Функции одной переменой

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Понятие функции одной переменной. Виды и свойства.

Способы задания и область определения функции.

Применение в экономике

Список используемой литературы

Введение

Изучение математических дисциплин и их экономических приложений, составляющих основу актуальной экономической математики, позволит будущему специалисту не только приобрести необходимые базовые навыки, используемые в экономике, но и сформировать компоненты своего мышления: уровень, кругозор и культуру. Все это понадобится для успешной работы и для ориентации в будущей профессиональной деятельности.

Понятие функции одной переменной. Виды и свойства

Пусть Х и Y -- некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x Х по какому-либо закону f поставлен в соответствие один элемент у Y. Тогда будем говорить, что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f(x). При этом x называют независимой переменной (или аргументом), у -- зависимой переменной, множество Х -- областью определения (существования) функции, множество Y -- областью значений (изменения) функции.

Кроме буквы f для обозначения функции используются и другие буквы, другими буквами может обозначаться также и независимая переменная. Примеры записи функций: у = у (x), y = F(x), y = g(x).

Если множество Y значений функции ограничено, то функция называется ограниченной, в противном случае -- неограниченной.

Существует три вида функций:

· Функция у=f(х) называется возрастающей на [ a , b ], если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

· Функция у=f(х) называется убывающей на [ a , b ], если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

· Функция , только возрастающая или только убывающая на [ a , b ], называется монотонной.

Элементарной функцией называется функция, записанная одной формулой и составленная из основных элементарных функций с помощью символов четырех арифметических действий ((+), (-),(*),(/)) и операции суперпозиции функций.

Основные элементарные функции:

1) постоянная у=с, с= const ;

2) степенная y = xn , n принадлежит R \{0} , n - задано;

3) показательная у=ах, a >0, a не равно 1;

4) логарифмическая y = logax , a >0, a не равно 1;

5) тригонометрические y = sinx , y = cosx , y = tgx , y = ctgx ;

6) обратные тригонометрические y = arcsinx y = arccosx,y = arctgx,y = arcctgx .

Свойства функции:

1. Монотонность функции.

Функцияявляется монотонной, если для любых x1 и x2 из области определения функции выполняется, таких, что выполняется неравенство , если функция монотонно возрастающая или , если функция монотонно убывающая.

2. Унимодальность.

Функция является унимодальной на отрезке , если она монотонна по обе стороны от единственной на отрезке точки , то есть

или

Способы задания и область определения функции

Задать функцию -- значит указать закон, по которому, согласно определению, каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие (вычисляется) значение зависимой переменной из области значений функции. Существуют три основных способа задания функций: табличный, аналитический и графический.

1. Табличный способ. Этот способ имеет широкое применение в разных отраслях знаний и приложениях: ряды экспериментальных измерений, социологические опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т.п. Как правило, в таких таблицах по крайней мере одну из переменных можно принять за независимую (например, время), тогда другие величины будут являться функциями от этого аргумента. По сути дела базы данных основаны на табличном способе задания, хранения и обработки информации, а значит, и на табличной форме функциональной зависимости.

2. Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формул. Следует подчеркнуть, что функция может определяться и набором формул -- на разных промежутках области определения функции используются разные формулы.

3. Графический способ. Здесь соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика. Этот способ обычно используется в экспериментальных измерениях с употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т.д.)

Область определения функции.

1. В том случае, когда функция задана в аналитическом виде (посредством формулы)

(1)

и никаких ограничений или оговорок более не имеется, область ее определения устанавливается исходя из правил выполнения математических операций, входящих в формулу f. Эти ограничения хорошо известны: подкоренное выражение в корне четной степени не может быть

6

отрицательным, знаменатель дроби не может быть равным нулю, выражение под знаком логарифма должно быть только положительным, а также некоторые другие.

Пример. у = log2 (x2 -- 5x + 6).

Область определения этой функции находится из условия x2 -- 5x + 6 > 0. Поскольку x = 2 и x = 3 -- корни квадратного трехчлена, стоящего под знаком логарифма, то это условие выполняется на двух полубесконечных интервалах: (-, 2) и (3, ). На рисунке выделена заштрихованная полоса, в которой график функции отсутствует.

2. Область определения функции задана вместе с функцией f(x).

Пример. у = 3x-4/3 + 2, 1 ? х ? 4.

3. Функция имеет определенный прикладной характер, и область ее существования определяется также и реальными значениями входящих параметров (например, задачи с физическим смыслом).

Функция у = f(x) называется четной (симметрия относительно оси Оу), если для любых значений аргумента из области ее определения выполнено равенство

(2)

Функция у = f(x) называется нечетной (симметрия относительно начала координат О), если выполнено условие

(3)

Применение в экономике.

Приведем примеры использования функций в области экономики.

1. Кривые спроса и предложения. Точка равновесия. Рассмотрим зависимости спроса D (demand) и предложения S (supply) от цены на товар Р (price). Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость D от Р имеет вид ниспадающей кривой:

(4)

где а < 0. В свою очередь предложение растет с увеличением цены на товар, и потому зависимость S от Р имеет следующую характерную форму:

(5)

где b ? 1. В этих формулах с и d -- так называемые экзогенные величины; они зависят от внешних причин (благосостояние общества, политическая обстановка и т.п.). Вполне понятно, что переменные, входящие в данные формулы, положительны, поэтому графики функций имеют смысл только в первой координатной четверти.

Для экономики представляет интерес условие равновесия, т.е. когда спрос равен предложению; это условие дается уравнением

D(P) = S(P) (6)

функция переменная симметрия графический

и соответствует точке пересечения кривых D и S -- это так называемая точка равновесия. Цена Ро, при которой выполнено условие, называется равновесной.

При увеличении благосостояния населения, что соответствует росту величины с в формуле (4), точка равновесия М смещается вправо, так как кривая D поднимается вверх; при этом цена на товар растет при неизменной кривой предложения S.

2. Паутинная модель рынка. Рассмотрим простейшую задачу поиска равновесной цены. Это одна из основных проблем рынка, означающая фактически торг между производителем и покупателем

Пусть сначала цену P1 называет производитель (в простейшей схеме он же и продавец). Цена P1 на самом деле выше равновесной (естественно, всякий производитель стремится получить максимум выгоды из своего производства). Покупатель оценивает спрос D1 при этой цене и определяет свою цену Р2, при которой этот спрос D1 равен предложению. Цена Р2 ниже равновесной (всякий покупатель стремится купить подешевле). В свою очередь производитель оценивает спрос D2, соответствующий цене P2, и определяет свою цену Р3, при которой спрос равен предложению; эта цена выше равновесной. Процесс торга продолжается и при определенных условиях приводит к устойчивому приближению к равновесной цене, т.е. к "скручиванию" спирали. Если рассматривать последовательность чисел, состоящую из называемых в процессе торга цен, то она имеет своим пределом равновесную цену Р0: Pn = P0.

Размещено на Allbest.ru