Обернені тригонометричні функції

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

1. Вступ

2. Означення обернених тригонометричних функцій

3. Обернені тригонометричні функції

3.1 Основні відношення

3.2 Диференціювання тригонометричних функцій

4. Графік і властивості функцій

4.1 Графік і властивості функції y = arcsin x

4.2 Графік і властивості функції y = arccos x

4.3 Графік і властивості функції y = arctg x.

4.4 Графік і властивості функції y = arcctg x

5. Профільний рівень

5.1 Особливості вивчення математики у профільних класах в сучасних умовах. Основні положення профільної диференціації навчання математики

6. Плани конспектів уроків

6.1 Урок 1

6.2 Урок 2

7. Список використаної літератури



1. Вступ

Вивчення обернених тригонометричних функцій слід починати з повторення і розширення відомостей про обернені функції, які вивчались в курсі алгебри VIII класу і використовувались під час вивчення функцій . У VIII класі було сформульовано означення оборотної функції f, введено поняття функції g, оберненої до функції f, сформульовано необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до неї функції.

У IX класі було введено означення числової функції як відображення підмножини D множини R на деяку підмножину Е множини R. Для позначення області визначення і множини значень функції f були введені символи D(f) і E(f). У X класі під час повторення відомостей про обернену функцію є можливість, використовуючи введену в IX класі термінологію і символіку, сформулювати означення взаємно обернених функцій (див. [2]). З нових відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної неперервної і монотонної функції. Ця теорема використовується, коли розглядаються обернені тригонометричні функції.



2. Означення обернених тригонометричних функцій

Арксинусом числа А називається такий кут з відрізка від -1/2p до 1/2p, синус якого дорівнює числу А. При цьому число А належить відрізку від -1 до 1.

Арккосинусом числа А називається такий кут з відрізка від 0 до p, косинус якого дорівнює числу А. При цьому число А належить відрізку від -1 до 1.

Арктангенсом числа А називається такий кут з інтервалом від -1/2p до 1/2 p, тангенс якого дорівнює числу А. А може набувати будь-які значення.

Арккотангенсом числа А називається такий кут з інтервалом від 0 до p, котангенс якого дорівінює числу А. А може набувати будь-які значення.

Функція синус х набуває додатних значень, коли кут належить першій і другій координатним чвертям. При цьому в першій координатній чверті значення функції синус х збільшуються від нуля до одиниці, а в другій чверті зменшуються від одиниці до нуля.

Функція синус х набуває від'ємних значень, коли кут належить третій і четвертій координатним чвертям. При цьому в третій координатній чверті значення функції синус х зменшується від нуля до мінус одиниці, а в четвертій чверті збільшується від мінус одиниці до нуля.

Функція косинус х набуває додатних значень, коли кут належить першій і четвертій координатним чвертям. При цьому в першій координатній чверті значення функції косинус х зменшується від одиниці до нуля, а в четвертій чверті збільшується від нуля до одиниці.

Функція косинус х набуває від'ємних значень, коли кут належить другій і третій координатним чвертям. При цьому в другій координатній чверті значення функції косинус х зменшується від нуля до мінус одиниці, а в третій чверті збільшується від мінус одиниці до нуля.

Функції тангенс і котангенс х набувають додатних значень, коли кут належить першій і третій координатним чвертям.

Функції тангенс і котангенс х набувають від'ємних значень, коли кут належить другій і четвертій координатним чвертям.



3. Обернені тригонометричні функції

Обернені тригонометричні функції (аркфункції) -- математичні функції, що є оберненими до тригонометричних функцій.

До обернених тригонометричних функцій відносять 6 функцій:

арксимнус (arcsin)

арккомсинус (arccos)

арктамнгенс (arctg; в іноземній літературі arctan)

арккотамнгенс (arcctg; в іноземній літературі arccot чи arccotan)

арксемканс (arcsec)

арккосемканс (arccosec; в іноземній літературі arccsc)

Назва оберненої тригонометричної функції утворюється від назви тригонометриної функції за допомогою префікса «арк-» (від лат. arc -- дуга). Це тому, що геометрично значення оберненої тригонометричної функції рівне дузі одиничного кола (чи кутові, що стягує цю дугу), яка опирається на заданий відрізок.



3.1 Основні відношення

Доповнювальний кут:

Головні значення функцій arcsin(x) та arccos(x).

Негативний аргумент:

Головні значення функцій arctan(x) та arccot(x).

Обернений аргумент:

Якщо наявна тільки частина таблиці для sine:

Головні значення функцій arcsec(x) та arccsc(x).

Із формули половинного кута

,

отримаємо:

3.2 Диференціювання тригонометричних функцій

Похідна для дійсних та комплексних значень x:



Тільки для дійсних значень x:

Приклад знаходження похідної: нехай , отримаємо:

тригонометричний диференціювання графік



4. Графік і властивості функцій

4.1 Графік і властивості функції y = arcsin x

Функція неперервна і монотонна при . Обернена до неї функція , , називається арксинусом (див. рисунок).

Функція монотонно зростає на відрізку і задовольняє такі нерівності:

. (1)

Арксинусом називається кут, що задовольняє нерівності (1) і синус якого дорівнює :

, . (2)



Наведемо деякі числові значення функції :

; ; ; (3)

; .

Функція -- непарна, тобто

. (4)

Корисно запам'ятати такі формули:

, ;

, ; (5)

, ;

, , .

4.1 Графік і властивості функції y = arccos x

Функція неперервна і монотонна при . Обернена до неї функція , , називається арккосинусом (див. рисунок).



