Операции над матрицами
Вычисление определителя матрицы. Нахождение обратной матрицы, выполнение проверки. Решение системы линейных уравнений методом обратных матриц и методом Гаусса. Приведение расширенной матрицы к треугольному виду. Расчет координат нормального вектора.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 11.12.2012 |
| Размер файла | 419,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО Уральский государственный экономический университет
Центр дистанционного образования
Контрольная работа
по дисциплине: Линейная алгебра
Североуральск, 2012
Тема 1. Матрицы и определители
1.1 Вычислить определитель
Разложим за строкой №4. Перед этим, для удобства, сделаем некоторые преобразования. Для этого элементы столбца №4 умножаем на 1 и складываем с элементами столбца №1 умноженными на 2. Все остальные столбцы оставляем без изменений.
Разложим по строке №4
в трех слагаемых присутствует умножение на ноль остается только один. Разложим за строкой №1.
Ответ: определитель равен -584
1.2 Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку
Найти обратную матрицу А-1. Припишем справа к исходной матрице единичную.
Требуется привести левую часть расширенной матрицы к единичной. В результате чего правая часть расширенной матрицы будет содержать матрицу обратную к исходной.
Делим строку №1 на а1,1 = -1
Вычитаем из строки № 2 строку № 1 умноженную на a2,1= 1, вычитаемая строка = (1 -6 7 -1 0 0)
Делим строку №2 на a2,2 = -2 умножим на 1 и вычтем из строки №3, вычитаемая строка = (0 1 2 -1/2 -1/2 0)
Делим строку 3 на a3,3 = -3
Вычитаем из строки №2 строку №3 умноженную на a2,3= 2, вычитаемая строка (0 0 2 -1/3 -1/3 -2/3)
Вычитаем из строки №1 строку №3 умноженную на a1,3=7, вычитаемая строка (0 0 7 -7/6 -7/6 -7/3)
Вычтем из строки №1 строку №2 умноженную на a1,2= -6, вычитаемая строка (0 -6 0 1 1 -4)
В полученной расширенной матрице, левая часть является единичной матрицей, а правая обратная к исходной.
Проверка: для проверки перемножаем исходную и полученную матрицы, А * А-1 назовем её матрицей С :
Вычислим элементы матрицы C :
с11=(-1)*(-5/6)+6*(-1/6)+(-7)*(-1/6)=5/6-1+7/6=1
с12= (-1)*1/6+6*(-1/6)+(-7)*(-1/6)=-1/6+(-1)+7/6=0
с13=(-1)+19/3+6*(-1/6)+(-7)*(-1/3)=-19/3+4+7/3=0
с21=1*(-5/6)(-8)*(-1/6)+3*(-1/6)=1/6+4/3+(-1/2)=0
с22=1*1/6+(-8)*(-1/6)+3*(-1/6)=1/6+4/3+(-1/2)=1
с23=1*19/3+(-8)*2/3+3*(-1/3)=19/3+(-16/3)+(-1)=0
с31=0*(-5/6)+1*(-1/6)+(-1)*(-1/6)=0+(-1/6)+1/6=0
с32=0*1/6+1*(-1/6)+(-1)*(-1/6)=0+(-1/6)+1/6=0
с33=0*19/3+1*2/3+(-1)*(-1/3)=0+2/3+1/3=1
Получим единичную матрицу
Тема 2. Системы линейных уравнений
Решить систему линейных уравнений двумя способами: методом обратной матрицы, методом Гаусса.
Дано:
2.1 Метод обратной матрицы
Определим совместность системы уравнений. По теореме Кронекера-Копелли, необходимо и достаточно, что бы ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы были равны.
Основная
Расширенная
Ранг основной А равен 3 расширенной В тоже 3 количество неизвестных N также равно 3. Значит система имеет единственное решение.
Если ввести матричные обозначения
Значит N= A-1*C
Найти обратную матрицу А-1. Припишем справа к исходной матрице единичную и
разделим строку №1 на 2
вычтем строку №1 из нижних строк умножая на 1 и 1 соответственно
делим строку №2 на 9/2
Вычитаем строку №2 из нижних строк умножая на 3/2
Вычитаем строку №3 из вышестоящих умножая на -1 и 3/2 соответственно
Вычитаем строку №2 из вышестоящих умножая на -3/2
определитель матрица уравнение координата
Обратная матрица
Для нахождения матрицы N умножим обратную матрицу А-1 на матрицу С
x = 1/3*(-10)+1/3*13+0*0=1
y = -4/9*(-10)+(-1/9)*13+1*0=3
z = -1/3*(-10)+(-1/3)*13+1*0=-1
Ответ: x= 1, y= 3, z= -1 .
