Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение задач с параметрами

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. В школе же это один из наиболее трудных разделов школьного курса математики. Задачи с параметром являются наиболее сложными задачами ЕГЭ, поэтому познакомиться с некоторыми идеями их решения, освоить способы решения задач с параметром желательно как можно раньше.

Обучение задачам с параметрами требует от обучающихся больших умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств, как активность, творческая инициатива, коллективно-познавательный труд.

Основным направлением модернизации математического образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение ЕГЭ. В заданиях по математике в последние годы вводятся задачи с параметрами. Обязательны такие задания на вступительных экзаменах в вузы. Появление таких задач очень актуально, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления абитуриента. Анализ предыдущих результатов ЕГЭ за несколько предыдущих лет показывает, что выпускники с большим трудом решают такие задания, а многие даже не приступают к ним. Решение таких задач вызывает у них значительные затруднения. Большинство либо вовсе не справляются с такими заданиями, либо приводят громоздкие выкладки. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных параметрами. К сожалению, в школьном курсе не уделяется достаточно времени и внимания на изучение данного раздела. В процессе изучения профильного курса «Алгебра и начала анализа» в 11 классе данная тема рассматривается, но данной информации явно недостаточно для успешного выполнения заданий части С5 на ЕГЭ. Возникла проблема: недостаточность рассмотренных оригинальных способов решения задач с параметрами.

Цель моей работы: рассмотреть различные уравнения и неравенства с параметрами и представить их методы решения

Объектом моего исследования являются задачи с параметрами.

Субъектом - методы решения.

В данной работе выдвинута следующая гипотеза: задачи с параметрами будут легче решаться, если рассмотреть методы их решения.

Задачи данной работы:

1) Собрать и систематизировать литературу;

2) Разобраться с готовыми решениями;

3) Решить самостоятельно задачи с параметрами;

4) Подобрать задания для самостоятельного решения;

1. Теоретическая часть

1.1 Основные понятия и термины

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n, а неизвестные - буквами x, y,z.

Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если: а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Уравнение (неравенство) с параметрами -- математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Пример. Решить уравнение 2a (a - 2) x = a - 2. Решение Рассмотрим вначале те значения параметра, которые обращают в нуль коэффициент при х. Это значения а=0 и а = 2. При а = 0 уравнение принимает вид 0х = - 2. Это уравнение не имеет корней. При а = 2 уравнение принимает вид 0х = 0. Любое число х из множества действительных чисел является его корнем. При а ? 0 и а?2 уравнение преобразовывается к виду x = (a - 2) / (2a)(a - 2) . Отсюда х = 1 / 2а. Ответ: если а = 0, то { x } = 0; если а = 2, то х из множества действительных чисел; если а? 0 и а ? 2, то х = 1 /

1.2 Что означает «решить задачу с параметром»

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ, либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Более прозрачное понимание того, что означает решить задачу с параметром, у читателя сформируется после ознакомления с примерами решения задач на последующих страницах.

1.3 Основные типы задач с параметрами

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка; 2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром -- задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

1.4 Основные способы методы решения задач с параметром

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий. Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Пример 1:

.

Решение. Данное уравнение имеет один параметр . Если , то уравнение имеет один корень . При уравнение является квадратным и, исследуя дискриминант , получаем, что уравнение не имеет действительных корней, когда , т.е. . При получаем, что для и уравнение имеет одно решение, а при - два решения.

Поэтому ответ записывается так:

При
При
При
При
При	Действительных корней нет.

Пример 2. При каких значениях параметра уравнение:

имеет ровно три корня.

Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим на множители. Получим уравнение:

.

Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Получим ровно три корня:

и ,

но при условии, что подкоренное выражение положительно: . Решив это неравенство, получаем, что при уравнение имеет ровно три корня.

Пример 3. Для каждого значения параметра определить число решений уравнения: и найти их.

Решение. Заметим, что при уравнение решения не имеет.

Если , то уравнение имеет два корня и .

Рассмотрим случай . Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Решая их, получим и . Если дискриминанты и этих уравнений равны нулю, т.е. при , каждое уравнение имеет по одному корню .

Если дискриминанты положительны:

Окончательно получим, что при уравнение имеет четыре корня.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. При уравнение не имеет решения. Рассмотрим случай и построим графики двух функций и .

Из графиков видим, что при , уравнение имеет один корень. При графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два корня:

и .

Пример 2. Решить уравнение:

.