Функція монотонно спадає на відрізку і задовольняє такі нерівності:

. (1)

Арккосинусом x називається кут, що задовольняє нерівності (1) і косинус якого дорівнює :

, . (2)

Із симетрії графіка відносно точки випливає рівність:

,

звідки знаходимо формулу

. (3)



Порівнюючи графіки функцій

і ,

дістаємо:

, . (4)

Наведемо деякі числові значення :

; ; ;

; . (5)

Корисно запам'ятати такі формули:

, ;

, ;

, ,

, . (6)

4.3 Графік і властивості функції y = arctg x

Функція неперервна і монотонна при . Обернена до неї функція , , називається арктангенсом (див. рисунок).



Функція монотонно зростає, непарна і задовольняє нерівності:

. (1)

При цьому виконуються граничні співвідношення:

, . (2)

Арктангенсом x називається кут, що задовольняє нерівності (1) і тангенс якого дорівнює :

, . (3)

Функція набуває таких значень:

, , ; (4)

, .



Корисно запам'ятати деякі формули:

; ,

; , (5)

; ,

; , .

4.4 Графік і властивості функції y = arcctg x

Функція неперервна і монотонна на проміжку . Обернена до неї функція називається арккотангенсом (див. рисунок).

Функція монотонно спадає і задовольняє нерівності:

. (1)



При цьому виконуються граничні співвідношення:

. (2)

Арксотангенсом x називається кут, що задовольняє нерівності (1) і котангенс якого дорівнює :

, . (3)

Розглядаючи графіки арктангенса і арккотангенса, доходимо висновку, що завжди виконуються рівності:

; (4)

. (5)

Наведемо табличні значення арккотангенса:

; ; ;

; . (6)

Корисно запам'ятати такі формули:

, ; , ,

, , ;, .



5. Профільний рівень

Профільний підхід до організації навчання у старшій школі значно розширює можливості учня у виборі власної освітньої траєкторії та створює сприятливі умови для врахування індивідуальних особливостей, інтересів і потреб учнів, для формування у школярів орієнтації на той чи інший вид майбутньої професійної діяльності. Профільне навчання спрямоване на формування ключових компетентностей старшокласників, набуття ними навичок самостійної науково-практичної, дослідницько-пошукової діяльності, розвиток їхніх інтелектуальних, психічних, творчих, моральних, фізичних, соціальних якостей, прагнення до саморозвитку та самоосвіти.

Засвоєння змісту освіти у загальноосвітніх закладах з профільним навчанням має забезпечувати загальноосвітню підготовку учнів і підготовку їх до майбутньої професійної діяльності, а тому кожний профіль навчання охоплює три види предметів: базові, профільні та курси за вибором.

Базові загальноосвітні предмети становлять інваріантну складову змісту середньої освіти і є обов'язковими для всіх профілів. Ці предмети реалізують цілі й завдання загальної середньої освіти.

Профільні загальноосвітні предмети - це предмети, що реалізують цілі, завдання і зміст кожного конкретного профілю. Профільні предмети вивчаються поглиблено і передбачають більш повне опанування понять, законів, теорій; використання інноваційних технологій навчання; організації дослідницької, проектної діяльності; профільної навчальної практики учнів тощо.

Курси за вибором - це навчальні курси, які доповнюють навчальні предмети і входять до складу допрофільної підготовки та профільного навчання. Курси за вибором створюються за рахунок варіативного компонента змісту освіти.

Математика є базовим предметом, а тому вивчається учнями в класах усіх профілів, але на різних рівнях.

Зміст навчання визначається державним програмами з математики для кожного з рівнів рівня і реалізовано у відповідних підручниках, створених у 2010 р. Розглянемо коротко особливості вивчення математики на кожному з рівнів.

Алгебра і початки аналізу. Профільний рівень (5 годин на тиждень, всього 350 годин)

№ теми	Назва теми	Кількість годин	Орієнтовна кількість контрольних робіт
І	Тригонометричні функції	30	2
ІІ	Тригонометричні рівняння і нерівності	35	2

Профіль навчання - це спосіб організації диференційованого навчання, який передбачає поглиблене і професійно зорієнтоване вивчення циклу споріднених предметів.

Профіль навчання визначається з урахуванням наступних чинників:

освітніх потреб замовників освіти;

кадрових, матеріально-технічних, інформаційних ресурсів школи ;

соціокультурної і виробничої інфраструктури району, регіону;

перспектив здобуття подальшої освіти і життєвих планів учнівської молоді.

Профільне навчання у 10-12 класах здійснюється за такими основними напрямами: суспільно-гуманітарний, природничо-математичний, технологічний, художньо-естетичний, спортивний.

Їх набір відповідає соціально-диференційованим видам діяльності, що зумовлені суспільним розподілом праці, і містить знання про природу, людину, суспільство, культуру, науку та виробництво. За основними напрямами профілізації визначаються різноманітні навчальні профілі. Їх орієнтовний перелік наведено у додатку А [31].

Профільність визначається як добором предметів, так і їх змістом.

Засвоєння змісту освіти в загальноосвітніх закладах з профільним навчанням має забезпечувати, по-перше, загальноосвітню підготовку учнів, а по-друге спеціалізовану поглиблену підготовку до майбутньої професійної діяльності.

Профіль навчання охоплює таку сукупність предметів: базові загальноосвітні, профільні та курси за вибором.

Базові загальноосвітні предмети становлять інваріантну складову змісту середньої освіти і є обов'язковими для всіх профілів. Ці предмети реалізують цілі й завдання середньої загальної освіти. Зміст навчання і вимоги до підготовки старшокласників визначаються державним загальноосвітнім стандартом. Зміст базових навчальних предметів може інтегруватися, скорочуватися на користь профільних предметів, що регулюється типовим навчальним планом.

