Линейные неравенства. Функция. Вектор. Интеграл
Нахождение длинны стороны, внутреннего угла, точки пересечения высот. Уравнение медианы, проведенной через вершину. Система линейных неравенств. Понятие функции и её график. Координаты вектора в базисе. Производная функции и неопределённый интеграл.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.12.2012 |
| Размер файла | 333,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Ситуационная (практическая) задача № 1
Дан треугольник ABC: A (5; -4), B (2; 0), C (8; -3). Найти:
длину стороны AB;
внутренний угол A с точностью до градуса;
уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C;
точку пересечения высот;
уравнение медианы, проведенной через вершину C;
систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.
Сделать чертеж.
Решение.
1. Длину стороны найдем как расстояние между точками:
ед.
2. Составим уравнение стороны АВ. Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:
.
В данном случае получаем:
или .
Аналогично для стороны АС получаем:
или .
Внутренний угол А находим как угол между прямыми АВ и АС:
.
Следовательно,
.
3. Запишем уравнение АВ с угловым коэффициентом:
.
Условие перпендикулярности прямых имеет вид:
.
Следовательно, уравнение высоты СD запишется в виде
.
Подставив координаты точки С, получаем:
,
откуда находим
.
Окончательно уравнение СD примет вид:
.
Запишем общее уравнение стороны АВ:
.
Длину высоты находим как расстояние от точки С до прямой АВ:
ед.
4. Запишем уравнение АС с угловым коэффициентом:
.
Согласно условию перпендикулярности прямых, уравнение высоты ВЕ будет иметь вид:
.
Подставив координаты точки В, получаем:
.
Окончательно, уравнение ВЕ имеет вид:
.
Точку пересечения высот находи как решение системы уравнений:
Итак, точка пересечения высот есть .
5. Найдем координаты точки Н - середины стороны АВ.
.
Запишем уравнение медианы СН:
.
6. Составим систему неравенств, определяющих треугольник, согласно чертежу (рис. 1).
Рис. 1.
Сторона АВ имеет уравнение
;
АС - уравнение
.
Найдем уравнение стороны ВС.
или .
Согласно рисунку, описываемая область лежит ниже прямой ВС и выше прямых АВ и АС. Следовательно, система неравенств примет вид:
Ситуационная (практическая) задача № 2
Исследовать функцию и построить её график.
y =
Решение.
1. Найдем область определения функции.
.
2. Находим асимптоты.
- граница области определения. Найдем односторонние пределы.
.
Следовательно, прямая - вертикальная асимптота.
Наклонную асимптоту ищем в виде:
.
;
Следовательно, наклонная асимптота имеет уравнение
.
Находим пределы функции при
. .
3. Проверим, является ли функция четной или нечетной:
,
следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Функция периодичностью не обладает.
5. Находим первую производную:
.
Получаем три критические точки
.
Также критической является точка разрыва функции. Результаты исследования на монотонность и экстремум оформляем в виде таблицы.
|
-1 |
0 |
1 |
4 |
|||||||
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
Не сущ |
- |
0 |
+ |
||
|
возр |
0,25, мах |
убыв |
0, мин |
возр |
Не сущ |
убыв |
10,67, мин |
возр |
6. Найдем вторую производную:
Вторая производная равна нулю при
не существует в точке разрыва функции. Результаты исследования на выпуклость и точки перегиба оформим в виде таблицы.
|
-0,29 |
1 |
|||||
|
- |
0 |
- |
Не сущ |
+ |
||
|
выпукла |
0,08 перегиб |
вогнута |
Не сущ |
вогнута |
7. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью Ох:
, при .
С осью Оу:
, тогда .
8. Вычислим координаты дополнительных точек.
|
х |
-5 |
0,3 |
0,7 |
2 |
10 |
|
|
у |
-2,08 |
0,42 |
14,7 |
16 |
14,81 |
9. Строим график функции (рис. 2):
Рис. 2.
Тестовые задания
1. Даны векторы Найти координаты вектора в базисе . 1 (1, 2, 0, 1), 2 (0, 1, 2, 3), 3 (1, 3, 2, 2), 4 (0, 1, 3, 1), (1, 0, 1, 5).
А. (1; 1; -2; 2)
Б. (1; -1; 0; 2)
В. (-6/5; 22/15; 7/3; 8/15)
Г. (0; 2; -1; 1)
Верный ответ: Г.
Решение.
Вычислим определитель, составленный из координат векторов , предварительно получив в определителе нули в четвертом столбце:
Так как определитель не равен нулю, векторы образуют базис и вектор
можно разложить в данном базисе:
.
Это векторное равенство равносильно системе четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
Решая систему, получаем:
.
Следовательно,
.
2. Найти производную функции
А.
Б.
В.
Г.
Верный ответ: А.
Решение.
3. Найти производную функции
А.
Б.
В.
Г.
Верный ответ. Г.
Решение.
4. Найти производную функции
А.
Б.
В.
Г.
Верный ответ: А.
Решение.
треугольник неравенство функция вектор интеграл
5. Найти производную функции
А.
Б.
В.
Г.
Верный ответ: Г.
Решение.
6. Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределённый интеграл
А.
Б.
В.
Г.
Верный ответ: В.
Решение.
7. Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределённый интеграл
А.
Б.
В.
Г.
Верный ответ: А.
8. Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределённый интеграл
А.
Б.
В.
Г.
Верный ответ: Б.
Решение.
Используем формулу интегрирования по частям.
9. Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределённый интеграл
А.
Б.
В.
Г.
Верный ответ: А.
Решение.
Преобразуем подынтегральную дробь.
Приравнивая числители, получаем систему уравнений:
Решая систему, находим:
.
