Теория вероятностей и математическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Проверка статистической гипотезы о виде неизвестного распределения

2. Определение корреляционной зависимости между рядами наблюдений

Заключение

Введение

Статистика -- отрасль знаний, в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения и анализа массовых статистических (количественных или качественных) данных. Слово «статистика» происходит от латинского status -- состояние дел. В науку термин «статистика» ввел немецкий ученый Готфрид Ахенваль в 1746 году, предложив заменить название курса «Государствоведение», преподававшегося в университетах Германии, на «Статистику», положив тем самым начало развитию статистики как науки и учебной дисциплины. Несмотря на это, статистический учет вёлся намного раньше: проводились переписи населения в Древнем Китае, осуществлялось сравнение военного потенциала государств, велся учет имущества граждан в Древнем Риме. Статистика разрабатывает специальную методологию исследования и обработки материалов: массовые статистические наблюдения, метод группировок, средних величин, индексов, балансовый метод, метод графических изображений и другие методы анализа статистических данных. Статистические методы -- методы анализа статистических данных. Выделяют методы прикладной статистики, которые могут применяться во всех областях научных исследований и любых отраслях народного хозяйства, и другие статистические методы, применимость которых ограничена той или иной сферой. Имеются в виду такие методы, как статистический приемочный контроль, статистическое регулирование технологических процессов, надежность и испытания, планирование экспериментов. Статистические методы анализа данных применяются практически во всех областях деятельности человека. Их используют всегда, когда необходимо получить и обосновать какие-либо суждения о группе (объектов или субъектов) с некоторой внутренней неоднородностью.

1. Проверка статистической гипотезы о виде неизвестного распределения

математический ожидание распределение корреляционный

Таблица 1 - Исходные данные

1. Составляем не сгруппированный ряд. Элементы выборки записываем в порядке возрастания, считаемчастость

=1/100=0,01

Таблица 2 - Не сгруппированный статистический ряд

N п/п	Значения	Частота	Частость
1	-2,42	1	0,01
2	-2,02	1	0,01
3	-1,9	1	0,01
4	-1,63	1	0,01
5	-1,62	1	0,01
6	-1,59	1	0,01
7	-1,54	1	0,01
8	-1,52	1	0,01
9	-1,46	1	0,01
Продолжение	Табл.2
10	-1,42	1	0,01
11	-1,36	1	0,01
12	-1,34	1	0,01
13	-1,33	2	0,02
14	-1,22	1	0,01
15	-1,14	1	0,01
16	-1	1	0,01
17	-0,76	1	0,01
18	-0,75	1	0,01
19	-0,7	1	0,01
20	-0,62	1	0,01
21	-0,54	1	0,01
22	-0,53	1	0,01
23	-0,51	1	0,01
24	-0,48	1	0,01
25	-0,44	1	0,01
26	-0,43	2	0,02
27	-0,4	1	0,01
28	-0,37	1	0,01
29	-0,32	1	0,01
30	-0,28	1	0,01
31	-0,18	1	0,01
32	-0,12	3	0,03
33	-0,11	1	0,01
34	-0,09	1	0,01
35	-0,08	1	0,01
36	-0,06	3	0,03
37	0	1	0,01
38	0,03	1	0,01
39	0,09	1	0,01
40	0,13	1	0,01
41	0,15	1	0,01
42	0,16	2	0,02
43	0,18	1	0,01
44	0,25	1	0,01
45	0,26	1	0,01
46	0,28	1	0,01
47	0,29	1	0,01
48	0,34	1	0,01
49	0,38	2	0,02
50	0,4	1	0,01
51	0,41	1	0,01
52	0,43	2	0,02
53	0,45	1	0,01
54	0,47	2	0,02
55	0,51	3	0,03
56	0,53	1	0,01
57	0,54	1	0,01
58	0,56	1	0,01
59	0,61	1	0,01
60	0,64	1	0,01
61	0,65	1	0,01
62	0,73	1	0,01
63	0,75	1	0,01
64	0,79	1	0,01
65	0,8	2	0,02
66	0,92	1	0,01
67	0,97	1	0,01
68	0,98	2	0,02
69	1,01	1	0,01
70	1,11	1	0,01
71	1,16	1	0,01
72	1,18	1	0,01
73	1,22	1	0,01
74	1,23	1	0,01
75	1,24	2	0,02
76	1,27	1	0,01
77	1,3	1	0,01
78	1,31	1	0,01
79	1,37	1	0,01
80	1,47	1	0,01
81	1,63	1	0,01
82	1,77	1	0,01
83	1,88	1	0,01
84	2,12	1	0,01
85	2,37	1	0,01
	Всего	100	1

