Решение вопросов теоретической статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

"Решение вопросов теоретической статистики"

Задача 1

Таблица. Имеются данные по 16 предприятиям:

№	Стоимость авансир. капит., тыс. руб.	Выработка изделий тыс. рублей	№	Стоимость авансир. кап., тыс. рублей.	Выработка изделий, тыс. руб.
1	11,0	13,8	9	16,0	19,0
2	4,1	4,5	10	2,0	3,0
3	12,0	11,8	11	10,0	13,2
4	1,8	2,1	12	4,2	4,5
5	8,8	10,2	13	16,5	24,8
6	2,0	2,2	14	15,0	18,0
7	1,5	1,9	15	7,0	8,3
8	11,0	13,5	16	11,5	14,2

1. С целью изучения зависимости между стоимостью авансированного капитала и выпуском продукции произведите группировку заводов по стоимости авансированного капитала, образовав три группы с равными интервалами. По каждой группе и в целом подсчитайте:

а) число предприятий

б) стоимость авансированного капитала всего и в среднем на одно предприятие

в) стоимость продукции - всего и в среднем на одно предприятие.

Определяем размах интервала по формуле:

h = H / n, (1)

где H - размах вариации, определяемый по формуле (2).

H = Х_мах - Х_min, (2)

где Х_мах и Х_min -- максимальное и минимальное значения в совокупности.

В задаче h = (16,5 - 1,5)/3 = 5,0

Интервальная группировка данных приведена в первом столбце таблицы 1, которая содержит также алгоритм и расчеты.

Таблица 1.

Xi, тыс. руб	fi, шт	, тыс. руб.	Xi, тыс. руб.	, тыс. руб.	Yi, тыс. руб.
До 6,5	6	2,6	15,6	3,0	18,2
6,5 - 11,5	6	9,9	59,3	12,2	63,3
11,5 - 16,5	4	14,9	59,5	18,4	73,6
	16	-	134,4	-	155,1

Где X_i - стоимость авансированного капитала, тыс. руб.;

- среднее значение стоимости авансированного капитала, тыс. руб.;

f_i - количество предприятий в заданном интервале, шт,

X_i - сумма стоимостей авансированного капитала в данном интервале, тыс. руб.;

- среднее значение стоимость продукции, тыс. руб.;

Y_i, - сумма стоимостей продукции в данном интервале, тыс. руб.

Задача 2

Таблица. Имеются следующие данные о посевной площади и урожайности пшеницы по фермерским хозяйствам:

Фермер. хоз.	Базисный период	Отчетный период
	Урожайность ц/га	Посевная площадь, га.	Урожайность Ц/Га	Валовый сбор, ц.
1	20,0	240	22,0	5500
2	22,0	260	24,0	6480
3	23,6	300	25,0	7500

Определите:

1. Среднюю урожайность по хозяйствам для каждого года

2. Абсолютный и относительный прирост урожайности в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Сделайте выводы.

Решение.

Вычислим f_б - валовый сбор по хозяйствам в базисном периоде по формуле 3,

f_б = x_бa_i (3)

где x_б - урожайность в базисном периоде, Ц/Га,

a_i - посевная площадь в базисном периоде, га.

f_б1 = 20 240 = 4800 ц

f_б2 = 22 260 = 5720 ц

f_б3 = 23,6 300 = 7080 ц

Рассчитаем среднюю урожайность по хозяйствам для каждого года по формуле 4.

 ,(4)

Где n - количество фермерских хозяйств.

ц/га

Где - средняя урожайность по хозяйствам в базисном периоде.

ц/га

- средняя урожайность по хозяйствам в отчетном периоде.

Теперь найдем абсолютный прирост урожайности (f) в отчетном периоде по сравнению с базисным по формуле 5.

f = f_о - f_б , (5)

где f_о - сумма валовых сборов всех хозяйств в отчетном периоде и вычисляется по формуле 6;

f_о = f_о1 + f_о2 + f_о3 , (6)

f_о = 5500 + 6480 + 7500 = 19480 ц

f_б - сумма валовых сборов всех хозяйств в базовом периоде и вычисляется по формуле 7.

f_б = f_б1 + f_б2 + f_б3 , (7)

f_б = 4800 + 5720 + 7080 = 17600 ц

Тогда

f = 19480 - 17600 = 1880 ц

Посчитаем относительный прирост урожайности и в отчетном периоде по сравнению с базисным по формуле 8

(8)

= 110,7 %.

