Интерполирование функций

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Воронежский государственный технический университет» (ФГБОУ «ВГТУ»)

Факультет автоматики и электромеханики

Кафедра «Высшей математики и физико-математического моделирования»

Специальность «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»

Курсовая работа

По дисциплине «Математический анализ»

Интерполирование функций

Содержание

интерполяционный формула функция математический

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Интерполяционная формула Лагранжа

1.2 Интерполяционная формула Ньютона

1.3 Численное дифференцирование

1.4 Теория Чебышева

1.5 Теорема Вейерштрасса

2. Практическая часть

Заключение

Список литературы

Введение

При разработке математического обеспечения часто приходится иметь дело с функциями f(x), заданными в виде таблиц, когда известны некоторое конечное множество значений аргумента и соответствующие им значения функции. Аналитическое выражение функции f(x) при этом неизвестно, что не позволяет определять ее значения в промежуточных точках аргумента, отсутствующих в таблице. В таком случае решается задача интерполирования, которая формулируется следующим образом.

В данной курсовой работе по дисциплине математический анализ будет рассмотрено, что такое интерполирование функции, методы интерполяции, показано их решение, а также самостоятельно решено несколько примеров на заданную тему.

1. Теоретическая часть

1.1 Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть при изучении некоторого явления установлено, что существует функциональная зависимость между величинами y и x, описывающая количественную сторону данного явления; при этом функция остается нам неизвестной, но на основании эксперимента установлены значения этой функции у0, у1, у2, ..., уn при некоторых значениях аргумента х0, x1, х2, …, xn принадлежащих отрезку [a, b].

Задача заключается в том, чтобы найти функцию, по возможности более простую с точки зрения вычислительной (например, многочлен), которая представляла бы неизвестную функцию на отрезке [a, b] точно или приближенно. В более отвлеченной форме эту задачу можно сформулировать так: на отрезке [а, b] заданы значения неизвестной функции в n+1 различных точках х0, x1, х2, …, xn:

Требуется найти многочлен P(x) степени n, приближенно выражающий функцию

В качестве такого многочлена естественно взять многочлен, значения которого в точках х0, x1, х2, …, xn совпадают с соответствующими значениями у0, у1, у2, ..., уn функции (рисунок).

Тогда поставленная задача, называемая «задачей интерполирования функции», формулируется так: для данной функции найти многочлен Р(х) степени n, который при заданных значениях х0, x1, х2, …, xn принимал бы значения:

В качестве искомого многочлена возьмем многочлен n-й степени вида

и определим коэффициенты C1,C2, …, Cn, так, чтобы выполнялись условия

Положим в формуле (1) - x=x0; тогда, принимая во внимание равенства (2), получим

=>

Затем, положив х=хi получим

=>

Таким же образом найдем остальные C.

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим

Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа. Отметим без доказательства, что если имеет производную (n+1)-го порядка на отрезке [а, b], то погрешность при замене функции многочленом Р(х), т. е. величина удовлетворяет неравенству:

Многочлен Р(х) является единственным, удовлетворяющим поставленным условиям.

1.2 Интерполяционная формула Ньютона

Пусть известны n+1 значения функции , а именно y0,y1, …, yn при n+1 значении аргумента x0, x1, …, xn. При этом разность между соседними значениями аргумента постоянна. Обозначим ее через h. Таким образом, имеем таблицу значений, неизвестной функции при соответствующих значениях аргумента.

Составим многочлен степени не выше n, который принимает соответствующие значения при соответствующих значениях х. Этот многочлен будет приближенно представлять функцию

Предварительно введем обозначения

Это так называемые разности 1-го, 2-го, ..., n-го порядка.

Напишем многочлен, принимающий значения y0, y1, y2 соответственно при x0 и x1. Это будет многочлен 1-й степени.

Действительно,

Напишем многочлен, принимающий значения y0, y1, y2 соответственно при x0, x1, x2. Это будет многочлен 2-й степени.

Действительно,

Многочлен третьего порядка будет иметь вид.

Наконец, многочлен n-го порядка, принимающий значения y0, y1, y2, …, yn соответственно при x0, x1, xn, …, xn, будет иметь вид в чем можно убедиться непосредственной подстановкой.

Это и есть интерполяционная формула или интерполяционный многочлен Ньютона.

По существу, многочлен Лагранжа и многочлен Ньютона для данной таблицы значений тождественны, но по-разному написаны, так как многочлен степени не выше n, принимающий заданные n+1 значений при данных n+1 значениях x, находится единственным образом.

