширины и изучить их свойства, найти площадь треугольника Рело , доказать, что из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

Для этого поставлены следующие задачи.

1. Проанализировать литературу по геометрии, аналитической геометрии, математическую энциклопедию

2. Познакомиться с историей изобретения;

3. Рассмотреть и изучить свойства фигур постоянной ширины;

4. Доказать, что из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь;

5. Выяснить области применения треугольника Рело.

Поставленные цели и задачи определяют структуру научной работы, которая состоит из введения, трёх глав, заключения, приложений и списка использованных источников.

ГЛАВА 1.Кривые постоянной ширины

1.1 ПОНЯТИЕ КРИВОЙ ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ.

Для перемещения огромных камней, плит, тяжелых предметов используют колесо ,или круглые брёвна одинакового диаметра, тяжелый предмет кладут на плоскую платформу, установленную на цилиндрических катках. Ни сама платформа, ни покоящийся на ней предмет при движении по ровной горизонтальной поверхности не испытывают вертикальных перемещений по той простой причине, что цилиндрические катки в сечении имеют форму круга, а круг --фигура постоянной ширины.(Приложение1.) Может показаться, круг является единственной выпуклой фигурой, у которой ширина в любом направлении одна и та же: она равна диаметру круга. Однако это не так: существует множество фигур постоянной ширины, т.е. таких выпуклых фигур, у которых во всех направлениях ширина одинакова. Что мы можем назвать шириной кривой? Если замкнутую кривую поместить между двумя параллельными прямыми, то расстояние между параллельными прямыми в момент касания кривой будет называться шириной данной кривой в направлении, перпендикулярном параллельным прямым. Именно потому, что окружность имеет одинаковую ширину по всем направлениям, ее можно вращать между двумя параллельными прямыми, не изменяя расстояния между ними.(Приложение 2.)

Определение - плоская выпуклая кривая для которой расстояние между любыми парами параллельных опорных прямых одинаково, называется кривой постоянной ширины, а это расстояние называется постоянной шириной кривой. Если кривая постоянной ширины ограничена двумя парами параллельных прямых и одна пара пересекается с другой под прямым углом, то кривая постоянной ширины с необходимостью должна быть вписана в квадрат.

1.2 Треугольник Рело

Простейшая кривая постоянной ширины, отличная от окружности, называется треугольником Рело в честь математика и инженера Франца Рело (1829--1905), преподававшего в Берлинской королевской высшей технической школе. Сама по себе эта кривая была известна математикам и до Рело, но именно он впервые доказал ее удивительное свойство -- постоянство ширины. Эта фигура обладает частью важнейших свойств круга. Построить треугольник Рело нетрудно. Прежде всего нужно начертить равносторонний треугольник ABC (рис.1,а), затем провести дугу окружности с центром в точке А, соединяющую вершины В и С, и проделать аналогичную операцию, выбрав центры окружностей в вершинах В и С. Полученный «искривленный треугольник» (как называл эту фигуру Рело), очевидно, обладает постоянной шириной, равной длине стороны прямолинейного треугольника ABC. (Приложение 3.)

Подобно окружности или любой другой кривой постоянной ширины, треугольник Рело может вращаться в квадрате, плотно прилегая к сторонам последнего, то есть все время касаясь всех четырех сторон квадрата (рис. 1,б). (Приложение3.)На этом наблюдении основан способ сверления почти квадратных отверстий.

При вращении треугольника Рело внутри квадрата каждая из вершин треугольника проходит почти весь периметр квадрата. Небольшие отклонения имеются лишь вблизи вершин квадрата: углы получаются слегка закругленными. Из всех кривых с заданной постоянной шириной треугольник Рело обладает наименьшей площадью. Если ширина треугольника Рело равна , то его площадь равна (р-). Углы при вершинах треугольника равны 120°. Это самые «острые» из углов, которые только могут быть у кривой постоянной ширины.

1.3Симетричная кривая постоянной ширины с закругленными углами

Углы при вершинах треугольника Рело можно закруглить, продолжив каждую из сторон исходного (прямолинейного) равностороннего треугольника на одно и то же расстояние в обе стороны (рис. 2). Проводя дугу окружности с центром в вершине А, нужно увеличить раствор циркуля и провести затем еще одну дугу окружности (на этот раз FG) также с центром в вершине А. То же нужно проделать и в вершинах В и С. Полученная кривая будет по всем направлениям иметь ширину, равную сумме радиусов дуг, описанных из каждой вершины, то есть будет кривой постоянной »ширины.