Таким образом, дробь запишется в виде:
Исходный интеграл равен:
10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
.
А. 4/3
Б. 32/3
В. 8/3
Г. 1/3
Верный ответ: В.
Решение.
Строим графики функций и находим координаты их общих точек.
- прямая, проходящая через точки (0;4) и (-1;1).
- парабола, с ветвями направленными вверх и вершиной в точке (-0,75;-0,875). Найдем абсциссы точек пересечения линий как решение уравнения:
Вычисляем площадь фигуры, ограниченной графиками заданных функций:
Библиографический список
Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов по экон. специальностям / [Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера.- 3-е изд.- М.: ЮНИТИ, 2009.- 478, [1] с. (МОРФ)
Высшая математика для экономических специальностей: учеб. и практикум / [Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера.- 3-е изд., перераб. и доп.- М.: ЮРАЙТ, 2010.- 909 с.
Шипачев, Виктор Семенович. Высшая математика: учеб. для высш. учеб. заведений / В.С. Шипачев.- 8-е изд., стер.- М.: Высш. шк., 2007.- 479 с.: ил. (МОРФ)
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Уравнение стороны треугольника и ее угловой коэффициент. Координаты точки пересечения медиан. Уравнение прямой, проходящей через точки. Область определения функции. Поиск производной и предела функции. Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.
контрольная работа [94,9 K], добавлен 12.05.2012Определение точки пересечения высот треугольника и координат вектора. Сущность базиса системы векторов и его доказательство. Определение производных функций, исследование ее и построение графика. Неопределенные интегралы и их проверка дифференцированием.
контрольная работа [168,7 K], добавлен 26.01.2010Функциональные ряды. Неопределенный интеграл и его свойства. Асимптоты. Экстремум функции (для одной переменной). Производная: ее геометрический и физический смысл. Замечательные пределы. Точки разрыва функции, классификация. Предел функции по Гейне.
шпаргалка [74,1 K], добавлен 05.01.2008Нахождение асимптот функции, локальных и глобальных экстремумов. Промежутки выпуклости и точки перегиба функции. Область определения функции и точки пересечения с осями. Нахождение определенного и неопределенного интегралов. Выполнение деления с остатком.
контрольная работа [312,9 K], добавлен 26.02.2012Косвенный интеграл от функции, обращающейся в бесконечность в изолированной точке. Комплексный интеграл Пуассона. Абстрактный расходящийся ряд. Векторы. Аксиоматичный математический анализ. Эмпирический вектор. Экспериментальный интеграл Фурье.
реферат [24,3 K], добавлен 04.05.2008Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010Пределы последовательностей и функций. Производная и дифференциал. Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков). Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений
контрольная работа [186,9 K], добавлен 11.06.2003Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Вычисление площади ромба. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Нахождение производной функции и асимптот графика. Правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.
контрольная работа [158,8 K], добавлен 24.04.2009Функция многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные. Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы. Интегральное исчисление функций. Неопределённный интеграл.
курс лекций [309,0 K], добавлен 08.04.2008Линейные операции над векторами. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Варианты решений систем линейных уравнений. Действия с матрицами. Модель транспортной задачи, ее решение распределительным методом. Исследование функций с помощью производных.
контрольная работа [1,0 M], добавлен 09.10.2011Полное исследование функции с помощью производных, построение графика функции, нахождение ее наибольшего и наименьшего значения на отрезке. Методика вычисления неопределенных и определенных интегралов. Нахождение общего решения дифференциального уравнения
контрольная работа [133,4 K], добавлен 26.02.2012Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.
курсовая работа [232,5 K], добавлен 21.10.2011Некоторые применения производной. Использование основных теорем дифференциального исчисления к доказательству неравенств. Первообразная и интеграл в задачах элементарной математики. Монотонность интеграла. Некоторые классические неравенства.
курсовая работа [166,4 K], добавлен 11.01.2004Первообразная функции и неопределенный интеграл. Геометрический смысл производной. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х. Понятие подынтегрального выражения. Проверка правильности результата интегрирования, примеры задач.
презентация [198,4 K], добавлен 18.09.2013Понятие производной, ее геометрический и физический смысл, дифференциал. Исследование функций и построение графиков. Разложение на множители, упрощение выражений. Решение неравенств, систем уравнений и доказательство тождеств. Вычисление пределов функции.
контрольная работа [565,5 K], добавлен 16.11.2010Общее уравнение прямой, переходящей через определенную точку. Условия перпендикулярности прямых. Условие перпендикулярности плоскостей. Свойства медианы треугольника. Нахождение направляющих векторов прямых. Условие параллельности прямой и плоскости.
контрольная работа [87,1 K], добавлен 07.09.2010Нахождение длины сторон и площади треугольника, координат центра тяжести пирамиды, центра масс тетраэдра. Составление уравнений геометрического места точек, высоты, медианы, биссектрисы внутреннего угла, окружности. Построение системы линейных неравенств.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 13.12.2012Определение неопределенного интеграла, первообразной от непрерывной функции, дифференциала от неопределенного интеграла. Вывод формулы замены переменного в неопределенный интеграл и интегрирования по частям. Определение дробнорациональной функции.
шпаргалка [42,3 K], добавлен 21.08.2009Определение производной, понятие интеграла и определение предела функции. Дифференцирование и применение производной к решению задач. Исследование функции, вычисление интегралов и доказательство неравенств. Порядок вычисления пределов, Правило Лопиталя.
курсовая работа [612,2 K], добавлен 01.06.2014Проверка совместности системы уравнений, ее решение матричным методом. Координаты вектора в четырехмерном пространстве. Решение линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника. Определение пределов, производных; исследование функции.
контрольная работа [567,1 K], добавлен 21.05.2013