Вывод: урожайность в отчетном периоде по сравнению с базовым увеличилась на 1880 ц, что составило 10,7 %.

Задача 3

Таблица. Рабочие предприятия распределены по возрасту следующим образом:

№ п/п	Группы рабочих по возрасту, лет	Число рабочих
1	До 20	160
2	20 - 25	150
3	25 - 30	105
4	30 - 35	45
5	35 - 40	40
6	40 - 45	30
7	45 и более	20
ИТОГО		550

Определите:

1. среднее квадратическое отклонение

2. коэффициент вариации.

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение по формуле 9

, (9)

Где x - возраст рабочих, лет

f - число рабочих.

Составим промежуточную таблицу 3.

Таблица 3.

xi	fi	хи	fi хи
До 20	160	17,5	2800	70,56	11289,6
20 - 25	150	22,5	3375	11,56	1734
25 - 30	105	27,5	2887,5	2,56	268,8
30 - 35	45	32,5	1462,5	43,56	1960,2
35 - 40	40	37,5	1500	134,56	5382,4
40 - 45	30	42,5	1275	275,56	8266,8
45 и более	20	47,5	950	466,56	9331,2
	550		14250		38233

(10)

Тогда = 8,3

Рассчитаем коэффициент вариации V по формуле 11

, (11)

= 32%

Ответ: 8,3; 32 %.

Задача 4

Таблица. Динамика выпуска продукции на производственном объединении в 1999 - 2003 гг. характеризуется следующими данными (тыс. Руб.):

Годы	1999	2000	2001	2002	2003
Выпуск	21,2	22,4	24,9	28,6	31,6

На основе этих данных исчислите:

1. средний уровень ряда

2. среднегодовой темп роста и прироста

3. среднегодовой абсолютный прирост.

Решение.

Рассчитаем средний уровень ряда по формуле 12.

, (12)

= 25,7 тыс. руб.

Теперь найдем среднегодовой темп роста и прироста и среднегодовой абсолютный прирост.

Для этого составим таблицу с промежуточными вспомогательными данными для расчета среднегодового темпа роста и прироста.

Таблица 4.

Годы	Произведено тыс. руб.	Абсолютные приросты, тыс. руб.	Коэффициент роста
		Цепные	Базисные	Цепные	Базисные
1999	21,2	-	-	-	1,000
2000	22,4	1,2	1,2	1,057	1,057
2001	24,9	2,5	3,7	1,112	1,175
2002	28,6	3,7	7,4	1,149	1,349
2003	31,6	3	10,4	1,105	1,491

Цепной абсолютный прирост Y^с считается по формуле 13

Y^с = Y_i - Y_i-1 , (13)

Где Y_i - уровень ряда за отчетный период,

Y_i-1 - уровень ряда за предыдущий период.

Базисный абсолютный прирост Y^b считается по формуле 14

Y^b = Y_i - Y₀ , (14)

Y₀ - начальный уровень ряда.

Цепной коэффициент роста считаем по формуле 15

, (15)

Базисный коэффициент роста считаем по формуле 16

, (16)

Средний коэффициент роста рассчитывается по формуле 17.

, (17)

Где m - количество коэффициентов.

= 1,105

Тогда среднегодовой темп роста равен:

, (18)

= 110,5%

Затем посчитаем среднегодовой темп прироста по формуле 19.

, (19)

= 10,5%

Рассчитаем среднегодовой абсолютный прирост по формуле 20.

, (20)

Где - сумма цепных абсолютных приростов, тыс. руб.;

m - количество абсолютных приростов.

= 2,6 тыс. руб.

Ответ: = 25,7 тыс. руб., 110,5%, = 10,5%, = 2,6 тыс. руб.

Задача 5

Таблица. Продажа товара А на рынках города характеризуется следующими показателями:

рынки	Продано товара, т	Цена за 1 кг. , руб.
	июль	август	июль	август
1	13	15	10	8
2	15	25	9	7

Определите:

1. индекс цен переменного состава

2. индекс цен постоянного состава

3. индекс влияния структурных сдвигов

Поясните полученные результаты, сделайте выводы.

Решение.

В основе решения задачи лежит формула 21

Q = pq, (21)

Где Q - товарооборот, руб.;

p - цена товара за 1 кг;

q - физический объем (количество), т

Составим таблицу для вычисления промежуточных величин.

Применив формулу 21 к этой задаче, рассчитаем выручку товара А на каждом рынке в июле (Q_0j) и августе (Q_1j)

Таблица 5.

