Азбука квадратного трехчлена

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Квадратный трехчлен с полным правом можно называть основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Если не считать самой простой функции - линейной, то это единственная функция, для которой в школьном курсе могут быть достаточно строго доказаны основные свойства, составляющие содержание теории и необходимые для решения задач.

Такое особое положение квадратного трехчлена отражается и на содержании вступительных экзаменов в вузы - и на письменных, и на устных экзаменах предлагается большое количество разнообразных задач различной сложности, решаемых с помощью свойств квадратного трехчлена. Поэтому безукоризненное знание свойств квадратного трехчлена, умение применять эти свойства для решения задач фактически требуется от каждого поступающего.

В то же время в школьном курсе рассматриваются лишь самые простые, непосредственные применения свойств квадратного трехчлена в стандартных ситуациях - таких, как решение квадратных уравнений неравенств, нахождение условий существования решений, определение знаков корней, отыскание наибольшего и наименьшего значения квадратного трехчлена и т.п. Эти задачи решаются, как правило, в один шаг и поэтому не дают учащимся возможности эффективно применять свои знания для решения задач более сложных, а иногда и совсем простых, но сформулированных непривычным образом.

Для активного использования свойств квадратного трехчлена, помимо обычных школьных навыков - таких, как решение квадратных уравнений и неравенств, выделение полного квадрата, построение графиков, применение теоремы Виета и ее обратной для устного решения уравнений, нахождения суммы и произведения корней, составления уравнения по его корням - следует научиться:

1) Видеть квадратный трехчлен во всех его разнообразных формах и уметь использовать его свойства для решения задач, внешне не связанных с квадратным трехчленом;

2) Владеть геометрической интерпретацией задач, связанных с квадратным трехчленом, - в частности, уметь строить не только график конкретного трехчлена, но и трехчлена «общего вида», обладающими определенными заданными свойствами;

3) Уметь исследовать квадратный трехчлен не только на всей числовой прямой, но и на конкретном числовой множестве - как правило, конечном или бесконечном числовом промежутке - и в частности, уметь связывать вопросы о расположении корней трехчлена со знаками его значений.

Я рассмотрю ряд свойств квадратного трехчлена, не изучающихся в школьном курсе, но непосредственно к ним примыкающих и которые, в основном, легко доказываются на основе стандартных школьных знаний. Среди этих свойств самые главные - это многочисленные необходимые и достаточные условия для того или иного расположения корней трехчлена, для сохранения знака трехчлена на некотором промежутке, для определенной связи между двумя заданными квадратными трехчленами и т.п.

В то же время совокупность этих свойств не следует рассматривать как некоторую «расширенную теорию» квадратного трехчлена, которую надо запомнить и в каждой задаче извлекать из памяти нужную теорему. Напротив, я покажу, что именно при стремлении получить возможно более простое решение конкретной задачи, в частности, чтобы избежать вычислительных трудностей, естественно ставить более общие вопросы и получать при этом новые свойства квадратного трехчлена - для применения на практике, а не для обогащения теории.

Другими словами, я не строю теорию, а показываю некоторый общий подход, с помощью которого ученик, владеющий «азбукой» квадратного трехчлена, сам может при необходимости получить и доказать соответствующую теорему. Поэтому в ряде задач, которые я рассмотрю, значительное место занимают поиски идеи решения, эвристического соображения.

Эвристика - искусство поиска решения, в котором можно пользоваться какими угодно соображениями, не строгими рассуждениями, в частности, геометрической интерпретацией, и вообще, всем, что придет в голову, и главное - не надо никому объяснять, почему именно применяются те или иные соображения, лишь бы они привели к успеху, к нахождению решения; а уж само решение, найденное эвристически, приводится строгим логическим рассуждением.

1. Азбука квадратного трехчлена

квадратный трехчлен геометрический

Для активного применения свойств квадратного трехчлена необходимо, естественно, свободно владеть его «азбучными» свойствами, которые я сейчас и перечислю - без доказательств, но обращая внимание на некоторые наиболее важные моменты, ускользающие зачастую из поля зрения учащихся.

Замечу, прежде всего, что вся теория квадратного трехчлена фактически «вытекает» из единственной формулы

ax² + bx + c = a(x + 2a) ²

Такое преобразование квадратного трехчлена называется, как известно, выделением полного квадрата. Эту основную формулу можно запомнить, но более полезно понять, как именно она получается, и в каждом конкретном случае выделать полный квадрат этим способом. В формуле и появляется выражение b² - 4ac, которое называется дискриминантом квадратного трехчлена и имеет определяющее значение для всех его свойств.

Укажем также, что коэффициентам а, b, с, квадратного трехчлена ax² + bx + c часто удобно давать индивидуальные названия - «старший коэффициент», «первый коэффициент» и «свободный член».

1)Корни квадратного трехчлена. Решение квадратных уравнений.

Из основной формулы немедленно вытекает условие существования корней: при D<0 квадратный трехчлен не имеет корней, при D>0 он имеет два различный корня

(- b - v b² - 4ac - b + v b² - 4ac)/2a 2a

а при D=0 ситуация, как ни странно, с терминологической точки зрения, является чуть более сложной. Именно, часто говорят, что трехчлен имеет один корень, либо 2 равных корня.