Решение. Это уравнение равносильно системе:

После эквивалентных преобразований получим систему:

задача параметр уравнение решение

Построим графики функций ; и область значений неравенства (рис. 6).

Если , , при уравнение имеет два корня:

;

при , .

Пример 3. При каких значениях все решения неравенства являются решениями неравенства .

Решение. Решим графически. Построим графики функций:

 и .

График второй функции пересекает ось в точках:

По условию задачи требуется, чтобы все решения первого неравенства являлись решениями второго, значит, графики должны быть расположены так, как изображены на рис. 7. Тогда должны выполняться следующие условия:

Итак, при решения первого неравенства являются решениями второго.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Основная идея решения: неравенство (a - x²)(a+x-2)<0 будем рассматривать как неравенство относительно параметра a и исследовать полученный ответ (зависящий от x!) с целью получения искомых значений параметра a.

Комментарий. Очевидно, сама идея рассматриваемого метода предопределяет ограничения по его использованию: во-первых, далеко не всегда возможно решить уравнение относительно параметра; во-вторых, в случае возможности такого решения не всегда целесообразно применение обсуждаемого способа в силу возникновения в дальнейшем серьезных технических и логических трудностей (оценка подобных трудностей приходит, естественно, с опытом решения такого рода задач).

Так как при любом x из отрезка [- 1; 1] справедливо соотношение x²?2-x, то при данных x исходное неравенство как квадратное относительно a равносильно неравенству a₁<a<a₂, где a₁=x², a₂=2-x, т. е. имеем x²<a<2-x для любого x?[- 1; 1]. (B)

Комментарий. Типичной трудностью при решении задач предлагаемым способом является осознание того, какому условию должны удовлетворять искомые значения параметра для вновь полученных уравнений (неравенств, систем).

В нашем случае задачу, равносильную исходной, можно сформулировать следующим образом.

При каких значениях параметра a двойное неравенство x²<a<2-x не имеет ни одного решения из отрезка [-1;1]?

1.5 Основные виды уравнений с параметрами

1.5.1 Линейные и квадратные уравнения

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с па-раметрами : ах = b, где х - неизвестное, а, b - параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0. 

1. Если а ? 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = .

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b. В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b.

2.1. При b ? 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид : 0 х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Пример . Решим уравнение

2а(а -- 2) х=а -- 2. (2)

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а?0, а?2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

A₁={0}, А₂={2} и Аз= {а?0, а?2}

и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а?0, а?2

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0 х= -- 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а?0, а?2 из уравнения (2) получаем, х=

откуда х= .

0твет: 1) если а=0, то корней нет; 2) если а=2, то х -- любое действительное число;

1.5.2 Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным

Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е. решать соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример. Решим уравнение

(4)

Решение. Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней.

х²+2 (1 -- а) х +а² -- 2а -- 3=0. (5)

Найдем дискриминант уравнения (5)

= (1 -- a)² -- (a² -- 2а -- 3) = 4.

Находим корни уравнения (5):

х₁ =а + 1, х₂ = а -- 3.

При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась

область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых

х₁+1=0, х₁+2=0, х₂+1=0, х₂+2=0.

Если х₁+1=0, т. е. (а+1)+1=0, то а = -- 2. Таким образом, при а= -- 2 х₁ -- посторонний корень уравнения (4).

Если х₁+2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а = -- 3. Таким образом, при а= -- 3 x₁ -- посторонний корень уравнения (4).

Если х₂+1 =0, т. е. (а -- 3)+1=0, то а=2. Таким образом, при а=2 х₂ -- посторонний корень уравнения (4)'.

Если х₂+2=0, т. е. (а -- 3)+2=0, то а=1. Таким образом, при а= 1 х₂ -- посторонний корень уравнения (4).

Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .



В соответствии с этой иллюстрацией при а= -- 3 получаем х= -- 3 -- 3= -- 6;

при a= -- 2 х= -- 2 -- 3= -- 5; при a=1 х= 1+1=2; при a=2 х=2+1=3.

Итак, можно записать

Ответ: 1) если a= -- 3, то х= -- 6; 2) если a= -- 2, то х= -- 5; 3) если a=0, то корней нет; 4) если a= l, то х=2; 5) если а=2, то х=3;

6) если а? -3 ;

а? -2 ;

а? 0 ; то х₁ = а + 1,

а? 1 ; х₂ = а - 3.

а? 2,

1.5.3 Иррациональные уравнения с параметрами

Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.

Пример . Решить уравнение х - = 1. (6)

Решение:

Возведем в квадрат обе части иррационального уравнения с последующей проверкой полученных решений.

