Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені М.П. Драгоманова

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

ТА ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

КУРСОВИЙ ПРОЕКТ

(РОБОТА)

з математичного аналізу

на тему: НАБЛИЖЕНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ТА ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ

Студентки 3 курсу 1МІА групи

напряму підготовки 6.040201Математика

Недопас І.С.

Керівник канд. фіз.-мат. наук, проф.

Колесник Т.В.

Національна шкала ______________

Кількість балів: ______ Оцінка: ECTS ____

м. Київ -2012

План

Вступ

§1. Відокремлення коренів

§2. Методи наближеного розв'язання рівнянь

2.1) Графічний метод

2.2) Метод половинного ділення

2.3) Метод пропорційних частин (метод хорд)

2.4) Метод Ньтона (метод дотичних)

2.5) Комбінований метод (метод дотичних і хорд)

2.6) Метод послідовних наближень (метод ітерації)

§3. Приклади

Висновки

Список використаної літератури

Вступ

алгебраїчний трансцендентний рівняння

Спочатку дамо означення алгебраїчних та трансцендентних рівнянь. Отже трансцендентне рівняння -- рівняння, що містить трансцендентну функцію. Алгебраїчне рівняння-- рівняння виду , де Р -- многочлен від змінних. Ці змінні називають невідомими.

Задача про знаходження наближених значень дійсних коренів рівняння f(x)=0 передбачає попереднє відділення кореня, тобто встановлення проміжку, в якому інших коренів даного рівняння немає. Будемо припускати, що функція f(x) у проміжку [a, b] неперервна разом зі своїм похідним f '(x) і f''(x), значення f(a) і f(b) функції на кінцях проміжку мають різні знаки, тобто f (a)f (b) <0, і обидві похідні f '(x) і f''(x) зберігають знак у всьому проміжку [a, b].

Так як дійсними коренями рівняння f (x) = 0 є абсциси точок перетину кривої у=f(x) з віссю Ox, то відділення кореня можна зробити графічно. Замість рівняння у=f(x) можна взяти рівняння у=rf(x), де r - постійна величина, відмінна від нуля, так як рівняння f(x)=0 і rf(x)=0 рівносильні.

Постійну величину r можна взяти так, щоб ординати точок графіка не були надмірно великими чи, навпаки, щоб графік не був занадто близький до осі Ox. Іноді буває корисно рівняння f(x)=0 записати у вигляді .Дійсними коренями вихідного рівняння служать абсциси точок перетину графіків функцій і .

§1. Відокремлення коренів

Якщо рівняння алгебраїчне або трансцендентне достатньо складне, то його корінь порівняно рідко вдається знайти точно. Крім того, в деяких випадках рівняння містить коефіцієнти, відомі лише наближено, і, отже, сама задача про точному визначенні коренів рівняння втрачає сенс. Тому важливого значення набувають способи наближеного знаходження коренів рівняння і оцінки ступеня їх точності.

Нехай дано рівняння ,(1) де функція визначена і неперервна на деякому скінченному або нескінченному інтервалі .

В подальшому в деяких випадках нам знадобиться існування і неперервність першої похідної або навіть другої похідної , що буде обумовлено у відповідних місцях.

Всяке значення , що обертає функцію в нуль, тобто таке, що , називається коренем рівняння (1) або нулем функції .

Ми будемо припускати, що рівняння (1) має лише ізольовані корені, тобто для кожного кореня рівняння (1) існує окіл, що не містить інших коренів цього рівняння.

Наближене находження ізольованих дійсних коренів рівняння (1) зазвичай складається з двох етапів:

1) відділення коренів, тобто встановлення можливо тісних проміжків , в яких міститься один і тільки один корінь рівняння (1);

2) уточнення наближених коренів, тобто доведення їх до заданого степеня точності.

Для відділення коренів корисна відома теорема із математичного аналізу.

Теорема 1. Якщо неперервна функція приймає значення різних знаків на кінцях відрізка , тобто , то всередині цього відрізка міститься щонайменше один корінь рівняння , тобто найдеться хоча б одне число, що .

Корінь явно буде єдиним, якщо похідна існує і зберігає постійний знак всередині інтервалу , тобто якщо (або ) при .

