Математика других народов Ближнего Востока

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ

БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ”

Математика других народов Ближнего Востока

Выполнила:

студентка факультета

физико-математических и

компьютерных наук

группы МИ - 5

Шевлякова Е.А.

Проверил:

Азаров П.Н

Липецк 2012

Математические представления евреев в библейскую эпоху ограничивались элементарными сведениями о весах и мерах. Однако упоминание в Библии больших чисел -- тысяча (элеф), десять тысяч (ревава) и других свидетельствует об относительно развитой возможности счета. Исключительно словесное наименование чисел в Библии говорит об отсутствии цифровой системы их обозначения (уже существовавшей тогда в Вавилоне). Счет ведется по десятеричной системе (например, эсер -- 10, эсрим -- 20; меа -- 100, матаим -- 200 и т. д.), хотя единицы мер и весов, видимо, заимствованные, основаны чаще на шестеричной и двенадцатеричной системах. Числа свыше тысячи встречаются в Библии главным образом в связи с подсчетом еврейского населения (см. Демография) и расходами царя Давида на подготовку к строительству Храма, когда дважды упоминается миллион -- элеф алафим (буквально `тысяча тысяч`; I Хр. 21:5; 22:14). Неизмеримо большие количества обозначались выражениями ке-хол hа-ям (`как песок морской) или ке-хохвей hа-шамаим (`как звезд на небе`; Быт. 22:17; 41:49). Абстрактных чисел евреи той эпохи не знали, все используемые в Библии числа связаны с исчислением конкретных вещей -- людей, денег и т. д. Это относится к дробным числам, из которых здесь упоминаются 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 и 1/10 (например, Исх. 16:36), и к применению лишь к конкретным ситуациям уже известных тогда четырех арифметических действий (например, Быт. 18:28; Чис. 3:39, 50).

Как и у большинства других древних народов, геометрические представления евреев библейской эпохи также базировались исключительно на практическом опыте и конкретных материальных потребностях -- таких как продажа земельных участков, строительство жилых домов, а также на потребностях культа и т. д. (о единицах измерения длины, площади, объема и т. д. см. Веса и меры). Даже число р -- сравнительно сложное геометрическое понятие, выражающее отношение длины окружности к диаметру, стало, по-видимому, известно евреям лишь в связи со строительством Храма, где впервые возникла необходимость рассчитывать площадь круглых плоских поверхностей, и с измерением так называемого «Соломонова моря» (I Ц. 7:23-26; II Хр. 4:2-5).

Обращение евреев эпохи Талмуда к математике почти исключительно как к вспомогательному средству при решении галахических (см. Галаха) вопросов (абстрактная математика, достигшая к этому времени, особенно у греков, серьезного развития, здесь еще полностью отсутствует) потребовало заметного расширения применяемых математических средств. Так, в Талмуде определяются некоторые иррациональные числа (например, v2 - отношение диагонали к стороне квадрата, принимаемое равным 12/5; Сукка, 8а), решаются задачи, связанные с различными геометрическими фигурами -- треугольниками, окружностями, квадратами, а также вписанными в окружность квадратами, вписанными в квадрат окружностями и т. д. (например, трактаты Миддот и Эрувим Вавилонского Талмуда). Там же делаются попытки исчислять площади фигур, ограниченных частично прямыми, частично кривыми линиями (например, определяется, хоть и не совсем, но для галахических целей достаточно точно, площадь сегмента круга, описанного вокруг квадрата). Обычно такие задачи решались в связи с проблемами кил'аим и эрув. Весьма сложный математический инструментарий используется для астрономических вычислений (см. Астрономия), необходимых для составления календаря, в частности, для определения новолуния, продолжительности года, месяца, суток и часа (также главным образом для галахических целей; см. Календарь). Некоторые исследователи считают, что для астрономических вычислений, производимых законоучителями Талмуда, требовалось уже знание основ тригонометрии, но явных свидетельств этого не обнаружено. Несмотря на то, что начиная с эпохи Хасмонеев в Талмуде применяется уже буквенное обозначение чисел-- в целом математика у евреев той эпохи оставалась на элементарном уровне.