Профільні загальноосвітні предмети - це цикл предметів, які реалізують цілі, завдання і зміст кожного конкретного профілю. Вони обов'язкові для учнів, які обрали даний профіль навчання. Профільні предмети вивчаються поглиблено. Особливостями вивчення є: більш глибоке і повне опанування понять, законів, теорій, передбачених стандартом освіти;

дотримання системного викладу навчального матеріалу, його логічного впорядкування;

широке використання знань із споріднених предметів;

застосування активних методів навчання, організація дослідницької, проектної діяльності учнів.

Поглиблене вивчення саме циклу предметів запобігає вузькій спеціалізації, яка здебільшого не відповідає реальним потребам, інтересам старшокласників, оскільки нерідко їх цікавить не один предмет, а група предметів, не одна професія, а кілька близьких професій. Профільні предмети забезпечують також прикладну спрямованість навчання за рахунок інтеграції знань і методів пізнання та застосування їх у різних сферах діяльності, у тому числі і професійній, яка визначається специфікою профілю навчання.

Зміст профільних предметів реалізується як варіативна складова змісту загальної середньої освіти, а частково - як інваріативна складова.

У профільних загальноосвітніх закладах передбачається опанування змісту базових предметів на різних рівнях за такими програмами:

1) програма загальнокультурної підготовки - обов'язковий мінімум змісту навчального предмета, який не передбачає подальшого її вивчення (наприклад, математика на філологічному профілі; хімія та біологія у профілі інформатика або їх інтегрований варіант у цих профілях);

2) програма загальноосвітньої підготовки - обсяг змісту достатній для подальшого вивчення предмета у вищому навчальному закладі - застосовується, коли навчальний предмет не є профільним, але базовим або близьким до профільного (наприклад, загальноосвітні курси біології, хімії у фізико-технічному профілі або загальноосвітній курс фізики у хіміко-біологічному профілі);

3) програма профільної підготовки - обсяг змісту навчального предмета поглиблений, передбачає орієнтацію на майбутню професію (наприклад, курси фізики і математики у фізико-математичному профілі або курси біології та хімії у хіміко-біологічному профілі).

Їх орієнтовний перелік наведено у додатку А [31].

Профіль навчання може мати кілька модифікацій, залежно від базових предметів, обраних учнем як профільні. Їх має бути не більш як два-три з однієї або споріднених освітніх галузей (наприклад, фізика, інформатика і математика, хімія і технології, біологія і екологія, географія і економіка). Так, у профілях, де профільними обрано природничі предмети біологія і хімія, решта природознавчих предметів (фізика, географія) вивчається за програмою загальноосвітнього рівня. Зміст навчальних предметів природничо-математичної галузі в соціально-гуманітарному, технологічному і художньо-естетичному напрямах може бути інтегрований за програмою-мінімумом в єдиний курс природознавства.

Курси за вибором - це навчальні курси, які входять до складу профілю навчання. Основні їх функції полягають у поглибленні і розширенні змісту профільних предметів або забезпеченні профільної прикладної і початкової професійної спеціалізації навчання. Курси за вибором створюються за рахунок варіативного (шкільного та регіонального) компонента змісту освіти. Усі курси варіативного компонента можна поділити на три групи:

1) поглиблення знань з профілюючих предметів базового компонента;

2) розвиток інтересів та здібностей учнів з урахуванням спеціалізації профільних класів;

3) загальний розвиток учнів (інформатика, політологія, бібліографія, світова культура, історія релігій).

Орієнтовне співвідношення обсягу базових загальноосвітніх, профільних предметів і курсів за вибором визначається пропорцією 60:30:10. Загальне навантаження учнів визначено Законом України „Про загальну середню освіту” [31; 44].

Загальноосвітні школи створюють ті чи інші профілі навчання за рахунок комбінацій базових, профільних предметів і курсів за вибором. Цим самим забезпечується гнучка система профільного навчання, яка дає змогу обрати старшокласнику індивідуальну освітню програму.

5.1 Особливості вивчення математики у профільних класах в сучасних умовах. Основні положення профільної диференціації навчання математики

Математика є універсальною мовою, яка широко застосовується в усіх сферах людської діяльності. На сучасному етапі різко зростає її значення у розвитку суспільства. Велике значення має математика і в розвитку особистості, в становленні її світогляду, розвитку мислення і інших якостей. Ці дві обставини і визначають роль математики в системі шкільної освіти, в підготовці кожного члена сучасного суспільства до повсякденного життя і трудової діяльності.

Поряд з розв'язанням цієї основної задачі навчання математиці в середніх навчальних закладах виникає необхідність забезпечити суспільство спеціалістами різного рівня і профілю, а також створити умови для розвитку особистості у відповідності до її можливостей і потреб. А для цього необхідна профільна диференціація навчання взагалі і математики зокрема [21].

Головною задачею вивчення математики є забезпечення міцного і свідомого оволодіння учнями системою математичних знань і вмінь, необхідних у повсякденному житті, а також достатніх для вивчення суміжних дисциплін і продовження освіти. Поряд з вирішенням головної задачі, оволодінням конкретними обов'язковими математичними знаннями, профільне навчання математики передбачає формування стійкого інтересу учнів до предмету, виявлення і розвиток їх математичних здібностей, підготовку до навчання у вищому учбовому закладі [30].