1.4 Способы построения кривых постоянной ширины

Другие симметричные кривые постоянной кривизны можно построить, взяв вместо равностороннего треугольника правильный пятиугольник (или вообще любой правильный многоугольник с нечетным числом сторон) и проделав над ним аналогичную процедуру. (Приложение 4.)

Существуют способы, позволяющие строить и несимметричные кривые постоянной кривизны. Один из них состоит в следующем. Возьмите звездчатый многоугольник неправильной формы (число вершин у такого многоугольника непременно будет нечетным), образованный отрезками прямых равной длины (на рис.3 показан звездчатый семиугольник). Поставив ножку циркуля в каждую вершину, проведите дугу окружности, соединяющую две противоположные вершины. Поскольку все дуги имеют одинаковый радиус, получившаяся кривая (на рис. 3 она показана жирной линией) будет кривой постоянной ширины. Ее углы можно закруглить, воспользовавшись для этого уже описанным ранее способом: продолжить стороны звездчатого многоугольника на одно и то ж стояние в обе стороны и соединить концы продолженных отрезков дугам окружностей с центрами в вершинах звезды. Кривая с закругленными вершинами, проведенная на рис. 3 тонкой линией, будет другой кривой постоянной ширины.

Еще один метод построения кривых постоянной ширины показан на рис.4, ведите любое число пересекающихся прямых, затем, ставя по очереди ножку циркуля во все точки пересечения, соединяйте каждый раз дугой окружности те две прямые, которые пересекаются в выбранной вами точке. Начать можно с любой точки, а затем продолжать вычерчивание кривой, сопрягая очередную дугу с предыдущей. Если вы провели все дуги достаточно аккуратно, кривая должна замкнуться, и вы получите еще одну разновидность кривых постоянной ширины. Все построенные нами до сих пор кривые постоянной ширины были образованы дугами окружностей лишь двух различных радиусов, но с тем же успехом можно было бы строить кривые постоянной ширины из дуг любого наперед заданного числа окружностей. Более того, кривая постоянной ширины может вообще не состоять из дуг окружности. В самом деле, возьмем квадрат и проведем произвольную кривую, соединяющую его верхнее основание с нижним и касающуюся левой стороны (кривая ABC на рис. 4 справа).

Эта кривая будет левой частью некоторой однозначно определенной кривой постоянной ширины. Чтобы построить недостающую правую часть, проведем множество прямых, каждая из которых параллельна одной из касательных к дуге ABC и отстоит от нее на расстояние, равное длине стороны квадрата. Построить такие прямые нетрудно, если воспользоваться обеими сторонами линейки (исходный квадрат следует выбирать таких размеров, чтобы его сторона была равна ширине линейки). Наложив линейку так, чтобы одна из ее сторон касалась дуги ЛВС, проведите прямую вдоль ее другой стороны. Проделайте эту операцию в как можно большем числе точек дуги ABC. Огибающая к проведенным прямым и будет недостающей правой частью кривой постоянной ширины. Этот способ позволяет строить неограниченное число «кривобоких» кривых постоянной ширины.

Необходимо заметить, что дуга ABC не вполне произвольна. Грубо говоря, ее кривизна ни в одной точке не должна быть меньше кривизны окружности, радиус которой равен стороне квадрата. Дуга ABC не может, например, включать в себя отрезок прямой.

1.5 Свойство кривых постоянной ширины

Расмотрим свойства кривых постоянной ширины. Я заметил,что диаметр фигуры постоянной ширины равен ее ширине: d=h. Через каждую граничную точку фигуры постоянной ширины d проходит хотя бы один диаметр этой фигуры (т.е. хорда, имеющая длину d). Границу фигуры постоянной ширины d нельзя разбить на две части меньшего диаметра.

Всякие два диаметра фигуры постоянной ширины всегда пересекаются (либо внутри фигуры, либо на ее границе, рис.5, 6). При этом, если два диаметра АВ и АС имеют общую граничную точку А, то дуга ВС радиуса d с центром в точке А целиком лежит на границе фигуры (рис.5).Одно из удивительных свойств состоит, в том, что все кривые одной и той же постоянной ширины имеют одинаковые периметры. Поскольку окружность принадлежит к числу кривых постоянной ширины, периметреё равен р d.Как доказать,что периметр любой кривой постоянной ширины есть величина р d.