Семитские народы могут претендовать на роль создателей алфавитного принципа обозначения чисел в том виде, как он использовался в ионической системе. Действительно, с небольшими модификациями этот принцип применялся евреями, сирийцами, арамейцами и арабами. И все же существует мало сомнений в том, что алфавитные обозначения чисел были заимствованы ими у древних греков, по-видимому из Милета, которые изобрели эти обозначения еще в 8 в. до н.э. У евреев использование алфавитных обозначений чисел окончательно вошло в обиход к 2 в. до н.э. Девять букв алфавита использовались для обозначения первых девяти целых чисел; еще девять букв означали первые девять кратных числа 10; остальные буквы использовались для обозначения сотен. Так как букв в алфавите для обозначения всех кратных числа 100 не хватало, в Талмуде числа, превосходящие 400, записывались путем комбинации: например, число 500 обозначалось символами, соответствующими числам 400 и 100, а 900 записывалось как 400 и 400 и 100. Позднее для обозначения чисел, кратных 100 и превосходящих 400, использовались окончательные варианты формы букв или других символов, в результате чего все девять кратных числа 100 получили свои индивидуальные обозначения в виде буквы или специального знака. Как и в ионической системе счисления, символы для обозначения первых девяти кратных числа 1000 были такими же, как символы, обозначающие первые девять чисел в разряде единиц. Число 6789 евреи записывали как. Так как запись числа 15 в обычном виде как 10 и 5 совпадает с первыми двумя буквами имени Бога Яхве, древние евреи записывали число 15 как 9 и 6. Высказывалось предположение, что по аналогичным причинам древние римляне избегали записывать число IV вместо IIII, т.к. символ IV совпадает с первыми двумя буквами старо латинского написания имени Юпитер.

Древнейшие известные нам цифры - вавилонские клинописные (2-е тыс. до н. э. - начало н. э.) и египетские иероглифические (2500 - 3000 до н. э.). Нумерацией второго типа являются финикийская, сирийская, пальмирская, греческая аттическая, или геродианова (6 в. до н. э. - 1 в. н. э.). В греч. землях получила распространение более удобная алфавитная ионийская нумерация, в которой единицы, десятки и сотни обозначались буквами алфавита, все остальные числа до 999 - их соединением (первые записи относятся к 5 в. до н. э.). Алфавитное обозначение чисел существовало также и у др. народов (напр., у арабов, сирийцев, евреев, грузин, армян). Нумерации каждое из целых чисел от 1 до 9, а также десятки и сотни обозначались буквами кириллицы (реже глаголицы) с надписанным над ними знаком ~ (титло). Целые числа до 999 составлялись с помощью рядом стоящих Ц. Напр., ТКД = = 324. Здесь Т = 300, К = 20, Д = 4. Тысячи обозначались с помощью приставки к Ц., выражающей число тысяч некоторого знака.

Но тут возникло затруднение: букв мало, а чисел очень много (ко времени изобретения букв люди умели уже считать тысячами). Значит, нужно было не просто изображать числа буквами, а изобрести такую систему записи, чтобы с помощью немногих букв можно было записывать много различных чисел. Система записи, при которой достаточно немногих значков для записи многих чисел, называется системой счисления или нумерацией. Нумерацией с помощью букв уже три тысячи лет тому назад пользовались древние народы - финикиянё и евреи.

От них, вероятно, такая нумерация перешла к древним грекам, а от греков - к римлянам и славянам.

В Индии математика зародилась примерно тогда же, когда и в Египте, - пять с лишним тысяч лет назад. К началу нашего летоисчисления индийцы уже были замечательными математиками. Кое в чем они обогнали даже древних греков. Однако Индия была оторвана от других стран, - на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы.

Индийские ученые сделали одно из важнейших в математике открытий. Они изобрели позиционную систему счисления - способ записи и чтения чисел. Чтобы назвать большое число, индийцам приходилось после каждой цифры произносить название разряда. Это было громоздко, неудобно, и индийцы стали поступать иначе. Например, число 278 396 читали так: два, семь, восемь, три, девять, шесть - сколько цифр - столько слов. А если в числе не было какого-нибудь разряда, как, например, в числах 206 или 7013, то вместо названия цифры говорили слово «пусто». Чтобы не получалось путаницы, при записи на месте «пустого» разряда ставили точку. Позднее вместо точки стали рисовать кружок, который на языке хинди назывался «сунья», что значит «пустое место». Арабские математики перевели это слово на свой язык. Вместо «сунья» они стали говорить «сифр», а это уже знакомое нам слово. Слово «цифра» по наследству от арабов досталось и нам.

Древние индийцы с их высокой интеллектуальностью и склонностью к абстрактному мышлению, естественно, должны были занять ведущее положение в математике. Европа заимствовала начатки арифметики и алгебры у арабов (чем и объясняется название - арабские цифры), а арабы, в свою очередь, заимствовали их у Индии.

Поразительные успехи, достигнутые индийцами в математике, сейчас хорошо известны, и признано, что основы современной арифметики и алгебры были заложены еще в древней Индии. Примитивный метод использования абак и применение римских и подобных им цифр долгое время задерживал прогресс, пока, наконец, десять индийских цифр, включая знак нуль, не освободили человеческий разум от этих ограничений и не показали в новом свете значение чисел. Эти цифровые обозначения были единственными в своем роде и полностью отличались от всех иных обозначений, которые применялись в других странах. Сейчас они получили достаточно широкое распространение, и мы принимаем их как должное, однако в свое время они создали условия для революционного прогресса. Понадобилось много веков, чтобы эти цифровые обозначения пришли из Индии через Багдад в западный мир.