2.Составления сгруппированный статистический ряд:

Находим число интервалов, cокруглением до ближайшего целого

k=1+3,2*lgn=1+6,4=7,4

Находим границы интервалов

[Xmin , Xmax] = [-2,42 ; 2,37 ]

Длина интервала

d= 4,79

Длина интервала разбиения

d/n =0,684286

Находим середину каждого интервала

;

Находим частость (относительную частоту)

=3/100=0.03

Находим плотность относительной частоты

=13/100*0,6843=0,04384

Таблица 3.1 - Сгруппированный статистический ряд

Интервал	Нач.Инт	Кон.инт	Середина Инт.	mi	p i	f i
1	-2,42	-1,7357	-2,07786	3	0,03	0,04384
2	-1,73571	-1,0514	-1,39357	13	0,13	0,18998
3	-1,05143	-0,3671	-0,70929	14	0,14	0,20459
4	-0,36714	0,31714	-0,025	24	0,24	0,35073
5	0,317143	1,00143	0,659286	28	0,28	0,40919
6	1,001429	1,68571	1,343571	14	0,14	0,20459
7	1,685714	2,37	2,027857	4	0,04	0,05846
			?	100	1	1,46138

Таблица 3.2-Числовые характеристики.

Середина Инт.	ni	niXi	niXi2	Xi-x	ni(Xi-x)3	ni(Xi-x)4
-2,07786	3	-6,2336	12,95247	-2,1829	-31,204	68,1136
-1,39357	13	-18,116	25,24654	-1,4986	-43,751	65,5646
-0,70929	14	-9,93	7,043207	-0,8143	-7,5593	6,15554
-0,025	24	-0,6	0,015	-0,13	-0,0528	0,00686
0,659286	28	18,46	12,17041	0,55427	4,76788	2,6427
1,343571	14	18,81	25,27258	1,23856	26,5997	32,9452
2,027857	4	8,11143	16,44882	1,92284	28,4375	54,6808

Находим оценку математического ожидания случайной величины

0,105014

Находим- выборочная исправленная дисперсия - статистическая оценка дисперсии случайной величины

0,980462

Находим выборочное среднеквадратическое отклонение

?= =0,995171

Находим статистическую оценку 3-центрального момента

- 0,22762

Находимоценкуасимметрии кривой распределения

-0,22762/(0,9951713) = - 0,23095

Находим статистическую оценку 4-центрального момента

2,3011

Находим оценку эксцесса кривой распределения

2,3011/(0,9951714)-3= - 0,65392

3. По данным таблицы 3 строимграфик эмпирических частот - гистограмму. По внешнему виду графика выдвигаем гипотезу Н0, что распределение нормальное с мат. ожиданием =0,105014 и СКО=0,995171. Строим график плотности нормального распределения НОРМРАСП(*;0,105014;0,995171;0) и совместим его с гистограммой:



Рисунок 1-Эмпирические и теоретические плотности вероятности

Вывод: Нормальное распределение показывает соответствие более точно.

4. Если принять гипотезу из п.3, что распределение нормальное, коэффициент асимметрии анализируемого распределения должен быть равен 0. Также должен быть равен 0 коэффициент эксцесса.Гипотезы о коэффициентах асимметрии и эксцесса исходного распределения-эти коэффициенты равны 0, как и положено нормально распределенной случайной величине.

5. Проверка выдвинутой гипотезы с помощью критерия Колмогорова.