Опытным путем математик Герман Минковский показал ,что все тени, отбрасываемые телами постоянной ширины (предполагается, что лучи солнца параллельны, а тень падает на плоскость, перпендикулярную лучам), имеют форму кривых постоянной ширины. Периметры всех теней, отбрасываемых телами одной и той же постоянной ширины, одинаковы (и равны рd, где d -- ширина тела).

Представим себе каток постоянной ширины d, который катится без проскальзывания между параллельными прямыми a и b. Будем считать прямую a неподвижной, а прямую b движущейся с постоянной скоростью v. Сделав один оборот, каток переместится на расстояние c, где c - длина кривой, которая ограничивает сечение катка, т.е. длина кривой постоянной ширины d. Время полного оборота катка обозначим буквой t. За это время прямая b переместится по отношению к катку также на расстояние c и, значит, по отношению к неподвижной прямой a - на расстояние 2c, поэтому 2c = vt. С другой стороны, в каждый момент времени движение катка можно рассматривать как вращение вокруг точки, в которой каток опирается на прямую a. Если угловая скорость вращения катка равна щ, то скорость v движения прямой b, равна щd. Итак, 2c = щdt. Но щt представляет собой угол, на который повернулся каток за время t, т.е. щt = 2. Таким образом,

2c = 2d, c = d.

Поскольку все кривые одинаковой постоянной ширины имеют один и тот же периметр, может показаться, будто и все тела одинаковой постоянной ширины имеют одну и ту же площадь поверхности. Однако такое утверждение не верно.

Найдем площадь треугольника Рело.(рис 1.)

, ;

;

+.

Площадь треугольника Рело равна

Докажем, что треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

Площадь круга равна

.

Оценим площадь круга и площадь треугольника Релло:

; >

Делаем вывад, что площадь круга больше площади треугольника Рело, а равносторонний, треугольник является многоугольником с наименьшим числом вершин (сторон). Значит, с увеличением числа вершин многоугольника площадь фигуры постоянной ширины, в которую вписан этот многоугольник, будет увеличиваться. Треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

Докажем, данное утверждение.

Пусть дан правильный многоугольник со стороной а. О -- центр вписанной и описанной окружности. ОА=ОD; ОНАD;АОD= (n-число сторон), т.к. треугольник равнобедренный, ОН -биссектриса угла АОD.(Рис 7.)

Следовательно,

АОН=НОD; АОН: АОН=; АН=, то .

.

Диаметром многоугольника является его наибольшая диагональ (в данном случае их две). Рассмотрим центральный угол АОВ и вписанный в окружность угол АМВ (рис. 8), то АОВ=2АМВ, АМВ=. AM=MB, то по теореме косинусов

, то

Площадь фигуры, в которую вписан правильный многоугольник состоит из площади многоугольника и суммы площадей равных сегментов. Площадь сегмента равна

(Sсегмента=Sсектора Sтреугольника АМВ).

кривая постоянный ширина сверло

Остается доказать, что это выражение будет всегда больше площади треугольника Рело, т.е. больше чем. Для этого вычтем из площади треугольника Рело площадь фигуры постоянного диаметра, в которую вписан правильный многоугольник и докажем, что эта разность при n>3 всегда будет отрицательной:

Итак, при любом n>3

Следовательно, разность площади треугольника Рело и площади фигуры постоянного диаметра, в которую вписан правильный многоугольник, отрицательна. Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

ГЛАВА 2. Тела постоянной ширины

Трехмерные аналоги кривых постоянной ширины называются телами постоянной ширины. Сфера - не единственное тело, которое может вращаться внутри куба, все время касаясь всех шести его граней. Этим же свойством обладают все тела постоянной ширины. Простейшим примером несферического тела постоянной ширины может служить тело, образующееся при вращении треугольника Рело вокруг одной из его осей симметрии, изображенное на рис.9а .

Существует бесконечно много и других тел постоянной ширины. Те из них, которые имеют наименьший объем при данной ширины, получаются из правильного тетраэдра, так же как треугольник Рело - из равностороннего треугольника: сначала на каждую грань помещают сферические шапочки, а затем слегка скругляют ребра. Ребра либо исходят из одной вершины, либо образуют треугольник. Примером такого искривленного тетраэдра постоянной ширины может служить тело, изображенное на рис. 9б .