Сто пятьдесят лет назад, во времена Наполеона, Лаплас писал: «Индия дала нам остроумный метод выражения всех чисел посредством десяти знаков, причем, кроме величины каждого знака, имеет значение и его расположение. Эта глубокая и важная мысль кажется нам настолько простой, что мы не замечаем ее истинных достоинств, но ведь сама ее простота и большая легкость, которую она придала всем вычислениям, делают нашу арифметику одним из самых полезных изобретений. Мы оценим все величие этого достижения, когда вспомним, что мимо него прошел даже гений Архимеда и Апполония, двух величайших людей древности.»

Возникновение геометрии, арифметики и алгебры в Индии восходит к далеким временам. Прежде всего, существовала, вероятно, какого-то рода геометрическая алгебра, применявшаяся при начертании фигур для ведических алтарей.

В древнейших книгах упоминается о геометрическом методе преобразования квадрата в прямоугольник по заданной стороне: ax = c.

Геометрические фигуры до сих пор широко используются в индусских обрядах.

Первые хорошо сохранившиеся индийские тексты в области точных наук - это "Сиддханты", часть которых, "Сурья", дошла до нас, вероятно, в достаточно точно соответствующей оригиналу (примерно между 300 и 400 годами н. э.) форме. В этих книгах содержится в основном астрономия, там обнаружены эпициклы и шести десятичные дроби. Такие факты позволяют предположить наличие влияния греческой астрономии, относящегося, быть может, к эпохе "Алмагеста". Возможно, что они указывают на непосредственный контакт с вавилонской астрономией. Но, кроме этого, "Сиддханты" содержат многочисленные типично индийские особенности. "Сурья Сидд-ханта" содержит таблицу значений синуса (джия), а не хорд.

Результаты, изложенные в "Сиддхантах", систематически разъяснялись и развивались в индийских математических школах, укоренившихся преимущественно в Уджджайне (Центральная Индия) и в Майсоре (Южная Индия).

Известны имена и книги отдельных индийских математиков, начиная с пятого столетия н. э.; некоторые книги доступны в английских переводах.

Наиболее известными математиками Индии были Ариабхата (прозванный "первым", около 500 г.) и Брахмагупта (около 625 г.). Насколько они были знакомы с результатами греков, вавилонян и китайцев, можно только предполагать, но, во всяком случае, они проявляют значительную оригинальность. Для их работ характерны арифметико-алгебраические разделы. В их склонности к неопределенным уравнениям проявляется некоторое родство с Диофантом.

Современником Брахмагупты был Бхаскара I, автор комментария к трактату Ариабхаты и астрономического сочинения "Маха-Бхаскария", содержащего математические разделы {неопределенные линейные уравнения, элементы тригонометрии и пр.).

За этими учеными в ближайшие столетия последовали другие, работавшие в тех же областях; в трудах последних представлено астрономическое, частично арифметико-алгебраическое направление, они занимались также измерениями и тригонометрией. Ариабхата I имел для р значение 3,1416.

Любимым предметом было нахождение рациональных треугольников и четырехугольников. Особенно успешно над этим работал Магавира из Майсорской школы (около 850 г.). Известны также трактаты Шридхары (IX - X вв.), Ариабхаты II (около950г.), Шрипати (XI в.) и др. Около 1150г. в Уджджайне, где работал Брахмагупта, жил и работал другой выдающийся математик, Бхаскара П.

Первое общее решение неопределенного уравнения первой степени ах + bу = с (а, b, с - целые числа) встречается у Брахмагупты. Поэтому, строго говоря, нет оснований называть неопределенные линейные уравнения диофантовыми. Диофант допускал еще и дробные решения, индийские математики интересовались только целочисленными. Они пошли дальше Диофанта и в том отношении, что допускали отрицательные корни уравнений, хотя это в свою очередь, должно быть, соответствует более древней практике, сложившейся под влиянием вавилонской астрономии. Например, для уравнения х2 - 45х = 250 Бхаскара II находил решения х = 50 и х = -5, но относительно приемлемости отрицательного корня он высказывал известный скептицизм. Его "Лилавати" в течение столетий оставалась на Востоке образцовой книгой по арифметике и искусству измерений; император Акбар перевел ее на персидский язык (1587 г.), в 1816 г. она была издана в Калькутте и после этого многократно переиздавалась как учебник математики для религиозных школ.

