Распределение Пуассона и его параметры

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. На сегодняшний день это полноценная наука, имеющая большое практическое значение.

История теории вероятности восходит к XVII веку, когда были предприняты первые попытки систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появился соответствующий математический аппарат. С тех пор, многие основы были разработаны и углублены до нынешних понятий, были открыты другие важные законы и закономерности. Множество ученых работало и работает над проблемами теории вероятностей.

Среди них нельзя не обратить внимание на труды Пуассона (1781-1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Именно этому закону распределения и посвящена данная контрольная работа. Речь пойдет непосредственно о законе, о его математических характеристиках, особых свойствах, связи с биномиальным распределением. Несколько слов будет сказано по поводу практического применения и приведено несколько примеров из практики.

1. Определение закона Пуассона

Во многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по своеобразному закону, который носит название закона Пуассона.

Рассмотрим прерывную случайную величину Х, которая может принимать только целые, неотрицательные значения: 0, 1, 2, …, m, …; причем последовательность этих значений теоретически не ограничена.

Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой:

где а - некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, выглядит следующим образом:

хm	0	1	2	…	m	…
Pm	e-a			…		…

На рис. 1 представлены многоугольники распределения случайной величины Х по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра а.



2. Основные характеристики распределения Пуассона

Для начала убедимся, что последовательность вероятностей, может представлять собой ряд распределения, т.е. что сумма всех вероятностей Р_m равна единице.

Используем разложение функции е^х в ряд Маклорена:

Известно, что этот ряд сходится при любом значении х, поэтому, взяв х=а, получим

следовательно

Определим основные характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений:

Первый член суммы (соответствующий m=0) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m=1:

Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х.

Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Однако, удобнее ее вычислять по формуле:

Поэтому найдем сначала второй начальный момент величины Х:

По ранее доказанному

кроме того,

следовательно,

Далее можно найти дисперсию случайной величины Х:

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию а.

Это свойство распределения Пуассона часто применяют на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной величины. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против подобной гипотезы.

3. Дополнительные характеристики распределения Пуассона

I. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х^k:

б_k=M(X^k).

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:

б₁=M(X)=a.

II. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины [X-M(X)]^k:

м_k=M [X-M(X)]^k.

В частности, центральный момент 1-ого порядка равен 0:

м₁=М [X-M(X)]=0,

центральный момент 2-го порядка равен дисперсии:

м₂=M [X-M(X)]²=a.

III. Для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, найдем вероятность того, что она примет значение не меньшее заданного k. Эту вероятность обозначим R_k:

Очевидно, вероятность R_k может быть вычислена как сумма

Однако, значительно проще определить ее из вероятности противоположного события:

В частности, вероятность того, что величина Х примет положительное значение, выражается формулой

4. Пример условия, при котором возникает распределение Пуассона

Как уже говорилось, многие задачи практики приводят к распределению Пуассона. Рассмотрим одну из типичных задач такого рода.

Пусть на оси абсцисс Ох случайным образом распределяются точки. Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям:

Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок l зависит только от длины этого отрезка, но не зависит от его положения на оси абсцисс. Иными словами, точки распределены на оси абсцисс с одинаковой средней плотностью. Обозначим эту плотность, т.е. математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу длины, через л.

Точки распределяются на оси абсцисс независимо друг от друга, т.е. вероятность попадания того или иного числа точек на заданный отрезок не зависит от того, сколько их попало на любой другой отрезок, не перекрывающийся с ним.

Вероятность попадания на малый участок Дх двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки (это условие означает практическую невозможность совпадения двух или более точек).

Выделим на оси абсцисс определенный отрезок длины l и рассмотрим дискретную случайную величину Х - число точек, попадающих на этот отрезок. Возможные значения величины будут 0,1,2,…, m,… Так как точки попадают на отрезок независимо друг от друга, то теоретически не исключено, что их там окажется сколь угодно много, т.е. данный ряд продолжается неограниченно.

Докажем, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Для этого надо подсчитать вероятность Р_m того, что на отрезок попадет ровно m точек.