Профільне навчання породжує проблему викладання математики відповідно до профілю, але навчання математики повинно здійснюватися відповідно до основних положень і принципів концепції математичної освіти в Україні:

система математичної освіти є цілісною системою формування особистості на основі досягнень математики, психолого-педагогічної науки,

педагогічного досвіду у вітчизняних і закордонних закладах освіти різних типів;

система математичної освіти повинна бути безупинною і забезпечувати наступність в освіті між різними ланками системи освіти;

ця система базується на основах гуманізації навчально-виховного процесу і гуманітаризації змісту освіти;

система математичної освіти повинна реалізувати рівневу і профільну диференціацію на основі базового змісту;

навчання математики повинно мати розвиваючий характер і прикладну спрямованість;

у змісті навчання математики має бути виділена інваріантна базисна частина і варіативна;

пріоритетними в організації навчання математики повинні бути активні методи навчання і сучасні технології;

необхідним є застосування інформаційних технологій навчання.

Реалізація профільного навчання математики повинна здійснювати з урахуванням його мети, його особливостей змісту й форми у порівнянні з навчанням математики в загальноосвітніх класах.

Профільна диференціація навчання математики повинна:

забезпечити необхідний загальнокультурний рівень математичної підготовки молоді, який визначається замовленням суспільства й можливостями учнів даного віку;

задовольнити потреби профільної підготовки в розвитку пізнавальних і математичних видів діяльності учнів, що характерні для даного профілю;

формувати засобами математики професійні нахили учнів.

Профільна диференціація навчання математики передбачає:

створення умов для свідомого вибору учнями профілю;

наступність з допрофільним навчанням математики і навчанням математики у звичайних класах загальноосвітньої школи;

досягнення всіма учнями базового рівня навчання математики;

розробку державних стандартів з математики для різних профілів навчання;

реалізацію прикладної спрямованості навчання математики, орієнтованої на профіль навчання як одного з головних засобів формування профільних інтересів засобами математики;

відмінність змісту навчання математики в профільних класах і звичайних класах;

реалізацію рівневої диференціації, що підсилює диференціацію навчання математики для кожного профілю;

розмаїтість форм і видів класної та позакласної роботи;

поглиблене вивчення математики як одного з видів профільного навчання [42].

Провідним принципом, який визначає структуру профільного навчання математики, є принцип поступового моделювання у навчальному процесі математичної діяльності спеціалістів відповідного профілю. Цей принцип у певній мірі може бути реалізований такою структурою змісту профільного навчання:

адекватним профілю змістом основного курсу математики у відповідності до базового навчального плану (базова профільна математична підготовка);

системою курсів за вибором (за рахунок варіативного компоненту), які складаються з невеликих за змістом навчальних модулів, враховують різноманіття інтересів і можливостей учнів даного профілю, які поглиблюють та розширюють основний курс математики у відповідності до профілю навчання (варіативна математична підготовка);

організацією самостійної творчої роботи учнів, системою індивідуальних завдань, спрямованих на розвинення професійних схильностей учнів, їхнього інтересу до застосувань математики (особистісно-орієнтована математична підготовка).

Такі особливості профільного навчання математики найбільш повно враховують індивідуальні потреби, здібності та нахили учнів, така освіта передбачає наукове вивчення дитячої природи, раціональну організацію навчання дитини.

Формування базового змісту навчання математики здійснюється на засадах:

гуманізації та гуманітаризації;

профільної спрямованості;

забезпечення узагальнених видів діяльності [20].

Профільне навчання математиці повинно бути складною системою, що будується за принципами гуманності та відкритості.

Виділяються три етапи профільної диференціації в навчанні математиці.

Перший етап (5 - 7 класи) - це етап формування профільних інтересів. Тут формується свідомий вибір рівня учбової діяльності (базовий, основний, поглиблений, творчий), в процесі змагань, ігрової та учбової діяльності формуються пізнавальні інтереси та мотиви пізнання учнів. На цьому етапі важливу роль відіграють різноманітні форми позакласної роботи з предмету: гуртки, турніри, конкурси, олімпіади, вечори цікавої математики тощо.

Другий етап (8 - 9 класи) - це етап становлення профільних намірів. Тут реалізується різнорівневе вивчення курсу математики за стандартними навчальними планами; приділяється посилена увага позакласній роботі учнів, організується самостійна робота учнів, що відповідає їх індивідуальним прихильностям, проводиться цілеспрямована робота щодо професіональної орієнтації учнів.

Третій етап (10 - 11 класи) - це етап безпосередньої реалізації профільного навчання математиці. Він забезпечується адекватним профілю змістом основного курсу математики, системою курсів за вибором, організацією самостійної творчої роботи учнів [За Інтернет-виданням].

Подібна структура профільного навчання математиці дозволяє якнайповніше врахувати індивідуальні особливості учнів за допомогою колективних форм навчання, забезпечити єдність рівневої та профільної диференціації. Профільне навчання передбачає, перш за все, наповнення курсу математики різноманітними, цікавими та складними задачами. На першому та другому етапах до процесу навчання включаються цікаві задачі, відомості з історії математики. На третьому етапі більше уваги приділяється розв'язанню задач, що відповідають вимогам для вступників до вищих навчальних закладів. У зв'язку з тим, що до класів приходять школярі з різним рівнем підготовки, у процес навчання на кожному етапі обов'язково включається повторення та систематизація знань [30].

Різноманітні профілі навчання математики у межах базової профільної математичної підготовки можна об'єднати у такі напрямки: загальнокультурний, прикладний, теоретичний.

Профільна диференціація навчання математики у межах базового компоненту в старшій школі реалізується створенням трьох курсів математики:

для загальнокультурного напрямку (професійний, мовно-літературний, суспільно-історичний, спортивний та інші профілі) - курс А;

для прикладного напрямку (технічний, технологічний, природничий, економічний, екологічний та інші профілі) - курс В;

для теоретичного напрямку (математичний, фізичний, фізико-математичний, “інформативний”, комп'ютерний та інші профілі) - курс С.