Проверка гипотезы с использованием критерия Колмогорова проводится для не сгруппированного статистического ряда следующим образом:

- для каждого значения сформированного статистического ряда рассчитывается значение эмпирической функции распределения вероятностей по формуле

,

где nx- число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х.

- рассчитывается теоретическая функция распределения вероятностей

Рисунок 2-Эмперическая функция и функция нормального распределения

Расчетное значение критерия определяется как максимальное расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения вероятностей

.

л=Д=0,80559

Критическое значение критерия лб находится из таблицы 4 при заданном уровне значимости б=0,05.

Таблица 4 - Уровни значимости для критерия согласия Колмогорова

б.	0,999	0,99	0,95	0,9	0,5
лб	0,374	0,440	0,520	0,571	0,828
б.	0,1	0,05	0,01	0,001	0,0001
лб	1,224	1,358	1,627	1,950	2,3

-Сравниваем с предельными уровнями статистики Колмогорова:

Гипотеза Н0, что распределение нормально, не отвергается по критерию Колмогорова.

6. Проверка выдвинутой гипотезы с помощью критерия Пирсона.

Критерий Пирсона применяется для сгруппированного статистического ряда.

При использовании этого критерия сравниваются статистические и теоретические piвероятности попадания в интервал . В качестве меры расхождения используется характеристика ч2. Расчетное значение критерия

=5,150853

Теоретические вероятности попадания в интервалы для нормального закона распределения могут быть определены по формуле



Таблица 4-Вспомогательныя таблица для расчета хи-квадрат.

Интервал	Нач.инт	Кон.инт	Середина Инт.	ni	ni	F(начало инт)	F(конец инт)	Pi	(ni-nPi)2/(nPi)
1	-2,42	-1,73571	-2,07786	3	0,03	0	0,032181	0,032181	0,014784982
2	-1,73571	-1,05143	-1,39357	13	0,13	0,032181	0,122607	0,090425	1,73197163
3	-1,05143	-0,36714	-0,70929	14	0,14	0,122607	0,31759	0,194983	1,55047991
4	-0,36714	0,317143	-0,025	24	0,24	0,31759	0,584398	0,266808	0,26935577
5	0,317143	1,001429	0,659286	28	0,28	0,584398	0,816143	0,231745	1,004789249
6	1,001429	1,685714	1,343571	14	0,14	0,816143	0,94389	0,12775	0,117353579
7	1,685714	2,37	2,027857	4	0,04	0,943899	1	0,056101	0,462117572
			?	100	1			1	5,150852692

по заданному уровню значимости б=0,05 и числу степеней свободы

r=k-s=7-3=4; s - число связей, накладываемых на расчет теоретического распределения. При проверке гипотезы о нормальном распределении s = 3.

Найдемхи-критическое по таблице:

=9,490

Критическое значение сравниваем с расчетным:

<

Вывод: нулевая гипотеза принимается с уровнем значимости б=0,05.

7. Выдвинуть гипотезы об асимметрии и эксцессе кривой распределения.

Нулевая гипотеза Н0 об асимметрии:

H0={А=0}

Нулевая гипотеза Н0 об эксцессе:

H0={Е=0}

Оценка асимметрии кривой распределения

=-0,22762/(0,9951713) = - 0,23095

-Среднеквадратическое отклонение оценки асимметии

0,24495.

На уровне б=2*НОРМСТРАСП(0,23095/0,24495)-1= 0,6542 ноль попадает в двусторонний доверительный интервал с центром в А .Это уровень, на котором гипотеза H0={А=0}не отвергается.

Оценкаэксцесса кривой распределения

=2,3011/(0,9951714)-3= - 0,65392

Среднеквадратическое отклонение оценки эксцесса

0,4899

На уровне б=2*НОРМСТРАСП(0,65392/0,4899)-1= 0,818ноль попадает в двусторонний доверительный интервал с центром в Е .Это уровень, на котором гипотеза H0={А=0}не отвергается. Вывод по первой части курсовой работы: Гипотеза о том , что выборка сделана из нормально распределенной случайной величины:Не отвергается

Покритерию:Пирсона,Колмогорова.Следствия из этой гипотезы, что коэффициент: Асимметрии равен 0, отвергается;Эксцесса равен 0.