2.2 Метод Гауса
Совместимость матриц приведена в предыдущем задании, опустим его. Данные приведены там же. При вычислении буду использовать десятичные дроби, при данном способе они удобней.
Приведем расширенную матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, при котором все элементы ниже главной диагонали равны 0.
Левая часть расширенной матрицы В будет является ответом на задание, x = 1; y = 3; z = -1; сравнив результаты с ответами на задание 2.1 увидим, что они равны.
Ответ: x= 1, y= 3, z= -1 .
Уравнение плоскости
Даны две точки М1 и М2.
1. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору n = M1M2
2. Определить длины отрезков, отсекаемые плоскостью от осей координат.
Сделать чертеж.
М1 (4;-2;0); М2 (4;2;5)
Решение
уравнение плоскости это уравнение вида
A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0
Где ( А ; В ; С ) координаты нормального вектора ( x1 ; y1 ; z1 ) координаты точки принадлежащей плоскости.
Найдем координаты нормального вектора n
Запишем уравнение плоскости, проходящей через данную точку М1 (4 ; -2 ; 0 ) и перпендикулярно вектору n 0 ; 4 ; 5 будет
0 * ( x - 4) + 4 * ( y - (-2 ) ) + 5 * ( z - 0) = 0
0 x - 0 + 4 y + 8 + 5z - 0 = 0
4 y + 5 z +8 = 0 уравнение не полное
4 y + 5 z +8 = 0 - уравнение плоскости параллельной оси X
Решение
Уравнение плоскости 4 y + 5 z +8 = 0 плоскость параллельна оси Ox и не пресекает её и не отсекает никаких отрезков.
Плоскость пресекает ось Oy в точке с координатами где координата по оси Oz = 0
4 y + 5 z +8 = 0
4 y + 5 * 0 +8 = 0
4 y +8 = 0
y = - (8/4)
y = - 2
Величина отрезка по оси Oy равна 2
Плоскость пресекает ось Oz в точке с координатами где координата по оси Oy = 0
4 y + 5 z +8 = 0
4 * 0 + 5 z +8 = 0
5 z +8 = 0
z = - (8/5)
z = - 1.6
Величина отрезка по оси Oz равна 1.6
Ответ: величина отрезка по оси Oy равна 2 ; величина отрезка по оси Oz равна 1.6
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [462,6 K], добавлен 12.11.2010Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.
реферат [109,2 K], добавлен 06.04.2003Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.
контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.
контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016Решение системы уравнений по формулам Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса. Преобразование и поиск общего определителя. Преобразование системы уравнений в матрицу и приведение к ступенчатому виду. Алгебраическое дополнение элемента.
контрольная работа [84,5 K], добавлен 15.01.2014Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014Понятие матрицы. Метод Гаусса. Виды матриц. Метод Крамера решения линейных систем. Действия над матрицами: сложение, умножение. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные пребразования систем. Математические перобразования.
лекция [45,4 K], добавлен 02.06.2008Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014Решение системы методом Гаусса. Составление расширенной матрицу системы. Вычисление производной сложной функции, определенного и неопределенного интегралов. Область определения функции. Приведение системы линейных уравнений к треугольному виду.
контрольная работа [68,9 K], добавлен 27.04.2014Понятие обратной матрицы. Пошаговое определение обратной матрицы: проверка существования квадратной и обратной матрицы, расчет определителя и алгебраического дополнения, получение единичной матрицы. Пример расчета обратной матрицы согласно алгоритма.
презентация [54,8 K], добавлен 21.09.2013Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014Вычисление определителя 4-го порядка, математическое решение системы методами матрицы, Крамера и Гаусса. Характеристика понятий невырожденной и обратной, транспонированной и присоединенной матрицы, нахождение алгебраических дополнений элементов таблицы.
контрольная работа [64,5 K], добавлен 12.06.2011Понятие матрицы и ее основные элементы. Пример нахождения ее ранга путем приведения к ступенчатому виду. Описание действий над матрицами. Разбор умножения их на примере. Особенности алгебраического дополнения. Алгоритм определения обратной матрицы.
презентация [617,0 K], добавлен 15.09.2014Понятие равных матриц, их суммы и произведения. Нахождение элемента матрицы, свойства ее произведения. Расположение вне главной диагонали элементов квадратной матрицы. Понятие обратной матрицы, матричные уравнения. Теорема о базисном миноре, ранг матрицы.
реферат [105,3 K], добавлен 21.08.2009
