Дифференциальные уравнения 1 порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1 Геометрический смысл уравнения первого порядка

2.2 Задача Коша (задача с начальным условием)

2.3 Уравнения с разделёнными переменными

2.4 Уравнения с разделяющимися переменными

3. Метод Эйлера

4. Метод Рунге-Кутта

5. Метод Адамса

6. Примеры

Список литературы

Введение

Дифференциальное уравнение - уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке.

Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Например, не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения - наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),...,y(n)(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению.

Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

; (1)

(все три переменные x, y, F - действительны).

Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Пример:

y⁽⁴⁾ - y + x = 0

- уравнение четвёртого порядка.

Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.

Так, функция

y(x) = e^x + x

обращает уравнение:

y⁽⁴⁾ - y + x = 0

в тождество на всей числовой оси

y⁽⁴⁾(x) = e^x;

e^x -(ex +x) + x = 0,

т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция

y(x) = sin(x) + x).

Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.

Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

(2)

что: 1) Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1);

2) Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn.

Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной:

; (3)

и получать общее решение в форме

; (4)

решённой относительно неизвестной функции.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Как следует из определения, обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

; (5)

где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

; (6)

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как

; (7)

Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид или .

2.1 Геометрический смысл уравнения первого порядка

Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая:

.

Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые.

Для примера построим изоклины уравнения

.

Перебираем различные значения постоянной C, строим линии уровня функции

,

соответствующие этим значениям С (т.е. прямые ), и на этих линиях ставим чёрточки в направлении, определяемым значением С (, где - угол между чёрточкой и положительным направлением оси Ох):

- ось Оу;

;

;

и т.д. Информация о направлении интегральных кривых, полученная из рисунка, достаточна, чтобы сделать качественный вывод об их поведении: кривые должны огибать начало координат. Это могут быть окружности или спирали (когда мы научимся решать дифференциальные уравнения, мы легко установим, что это окружности; две такие окружности изображены пунктиром).

2.2 Задача Коша (задача с начальным условием)

Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения

; (8)

удовлетворяющее начальному условию

y(x0) = y0; (9)

(начальное условие (9) часто записывают в форме ).

Теорема Коша (существования и решения задачи Коша). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x0 существует единственное решение задачи ((8),(9)).

На самом деле для существования решения в окрестности точки x0 достаточно только непрерывности функции f(x, y); условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения (6)

2.3 Уравнения с разделёнными переменными

Так называются уравнения вида удовлетворяющие начальному условию

f(x) dx + g(y) dy = 0; (10)

Пусть y(x) - решение этого уравнения, т.е.

f(x)dx + g(y(x))dy(x) = 0.

Интегрируя это тождество, получим

- общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

Пример 1: решить задачу Коша

Исходное уравнение - с разделёнными переменными. Интегрируя его, получим

.

Соотношение

(x-1)² + y³ = C

- общее решение (общий интеграл) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, надо подставить в общее решения данные значения x0 и y0, и найти значение постоянной C на этом решении:

(2-1)2 + 13 = 2 C = 2.

Таким образом, решение поставленной задачи:

(x-1)² + y³ = 2.

2.4 Уравнения с разделяющимися переменными

Так называются уравнения вида

, (11)

или

f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0, (12)

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Записываем уравнение (11) в форме

,

затем делим на g(y) и умножаем на dx:

.

Уравнение (12) делим на f2(x) g1(y):

.

Эти уравнения - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:

В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.

Если функция g(y) имеет действительные корни y1, y2, y3, …, то функции y = y1, y = y2, y = y3, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения.

Если функция f2(x) имеет действительные корни x1, x2, x3, …, функция g1(y) имеет действительные корни y1, y2, y3, …, то функции x = x1, x = x2, x = x3, …, y = y1, y = y2, y = y3, … являются решениями исходного уравнения. В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коша.

Пример 2:

.

При такой форме записи общего интеграла решение y = 1 потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постоянную C как ln|C1|:

Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования C; общее решение

содержит частное решение y = 1 при C = 0.