2. Определение корреляционной зависимости между рядами наблюдений

Таблица 1 - Результаты измерений случайных величин Х и Y

i	хi	yi
1	7,7	5,5
2	9,9	6,5
3	9,2	7
4	8,1	4,5
5	6,3	2,5
6	3	3,5
7	3,5	2,5
8	8,1	6
9	7,2	7
10	5,7	5,5
11	6,2	5
12	8,5	5
13	6,5	6,5
14	2	2
15	5,3	5
16	9,2	5
17	5,2	2,5
18	7,4	4
19	5,4	3
20	8,2	5,5

1. График зависимости переменных X и Y (поле корреляции) строится в прямоугольной системе координат. На оси абсцисс откладываются значения факторного признака Х, а по оси ординат - результативного признака - Y.

2. На основании поля корреляции сделать предположение о наличии между случайными величинами X и Y корреляционной зависимости и о форме этой зависимости (линейная или нелинейная).

Рисунок 1- Поле корреляции

3. Вычислить оценки математических ожиданий случайных величин X и Y. Оценка математического ожидания случайной величины X (среднее арифметическое).

=6.63

Оценка математического ожидания случайной величины Y (среднее арифметическое).

=4.7

4. Вычислить оценки средних квадратических отклоненийи

Оценка среднего квадратического отклонения случайной величины X

=2.1418

Оценка среднего квадратического отклонения случайной величины Y

=1.5845

5. Вычислить оценку коэффициента корреляции между X и Y и определить его значимость и надежность;

Оценка коэффициента корреляции (выборочный коэффициент корреляции).

=0.67523

Таблица 2 - Вспомогательная таблица регрессионного анализа

i	xi	yi			(xi-x)2	(yi-y)2	(xi-x)(yi-y)		|(yi-Yi)/yi|
1	7,7	5,5	1,07	0,8	1,1449	0,64	0,856	5,2345	4,548272727
2	9,9	6,5	3,27	1,8	10,6929	3,24	5,886	6,3334	5,525630769
3	9,2	7	2,57	2,3	6,6049	5,29	5,911	5,9837	6,145185714
4	8,1	4,5	1,47	-0,2	2,1609	0,04	-0,294	5,4343	3,292377778
5	6,3	2,5	-0,33	-2,2	0,1089	4,84	0,726	4,5352	0,68592
6	3	3,5	-3,63	-1,2	13,1769	1,44	4,356	2,8868	2,6752
7	3,5	2,5	-3,13	-2,2	9,7969	4,84	6,886	3,1365	1,2454
8	8,1	6	1,47	1,3	2,1609	1,69	1,911	5,4343	5,094283333
9	7,2	7	0,57	2,3	0,3249	5,29	1,311	4,9847	6,2879
10	5,7	5,5	-0,93	0,8	0,8649	0,64	-0,744	4,2355	4,729909091
11	6,2	5	-0,43	0,3	0,1849	0,09	-0,129	4,4852	4,10296
12	8,5	5	1,87	0,3	3,4969	0,09	0,561	5,6341	3,87318
13	6,5	6,5	-0,13	1,8	0,0169	3,24	-0,234	4,6351	5,786907692
14	2	2	-4,63	-2,7	21,4369	7,29	12,501	2,3873	0,80635
15	5,3	5	-1,33	0,3	1,7689	0,09	-0,399	4,0356	4,19288
16	9,2	5	2,57	0,3	6,6049	0,09	0,771	5,9837	3,80326
17	5,2	2,5	-1,43	-2,2	2,0449	4,84	3,146	3,9857	0,90572
18	7,4	4	0,77	-0,7	0,5929	0,49	-0,539	5,0846	2,72885
19	5,4	3	-1,23	-1,7	1,5129	2,89	2,091	4,0856	1,638133333
20	8,2	5,5	1,57	0,8	2,4649	0,64	1,256	5,4842	4,502872727

6. Определить параметры уравнения прямой регрессии по формулам

=0.49951

=1.3882

Нанести прямую регрессии на график поля корреляции.