Процес відділення коренів починається з установлення знаків функції в граничних точках і області її існування.

Потім визначаються знаки функції в ряді проміжних точок , вибір яких враховує особливості функції . Якщо виявиться, що , то в силу теореми 1 в інтервалі рівняння має корінь. Потрібно тим або іншим способом впевнитися, чи є цей корінь єдиним. Для відділення коренів практично часто буває достатньо провести процес половинного поділу, приблизно ділячи даний інтервал на дві, чотири, вісім і т.д. рівних частин (до деякого кроку) і визначаючи знаки функції в точках поділу. Корисно пам'ятати, що алгебраїчне рівняння го степеня

,

має не більше дійсних коренів. Тому якщо для такого рівняння ми отримали зміну знаків, то всі його корені відділені.

Приклад.

Відділити корені рівняння . ()

Розв'язання. Знаходимо похідну , отже при . Маємо ; ; . Отже, рівняння (2) має тільки два дійсних кореня, з яких один лежить в інтервалі , а другий - в інтервалі .

§2. Графічний метод

Дійсні корені рівняння (3) приблизно можна визначити як абсциси точок перетину графіка функції з віссю (мал.1).

мал.1

Якщо рівняння (3) не має близьких між собою коренів, то цим способом його корені легко відділяються. На практиці часто вигідно рівняння (3) замінити рівносильним йому рівнянням (4), де функції та відомі, шукані корні отримаємо як абсциси точок перетину цих графіків.

Приклад.

Графічно розв'язати рівняння (5)

Розв'язання. Запишемо рівняння (5) у вигляді рівності . Звідси зрозуміло, що корені рівняння (5) можуть бути знайдені як абсциси точок перетину логарифмічної кривої і гіперболи . Побудувавши ці криві (мал.2) на координатній площині, наближено знайдемо єдиний корінь , рівняння (5).

мал.2

Знаходження коренів рівняння (4) спрощується, якщо одна з функцій або лінійна, тобто, наприклад . В цьому випадку корені рівняння (4) знаходяться як абсциси точок перетину кривої і прямої . Особливо вигідним виявляється цей прийом при розв'язуванні ряду однотипних рівнянь, що відрізняються тільки коефіцієнтами і лінійної функції. Тут графічна побудова зводиться до знаходження точок перетину фіксованого графіку різними прямими. До вказаного типу, очевидно, відносяться тричленні рівняння .

2.1 Метод половинного поділу

Нехай дано рівняння (6) де функція неперервна на і .

Для находження кореня рівняння (6), що належить відрізку , ділимо цей відрізок навпіл. Якщо , то є коренем рівняння. Якщо , то обираємо ту з половин або , на кінцях якої функція має протилежні знаки. Новий звужений відрізок знову ділимо навпіл і проводимо те й же розгляд і т.д. В результаті отримуємо на якомусь етапі або точний корінь рівняння (1), або ж нескінченну послідовність вкладених один в одного відрізків таких, що

, (7)

і

.(8)

Так як ліві кінці утворюють монотонно неспадну обмежену послідовність, а праві кінці - монотонну незростаючу обмежену послідовність, то в силу рівності (8) існує спільна границя .

Переходячи до границі при в нерівності (7), в силу неперервності функції отримаємо . Звідси , тобто є коренем рівняння (6), причому, очевидно, .(9)

Якщо корені рівняння (6) не відділені на відрізку , то таким способом можна знайти один з коренів рівняння (6).

Метод половинного ділення практично зручно застосовувати для грубого знаходження кореня даного рівняння, так як при збільшенні точності значно зростає об'єм обчислювальної роботи.

Замітимо, що метод половинного ділення легко реалізується на електронних обчислювальних машинах. Програма обчислювання складається так, щоб машина знаходила значення правої частини рівняння (6) всередині кожного з відрізків і вибрала відповідну його половину.

Приклад.

Методом половинного поділу уточнити корінь рівняння , що лежить на відрізку .

Розв'язання. Послідовно маємо:

; ;

;

;

;

;

;

і т.д.

Можна прийняти .2.2 Метод пропорційних частин (метод хорд)

Метод хорд -- один з поширених ітераційних методів. Його ще називають методом лінійного інтерполювання, методом пропорційних частин, або методом хибного положення.

