Упорядоченные множества и топология метрического пространства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

1. Упорядоченные множества

2. Фильтры

3. Топология метрического пространства

Примеры

Список используемой литературы

Введение

пространство множество топология предпорядок

В метрическом пространстве понятия предела функции, замыкания множества и компактности могут быть описаны в терминах сходящихся последовательностей. В общем случае для этого требуется обобщение понятия предела последовательности: понятие предела по фильтру. При изучении сходимости в топологических пространствах теория фильтров оказывается мощным и удобным инструментом и в некоторых отношениях она проще, чем теория, основанная на понятии последовательности, однако теория фильтров требует некоторых навыков работы с объектами, которые не строятся явно, но существование которых постулируется на основе аксиомы выбора.

1. Упорядоченные множества

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть отношение в множестве , т.е. . Рефлексивность означает включение , транзитивность включение , антисимметричностьвключение и, наконец, симметричность означает равенство.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рефлексивное и транзитивное отношение называют отношением предпорядка. Симметричный предпорядок называют Эквивалентностью. Антисимметричный предпорядок называют порядком.

Если множество, а порядок в , то пару называют упорядоченным множеством и пишут вместо . Допускают обычные вольности словоупотребления и написания: само называют упорядоченным множеством, пишут и говорят « меньше» или « больше » и т.п. Аналогичные соглашения действуют и для предупорядоченных множеств, т. е. множеств с отношениями предпорядка. При этом в случае отношения эквивалентности используют знаки типа или просто .

ПРИМЕРЫ.

Тождественное отношение; подмножество в с отношением

.

Если порядок на , то также порядок на . При этом отношение называют противоположным к порядком.

Пусть и два предупорядоченных множества. Отображение возрастает ( т. е. в том и только в то случае, если .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть упорядоченное множество и подмножество в Элемент называют верхней границей если . Коротко пишут: . В частности, . Элемент называют нижней границей , если является верхней границей в противоположном порядке . Коротко пишут: . В частности, .

ЗАМЕЧАНИЕ. В дальнейшем мы будем допускать вольности при введении понятий, получающихся из данных путем перехода к противоположному (пред)порядку. Отметим также, что определение верхней и нижней границ осмыслено и в предупорядоченных множествах.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент называют наибольшим в множестве , если и Аналогично определяют наименьший элемент .

ЛЕММА. Пусть совокупность всех границ подмножества в упорядоченном множестве . Пусть, далее, наибольший элемент . Тогда, во-первых, наименьший элемент , а во-вторых, .

ЗАМЕЧАНИЕ. Предложение 1.6. является основой двух обобщений понятия наибольшего элемента.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент из называют точной верхней границей множества в , если наименьший элемент множества всех верхних границ . При этом пишут или, короче, . Аналогично (при переходе к противоположному порядку) определяют точную нижнюю границу множества или, более полно, .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент упорядоченного множества называют максимальным в подмножестве множества , если . Аналогично определяют минимальный элемент множества.

ЗАМЕЧАНИЕ. Необходимо отчетливо представлять себе различия и общие черты понятий наибольшего и максимального элементов и точной верхней границы множества. В частности, стоит «экспериментально» удостовериться, что у «типичного» множества нет наибольшего элемента, однако максимальные элементы встречаются.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Упорядоченное множество называют решеткой, если для любых двух элементов , из существуют их точная верхняя граница и точная нижняя граница .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Упорядоченное множество называют полной решеткой, если любое подмножество имеет точную верхнюю и точную нижнюю границы.

ЛЕММА. Упорядоченное множество является полной решеткой в том и только в том случае, если любое его подмножество имеет точную верхнюю границу.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Упорядоченное множество такое, что, называют фильтрованным по возрастанию. Аналогично определяют фильтрованное по убыванию множество. Непустое фильтрованное по возрастанию множество называют направленным или, короче, направлением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение направленного множества в данное множество называют (обобщенной) последовательностью или сетью в . Отображения (естественным образом) направленного множества натуральных чисел в называют (счетными) последовательностями. (т.е. полагают )

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть упорядоченное множество и . Тогда называют линейно упорядоченным множеством. Если непустое линейно упорядоченное подмножество , то называют цепью в . Непустое упорядоченное множество называют индуктивным, если любая цепь в нем ограничена сверху (т.е. имеет верхнюю границу).

2. Фильтры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть множество и B - непустое подмножество непустых элементов . Множество B называют базисом фильтра (в ), если B фильтровано по убыванию при введении в множество подмножеств отношения порядка по включению.

ЛЕММА. Подмножество B в является базисом фильтра в том и только в том случае, если

B , B ;

B ? ( B ) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подмножество F в называют фильтром (в ), если представляет собой совокупность надмножеств некоторого базиса фильтра B (в ), т.е.

F B { ( B ) }.

ЛЕММА. Подмножество F в является базисом фильтра в том и только в том случае, если

F , F ;

F , ? F ;

F ? F .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть F совокупность всех фильтров в множестве . Если F 1, F 2 F и F 1 F 2 , то говорят, что F 1 тоньше F 2 или F 1 мажорирует F 2 (соответственно F 2 грубее F 1 или F 2 минорирует F 1).

ЛЕММА. Пусть N направление в F . Тогда у N есть точная верхняя граница F 0 N . При этом

F 0 {F : N }.

Нужно убедиться только, что F 0 это фильтр. Ясно, что F 0 и, в силу не пустоты N , F 0. Если F 0 и , то подбирая F из N , для которого F , заключаем: F F 0 . Если же F 0 , то можно найти элемент F в N такой, что F , ибо N это направление. На основании 2.4. F F 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Максимальные элементы в упорядоченном множестве F всех фильтров в называют ультрафильтрами.