Выпуклая фигура, которая может вращаться внутри многоугольника или многогранника, касаясь все время всех его сторон, называется ротором. Мы видели, что треугольник Рело является ротором минимальной площади для квадрата. Ротор минимальной площади для равностороннего треугольника показан на рис.10 слева.

Это -- фигура в форме линзы (разумеется, ее контур не является кривой постоянной ширины), образованная дугами двух окружностей, радиус которых равен высоте треугольника (каждая дуга составляет 60°). Важно заметить, что концы ротора при вращении описывают весь периметр треугольника, не закругляя углов.

Доказано, что в трехмерном пространстве существуют несферические роторы для правильного тетраэдра, октаэдра и куба, но не для додекаэдра и икосаэдра. Относительно роторов в пространствах большего числа измерений почти ничего не известно.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ КРИВЫХ ПОСТОЯННОЙ ШИРИНЫ

3.1 Сверло Уаттса

Свойства треугольника Рело, которые выявил Франц Рело, а потом и другие ученые, широко используются в различных областях техники.

Треугольник Рело находит применение во многих механических устройствах, но ни в одном из них не используются его замечательные свойства кривой постоянной ширины. Лишь в 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрел инструмент, имевший в сечении форму треугольника Рело, для сверления квадратных отверстий. С 1916 года одна из фирм приступила к производству сверл Уаттса. «Мы все слыхали о гаечных ключах, приспособленных для гаек с левой резьбой, завязанных в узел водопроводных трубах и бананах из чугуна, -- было написано в одной из рекламных листовок этой фирмы. -- Мы считали подобные вещи смешными безделушками и отказывались даже верить, что они когда-нибудь встретятся нам в действительности. И вдруг появляется инструмент, позволяющий сверлить квадратные отверстия!».

Сверло Уаттса изображено на рис. 7. Справа показано поперечное сечение сверла внутри квадратного отверстия. Сверление производится так. Сначала на металл накладывают металлический шаблон с квадратным отверстием нужных размеров. Сверло, вращаясь внутри отверстия в направляющей пластине (шаблоне), врезается кромками в металл и просверливает в нем квадратное отверстие. Как видно из рис. 2, сверло Уаттса представляет собой просто-напросто треугольник Рело, в котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточены режущие кромки. Когда треугольник Рело вращается, его центр не стоит на месте, поэтому патрон для зажима сверла Уаттса не должен препятствовать этому движению. Компания запатентовала специальный патрон со «свободно плавающим в нем сверлом», удовлетворяющий всем нужным требованиям. Свойства треугольника Рело, которые выявил Франц Рело, а потом и другие ученые, широко используются в различных областях техники.(Приложение5.)

Треугольник Рело находит применение во многих механических устройствах, но ни в одном из них не используются его замечательные свойства кривой постоянной ширины. Лишь в 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрел инструмент, имевший в сечении форму треугольника Рело, для сверления квадратных отверстий. С 1916 года одна из фирм приступила к производству сверл Уаттса. «Мы все слыхали о гаечных ключах, приспособленных для гаек с левой резьбой, завязанных в узел водопроводных трубах и бананах из чугуна, -- было написано в одной из рекламных листовок этой фирмы. -- Мы считали подобные вещи смешными безделушками и отказывались даже верить, что они когда-нибудь встретятся нам в действительности. И вдруг появляется инструмент, позволяющий сверлить квадратные отверстия!».

Границы четырехугольника при вращении треугольника Рело также используются в конструкциях для мытья пола (для эффективного мытья и натирания пола в углах комнат, насосах, редукторах, роторно- поршневых двигателях, например в виде треугольника Рело сделан ротор двигателя Ванкеля.

3.2 Двигатель Ванкеля

В отличие от большинства серийных машин в Мазда RX-7 (а также в модели RX-8) стоит роторный двигатель Ванкеля. В качестве ротора используется именно треугольник Рело. Между ним и стенками образуется три камеры, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Вот вспрыснулась синяя бензиновая смесь, далее из-за движения ротора она сжимается, поджигается и крутит ротор. Роторный двигатель лишен некоторых недостатков поршневого аналога - здесь вращение передается сразу на ось и не нужно использовать коленвал.(Приложение 6.)