Цей метод забезпечує швидку збіжність, ніж метод половинного ділення. Ідея методу полягає в тому, що на достатньо малому проміжку [a,b] функція f(x) змінюється лінійно і тому дуга кривої f(x) замінюється хордою, яка її стягує. За наближене значення кореня можна прийняти точку перетину хорди з віссю абсцис (точка А на мал.3)

Абсциса точки А, є наближеним коренем х1, яка була знайдена з рівняння прямої, якщо покласти у = 0, тоді х = х1

(11)

Якщо значення кореня х1 нас не задовольняють, його можна уточнити, застосувавши метод хорд до відрізку [х1,b].

 (12)

І взагалі, має місце ітераційна формула

, (13)

За наведеними формулами обчислюють корені і тоді, коли f(a) > 0; f(b) < 0; f'(x) < 0; f''(x) < 0, тобто, коли f'(x) ·f''(x) > 0 (мал.4)

У випадку, коли перша і друга похідні мають різні знаки, тобто f'(x)·f''(x)<0, то ітераційна формула має вигляд

(14)



Відмітимо, що формули (14) і (13) тотожні.

Метод хорд має лінійну збіжність - похибка на наступній ітерації пропорційна (лінійно) похибці на попередній ітерації.

Приклад.

Відокремити корені рівняння аналітично і уточнити один з них методом хорд з точністю до 0,01.

Розв'язання. Маємо функцію . Похідна ; .

Складемо таблицю знаків функції :

		-1	0
	-	-	+	+

Рівняння має один дійсний корінь, що лежить на проміжку

Щоб уточнити корінь, знаходимо другу похідну ; на проміжку виконується нерівність .

Для обчислень використаємо формулу

, де .

Результати обчислень розміщуємо в таблиці.

0 1 2 3 4	0 -0,882 -0,943 -0,946 -0,946	0 -0,6861 -0,8386 -0,8466	0 0,7779 0,8892 0,8949	0 0,1556 0,1778 0,1790	0 -0,441 -0,4715 -0,473	1,5 0,2173 0,0121 0,0014	1,7 0,4173 0,2121 0,2014	1 0,118 0,057 0,054	-0,118 -0,057 -0,054 -0,054
Отже,

2.3 Метод Ньютона (метод дотичних)

Нехай рівняння 0 на відрізку має ізольований корінь , тобто , а функції і неперервні і зберігають знак на . Нехай - -е наближення кореня. Розкладемо в ряд Тейлора в околі точки : . Замість рівняння розглядатимемо рівняння , яке враховує тільки лінійну відносно -ту частину ряду Тейлора. Розв'язавши його відносно , дістанемо .

Взявши знайдене значення x за наступне наближення, матимемо , (15).

Формула (15) визначає метод Ньютона. Він має просту геометричну інтерпретацію. Значення є абсцисою точки перетину дотичної до кривої в точці (мал. 1). Тому метод Ньютона називають ще методом дотичних. З малюнка видно, що послідовні наближення збігаються до кореня монотонно.

Мал.7 ілюструє такі випадки: а); б); в); г).

За початкове наближення у методі Ньютона слід брати точку , в якій .

Метод Ньютона є методом послідовних наближень , де функція .

Приклад.

Методом дотичних знайти корінь рівняння з точністю до 0, 00005 на проміжку .

Розв'язання. З виразів для і :

знаходимо, що при довільних , .

Обчислення подані в таблиці:

k	xk	f(xk)	fґ(xk)
0 1 2 3 4	1,00 0,81 0,790 0,78560 0,78544	1,67 0,17 0,03 0,0011 0,00000	8,74 7,04 6,88 6,8396	0,75 0,08 0,01 0,0005 0,00000

З таблиці знаходимо, що з точністю до 0,00005.

2.4 Комбінований метод

Характерна особливість методів дотичних і хорд та, що послідовності їх наближень монотонні. Причому, якщо для даного рівняння послідовність наближень методу хорд монотонно спадна, то послідовність наближень методу дотичних - монотонно зростаюча, і навпаки. Одночасне застосування цих методів дає змогу наближатися до кореня рівняння з двох боків, дістаючи наближення з недостачею і надлишком.