ЛЕММА. Каждый фильтр грубее некоторого ультрафильтра.

Ввиду 2.7. множество фильтров, содержащих данный, является индуктивным. Остается сослаться на лемму Куратовского-Цорна 1.19.?

ЕММА. Фильтр F является ультрафильтром в том и только в том случае, если для каждого либо F , либо F . ? ?: Пусть F и F . Отметим, что и .

Положим F 1 { F }. Тогда F ? F 1 и F 1 ?F 1 . Столь же просто проверить 2.4. и 2.4. . Итак, F 1 фильтр. По построению F 1 ? F . Раз F ультрафильтр, то F 1 = F . Получилось противоречие: F и F .

?: Пусть F 1 F и F 1 ? F . Если F 1 и F , то F по условию. Отсюда F 1 , т.е. F 1 , чего быть не может.

3. Топология метрического пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение называют метрикой на , если

Пару называют метрическим пространством. Вещественное число обычно именуют расстоянием между и . Допуская вольности речи, само множество в этой ситуации также называют метрическим пространством.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть метрическое пространство и . Множество называют замкнутым цилиндром (порядка), а множество открытым цилиндром (порядка ). Образ точки при соответствии называют замкнутым шаром радиуса с центром в . Аналогично множество называют открытым шаром радиуса с центром в .

ЛЕММА. Отрытые цилиндры, равно как и замкнутые цилиндры непустого метрического пространства, составляют базисы одного и того же фильтра.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение называют метрической топологией, а элементы окрестностями точки. Для обозначения топологии используют также и более полное обозначение .

ЗАМЕЧАНИЕ. Замкнутые шары с центром в некоторой точке составляют базис фильтра окрестностей этой точки. То же верно и для открытых шаров. Отметим еще, что у различных точек в существуют непересекающиеся окрестности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество в называют открытым, если оно является окрестностью каждой своей точки (символически: . Множество в называют замкнутым, если его дополнение открыто (символически: .

Множество называют внутренностью , а его элементы внутренними точками. Множество называют замыканием , а его элементы точками прикосновения . Внутренность дополнения называют внешностью , а элементы внешности внешними точками . Точки пространства , не являющиеся ни внешними, ни внутренними для , называют граничными точками . Совокупность всех граничных точек называют границей и обозначают или .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество является окрестностью точки в том и только в том случае, если внутренняя точка .

ЗАМЕЧАНИЕ. В связи с предложением 3.7. множество также часто называют топологией , имея в виду, что однозначно восстанавливается по . Последнее, разумеется, относится и к совокупности всех замкнутых множеств в .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть Bбазис фильтра в . Говорят, что Bсходится в точке из или что это предел B(и пишут: B), если filBтоньше фильтра окрестностей точки , т.е. filB.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть это (обобщенная) последовательность в . Говорят, что рассматриваемая последовательность сходится к (пишут: ), если к сходится фильтр хвостов этой последовательности. Используют и другие распространенные обозначения и обороты. Например, и предел , когда ?? пробегает ??.

ЗАМЕЧАНИЕ. Предел фильтра, как и предел обобщенной последовательности, единствен.

ТЕОРЕМА. Для непустого множества и точки равносильны следующие утверждения:

точка является точкой прикосновения ;

существует фильтр F такой, что F и F ;

существует последовательность элементов , сходящаяся к точке .

? Так как не является внешней точкой , то фильтры и fil имеют точную верхнюю границу F .

Пусть F и F . Превратим F в направление с помощью порядка, противоположного порядку по включению. Возьмем для F . Ясно, что .

Пусть замкнутое множество, последовательность элементов и . Достаточно показать, что в этом случае . Последнее очевидно, ибо при хотя бы для одного ?? ?? было бы. ?

ЗАМЕЧАНИЕ. В условиях метрического пространства в 3.12. можно считать, фильтр F имеет счетный базис, а в 3.12. что ?? . Указанное обстоятельство иногда выражают словами: «метрические пространства удовлетворяют первой аксиоме счетности».

Примеры

Пример : Пусть соответствие и B фильтрованное по убыванию подмножество . Положим (B ){ B }. Видно, что (B) фильтровано по убыванию. Допускают некоторую вольность в обозначениях, считая (B )(B ). Если F фильтр в и для всякого F , то (F )фильтр в . Этот фильтр называют образом фильтра F при соответствии . В частности, если отображение и B базис фильтра в , то (F ) фильтр в .

Пример : Пусть направление. Несомненно, что B это базис фильтра. Если некоторая обобщенная последовательность, то фильтр (B ) называют фильтром хвостов .

Пусть и другие направления и сеть элементов . Если фильтр хвостов содержит фильтр хвостов , то называют подсетью (в широком смысле) сети . Если же существует подсеть (в широком смысле) тождественной сети элементов направления такая, что , то называют подсетью (иногда говорят: подсеть Мура или строгая подсеть ). Каждая подсеть служит подсетью в широком смысле.

Пример : Пусть топологическое пространство и F x система всех окрестностей точки . Тогда F x фильтр.

Пример : Пусть множество состоит из трех элементов: . Тогда следующие системы его подмножеств являются фильтрами:

F 1 .

F 2.

F 3.

Пример : Пусть последовательность элементов множества . Тогда семейство «хвостов» последовательности (т.е. семейство множеств вида ) это база фильтра. Фильтр F , порожденный базой , называется фильтром, ассоциированным с последовательностью .

Список использованной литературы

1. Кутателадзе С.С.. Основы функционального анализа. - Н.: Сибирское отделение института математики им. С.Л. Соболева, 2001.

2. Кадец В.М.. Курс функционального анализа. - Харьковский Национальный Университет, 2004.

3. Арсеньев А.А.. Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике, 2009.

Размещено на Allbest.ru