При цьому всі специфічні особливості даного профілю і конкретного контингенту учнів реалізуються в курсах за вибором та шляхом організації самостійної, індивідуальної і позакласної роботи.

Всі зазначені курси математики, як і курс математики для звичайної школи:

забезпечують інваріантну складову математичної підготовки, що визначається стандартом;

мають яскраво виражену профільну спрямованість, що враховує профільні наміри та інтереси учнів.

Ці курси відрізняються не стільки об'ємом знаннь, якими мають опанувати учні, скільки рівнем обгрунтованості, абстрактності, загальності і т.п. Іншими словами, вони повинні бути орієнтованими на різні типи мислення (насамперед образного, прикладного, теоретичного), на розвиток різних видів діяльності.

Кожний із цих курсів, віддаючи перевагу розвитку учнів - зокрема розвитку їхнього мислення й інтуїції, - може робити це різними засобами. Такий підхід дозволить у максимальній мірі використовувати профільні інтереси і наміри в навчанні математики. Він сприятиме впровадженню діяльнісних, активних методів навчання.

Інваріантна частина математичної освіти в старшій школі може реалізовуватись як двома курсами “Алгебра та початки аналізу”, “Геометрія”, так і інтегрованим курсом “Математика”. Інтегрований курс доцільний, насамперед, для загальнокультурного напрямку.

Варіативний компонент навчального плану при організації профільного навчання математики використовується для:

розширення змісту математичної освіти;

поглиблення математичної підготовки учнів у відповідності до обраного профілю;

організації індивідуальної роботи з учнями.

Ефективна організація профільного навчання математики потребує узгодження, об'єднання діяльності вчителів математики навчального закладу, створення єдиної команди. Це дозволить забезпечити різноманітні потреби учнів і найбільш повно використати потенціал навчального закладу [20].

У своїй діяльності вчителі математики будь-якого навчального закладу мають керуватися такими положеннями:

1) зміст математичної освіти має бути чітко зорієнтований на розвиток особистості в цілому, а також тих видів діяльності, які є специфічними для даного профілю;

2) зміст профільної математичної освіти має забезпечувати потреби профільної підготовки до математики;

3) зміст математичної освіти для кожного профілю має забезпечувати визначену еквівалентність математичної підготовки учнів різних профілів. Це означає, зокрема, необхідність включення всіх основних традиційних змістових ліній шкільного курсу математики;4) для підвищення ролі математики в процесі осмислення навколишнього світу необхідне доповнення традиційних змістових ліній курсу математики матеріалом, який сприяє формуванню імовірнісно-статистичних уявлень в учнів;

5) формування змісту математичної освіти сприятиме реалізації рівневої диференціації в навчанні математики. Насамперед, необхідно для кожного напряму виділити визначений стандарт математичної підготовки учнів;

6) варіативна частина змісту забезпечується в основному курсами на вибір. Завдання курсу на вибір - повторення, систематизація й поглиблення матеріалу, досліджуваного в основному курсі, створення передумов для самостійної роботи учнів. Перелік курсів залежить від мотивів учнів, підготовки викладачів і наявності необхідного методичного забезпечення.

Зміст курсу математики реалізується в комплексі навчальних засобів. Тому необхідною умовою організації доброякісного профільного навчання є створення адекватного навчально-методичного забезпечення, що відбиває колективний досвід роботи викладачів, методистів, учених.

Структура навчально-методичного забезпечення профільного навчання математики така ж, як і для будь-якого предмета. Вона складається з:

нормативного комплексу (програма і робоча програма);

навчального комплексу (підручник, дидактичні матеріали, набори навчальних тестів, збірники задач, наочні прилади);

загально-методичного комплекту (посібники для вчителів);

методичного комплекту (матеріали розроблені викладачем);

системи контролю (тексти тематичних, підсумкових контрольних робіт, набори контролюючих тестів).

Навчально-методичне забезпечення повинне містити матеріали для курсів на вибір і для організації індивідуальної роботи з учнями. Навчально-методичне забезпечення повинно бути для кожного напряму профільного навчання математики [42].

Профільне навчання математики потребує і робить можливим використання специфічних форм та методів навчання. Можливість їх використання зумовлена наявністю більш розвинених мотивів учнів профільних класів та шкіл до навчання порівняно із загальноосвітніми навчальним закладами. Невід'ємною складовою профільного навчання математики є виконання кожним учнем індивідуальної роботи творчого характеру. При їх виконанні поряд з реферуванням літературних джерел, теоретичним розв'язанням математичної задачі використовуються спостереження, проведення експериментів як фізичних, так і імітаційних за допомогою ПЕОМ [20].



6. Плани конспектів уроків

6.1 Урок 1

Тема уроку: Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х.

Мета уроку: Вивчення властивостей обернених тригонометричних функцій: у = arcsin х, у = arccos х.

І. Перевірка домашнього завдання.

Математичний диктант.

Закінчіть математичні твердження:

1. Функція, яка набуває кожного свого значення в єдиній точці області визначення називається ...

2. Оберненою до функцій у = х + 3 є функція ...

3. Оберненою до функцій у = є функція ...

4. Оберненою до функцій у = х2, х > 0 є функція ...

5. Графіки даної функції і оберненої до даної симетричні ...

6. Якщо дана функція у = f(x) -- зростаюча, то обернена до неї функція.

7. Область визначення функції у = f(x), для оберненої функції буде областю ...