Розглянемо рівняння , корінь якого належить Нехай, наприклад, , .

У даному випадку за початкове наближення в методі хорд вибирають точку , а в методі дотичних - точку. На відрізку застосовують метод дотичних і хорд. У результаті дістають нові наближення і , і початковий відрізок ізоляції кореня звузився. Для знаходження нових наближень застосовують метод дотичних і хорд уже на відрізку. У результаті дістають наближення і відповідно. Такий процес продовжують доти, поки довжина відрізка стане меншою або дорівнюватиме величині 2е, де е - наперед задана точність кореня.

За шукане значення кореня x' беруть півсуму наближень і , тобто , а модуль їх піврізниці дасть граничну абсолютну похибку наближеного кореня, тобто

.

Зазначимо, що на кожному кроці комбінованого методу за нерухомий кінець с у формулі методу хорд треба брати наближення, обчислене на тому ж кроці за формулою дотичних.

Формули комбінованого методу дотичних і хорд мають вигляд:

(16)

(17)

За початкове наближення b0 у формулі (1) методу дотичних беруть той з кінців відрізка в якому значення функції і її другої похідної мають однакові знаки, тоді протилежний кінець відрізка беруть за початкове наближення a0 у формулі (2) методу хорд.

Завдяки своєрідній комбінації методів дотичних і хорд комбінований метод має вищу швидкість збіжності, ніж методи хорд і дотичних окремо взяті.

Приклад.

Комбінованим методом хорд і дотичних розв'язати рівняння третього степеня x3-2x2-4x+7=0, обчисливши корені з точністю до 0,001.

Розв'язання. Відокремимо корені аналітично. Знаходимо

f(x)= x3-2x2-4x+7,

f'(x)= 3x2-4x-4; x1,2=(2±v16)/3=(2±4)/3; x1= -2/3, x2=2.

Складемо таблицю знаків функцій f(x):

x	- ?	-2/3	2	+ ?
Signf(x)	-	+	-	+

Отже, рівняння має 3 дійсних кореня на відрізках

Зменшимо проміжки, що містять корені, до довжини, рівній 1.

x	-2	-1	0	1	2	3
Signf(x)	-	+	+	+	-	+

Отже, x1 належить відрізку - відрізку - відрізку

Уточнимо корені комбінованим методом хорд і дотичних.

1.x1 належить відрізку При маємо. Для розрахунків застосовуємо формули

Всі розрахунки проводимо в таблиці:

xn	?xn --xn	xn2	xn3	f(xn )	f'(xn )	f(?xn )- f(xn )	h1n
?xn		?xn2	?xn3	f(?xn )			h2n
-2	1	4	-8	-1	16	9	-0.06
-1		1	-1	-8			-0.11
-1.94	0.05	3.7636	-7.3014	-0.0686	15.0508	0.7331	-0.0045
-1.89		3.5721	-6.7513	0.6645			-0.0047
-1.9355	0.0002	3.7462	-7.2507	-.0011	-	-	-
-1.9353		3.7454	-7.2484	0.0020			-

Отже x=1.935.

2. x3 належить відрізку [2;3]; f(2)<2; f(3)>0; f''(x)=6x-4. При 2?x?3 маємо f''(x) >0. Для розрахунків застосовуємо формули

xn+1= xn - f(xn )/ f'(xn ),

?xn+1= xn - [f(xn )/ f(?xn )- f(xn )]( ?xn --xn).

Всі розрахунки проводимо в таблиці:

xn	?xn --xn	xn2	xn3	f(xn )	f'(xn )	f(?xn )- f(xn )	h1n
?xn		?xn2	?xn3	f(?xn )			h2n
2	1	4	8	-1	5	11	-0.20
3		9	27	4			0.36
2.2	0.44	4.84	10.648	-0.832	1.7325	6.3488	-0.126
2.64		6.9696	18.3997	-0.9005			0.142
2.326	0.172	5.4103	12.8430	-0.2816	0.3971	4.728	-0.122
2.498		6.2400	15.5875	0.1155			-0.024
2.448	0.026	5.9927	14.6701	-0.1073	0.1125	4.4661	-0.0248
2.474		6.1207	15.1426	0.0052			0.0012
2.4728	0
2.4728

Отже x=2.473

3. x2 належить відрізку [1;2]; f(2)<0; f(1)>0; f''(x)=6x-4. При 1?x?2 маємо f''(x) >0. Для розрахунків застосовуємо формули xn+1= xn - f(xn )/ f'(xn ),

?xn+1= xn - [f(xn )/ f(?xn )- f(xn )]( ?xn --xn).

