Численное решение трансцендентных и нелинейных уравнений
Нахождение корней трансцендентных и нелинейных уравнений комбинированным методом, методами хорд и касательных. Формулы для уточнения корня уравнения. Построение графика функции, графиков первой и второй производной. Графический метод отделения корней.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.12.2012 |
| Размер файла | 80,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Федеральное агентство по образованию РФ
Ивановский государственный химико-технологический университет
Кафедра прикладной математики
Лабораторная работа
По дисциплине: «Прикладная математика»
Тема: «Численное решение трансцендентных и нелинейных уравнений»
Выполнила: Пичугина А.Н.
гр. 2/36
Проверила: преп. Кокурина Г.Н.
Иваново 2012 г.
Задание
Выполнить в среде MathCad, Excel нахождение корней уравнений:
1) х2-cos(Пx)=0- Комбинированным методом (хорд и касательных)
2) x3 + 3 x2 -2= 0 - Методом хорд.
Теоретическое введение
Комбинированный метод
Методы хорд и касательных дают приближения с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, и уточнение корня проходит быстрее.
Пусть дано уравнение f(x)=0, корень о отделен и находится на отрезке [a,b].
Применим комбинированный метод хорд и касательных с учетом типа графика функции.
Если , то методом хорд получаем значение корня с избытком, а методом касательных с недостатком.
Если то методом хорд получаем значение корня с недостатком, а методом касательных с избытком.
Рассмотрим случай, когда f '(х) < 0, f "(х) > 0, то со стороны конца а лежат приближённые значения корня, полученные по методу касательных, а со стороны конца b - значения, полученные по методу хорд.
Иллюстрация комбинированного метода
Тогда
Теперь истинный корень о находится на интервале [а1,b1]. Применяя к этому интервалу комбинированный метод, получаем:
и вообще
Для случая, когда f'(х)·f "(х) > 0, то рассуждая аналогично, получим следующие формулы для уточнения корня уравнения:
Ручной счет в MathCAD.
Имеем уравнение: х2-cos(Пx)=0
1) Отделяем корни графически.
Мы построили график функции y=f(x) для уравнения вида f(x)=0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссами пересечения графика функции с осью OX. Очевидно, что уравнение имеет корень, который принадлежит отрезку:
[0;1]. Будем уточнять этот корень.
2) Сузим отрезок методом половинного деления:
(корень будем обозначать буквой с):
Длина отрезка локализации корня 0.125
3) Проверим условия теоремы:
Следовательно,,.
4) Уточнение корня комбинированным методом:
|x2 - x21| < 0.0001
Следовательно корнем уравнения будет
Расчет в Excel.
Формула в ячейке B3: =B2-((D2*(B2-C2))/(D2-E2))
Формула в ячейке C3:= C2-(E2/F2)
Формула в ячейке D2: =B2^2-COS(3,141592654*B2)
Формула в ячейке E2: =C2^2-COS(3,141592654*C2)
Формула в ячейке F2: =2*C2+3,141592654*SIN(3,141592654*C2)
Формула в ячейке G2:=ABS(C3-B3)
Таким образом, получаем решение: .
Метод хорд.
Ручной счет в MathCAD.
Имеем уравнение:
Х3+3х2-2=0
1) Отделяем корни аналитически:
Будем уточнять корень на отрезке [0;1]
Функция на отрезке [0;1]:
1) непрерывна
2) y(0)*y(1)=-2*2<0
2) Сузим отрезок методом половинного деления:
Длина отрезка локализации корня 0,125
3) Условия теоремы:
Построим график функции, график первой производной, график второй производной на отрезке [0,625;0,75]:
Область определения функции y(x) - все действительные числа, это видно из первого графика.
y(0,625)*y(0,75)<0
y'(x) =
y''(x) =
Отсюда видно, что первая производная на отрезке [0,625;0,75] больше нуля и вторая производная на отрезке [0,625;0,75] больше нуля. Так как y(b)>0 и y''(b)>0, то точка b является неподвижной.
3) Уточнение корня методом хорд:
Следовательно корень уравнения
трансцендентный нелинейный уравнение корень
Расчет в Excel
Формула в ячейке D2: =B2^3+3*B2^2-2
Формула в ячейке E2: =C2^3+3*C2^2-2
Формула в ячейке F2:= B2-((D2*(B2-C2))/(D2-E2))
Формула в ячейке G2:= ABS(B2-F3)
Таким образом, получаем решение:
Вывод
Проделав данную лабораторную работу, я изучила два метода решения приближенных и алгебраических уравнений: метод хорд и комбинированный метод. Научилась отделять корни как аналитически, так и графически. Метод хорд удобнее применять, если график функции на отрезке проходит под небольшим углом отклонения от оси ОУ, так как точки пересечения касательных с осью ОХ будут быстрее сходиться к итоговому результату. Комбинированный метод удобнее применять всегда, так как промежуточные результаты сходятся к итоговому сразу с двух сторон. Кроме того, при комбинированном методе гораздо удобнее рассчитывать погрешность. Также, я научилась выделять отрезки, которым принадлежат корни уравнения графически и аналитически, сужать эти отрезки методом половинного деления. При выделении отрезков гораздо удобнее использовать графический способ, так как из него сразу видно сколько корней, и каким отрезкам они принадлежат, а при аналитическом способе нужно производить определенные вычисления.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Изучение методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). Метод хорд и касательных дает высокую скорость сходимости при решении уравнений, и небольшую - метод половинного деления и простой итерации.