3.3 Грейферный механизм

Треугольник Рело используют в кулачках грейферных механизмах киноаппаратов. Грейферный механизм использовался в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает грейферный механизм. Он основан на треугольнике Рело, вписанном в квадрат и двойном параллелограмме, который не дает квадрату наклоняться в стороны. Действительно, т.к. длины противоположных сторон равны, то среднее звено при всех движениях остается параллельным основанию, а сторона квадрата всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине треугольника Рело, тем более близкую к квадрату фигуру описывает зубчик грейфера.(Приложение7.)

Наиболее полно рассмотренные нами выше свойства треугольника Рело использованы для изготовления раструбов на концах цилиндрических труб. В результате были усовершенствованы токарные станки и приспособления к ним, что обеспечило качественное изготовление квадратных и шестигранных раструбов, необходимых для соединения труб разной конфигурации.

Особое внимание следует уделить понятию кривой постоянной ширины в проблеме контроля качества изготовления деталей. Классическим примером такой проблемы является контроль формы подводной лодки.

Представим себе, что на кораблестроительном заводе собирают корпус подводной лодки, цилиндричность корпуса подводной лодки проверяется специальными шаблонами.

Однако профиль в виде кривых постоянной ширины (в метрологии для них используется название «огранка») может возникать и при изготовлении различных номинально цилиндрических деталей. Возникновение при их изготовлении нечетной огранки (кривой постоянной ширины с нечетным количеством углов) может приводить к тому, что негодные детали будут приняты в дальнейшее использование.

Заключение

Понятие кривых постоянной ширины получило широкое применение как в математической теории, так и в технологии и производстве.

Кривые постоянной ширины были исследованы достаточно широко, их свойства доказаны, на их основе выдвинуты предположения и предложены новые математические задачи, решение которых представляет интерес для многих поколений математиков.

Если бы кривые постоянной ширины не были открыты, незнание их привело бы к самым роковым последствиям в технике! Это доказывает, что мы должны более тщательно изучить свойства фигур постоянной ширины и находить им ещё больше применений.

Я изучил основные свойства фигур постоянной ширины, историю изобретения, рассмотрел области применения фигур постоянной ширины, пытался доказать, что из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

Рассмотрел применение треугольника Рело в некоторых механических устройствах, в автомобильных двигателях.

В дальнейшем мне бы подробнее хотелось остановиться и изучить тела постоянной ширины.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А.Д., Нецветаева Н.Ю. Геометрия./ Александров А.Д- М:,1990.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч. 1/ Атанасян Л.С.-М:, Просвещение 1986.

3. Бляшке В. Круг и шар,- /М Мир, 1968.

4. Математическая энциклопедия/ Гл. ред. И.М. Виноградов,- М,: «Советская энциклопедия», 1984.

5. Сайт Википедия.

6. Сайт Математические этюды.

7. Радемахер Г., О. Теплиц, Числа и фигуры,/ Радемахер Г.- сер. «Библиотека математического кружка», вып. 10, М., изд-во «Наука», 1966.

8. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин,- М.: Педагогика, 1985.

9. Яглом И. М. В. Г. Болтянский, Выпуклые фигуры, /Яглом И. М. - сер. «Библиотека математического кружка», вып. 4, М.--Л., Физматгиз, 1951.

Приложение 1

Книжка катиться по кривым постоянной ширины, не шелохнувшись.

Рис. 1. Треугольник Рело.

а - построение; б - вращение внутри квадрата.

Рис. 2. Симметричная кривая постоянной ширины с закругленными углами.



Рис. 3. Построение кривой постоянной ширины методом звездчатого многоугольника.

Рис. 4. Построение кривой постоянной ширины методом пересекающихся прямых. Справа показано, как достроить произвольно проведенную дугу до кривой постоянной ширины.

Рис.5,6 На рисунке показано,что диаметры фигуры постоянной ширины всегда пересекаются (либо внутри фигуры,(рис.6) либо на ее границе, рис.5, )



Рис.7. Рис.8.

Рис.9 Тела постоянной ширины.

Рис. 10. Ротор наименьшей площади внутри равностороннего треугольника



Рис. 11. Сверло Уаттса и патрон для зажима сверла.

Рис.12 Двигатель Ванкеля.

Размещено на Allbest.ru

...