Пример 3: Найти решение задачи Коши

Решаем уравнение:

Здесь могут быть потеряны решения постоянная интегрирования записана как . Далее,

Общий интеграл уравнения

y² = C(x² - 1) + 1

Частные решения содержатся в общем интеграле при C = 0, решения утеряны (понятно, почему это произошло: если записать уравнение в форме, решённой относительно производной,

,

то, очевидно, на решениях нарушаются условия, налагаемые теоремой Коша на правую часть уравнения). Всё множество решений:

y² = C(x² - 1) + 1, x = 1, x = -1.

Мы должны найти ещё частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 5. Подстановка значений x = 1, y = 5 в общий интеграл даёт 25=1, т.е. общий интеграл этого частного решения не содержит. Решение x=1 удовлетворяет начальному условию, это и есть решение задачи Коша.

К уравнениям с разделяющимися переменными сводятся уравнения вида



( - постоянные). Если перейти к новой неизвестной функции

z = ax + by + c,

то

,

и уравнение представляется как

.

Это - уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 4:

.

2.5 Уравнения с однородной правой частью

Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов:

, (13)

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой

,

или

.

Подставляя в (13)

y = x·u,

y? = u + x·u?,

получим

(это - уравнение с разделяющимися переменными),



- это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u.

Пример 5:

- общее решение уравнения.

Введём определение: Функция f(x, y) называется однородной функцией своих аргументов степени m, если для любого t выполняется тождество:

f(tx,ty) = tm f(x, y).

Так,

x³ - 3xy² + 4y³

- однородная функция степени 3, ln x - ln y- однородная функция нулевой степени. Если M(x, y), N(x, y) - однородные функции одной степени, то уравнение

M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0

может быть приведено к виду

.

Пример 6:

(y2 - 2xy)dx + x2dy = 0.

Здесь коэффициенты при дифференциалах - однородные функции второй степени, т.е. уравнение должно приводиться к виду (13). Решаем уравнение относительно производной:

делим числитель и знаменатель правой части на x²:

- это уравнении с однородной правой частью.

Это общий интеграл уравнения. Утерянные решения: x = 0, y = x (u = 1); решение y = 0 (получаемое из u = 0) содержится в общем решении при C = 0.

Пример 7:

.

Преобразуем уравнение:

.

Решение: дифференциальный уравнение интегрирование переменная

общий интеграл уравнения в переменных x, u:

.

Преобразуем это выражение:

,

или

().

Утерянные решения:

Ответ:

();

.

3.Метод Эйлера

Решить дифференциальное уравнение у'=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х₀, х₁…, х_n и числа у₀, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁, у₂,…, у_n, что

у_i=F(x_i) (i=1,2,…, n) и F(x₀)=y₀, (14)

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера - наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе "Интегральное исчисление". Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием

x=x₀, y(x₀)=y₀, (15)

Требуется найти решение уравнения (14) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей и получим последовательность х₀, х₁, х₂,…, х_n, где

x_i=x₀+ih (i=0,1,…, n),

а h=(b-a)/n

- шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х_i)y_i вычисляются последовательно по формулам

у_i+hf(x_i, y_i) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М₀(х₀, у₀), заменяется ломаной М₀М₁М₂… с вершинами М_i(x_i, y_i) (i=0,1,2,…); каждое звено М_iM_i+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (14), которая проходит через точку М_i. Если правая часть уравнения (14) в некотором прямоугольнике

R{|x-x₀|a, |y-y₀|b}

удовлетворяет условиям:

|f(x, y₁)- f(x, y₂)| N|y₁-y₂| (N=const), (16)

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(x_n)-y_n| hM/2N[(1+hN)ⁿ-1], (17)

где у(х_n)-значение точного решения уравнения (14) при х=х_n, а у_n- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения у_n^* оценивается формулой

|y_n-y(x_n)||y_n^*-y_n|. (18)

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

4. Метод Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта - важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М.В. Куттой.

Формально, методом Рунге - Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.

Классический метод Рунге - Кутта 4 порядка:

Метод Рунге - Кутта 4 порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге - Кутта.

Рассмотрим задачу Коши:

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

где - величина шага сетки по

Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок (ошибка на каждом шаге порядка ).