8. Область значень функції у == f(x) для оберненої функції буде областю ...

Відповідь: 1. оборотною. 2. у = х - 3. 3. у = х2 + 1, х [0; +). 4. у = . 5. відносно прямої у = х. 6. зростаюча. 7. значень. 8. визначення.

II. Сприймання і усвідомлення поняття arcsin б і властивостей функції у = arcsin х.

Як ви знаєте, функція у = sin х зростає на проміжку і приймає всі значення від -1 до 1, тобто кожне своє значення функція приймає в єдиній точці області визначення. Отже, рівняння sin х = а, ¦а¦ 1 на проміжку має єдиний корінь, який називається арксинусом числа а і позначається arcsin a.

Арксинусом числа а називається таке число із проміжку синус якого дорівнює а.

Приклад 1. Знайдемо arcsin .

arcsin = , бо sin = і .

Приклад 2. Знайдемо arcsin

arcsin = , бо sin = і .

Виконання вправ________________________

1. Обчисліть:

a) arcsin 0; б) arcsin 1; в) arcsin (-1);

г) arcsin ; д) arcsin ; є) arcsin

Відповідь: a) 0; б) ; в) -; г) ; д) -; e) - .

2. Які із поданих виразів мають смисл і чому:

a) arcsin ; б) arcsin 1,5; в) arcsin р; г) arcsin ; д) arcsin ?

Відповідь: а); г); д).

3. Знайдіть:

а) arcsin ; б) sin .

Відповідь: а) ; б) .

Оскільки кожному значенню х [-1; 1] можна поставити у відповідність єдине значення arcsin x, то можна говорити, що існує функція у = arcsin х.

Графік функції у = arcsin х одержимо із графіка функції у = sin х, х перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 110). Розглянемо властивості функції у = arcsin х.

1. D(y) = [-1; І].

2. Е(у) = .

3. Графік симетричний відносно початку координат (функція непарна) arcsin (-х) = -arcsin х.

4. Функція зростаюча. Якщо х1 > х2 то arcsin х1 > arcsin х2

5. у = 0, якщо х = 0.

6. уmах = y(1) = , ymіn = y(-1) = -.

Виконання вправ

1. Порівняйте числа:

a) arcsin 0,3 і arcsin 0,2; б) arcsin 0,3 і arcsin (-0,3); в) arcsin і arcsin .

Відповідь:

a) arcsin 0,3 > arcsin 0,2; б) arcsin 0,3 > arcsin (-0,3); в) arcsin < arcsin .

2. Розташуйте в порядку зростання:

a) arcsin 0,4; arcsin 0,2; arcsin 0,8;

б) arcsin (-0,1); arcsin (-0,2); arcsin (-0,3);

в) arcsin; arcsin (-0,3); arcsin 0,9.

Відповідь: a) arcsin 0,2; arcsin 0,4; arcsin 0,8;

б) arcsin (-0,3); arcsin (-0,2); arcsin (-0,1);

в) arcsin (-0,3); arcsin ; arcsin 0,9.

3. Знайдіть область визначення функцій:

а) у = arcsin (х + 1); б) у = arcsin (х2 - 1); в) у = arcsin ; г) у = arcsin 5х.

Відповідь: а) х[-2; 0]; б) х[- ; ]; в) х(-; 0] U [2; +); г) х[-0,2; 0,2].

4. Знайдіть область значень функцій:

а) у = arcsin ; б) у = arcsin .

Відповідь: а) у ; б) у .

5. Побудуйте графіки функцій:

а) у = arcsin (х - 1); б) y = + arcsin х ; в) у = arcsin | х |; г) у = | arcsin х |.

Відповідь: а) рис. 111; б) рис. 112; в) рис. 113; г)рис. 114.

III. Сприймання і усвідомлення поняття arccos a і властивостей функції у = arccos x.

Функція у = cos x спадає на відрізку [0; р] і приймає всі значення від -1 до 1, тому рівняння cos x = а, |а| < 1 на проміжку [0; р] має єдиний корінь, який називається арккосинусом числа а і позначається arccos a.

Арккосинусом числа а називається таке число з проміжку [0; р], косинус якого дорівнює а.

Приклад 1. Знайдіть arccos .

arccos = , бо cos = i [0;р].

Приклад 2. Знайдіть arccos .

arccos = , бо cos = - і [0;р].

Виконання вправ______________________________

1. Обчисліть:

a) arccos ; б) arccos ; в) arccos 0;

r) arccos (-1); д) arccos 1; є) arccos .

Відповідь: a) ; б) ; в) ; г) р; д) 0; є) .

2. Які з поданих виразів мають смисл і чому:

a) arccos ; б) arccos ; в) arccos ;

г) arccos ; д) arccos ; є) arccos ?

Відповідь: б); д); е).

3. Знайдіть:

a) arccos ; б) arccos; в) cos (arccos (-1)).

Відповідь: a) ; б) ; в)-1.

Аналогічно можна говорити про функцію у = arccos x. Графік функції у = arccos x одержимо із графіка функції у = cos x, x [0; р] перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 115).

Розглянемо властивості функції у = arccos х.

1. D(y) = [-1; 1].

2. Е(y)=[0;р].

3. Графік не симетричний ні відносно початку координат, ні відносно осі OY. arccos (-х) = р - arccos х.

4. Функція спадна. Якщо х1 > х2 то arccos х1 < arccos х2.

5. у = 0, якщо х = 1.

6. уmах = y(-1) = р, ymіn = y(1) = 0.