Полученные выражения для корней трехчлена с неотрицательным дискриминантом принято записывать в виде

(- b ± v b² - 4ac) / x_1,2 = 2a

или, короче

(- b ± v D) / x_1,2 = 2a

2)Теорема Виета и следствие о знаках корней. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

Из общей формулы корней квадратного трехчлена непосредственно вытекают два равенства

-b /(x₁ + x₂ )= с/(a , x₁x₂ )= a

Эти равенства и называют теоремой Виета. Полезно знать и полную, более аккуратную формулировку этой теоремы: «Если x₁ и x₂ - корни квадратного трехчлена

ax² + bx + c, то x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ =c/a ».

Эта формулировка, вполне понятная и привычная для учащихся, содержит, однако, некоторую тонкость. Именно, как понимать ее для трехчлена с дискриминантом, равным нулю? Если считать, что у трехчлена в этом случае один корень, то формулировка становится бессмысленной, и тогда надо с самого начала оговорить, что x₁ и x₂ - различные корни трехчлена.

Из теоремы Виета легко вытекает следствие о знаках коней трехчлена; оно хорошо известно учащимся, и я не буду на этом останавливаться. Отмечу лишь, что делать вывод о знаках корней нельзя до того, как установлено существование корней трехчлена; так, нельзя утверждать, например, что трехчлен

2391х² - 1872х + 714

имеет положительные корни, не убедившись предварительно, что его дискриминант неотрицателен. Исключение здесь лишь одно - если старший коэффициент и свободный член имеют разные знаки, то трехчлен имеет корни разных знаков - в этом случае дискриминант, очевидно, положителен.

С помощью теоремы Виета легко доказывается важная формула разложения квадратного трехчлена(с неотрицательным дискриминантом) на множители: если x₁x₂ - корни трехчлена(быть может равные), то справедливо тождество

ax² + bx + c = a(x-x₁) (x-x₂)

Теорема, обратная теореме Виета, формулируется следующим образом: если числа x₁ и x₂ удовлетворяют равенствам x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ =c/a , то они являются корнями квадратного уравнения.

В связи с устным решением квадратных уравнений - точнее, с нахождением целых корней квадратных уравнений с целыми коэффициентами, - к которому учащиеся нередко прибегают, подбирая корни приведенного уравнения, укажу один прием, позволяющий практически с той же степенью легкости находить и дробные корни произвольных квадратных уравнений с целыми коэффициентами (если, конечно, они существуют).

Именно, если домножить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 на а и положить у = ах, то получается приведенное квадратное уравнение у² + bу + аc = 0, для которого и следует подбирать целые корни. На практике это преобразование можно и не делать, если заметить, что второе преобразование - относительно у - получается из первого «перебрасыванием» старшего коэффициента в свободный член.

Так, для нахождения корней уравнения 21x² - x - 2 = 0 следует найти разложение числа 42 на два множителя таким образом, чтобы их разность равнялась 1 - это, очевидно, 7 и 6, и поэтому корнями заданного уравнения являются числа 6/21 и 7/21, то есть - 2/7 и 1/3.

3)Знаки значений квадратного трехчлена. Решение квадратных неравенств.

Замечу прежде всего, что если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, то из формулы

b / (ax² + bx + c )= a(x + 2a) ²

немедленно следует, что при любом значении х трехчлен принимает положительное значение, если а>0 и отрицательное значение, если а<0. Короче говорят, что знак квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом совпадает со знаком его старшего коэффициента.

Если дискриминант трехчлена положителен, то есть трехчлен имеет два различных корня, то формула ax² + bx + c = a(x-x₁) (x-x₂) разложения на множители дает возможность определить знак значения трехчлена при любом значении х в зависимости от расположения числа х относительно корней x₁ и x₂. Именно, при а > 0 трехчлен положителен при x > x₁ и при х<x₂(напомним, что x₁ > x₂) и отрицателен при x₂< х<x₁. Используя удобный на практике знак равносильности -, можно записать:

ax² + bx + c > 0 - x > x₁ или х < x₂

ax² + bx + c < 0 - x₂< х<x₁

Знак - читается «равносильно» и означает в точности то же самое, что словесные обороты «тогда и только тогда», «в том и только в том случае», «необходимо и достаточно» и тому подобное.

Ясно также, что и при D>0 и a>0 справедливы и следующие утверждения

ax² + bx + c?0 - x ? x₁ или х ? x_2,

ax² + bx + c ? 0 - x₂? х?x₁

Аналогичные утверждения имеют место и при а<0, но я их не буду даже приводить, поскольку в действительности нет необходимости перегружать память их запоминанием - при решении задач в подавляющем большинстве случаев можно обойтись знанием свойств квадратного трехчлена с положительным старшим коэффициентом.

4)Свойства квадратного трехчлена, как функции.

На все вопросы, связанные с возрастанием и убыванием квадратного трехчлена, с его наибольшим и наименьшим значениями на всем множестве действительных чисел или какой-либо его части дает возможность ответить основная формула.

Именно, при а>0 из этой формулы вытекает, что наименьшее значение трехчлена у= ax² + bx + c равно 4ас - b²

у_min= 4а -b

и принимается при значении х₀ = 2a . Отмечу сразу полезное и в теории, и при решении задач утверждение, что если трехчлен имеет корни х₁ и х₂, то (х₁ + х₂)/х₀= 2 , так что при х₁ ? х₂ х₀ является серединой отрезка [х₂, х₁].

Размещено на Allbest.ru