Сначала решим более простую задачу. Рассмотрим на оси Ох малый участок Дх и вычислим вероятность того, что на этот участок попадет хотя бы одна точка. Будем рассуждать следующим образом. Математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок, очевидно, равно л?Дх (т.к. на единицу длины попадает в среднем л точек). Согласно условию 3 для малого отрезка Дх можно пренебречь возможностью попадания на него двух или больше точек. Поэтому математическое ожидание л?Дх числа точек, попадающих на участок Дх, будет приближенно равно вероятности попадания на него одной точки (или, что в данных условиях равнозначно, хотя бы одной).

Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при Дх>0 можно считать вероятность того, что на участок Дх попадет одна (хотя бы одна) точка, равной л?Дх, а вероятность того, что не попадет ни одной, равной 1-c?Дх.

Воспользуемся этим для вычисления вероятности P_m попадания на отрезок l ровно m точек. Разделим отрезок l на n равных частей длиной Условимся называть элементарный отрезок Дх «пустым», если в него не попало ни одной точки, и «занятым», если в него попала хотя бы одна. Согласно вышедоказанному вероятность того, что отрезок Дх окажется «занятым», приближенно равна л?Дх=; вероятность того, что он окажется «пустым», равна 1-. Так как, согласно условию 2, попадания точек в неперекрывающиеся отрезки независимы, то наши n отрезков можно рассмотреть как n независимых «опытов», в каждом из которых отрезок может быть «занят» с вероятностью p=. Найдем вероятность того, что среди n отрезков будет ровно m «занятых». По теореме о повторных независимых испытаниях эта вероятность равна

,

или обозначим лl=a:

.

При достаточно большом n эта вероятность приближенно равна вероятности попадания на отрезок l ровно m точек, т.к. попадание двух или больше точек на отрезок Дх имеет пренебрежимо малую вероятность. Для того, чтобы найти точное значение Р_m, нужно перейти к пределу при n>?:

Учитывая, что

,

получаем, что искомая вероятность выражается формулой

где а=лl, т.е. величина Х распределена по закону Пуассона с параметром а=лl.

Надо отметить, что величина а по смыслу представляет собой среднее число точек, приходящееся на отрезок l.

Величина R₁ (вероятность того, что величина Х примет положительное значение) в данном случае выражает вероятность того, что на отрезок l попадет хотя бы одна точка: R₁=1-e^-a.

Таким образом, мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где какие-то точки (или другие элементы) занимают случайное положение независимо друг от друга, и подсчитывается количество этих точек, попавших в какую-то область. В нашем случае такой областью был отрезок l на оси абсцисс. Однако этот вывод легко можно распространить и на случай распределения точек на плоскости (случайное плоское поле точек) и в пространстве (случайное пространственное поле точек). Нетрудно доказать, что если соблюдены условия:

точки распределены в поле статистически равномерно со средней плотностью л;

точки попадают в неперекрывающиеся области независимым образом;

точки появляются поодиночке, а не парами, тройками и т.д.,

то число точек Х, попавших в любую область D (плоскую или пространственную), распределяется по закону Пуассона:

,

где а - среднее число точек, попадающих в область D.

Для плоского случая а=S_D л, где S_D - площадь области D,

для пространственного а= V_D л, где V_D - объем области D.

Для пуассоновского распределения числа точек, попадающих в отрезок или область, условие постоянной плотности (л=const) несущественно. Если выполнены два других условия, то закон Пуассона все-равно имеет место, только параметр а в нем приобретает другое выражение: он получается не простым умножением плотности л на длину, площадь или объем, а интегрированием переменной плотности по отрезку, площади или объему.

5. Связь с биномиальным распределением

Наличие случайных точек, разбросанных на линии, на плоскости или объеме - не единственное условие, при котором возникает распределение Пуассона. Например, можно доказать, что закон Пуассона является предельным для биномиального распределения.

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность возможного значения Х=m (числа m появлений события) вычисляется по формуле Бернулли:

Если одновременно устремить число опытов n к бесконечности, а вероятность p - к нулю, причем их произведение np сохраняет постоянное значение np=a, то предельное свойство биномиального распределения можно записать в виде:



Из условия np=a следует, что

Таким образом, получается:

что было доказано выше.