Всі розрахунки проводимо в таблиці:

xn	?xn --xn	xn2	xn3	f(xn )	f'(xn )	f(?xn )- f(xn )	h1n
?xn		?xn2	?xn3	f(?xn )			h2n
1	1	1	1	2	-5	-3	-0.4
2		4	8	-1			-0.7
1.4	0.3	1.96	2.744	0.224	-3.72	-0.891	-0.060
1.7		2.89	4.913	-0.667			-0.075
1.46	0.015	2.1316	3.1121	0.0089	-3.4452	-0.0511	-0.0025
1.475		2.1756	3.2090	-0.0422			-0.0026
1.4625	0.0001	2.1389	3.1282	0.0004
1.4626		2.1392	3.1288	0

Отже x=1.463.

2.5 Метод послідовних наближень (метод ітерації)

Розглянемо задачу розв'язання одного рівняння з одним невідомим:

f (x) = 0, (18)

де функція f (x) визначена і неперервна в деякому скінченному або нескінченному інтервалі a <x <b.

Наведемо рівняння (1) до еквівалентного рівняння:

x = g (x). (19)

Для знаходження кореня рівняння (19) виберемо будь-яке початкове наближення (розташоване, по можливості, близько до кореня x *). Далі будемо обчислювати наступні наближення x(1), x(2), ..., x(k), ... за формулою

x(k+1) = g(x(k)), k = 0, 1, 2,... (20)

тобто, використовуючи кожне обчислене наближення до кореня в якості аргументу функції g (x) в черговий ітерації.

Теорема 1(теорема Бохана). Нехай відображення F є стискуючим на повному метричному просторі X з коефіцієнтом стиску 0<q <1. Тоді:

1) на X існує одна і тільки один розв'язання рівняння x = F (x) (єдина нерухома точка відображення F);

2) корінь x* рівняння x = F (x) дорівнює границі ітераційної послідовності {x(k)} точок з X, яка визначається рекурентною формулою х(k+1) = F(x(k+1)), (k=0,1,2,…), де x(0) - довільний елемент з X;

3) при кожному k = 1, 2, ... справедливі оцінки

і .

Сформулюємо достатню умова збіжності ітераційного процесу.

Теорема 2. Нехай функція g (x) визначена і диференційовна на відрізку [a; b] і для неї виконуються умови:

1) g(x) [a; b] для всіх x [a; b];

2) існує невід'ємне число q, таке, що |g'(x)|  q < 1 для всіх x [a; b].

Тоді рівняння (2) має єдиний корінь x* на інтервалі (a; b), до якого збігається послідовність {x (k)}, обумовлена ??формулою (3), з будь-якого x(0)[a; b]. При цьому для будь-якого k = 1, 2, 3, ... справедливі оцінки похибки:



Доведення. Для доведення збіжності методу ітерації будемо використовувати теорему Банаха. Розглянемо відображення g (x) у просторі X = [a; b] з метрикою (x, y) = x - y. Відомо, що відрізок є повним метричним простором.

Покажемо, що відображення g (x) є стискуючим.

Умова 1) теореми означає, що g (x) відображає відрізок [a; b] в себе.

Візьмемо дві довільних точки x і y з відрізка [a;b]. Розглянемо (g(x), g(y)) =g(x) - g(y). В силу теореми Лагранжа g(x) - g(y) = g'()(x - y), де - деяка точка з [a; b]. В силу умови 2) теореми |g'()|  q < 1, тому

(g(x), g(y)) = g(x) - g(y)= g'()(x - y) qx - y= q(x, y).

Так як q <1, то відображення g (x) - стискуюче.

Теорема доведена.

Приклад.

Знайти додатні корені рівняння методом простої ітерації з точністю .