Перепишем исходное уравнение в виде:

= х - 1 (7)

При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:

2 х² - 2х + (1 - а) = 0, D = 2а - 1.

Особое значение : а = 0,5. Отсюда :

1) при а > 0,5 х_1,2 = 0,5 ( 1 ± );

2) при а = 0,5 х = 0,5 ;

3) при а <0,5 уравнение не имеет решений.

Проверка:

1) при подстановке х = 0,5 в уравнение (7), равносильное исходному, получим неверное равенство. Значит, х = 0,5 не является решением (7) и уравнения (6).

2) при подстановке х₁ = 0,5 ( 1 ± ) в (7) получим:

-0,5 ( 1 + ) = - ( 0,5 ( 1 - ))²

Так как левая часть равенства отрицательна, то х₁ не удовлетворяет исходному уравнению.

3) Подставим х₂ в уравнение (7):

=

Проведя равносильные преобразования, получим:

Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:

Имеем истинное равенство при условии, что

Это условие выполняется, если а ?1. Так как равенство истинно при а ?1, а х₂ может быть корнем уравнения (6) при а > 0,5, следовательно, х₂ - корень уравнения при а ?1.

1.5.4 Тригонометрические уравнения

Большинство тригонометрических уравнений с параметрами сводится к решению простейших тригонометрических уравнений трех типов. При решении таких уравнений необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций у = sin x и y = cos x. Рассмотрим примеры.

Пример . Решить уравнение: cos =2а.

Решение: Так как Е(соs t)=[-1; 1], то имеем два случая.

1. При |a| > 0,5 уравнение не имеет решений.

2. При |a| ?0,5 имеем:

а) =arccos2a+2рn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а+2рn?0, то n может принимать значения n=0, 1, 2, 3,.... Решением уравнения является х = 1+(2рn+аrссоs2а)²

б) =-аrссоs2а+рn. Так как уравнение имеет решение при условии, что -аrссоs2а+2рn>0, то n=1, 2, 3,..., и решение уравнения. х=1+(2рn-arccos2a)² .

Ответ: если |a| > 0,5, решений нет;

если |a| ?0,5 , х = 1+(2рn+аrссоs2а)²при n = 0, 1, 2,... и х=1+(2рn-arccos2a)² при n N.

Пример. Решить уравнение: tg ax² =

Решение:.

ах2 = +рn, n Z

Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое значение параметра. В данном случае:

1. Если а=0, то уравнение не имеет решений.

2. Если а 0, то х² = , n Z

Уравнение имеет решение, если ? 0. Выясним, при каких значениях n и а выполняется это условие:

? 0

откуда n ? и а > 0 или n ? и а < 0.

Итак, уравнение имеет решение х = ± , если

1) а > 0 и n = 1,2,3,… или

2) а < 0 и n Z.

Ответ: при а = 0 решений нет;

при а > 0 и n = 1,2,3,… или а < 0 и n Z х = ± .

1.5.5 Показательные уравнения с параметрами

Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а ^{f (x)} = b ^ц(х) (*), где а > 0, b > 0.

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и ц (х). Для решения уравнения (*) нужно рассмотреть следующие случаи:

1) При а = b = 1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.

2) При а = 1, b ? 1 решением уравнения (*) служит решение уравнения ц(х) = 0 на области допустимых значений D.

3) При а ? 1, b = 1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.

4) При а = b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) уравнение (*) равносильно уравнению f(х) = ц(х) на области D.

5) При а ? b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) уравнение (*) тождественно уравнению

log _c a ^f(x) = log _c b ^ц(x) (c > 0, c ? 1) на области D.

Пример. Решите уравнение: а ^{х + 1} = b ^{3 - х}

Решение. ОДЗ уравнения: х R, а > 0, b >0.

1) При а ? 0, b ? 0 уравнение не имеет смысла.

2) При а = b = 1, х R.

3) При а = 1, b ? 1 имеем: b ^{3 - х} = 1 или 3 - х = 0 х = 3.

4) При а ? 1, b = 1 получим: а ^{х + 1} = 1 или х + 1 = 0 х = -1.

5) При а = b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) имеем: х + 1 =3 - х х = 1.

6) При а ? b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) прологарифмируем исходное уравнение по основанию а, получим:

, х + 1 = ( 3 - х ) log _a b ,

Ответ: при а ? 0, b ? 0 уравнение не имеет смысла;

при а = b = 1, х R;

при а = 1, b ? 1 х = 3.