Это предельное свойство биномиального закона часто находит применение на практике. Допустим, что производится большое количество независимых опытов n, в каждом из которых событие А имеет очень малую вероятность р. Тогда для вычисления вероятности Р_n(m) того, что событие А появится ровно m раз, вместо точных биномиальных формул можно воспользоваться приближенной формулой

где np=a - параметр того закона Пуассона, которым приближенно заменяется биномиальное распределение.

От этого свойства закона Пуассона - выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события - происходит его название: закон редких явлений.

6. Примеры из практики

Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. Т.к. по условию n=1000 достаточно велико, а m=0,002 мало, можно воспользоваться распределением Пуассона:

где а=np=1000?0,002=2.

При испытании легированной стали на содержание углерода вероятность того, что в случайно взятой пробе процент углерода превысит допустимый уровень, равна р=0,01. Считая применимым закон редких явлений, вычислить, сколько в среднем необходимо испытать образцов, чтобы с вероятностью р=0,95 указанный эффект наблюдался по крайней мере 1 раз.

Решение. События «указанный эффект наблюдался по крайней мере один раз» (обозначим через Р) и «указанный эффект не наблюдался ни одного раза» (обозначим через Q), очевидно, являются противоположными. Следовательно, P+Q=1, откуда

Р=1-Q=1-P_n(0)=1-e^-a.

По условию Р=0,95, следовательно

е^-а=0,05,

а=np=3,

откуда

Таким образом, искомое среднее число образцов, которое необходимо испытать, - 300 штук.

Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету р=0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью Р, не меньшей, чем 0,98?

Решение. Вероятность выигрыша мала, а число билетов, которое нужно купить, очевидно, велико, поэтому случайное число выигрышных билетов имеет приближенно распределение Пуассона.

События «ни один из купленных билетов не является выигрышным» и «хотя бы один билет - выигрышный» - противоположные. Поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

Р_n(0)+P=1, или Р=1-Р_n(0)=1-=1-е^-а.

По условию, Р?0,98, или 1-е^-а?0,98. Откуда е^-а?0,02.

По таблице найдем е^-3,9=0,02. Т.к. функция е^-х - убывающая, предыдущее неравенство выполняется при а?3,9, или np?3,9. Отсюда n?3,9/0,01=390.

Таким образом, надо купить не менее 390 билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них.

Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти вероятность того, что за две секунды на АТС не поступит ни одного вызова; за две секунды на АТС поступит меньше двух вызовов.

Среднее число вызовов за две секунды равно:

Вероятность того, что на станцию в течение 2-ух секунд не поступит ни одного вызова равна:

Событие, состоящее в поступлении менее двух вызовов, означает, что на станцию либо не поступило ни одного вызова, либо поступил только один. Таким образом, вероятность поступления менее 2-ух вызовов за то же время равна:

Случайная величина Х - число электронов, вылетающих с нагретого катода электронной лампы в течение времени t, л - среднее число электронов, испускаемых в единицу времени. Определить вероятность того, что за время t число испускаемых электронов будет меньше m (mN).

Решение. л - среднее число электронов, t - время испускания, следовательно, а=лt.

P=

С накаленного катода за единицу времени вылетает в среднем q(t) электронов, где t - время, протекшее с начала опыта. Найти вероятность того, что за промежуток времени длительности ф, начинающийся в момент t0, с катода вылетит ровно m электронов.

Решение. Находим среднее число электронов а, вылетающих с катода за данный отрезок времени:



По вычисленному а определяем искомую вероятность:

Заключение

В заключение хочется отметить то, что распределение Пуассона является достаточно распространенным и важным распределением, имеющим применение как в теории вероятностей и ее приложениях, так и в математической статистике.

Многие задачи практики сводятся в конечном счете к распределению Пуассона. Его особое свойство, заключающееся в равенстве математического ожидания и дисперсии, часто применяют на практике для решения вопроса, распределена случайная величина по закону Пуассона или нет.

Также важен тот факт, что закон Пуассона позволяет находить вероятности события в повторных независимых испытаниях при большом количестве повторов опыта и малой единичной вероятности.

пуассон распределение биномиальный вероятность

Список литературы

Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М, «Высшая школа» 1998

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М, «Высшая школа» 1998

Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В. - М, Наука 1990

Размещено на Allbest.ru

...