Прямые методы Рунге - Кутта:

Семейство прямых методов Рунге - Кутты является обобщением метода Рунге - Кутты 4 порядка. Оно задаётся формулами:

где - величина шага сетки по и вычисление нового значения проходит в этапов:



Конкретный метод определяется числом и коэффициентами и . Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу (называемую таблицей Бутчера)

Для коэффициентов метода Рунге - Кутты должны быть выполнены условия

для . Если требуется, чтобы метод имел порядок , то следует так же обеспечить условие

где - приближение, полученное по методу Рунге - Кутта. После многократного дифференцирования это условие преобразуется в систему полиномиальных уравнений на коэффициенты метода.

5. Метод Адамса

Метод Адамса - разностный метод численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий вычислять таблицу приближённых значений решения в начальных точках. Назван по имени предложившего его английского астронома Дж. К. Адамса в 1855.

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения

y' = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀.

Задавшись некоторым шагом изменения аргумента h, находят каким-либо способом, исходя из начальных данных y(x₀) = y₀, следующие три значении искомой функции y(x):

,

,

(эти три значения можно получить любым методом, обеспечивающим нужную точность: с помощью разложения решения в степенной ряд. Методом Рунге-Кутта и т.д., но не методом Эйлера ввиду его недостаточной точности).

С помощью чисел , , , и , ,, вычисляют величины

; ;

,; .

Далее, составляют таблицу конечных разностей величин y и q:

x	y		q
...	…	…	…	…	…	…

Зная числа в нижней косой строке, по формуле Адамса находят

.

. Зная теперь ,

вычисляют

,

после чего можно написать следующую косую строку:

, , ,

а следовательно,

и т.д.

6. Примеры

(Упражнения из "Высшая математика в упражнениях и задачах, часть 2", П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова)

Метод Эйлера

№1229.

Методом Эйлера найти три значения функции y, определяемой уравнением

,

y(0)=1, h=0,1.

Решение:

(1+0,2+2,1)=1,78

Ответ:

x	0	0,1	0,2	0,3
y	1	1,2	1,45	1,78

№1230

Методом Эйлера найти четыре значения функции y, определяемой уравнением

,

y(0)=0, h=0,1.

Решение:

Ответ:

x	0	0,1	0,2	0,3	0,4
y	0	0	0,001	0,005	0,014

№1231

Методом Эйлера найти четыре значения функции y, определяемой уравнением

,

y(2)=4, h=0,1.

Решение:

;

Ответ:

x	2	2,1	2,2	2,3	2,4
y	4	5,8	9,44	18,78	54,86

№1232

Методом Эйлера найти численное решение уравнения

,

на отрезке , y(0)=1, h=0,2

Решение:

Ответ:

x	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1	1,2
y	1	1,1	1,18	1,24	1,27	1,27	1,24

№1233

Методом Эйлера найти численное решение системы уравнений

, ,

при начальных условиях x(1)=1, y(1)=1, , h=0,2.

Решение:

;

Ответ:

t	1	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0
x	1	1	1,07	1,17	1,3	1,45
y	1	1,4	1,8	2,21	2,63	3,06

Метод Рунге-Кутта

№1236

Методом Рунге-Кутта проинтегрировать уравнение

Решение:

Ответ:

x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
y	1	1,026	1,055	1,09	1,133	1,187	1,256	1,34	1,442	1,57	1,73

№1237

Методом Рунге-Кутта проинтегрировать уравнение

Решение:

Ответ:

x	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
y	1	1,05	1,12	1,2	1,29	1,39	1,5	1,62	1,75	1,89	2,03

Метод Адамса

№1239

Используя метод Адамса, найти значение y(0,5) для дифференциального уравнения

Решение:

.

Ответ:

№1240

Используя метод Адамса, найти значение y(0,4) для дифференциального уравнения

Решение:

Ответ:

Список литературы

1. Методы решения дифференциальных уравнений. Сб. статей. Новосибирск: Наука, 1987.

2. М. Розо. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971.

3. Б.П. Демидович. Лекции по математический теории. М.: Наука, 1967.

4. И.Г. Петровский. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1964.

5. Ю.Н. Бибиков. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991.

6. В.И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.

7. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). М.: Изд. ФМЛ, 2001.

8. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах Ч 2, 1986

9. ru.wikipedia.org

Размещено на Allbest.ru

...