В древней Индии было найдено много ценнейших математических результатов; например, недавно стало известно, что ряды Грегори-Лейбница для были найдены уже при Нилаканте (ок. 1500 г.).

Пальма первенства принадлежала Индии в области арифметики и алгебры. Изобретатель или изобретатели десятичной системы и знака нуль неизвестны. Первое известное нам употребление знака нуль мы находим в одной из священных книг, датируемой примерно 200 годом до н.э. Считается вероятным, что десятичная система счисления была изобретена в начале христианской эры. Нуль, называется «сунья», или - ничто, изображался вначале в виде точки, а позже в виде маленького кружка. Он считался таким же числом, как и все остальные.

Профессор Холстед следующим образом подчеркивал важнейшее значение этого изобретения: «Значение введения знака нуль нельзя переоценить. Эта способность дать пустому ничто не только место, имя, образ, символ, но также и практическое значение типична для народа Индии, страны, из которой все это пришло. Это все равно, что создать из нирваны динамо машины. Ни одно математическое изобретение не имело такого значения для общего прогресса разума и могущества человечества».

Первые дошедшие до нас китайские письменные памятники относятся к эпохе Шан (XVIII--XII вв. до н. э.). И уже на гадальных костях XIV в. до н. э., найденных в Хэнани, сохранились обозначения цифр.

Развитие науки продолжилось после того, как в XI в. до н. э. династию Шан сменила династия Чжоу. В эти годы возникают китайская математика и астрономия. Появились первые точные календари и учебники математики. «Истребление книг» императором Цинь Ши Хуаном (Ши Хуанди) не позволило ранним книгам дойти до нас, однако они, скорее всего, легли в основу последующих трудов.

С воцарением династии Хань (208 до н. э. -- 220 н. э.) древние знания стали восстанавливать и развивать. Во II в. до н. э. опубликованы наиболее древние из дошедших до нас сочинений -- математико-астрономический «Трактат об измерительном шесте» и фундаментальный труд «Математика в девяти книгах» (Цзю чжан суань шу Ў¶ѕЕХВЛгКхЎ·). Толкование этого трактата было облегчено благодаря открытию текста "Суань шу шу" №g”µ•ш в 1983-84 гг. (Чжанцзяшань, пров. Хубэй), относящегося примерно к этому же периоду.

математика число позиционный

Математика в девяти книгах (начало).

Наиболее содержательное математическое сочинение древнего Китая -- «Математика в девяти книгах». Это слабо согласованная компиляция более старых трудов разных авторов. Книга была окончательно отредактирована финансовым чиновником Чжан Цаном и предназначена для землемеров, инженеров, чиновников и торговцев. В ней собраны 246 задач, изложенных в традиционном восточном духе, т.е рецептурно: формулируется задача, сообщается готовый ответ и указывается способ решения.

Цифры обозначались специальными иероглифами, которые появились во II тысячелетии до н. э., и начертание их окончательно установилось к III в. до н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным. Например, запись числа 1946, используя вместо иероглифов римские цифры, можно условно представить как 1М9С4Х6. Однако на практике расчёты выполнялись на счётной доске суаньпань, где запись чисел была иной -- позиционной, как в Индии, и, в отличие от вавилонян, десятичной.

Китайские (вверху) и японские счёты.

Китайская счётная доска по своей конструкции аналогична русским счётам. Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII векан. э. Для запоминания таблицы умножения существовала специальная песня, которую ученики заучивали наизусть.

Престиж математики в Китае был высок. Каждый чиновник, чтобы получить назначение на пост, сдавал, помимо прочих, и экзамен по математике, где обязан был показать умение решать задачи из классических сборников.

В I--V вв. н. э. китайцы уточняют число -- сначала как , потом как 142/45 = 3,155…, а позже (V век) как 3,1415926, причём открывают для него известное рациональное приближение: 355/113.

В это время китайцам уже было известно многое, в том числе:

- вся базовая арифметика (включая нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного);

- действия с дробями и пропорции;

- действия с отрицательными числами (фу), которые трактовали как долги;

- решение квадратных уравнений.

Был даже разработан метод фан-чэн (·ЅіМ) для решения систем произвольного числа линейных уравнений -- аналог классического европейского метода Гаусса. Численно решались уравнения любой степени -- способом тянь-юань (МмФЄКх), напоминающим метод Руффини-Горнера для нахождения корней многочлена.

В области геометрии им были известны точные формулы для определения площади и объёма основных фигур и тел, теорема Пифагора и алгоритм подбора пифагоровых троек.

В III веке н. э. под давлением традиционной десятичной системы мер появляются и десятичные дроби. Выходит «Математический трактат» Сунь-Цзы.

Размещено на Allbest.ru