Виконання вправ

1. Порівняйте числа:

a) arccos 0,1 і arccos 0,2; б) arccos 0,1 і arccos (-0,1); в) arccos (-0,2) і arccos (-0,3). Відповідь: a) arccos 0,1 > arccos 0,2; б) arccos 0,1 < arccos (-0,1);

в) arccos (-0,2) < arccos (-0,3).

2. Розташуйте числа в порядку зростання:

a) arccos 0,55; arccos 0,7; arccos 0,1;

б) arccos (-0,3); arccos (-0,7); arccos (-0,9);

в) arccos ; arccos (-0,3); arccos (-0,7).

Відповідь: a) arccos 0,7; arccos 0,55; arccos 0,1;

б) arccos (-0,3); arccos (-0,7); arccos (-0,9);

в) arccos ; arccos (-0,3); arccos (-0,7).

3. Знайдіть область визначення функцій:

а) у = arccos (х - 1); б) у = arccos 2x; в) у = arccos (х2 + 1); г) у = arccos (|х| - 1).

Відповідь: а) х [0; 2]; б) х [-0,5; 0,5]; в) х {0}; г) х [-2; 2].

4. Знайдіть область значень функцій:

а) у = arccos |х|; б) у = arccos (-|х|).

Відповідь: а) у ; б) у .

5. Побудуйте графіки функцій:

а) у = arccos(x - 1) - ; б) у = arccos | х | - ;

в) у = ¦arccos х - ¦ ; г) у = ¦arccos | х | - ¦.

Відповідь: а) рис. 116; б) рис. 117; в) рис. 118; г) рис. 119.



IV. Підведення підсумку уроку.

V. Домашнє завдання.

Розділ II § 1 (2; 3). Запитання і завдання для повторення розділу II № 6; 7; 9; 10; 11; 12 (1, 2, 5, 6, 7, 8).

6.2 Урок 2

Тема уроку: Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x.

Мета уроку: Вивчення властивостей обернених тригонометричних функцій: у = arctg х і у = arcctg x.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Фронтальна бесіда з класом за питаннями 6, 7, 9--12, до «Запитання і завдання для повторення» розділу II.

2. Самостійна робота.

Варіант 1

Обчисліть:

а) arcsin 1 - 2arccos . (2 бали) б) 2 arccos 0,5 - 3 arcsin . (2 бали)

в) sin (2 бали) г) sin . (З бали)

д) cos (р - arcsin (-1)). (З бали)

Варіант 2

а) 2 arccos + arcsin . (2 бали) б) arcsin(-l) - arccos . (2 бали)

в) cos . (2 бали) г) cos . (З бали)

д) sin. (З бали).

Відповіді: В-1: а) -р; б); в) -0,5; г); д) 0. В-2. а); б)-1,25; в); г); д)1.

II. Повідомлення теми уроку.

III. Сприймання і усвідомлення поняття arctg a і властивостей функції у = arctg х.

Функція у = tg х на проміжку зростає і приймає всі значення із R, тому для будь-якого а рівняння tg х = а має єдиний корінь із проміжку , який називається арктангенсом числа а і позначається arctg а.

Арктангенсом числа а називається таке число з проміжку , тангенс якого дорівнює а.

Приклад 1. arctg = , бо tg = і , .

Приклад 2. arctg(-1) = - ,бо tg = -1 і - .

Виконання вправ

1. Обчисліть:

а) arctg ; б) arctg 0; в) arctg 1; г) arctg ; д) arctg (-).

Відповідь: а) ; б) 0; в) ; г) - ; д) - .

2. Які з поданих виразів мають смисл:

а) arctg р; б) arctg ; в) arctg р2?

Відповідь: а); б); в).

Графік функції у = arctg х: одержимо із графіка функції у = tg х, х перетворенням симетрії

відносно прямої у = х (рис. 120).

Розглянемо властивості функції у = arctg х:

1. D(y)=R.

2. Е(у) = .

3. Графік симетричний відносно початку координат, функція непарна: arctg (-х) = - arctg х.

4. Функція зростаюча. Якщо х1< х2 то arctg х1 < arctg х2

5. у = 0, якщо х = 0.

6. у > 0, якщо х > 0; у < 0, якщо х < 0.

Виконання вправ

1. Порівняйте числа:

a) arctg (-3) і arctg 2; б) arctg (-5) і arctg 0; в) arctg і arctg .

Відповідь: 4) arctg (-3) < arctg 2; б) arctg (-5) < arctg 0; в) arcrg > arctg .

2. Розташуйте в порядку зростання числа:

а) arctg 50; arctg (-5); arctg 0,5; б) arctg 1,2; arctg р; arctg (-3). Відповідь: а) arctg (-5); arctg 0,5; arctg 50; б) arctg (-3); arctg 1,2; arctg р.

3. Розв'яжіть рівняння:

a) arctg(5х - 1) = ; б) arctg(3 - 5х) = - .

Відповідь: а) х = ; б) х = .

V. Сприймання і усвідомлення поняття arcctg a і властивостей функції у = arcctg х. Функція у = ctg х на інтервалі (0; р) спадає і приймає всі значення із R, тому для будь-якого числа а в інтервалі (0; р) існує єдиний корінь рівняння ctg х = а. Це число називають арккотангенсом числа а і позначають arcctg a. Арккотангенсом числа а називається таке число із інтервалу (0; р), котангенс якого дорівнює а.

Приклад 1. arcctg = , бо ctg = і (0; р).

Приклад 2. arcctg = , бо ctg = - і (0; р).

Виконання вправ

1. Обчисліть:

a) arcctg 1; б) arcctg ; в) arcctg 0; г) arcctg (-1); д) arcctg .



Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Графік функції у = arcctg x можна одержати із графіка функції у = ctg x у результаті перетворення симетрії відносно прямої у = х (рис. 121).

Укажемо властивості функції у = arcctg х:

1. D(y)=R.

2. E(y) = (0; р).

3. Графік не симетричний ні відносно початку координат, ні відносно осі OY. arcctg (-х) = р - arcctg х.

4. Функція спадна. Якщо х1< х2 то arcctg х1 > arcctg х2.

5. х = 0, якщо у = .

6. у > О для всіх х R.

Значення обернених тригонометричних функцій можна обчислювати за допомогою таблиць або мікрокалькулятора.

VI. Підведення підсумків уроку.

VII. Домашнє завдання.

Розділ II § 1 (4, 5). Запитання і завдання для повторення розділу II № 6--11, 12 (3, 4, 9, 10).

Висновок:

У процесі дослідження і вивчення науково-методичної літератури, досвіду роботи закладів освіти, що запроваджують профільне навчання у старшій школі ми прийшли до висновків:

1) здійснення профільного навчання потребує цілеспрямованого формування контингенту учнів, розробки відповідного навчально-методичного забезпечення за кожним напрямом навчання, використання специфічних форм і методів роботи з учнями, що мають підвищену мотивацію до навчання, вимагає відповідної перепідготовки і підвищення кваліфікації вчителя, модернізації матеріально-технічної бази;

2) загальноосвітні школи мають створювати ті чи інші профілі навчання за рахунок комбінацій базових, профільних предметів і курсів за вибором. Цим самим забезпечується гнучка система профільного навчання, яка дає змогу обрати старшокласнику індивідуальну освітню програму;

3) курс математики, призначений для профілів гуманітарного напрямку, повинен сприяти, перш за все, становленню гуманітарної культури людини, формувати уявлення про математику як форму опису та метод пізнання дійсності, про роль математики для прогресу суспільства. Він повинен будуватись на основі широкого використання можливостей образного мислення учнів;

4) курс математики, призначений для профілів природничого напрямку, забезпечуючи гармонійний розвиток образного і логічного мислення, повинен особливу увагу приділяти з'ясуванню ролі математики в сферах її застосувань. Насамперед це означає, що учні повинні оволодіти простими навичками математичного моделювання. Саме такий вид діяльності має бути головним у навчанні майбутніх інженерів, техніків, технологів, конструкторів, механіків, природознавців тощо. Досягти цього можна за рахунок зваженого компромісу між строгістю і доступністю викладення матеріалу, а також його прикладною спрямованістю;

5) у школах і класах економічного напряму передбачається закріплення у учнів початкового інтересу до діяльності, пов'язаною з економікою. Для уроків математики доцільний відбір такого навчального матеріалу, який зміцнить фундамент математичної підготовки школяра, необхідної для успішного оволодіння тією чи іншою економічною професією. Наявність у шкільній математиці деяких прикладних задач, що будуть показувати, як математика може успішно працювати в економіці, сприятиме необхідній профільній орієнтації школяра, а також отриманню ним елементарної профільної грамотності;

6) навчання у профільному класі з поглибленим вивченням математики повинно давати учням глибокі математичні знання і широкий математичний розвиток на базі основного курсу математики. Головний принцип, який визначає математичну підготовку у класах цього профілю, - принцип поступового моделювання професійної діяльності математика. Окрім основної задачі (відбір, навчання та виховання молоді, що проявила до вивчення математики особливий інтерес та здібності), класи фізико-математичного профілю розв'язують задачу пошуку перспективного змісту, форм і методів навчання математиці для масової школи;

7) для реалізації вищезазначених особливостей вивчення математики у профільних класах необхідно детально розробляти методику викладання різних тем відповідно до профілю.

На закінчення хочеться відзначити, що дана тема є актуальною і корисною. Матеріал, який подано у роботі, може бути використаний вчителями математики та студентами для проведення занять з математики у профільних класах, а також для дослідження особливостей вивчення математики у профільних класах.



7. Список використаної літератури

1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия: Для 10-11 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 1992.

2. Алфімов В., Артемов М., Пономаренко В. Навчальний план ліцею // Рідна школа. - 2000. - Травень. - С. 68-71.

3. Бабенко О. В. Прямі і площини в просторі, 9-й клас / Математика. - 2004. - № 10. - С. 21-23.

4. Бевз В., Мерзляк А., Слєпкань З. Програма з математики для загальноосвітніх навчальних закладів, 5-11 класи // Математика в школі. - 2003. - № 6. - С. 1-14.

5. Бевз Г. П. та ін. Геометрія: Підруч. для 10-11 кл. з поглибл. вивч. матем. в загальноосвіт. серед. закладах. - К.: Освіта, 2000.

6. Білицький О. Управління процесом розвитку особистості засобами варіативного компоненту змісту освіти / Директор школи. - 2002. - № 8. - С. 2-3.

7. Біляк Б., Дуда О. Профільне навчання в загальноосвітніх навчальних закладах // Директор школи, ліцею, гімназії. - 2003. - № 4. - С. 44-47.

8. Бродський Я. С., Павлов О. Л., Сліпенко А. К., Афанасьєва О. М. Проект програми з математики для 10-11 класів технічного та природничого профілів / 1 вересня. - 2000. - № 48. - С. 11-16.

9. Бродський Я., Павлов О. Про нові програми з математики / Математика. - 2000. - № 25-26. - С. 2-4.

10. Бродський Я., Павлов О., Сліпенко А., Хаметова З. Готуємо майбутніх математиків // Рідна школа. - 2000. - Травень. - С. 59-62.

Размещено на Allbest.ru

...