Во многих случаях интерполяционный многочлен Ньютона более удобен, чем интерполяционный многочлен Лагранжа. Особенность этого многочлена заключается в том, что при переходе от многочлена k-й степени к многочлену (k+1)-й степени первые k+1 членов не меняются, а только добавляется новый член, который равен нулю при всех предыдущих значениях аргумента.

Замечание.

По интерполяционным формулам Лагранжа (3) и Ньютона (4) определяются значения функции на отрезке х0<х <хn. Если по этим формулам определяется значение функции при х<х0 (это можно делать при малом |x-x0|), то говорят, что производится экстраполяция таблицы назад. Если определяется значение функции при

х>хn, то говорят, что производится экстраполяция таблицы вперед.

1.3 Численное дифференцирование

Пусть значения некоторой неизвестной функции заданы таблицей, которая рассматривалась в начале. Требуется определить приближенно производную этой функции. Эта задача решается так. Строится интерполяционный многочлен Лагранжа или Ньютона и от этого многочлена находится производная.

Так как чаще рассматриваются таблицы с равными разностями между соседними значениями аргумента, то мы будем пользоваться интерполяционной формулой Ньютона. Пусть даны три значения функции у0, у1 у2 при значениях аргумента x0, x1, x2. Тогда пишем многочлен (2) и дифференцируем его. Получаем приближенное значение производной функции на отрезке x0<x<x2:

При х=х0 получаем

Если будем рассматривать многочлен 3-го порядка (3), то после дифференцирования для его производной получим выражение:

В частности, при x=x0 получаем

Если мы будем пользоваться формулой (4), то для приближенного выражения производной при х=х0 получим

Заметим, что для функции, имеющей производные, разность есть бесконечно малая 1-го порядка, -- бесконечно малая 2-го порядка, " бесконечно малая 3-го порядка и т. д. относительно h.

1.4 Теория Чебышева

В связи с задачей, рассмотренной ранее, естественно поставить такой вопрос: пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция Можно ли эту функцию с любой, наперед заданной степенью точности приближенно представить в виде многочлена Р (х)? Иначе говоря, можно ли подобрать такой многочлен Р(x), чтобы разность между и Р(х) по абсолютной величине во всех точках отрезка [a, b] была меньше любого наперед заданного положительного числа ??

Утвердительный ответ содержится в теореме Вейштрасса.

1.5 Теорема Вейерштрасса

Если функция непрерывна на отрезке [а, b], то для любого ? >0 существует такой многочлен Р(х), что во всех точках указанного отрезка выполняется

Неравенство:

Выдающийся советский математик академик С.Н. Бернштейн дал следующий способ непосредственного построения таких многочленов, которые приближенно равны непрерывной функции на заданном отрезке.

Пусть, например, функция непрерывна на отрезке [0, 1].

Составим выражение

Здесь - биномиальные коэффициенты, - значение данной функции в точке x=m/n. Выражение является многочленом n-й степени; его называют многочленом Бернштейна.

Если задано произвольное ? >0, то можно подобрать такой многочлен Бернштейна (т. е. так выбрать его степень n), чтобы для всех значений х на отрезке [0, 1] выполнялось неравенство:

Отметим, что рассмотрение отрезка [0, 1], а не произвольного отрезка [а, b] не является существенным ограничением общности, так как с помощью замены переменной x = a + t (b - a), любой отрезок [а, b] можно преобразовать в отрезок [0, 1]. При этом многочлен n-й степени преобразуется в многочлен той же степени.

Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П.Л. Чебышев (1821--1894) -- один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П.Л. Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах.

Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева. Эти многочлены обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время являются могучим средством исследования во многих вопросах математики и техники.

2. Практическая часть

В практической части будут самостоятельно решены типичные примеры на заданную тему. Для этого будет использован сборник задач по математике для втузов под редакцией А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича.

Эти примеры будут рассмотрены в приложении к данной курсовой работе.

Пример1.

Дано:

y=(x); y0=3 если x0=1; y1=-5 если x1=2; y2=4 если x2=-4;

Представить приближенно функцию y=(x) многочленом 2-ой степени.

Решение:

По формуле Лагранжа имеем (n=2):

P(x)=++;

P(x)= --+.

Пример2

Заключение

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций, оказывается, эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Список литературы

А.Ф. Бермант, И.Г. Абрамович. Краткий курс математического анализа.

Н.С. Пискунов Дифференциальное и интегральное исчисления.

Шипачев. Учебник высшей математики.

Бугров, Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление.

Размещено на Allbest.ru