Розв'язання. Графічне дослідження рівняння показує, що існує єдиний дійсний додатнній корінь цього рівняння і він належить проміжку [1,2]. Оскільки на цьому проміжку , то рівняння можна подати у вигляді . Позначимо . Перевіримо виконання умов теореми про збіжність методу простої ітерації. Виберемо , тоді d=0,5. Розглянемо , тобто .

Тоді , а отже необхідна умова виконується. Відповідні значення та наведені в таблиці

n
0	0150000E+01	0132472E+01
1	0129099E+01	0132472E+01
2	0133214E+01	0901020E-02
3	0132313E+01	0193024E-02
4	0132506E+01	0415444E-03
5	0132464E+01	0892878E-04
6	0132473E+01	0191927E-04
7	0132471E+01	0417233E-05
8	0132472E+01	0953674E-06

Виходячи з отриманих результатів видно, що для досягнення заданої точності достатньо було провести 5 ітерацій (n = 5).

§3. Приклади

Приклад 1. Відокремити корені та розв'язати рівняння

методом половинного ділення з точністю .

Розв'язання.

Знайдемо проміжок, де рівняння має єдиний корінь. Оскільки похідна функції не змінює знак, то задане рівнянні матиме один корінь. Оскільки f(0) = -1 < 0, а , ,то корінь належить проміжку .

Приклад 2. Відокремити графічним методом корені рівняння .

Розв'язання.

Перепишемо дане рівняння у вигляді і розглянемо дві функцій

і .

Точки перетину графіків цих функцій і є корені заданого рівняння. Як видно з малюнка, задане рівняння має два дійсних корені (графіки перетинаються в двох точках), причому один з коренів від'ємний, а другий - додатний. Обидва корені по абсолютній величині не перевищують . .

Приклад 3. Уточнити корінь рівняння методом половинного ділення , який належить відрізку [0;1].

Розв'язання.

Послідовно маємо:

Можна прийняти:

Приклад 4. Методом хорд знайти додатнній корінь рівняння , з точністю до 0,002.

Розв'язання.

Перш за все відділяємо корінь. Оскільки і , то корінь, який шукаємо, лежить в інтервалі (1;2). Отриманий інтервал великий, тому розділимо його навпіл. Оскільки то .

Послідовно застосувавши формули отримаємо:



Таким чином, де Отже корінь рівняння є

Приклад 5. Розв'язати рівняння методом хорд, з точністю до 0,000001. Взяти в якості початкових наближень і кінці відрізка, на якому відділений корінь =, =.

Розв'язання.

Ітераційна формула методу хорд при має вид:

За цією формулою послідовно отримуємо:

Сьоме наближення вже дало нам значення кореня з потрібною точністю; восьма ітерація знадобилася для того, щоб переконатися: з заданою точністю значення перестало змінюватися. Отримуємо, що .

Приклад 6. Розв'яжемо методом Ньютона (дотичних) те ж саме рівняння (з прикладу 5) з точністю до 0,000001. Взяти в якості початкових наближень .

Розв'язання.

Оскільки , то ітераційна формула методу Ньютона буде такою:

Застосовуючи цю формулу, послідовно знаходимо:

Так, що з точністю до 0,000001. Як ми бачимо, значення кореня з потрібною нам точністю було отримано вже на третьому кроці. (Четвертий крок знадобився для того, щоб можна було переконатися, що з потрібної нам точністю значення перестало змінюватися.)

Приклад 7. Обчислити з точністю до 0,0005 корінь рівняння х5 - х - 0,2=0, який знаходиться на відрізку [1; 1,1].

Розв'язання.

Знаходимо та :

В заданому проміжку

Одержуємо х0 = 1; х0 = 1,1;

Тоді

.

точність недостатня, знаходимо наступну пару наближень.

- необхідна степінь точності.

Кращий результат дає наступний порядок обчислень:

1) Знаходиться наближене значення кореня за методом Ньютона;

2) Знаходиться наближене значення кореня за методом хорд, використовуючи замість значення , знайдене за методом Ньютона, і процес повторюється до одержання бажаної похибки обчислень.

Приклад 8. Рівняння звести до вигляду, що допускає використання методу ітерацій. Корінь відокремлений на відрізку [1; 2].