при а ? 1, b = 1 х = -1

при а = b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1) х = 1

при а ? b (а > 0, а ? 1, b >0, b ? 1)

1.5.6 Логарифмические уравнения с параметром

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.

Пример. Решите уравнение 2 - log (1 + х) = 3 log _а - log ( х ² - 1 )² 

Решение. ОДЗ: х > 1, а > 0, а ? 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

log _а а² + log ( х² - 1) = log _а ( )³ + log _a ,

log _а ( а² (х² - 1)) = log _а (( )³ ),

а² (х² - 1) = (х - 1) ,

а² (х - 1) (х + 1) = (х - 1)

Так как х ? -1 и х ? 1, сократим обе части уравнения на (х - 1)

а² =

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

а⁴ (х + 1) = х - 1 а⁴ х + а⁴ = х - 1 х( 1 - а⁴ ) = а⁴

Так как а ? -1 и а ? 1, то

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть

Выясним, при каких значениях параметра а это неравенство истинно:

,

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 - а⁴ > 0, то есть при

а < 1.

Итак, при 0 < a < 1, x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем исходного уравнения.

Ответ: при а ? 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;

при а > 1 решений нет;

при 0 < a < 1

2. Практическая часть

2.1 Решение задач части С5

Это задача- с параметром, типичная для вступительного экзамена в вуз с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов.

В вузовской части в целом задача С5 - по всей видимости, одна из самых сложных. Уже на этапе создания её постановки от выпускника требуется умение мыслить логически, поскольку здесь ему нужно не решить данное уравнение или неравенство, а выяснить, при каких значениях параметра выполнено некоторое требование, связанное с его решениями.

В подобных задачах нередко бывают особенно уместны:

-навыки использования свойств (таких как монотонность, ограниченность, четность и пр.) специально подобранных функций или графиков;

-способность анализировать логическую суть условия и находить наиболее рациональный путь решения.

Задача С5:

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство

Выполняется для любого х.

Решение.

1. Неравенство преобразуется к виду

f(x) > 3

где

2. Функция f совпадает с линейной на каждом интервале, на которые разбивают числовую прямую точки -1 и -а, поэтому свое наименьшее значение она принимает из двух точек -1 или -а.

3. все значения функции f больше 3 тогда и только тогда, когда

Ответ:

Комментарий к задаче С5-1:

Эта задача с параметром, в которой нужно не решить данное неравенство, а выяснить, когда оно выполняется при всех значениях неизвестной.

Для приведенного решения задачи оказались полезными след.действия:

1. Рассмотреть некоторую функцию и исследовать ее на монотонность, причем без использования производной, поскольку функция - кусочно линейна;

2. Понять, что наиболее существенную роль для ответа на поставленный вопрос играет именно наименьшее значение функции, которое должно быть попросту больше 3;

3. Перефразировать требуемое неравенство наименьшее значение функции так, чтобы не пришлось уточнять, в какой конкретно из двух точек оно принимается;

4. Решить полученную систему относительно параметра ( можно было самыми разными способами, в том числе и стандартным способом).

Задача С5-2

Найти все значения а, при каждом из которых уравнение

Имеет ровно 8 решений.

Решение.

1. Преобразуем уравнение

2. Каждому положительному значению подкоренного выражения соответствует ровно два значения неизвестной, нулевому - одно, а отрицательному- ни одного. Поэтому для того чтобы решений было 8, необходимо и достаточно, чтобы подкоренное выражение было положительным при n=0, 1, 2, 3 и отрицательным при n=4, 5,…

3. Таким образом, получаем систему неравенств

Ответ:

2.2 Задания для самостоятельного решения

Самостоятельная работа 1

Решить и исследовать уравнения с параметром:

I. ;

II. ;

III. ;

IV. ;

Самостоятельная работа 2

Решить и исследовать уравнения с параметром:

I. ;

II. ;

III. ;

IV. ;

Самостоятельная работа 3.

Решить и исследовать уравнения с параметром.

I.

II.

III.

IV.

Самостоятельная работа 4.

I. Исследовать и решить уравнение с параметрами.

II. Исследовать и решить систему уравнений с параметром.

III. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет только два решения.

IV. Уравнение имеет решения. Найдите эти решения и укажите, при каких это возможно.

Самостоятельная работа 5

I. Исследовать и решить уравнение с параметрами.

II. Исследовать и решить систему уравнений с параметром.



III. При каких значениях параметра уравнение имеет только два корня.

IV. При каких значениях параметра уравнение имеет решение.

Размещено на Allbest.ru

...