контрольная работа [58,6 K], добавлен 20.11.2010Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.
лабораторная работа [32,7 K], добавлен 11.06.2011Общая постановка задачи. Отделение корня. Уточнение корня. Метод половинного деления (бисекции). Метод хорд (секущих). Метод касательных (Ньютона). Комбинированный метод хорд и касательных. Задания для расчётных работ.
творческая работа [157,4 K], добавлен 18.07.2007Решение нелинейных уравнений. Отделения корней уравнения графически. Метод хорд и Ньютона. Система линейных уравнений, прямые и итерационные методы решения. Нормы векторов и матриц. Метод простых итераций, его модификация. Понятие про критерий Сильвестра.
курсовая работа [911,6 K], добавлен 15.08.2012Методика отделения корней от заданных уравнений графическим методом и табулированием, а также половинным делением. Содержание, а также оценка преимуществ и недостатков использования метода итерации и касательных, условия их практического применения.
лабораторная работа [284,8 K], добавлен 24.09.2014Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.
курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015Контрольный пример к алгоритму метода хорд. Вычисление и уточнение корня методом хорд и касательных. Нахождение второй производной заданной функции. Уточненное значение корня решаемого уравнения на заданном интервале. Код программы данного примера.
лабораторная работа [276,9 K], добавлен 02.12.2014Особенности решения алгебраических, нелинейных, трансцендентных уравнений. Метод половинного деления (дихотомия). Метод касательных (Ньютона), метод секущих. Численные методы вычисления определённых интегралов. Решение различными методами прямоугольников.
курсовая работа [473,4 K], добавлен 15.02.2010Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.
лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.
курсовая работа [508,1 K], добавлен 16.12.2015Методы решения нелинейных уравнений: касательных и хорд, результаты их вычислений. Алгоритм и блок схема метода секущих. Исследование характерных примеров для практического сравнения эффективности рассмотренных методов разрешения нелинейных уравнений.
дипломная работа [793,2 K], добавлен 09.04.2015Сущность и графическое представление методов решения нелинейных уравнений вида F(x)=0. Особенности метода хорд, бисекции, простой итерации, касательных и секущих. Проверка результатов с помощью встроенных функций и оценка точности полученных значений.
контрольная работа [316,1 K], добавлен 09.11.2010Гиперкомплексные числа: общее понятие и основные свойства. Нахождение корней трансцендентного уравнения в комплексных числах на примере уравнения классической задачи теории флаттера в математическом виде. Программная реализация решения в среде Maple.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 28.06.2013Нахождение корней уравнений (Equation Section 1) методом: Ньютона, Риддера, Брента, Лобачевского и Лагерра. Вычисление корней многочленов по схеме Горнера. Функции произвольного вида (при использовании пакета Mathcad). Нахождение корней полиномов.
контрольная работа [62,7 K], добавлен 14.08.2010Биография Исаака Ньютона, его основные исследования и достижения. Описание порядка нахождения корня уравнения в рукописи "Об анализе уравнениями бесконечных рядов". Методы касательных, линейной аппроксимации и половинного деления, условие сходимости.
реферат [1,6 M], добавлен 29.05.2009Изучение способов приближенного решения уравнений с помощью графического изображения функций. Исследование метода определения действительных корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки для приведенных семи уравнений, построение их графиков.
творческая работа [12,5 M], добавлен 04.09.2010Модифицированный метод Ньютона. Общие замечания о сходимости процесса. Метод простой итерации. Приближенное решение систем нелинейных уравнений различными методами. Быстрота сходимости процесса. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 14.09.2015Формирование системы их пяти уравнений по заданным параметрам, ее решение методом Гаусса с выбором главного элемента. Интерполяционный многочлен Ньютона. Численное интегрирование. Решение нелинейных уравнений. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
контрольная работа [115,5 K], добавлен 27.05.2013Решение задач вычислительными методами. Решение нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений (метод исключения Гаусса, простой итерации Якоби, метод Зейделя). Приближение функций. Численное интегрирование функций одной переменной.
учебное пособие [581,1 K], добавлен 08.02.2010Изучение способов решения нелинейных уравнений: метод деления отрезка пополам, комбинированный метод хорд и касательных. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений. Особенности математической обработки результатов опыта, полином Лагранжа.
курсовая работа [181,1 K], добавлен 13.04.2010