Розв'язання.

.

Тоді , виберемо л так, щоб для

.

Звідси

Оскільки . То на [1; 2]

Значення л можна визначити і таким способом.

Оскільки f'(x) > 0, [1; 2], то

Знайдемо, що .

Звідси

.

Приклад 9. Методом половинного ділення уточнити корені рівняння

х4 + 2х3 - х - 1 = 0, які лежать на відрізку [0,5;1].

Розв'язання.

f(0,5) = - 1,19f(1) = 1f(0,8594) = - 0,043

f(0,75) = -0,59f(0,875) = 0,05

f(0,8125) = - 0,304f(0,8438) = - 0,135.

Приклад 10. Знайти додатнній корінь рівняння х3 - 2х2 +3х -5 = 0.

Розв'язання.

Визначаємо знаки функцій в різних точках

х	0	1	2	1,5	1,8	1,9
f(x)	-	-	+	-	-	+

Зміна знаку проходить на відрізку [1,8; 1,9].

Обчислюємо значення функцій f(1,8) = - 0,248; f(1,9) = 0,339.

Виходячи з того, що f'(x) = 3х2 - 4х + 3 > 0; f''(x) = 6х - 4 > 0знаходимо наближенні значення за формулою (2)

Отже, це корінь рівняння розташований в інтервалі [1,842; 1,9]. Застосовуємо до цього інтервалу метод хорд

Обчислення значень функцій дають

f(1,843683) = - 2,978·10 -4f(1,8437) < 0

f(1,8438) > 0 f(1,8438) > 0.

Обчислення виконуються доти, доки відмінність між двома послідовно обчисленими значеннями xn + 1 i xn не будуть меншими за е

.

Висновок

У курсовій роботі розглядаються методи наближеного розв'язування алгебраїчних та трансцендентних рівнянь. Метод ділення навпіл - найпростіший, надійний, але порівняно повільний метод. Суть методу в тому, що інтервал ділиться навпіл, обраховується значення функції в середній точці, й порівнюється її знак зі знаками функції на кінцях інтервалу. Така процедура дозволяє виділити наполовину менший інтервал із різними знаками функції на його кінцях. Її повторяють доти, доки довжина інтервалу не стане меншою від заданої точності.

Ефективніший - метод хорд. Суть методу хорд полягає в тому, що криву f(x) заміняємо хордою, яка з'єднує кінці відрізка, а наближеним значенням кореня будемо вважати точку перетину хорди з віссю Ох.

Основна ідея методу Ньютона (методу дотичних) полягає в наступному: задається початкове наближення поблизу кореня, після чого будується дотична до досліджуваної функції в точці наближення, для якої знаходиться перетин з віссю абсцис. Точка перетину і береться як наступне наближення. І так далі, поки не буде досягнута необхідна точність.

В основу методу хорд і дотичних лягли характеристичні особливості методу хорд та методу дотичних, які полягають в тому, що послідовності їх наближень монотонні. При чому для першого типу кривої послідовність наближення методу хорд є монотонно зростаюча, а методу дотичних - монотонно спадна. Одночасне використання цих методів дозволяє наближатися до коренів з 2-х боків, одержуючи наближення з недостачею і надлишку відповідно, при чому корінь завжди буде міститися між двома наближеннями.

Суть комбінованого методу хорд і дотичних полягає в тому, що з одного кінця ми будуємо хорди, а з другого дотичні. Цей метод має вищу швидкість збіжності ніж методи хорд і дотичних окремо взяті.

Суть методу ітерації полягає у заміні початкового рівняння еквівалентним йому рівнянням.

Список використаної літератури

1) Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.,1966 - 664с.

2) Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и інтегрального исчисления, том І, М., 1966. - 608с.

3) Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа. - М.: Дрофа, Т.3., 2006 - 306с.

4) Лященко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи. - К.: Либідь, 1996 - 288с.

5) Волков Е.А., Численные методы. - М.: Наука, 1992 - 257 с.

6) Окунєв Л.Я.,Вища алгебра. - М.: Просвіта, 1966. - 335 с.

7) Давидов М.О., Курс математичного аналізу. Ч.1., К.:Вища школа, 1990 - 384с.

Размещено на Allbest.ru

...