7. Оценить качество уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации, характеризующей различие между фактическим значением и расчетным по уравнению регрессии

=24,48%

Качество уравнения регрессии нельзя считать хорошим, так как ошибка аппроксимации превышает 8-10 %.

8. Степень тесноты связи между переменными можно оценить по величине коэффициента корреляции (шкала Шедока): 0,5<r<0,75- связь средняя.

9. Так как исходные данные являются выборочными, необходимо оценить значимость величины коэффициента корреляции. Для этого выдвинем нулевую гипотезу о незначимости коэффициента корреляции.

H0={r=0}

Для проверки нулевой гипотезы использовать t-критерий Стьюдента. Расчетное значение t-критерия

=3.8838Критическое значение критерия tкр=2.1 из таблицы распределения Стьюдента при уровне значимости б=0,05 и числу степеней свободы v = 18.

tрасч>tкр, нулевая гипотеза отклоняется и коэффициент корреляции значим.

Таблица 3-Дополненная корреляционная таблица.

i	xi	yi	Yi	(yi-Yi)2
1	7,9	5,5	5,28	0,046837
2	10,1	6,5	6,38	0,014182
3	9,4	7	6,03	0,937488
4	8,3	4,5	5,48	0,966476
5	6,5	2,5	4,59	4,348389
6	3	3,5	2,84	0,436226
7	3,5	2,5	3,09	0,346826
8	8,1	6	5,38	0,380272
9	7,2	7	4,93	4,266581
10	5,7	5,5	4,19	1,72594
11	6,2	5	4,44	0,318499
12	8,5	5	5,58	0,339717
13	6,5	6,5	4,59	3,666156
14	2	2	2,34	0,116103
15	5,3	5	3,99	1,026706
16	9,4	5	6,03	1,064529
17	5,4	2,5	4,04	2,361182
18	7,6	4	5,13	1,28583
19	5,6	3	4,14	1,291339
20	8,4	5,5	5,53	0,001087
	134,6	94	94	24,94037
Средние	6,73	4,7	4,7	1,247018

Статистическая значимость коэффициента регрессии также проверяется с использованием t-критерий Стьюдента, при этом расчетное значение критерия

=2.9392

где =0.1699

Сравнивая tрасч>tкр, нулевая гипотеза отклоняется и коэффициент корреляции значим.

10. Статистическая надежность линейного уравнения регрессии проверяется с использованием критерия F-Фишера. Расчетное значение F-критерия находится по формуле

=15.0842

Критическое значение критерия Fкр=3,59153из таблицы распределения Фишерадента при уровне значимости б=0,05 и числу степеней свободы иk= 2 и k2=17 , k - число параметров при переменных Х.

Fрасч>Fкр, уравнение регрессии статистически значимое или надежное.

Вывод:

На уровне значимости б=0,05:Между переменными х и у существует статистически значимая связь линейного вида Yx=1.3882+0.49951, теснота связи средняя, коэффициент корреляции положителен, коэффициент при х значим. Ее можно использовать для предсказания значений Y при иных значениях Х.

Заключение

1) С помощью этой работы я научился группировать несгруппированный статистический ряд, вычислять оценки числовых характеристик (мат. ожидание, дисперсия, ско), выдвигать и проверять гипотезы об асимметрии и эксцессе с помощью критериев Колмогорова и Пирсона.

2) Построил график зависимости (точечную диаграмму) по которой подобрал модель уравнения регрессии.

3) Рассчитал параметры уравнения регрессии методом наименьших квадратов.

4) Оценил качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

5) Оценил по величине коэффициента корреляции (шкала Шедока)степень тесноты связи.

6) Оценил качество коэффициента корреляции и регрессии с помощью критерия Стьюдента.

7) Проверил надежность линейного уравнения регрессии с использованием критерия F-Фишера

Список использованных источников

1. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. 7-е. Год выпуска: 2001. Издательство: Высшая школа, Количество страниц: 400 .

2.Методические указания к выполнению курсового проекта по дисциплине

«Вероятность и статистика» .

Размещено на Allbest.ru

...