Рынки	Товарооборот, тыс. руб.	Изменение выручки Q = Q1j - Q0j, тыс. руб.
	Q0j, июль	Q1j,август
1	1310 = 130	158 =120	-10
2	159 =135	257 =175	40
Итого	265	295	30

Из таблицы видно, что абсолютное изменение общей выручки составило:

Д?Q = ?Q₁-?Q₀ (22)

Д?Q = 295 - 265 = 30 тыс. руб., то есть выручка выросла на 30 тыс

Общий индекс изменения выручки равняется:

I = ?Q₁/?Q₀, (23)

I = 295/265 = 1,1132, то есть выручка от продажи

товара увеличилась в 1,1132 раза или на 11,32% в августе по сравнению с июлем.

Определим индивидуальные индексы цен (i_p), физического объема (i_q),выручки (i_Q) и доли товара (i_d) по формуле 24.

, (24)

Используя в качестве X_i цены (p), физический объем (q), выручки (Q) и доли товара (d=q/?q) каждого рынка соответственно.

Результаты расчетов представим в таблице 6.

Таблица 2. Расчет индивидуальных индексов.

Индивидуальный индекс	Первый рынок	Второй рынок
количества iq	15/13 = 1,154	25/15 = 1,167
отпускных цен ip	8/10 = 0,8	7/9 = 0,778
выручки iQ	120/130 = 0,923	175/135 = 1,296
доли товара id	(15/40)/(13/28) = 0,808	(25/40)/(15/28) = 1,166

Правильность выполненных расчетов проверяется следующим образом:

1) общее изменение выручки должно равняться сумме ее частных (по каждому рынку в отдельности) изменений: Д?Q = 40+(-10) = 30 (тыс. руб.);

2) произведение факторных индивидуальных индексов по периодам должно равняться соответствующему индивидуальному индексу выручки:

i_QA=1,154 0,8 = 0,923; i_QБ = 1,167 0,778 = 0,908.

Из таблицы видно, что в августе по сравнению с июлем:

- количество проданного товара на первом рынке увеличилось в 1,154 раза или на

15,4%, а на втором - увеличилось в 1,167 или на 16,7%;

- цена товара на первом рынке понизилась в 0,8 раза или на 20%, а на втором -

уменьшилась в 0,778 раза или на 22,2%;

- выручка на первом рынке уменьшилась в 0,923 раза или на 7,7%, а на втором - возросла в 1,296 раза или на 29,6%;

- доля товара на первом рынке уменьшилась в 0,808 раза или на 19,2%, а на втором - увеличилась в 1,166 раза или на 16,6%.

Агрегатный общий индекс физического объема Ласпейреса определяется по формуле 25:

, (25)

В нашей задаче = 375/265 = 1,41509

Количество проданного товара в базисных (июльских) ценах выросло в 1,41509 раза или на 41,509% в августе по сравнению с июлем.

Агрегатный общий индекс цен Пааше рассчитывается по формуле 26

, (26)

В нашей задаче = 295/375=0,78667

Цена товара при объемах продаж отчетного (августовского) периода снизилась в 0,21333 раза или на 21,333% в августе по сравнению с июлем.

Контроль осуществляется по формуле 27

, (27)

I_Q = 1,41509 0,21333 = 0,30189

Агрегатный общий индекс цен Ласпейреса вычисляется по формуле 28

, (28)

В нашей задаче = 209/265 = 0,78868

Цена проданного товара при объемах продаж базисного (июльского) периода уменьшилась в 0,21132 раза или на 21,132% в августе по сравнению с июлем.

Агрегатный общий количественный индекс Пааше рассчитывается по формуле 29:

, (29)

В нашей задачес= 295/209 =1,41148

Количество проданного товара в отчетных (августовских) ценах выросло в 1,41148 раза или на 41,148% в августе по сравнению с июлем.

Средняя геометрическая величина определяется из индексов Ласпейреса и Пааше (по методике Фишера) по формуле 28 для количества товаров и по формуле 29 - для цен:

, (28) , (29)

В нашей задаче =1,41328

В среднем количество проданного товара выросло в 1,41328 раза или на 41,328%;

=0,78767

В среднем цена проданного товара снизилась в 0,21233 раза или на 21,233%.

Далее выполняется факторный анализ общей выручки. В его основе лежит следующая трехфакторная мультипликативная модель выручки:

, (30)

Где , (31)

I_d - индекс структурных сдвигов, показывающий как изменилась выручка под влиянием фактора изменения долей проданного товара в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом. Он определяется по формуле 32:

, (32)

В нашей задаче = 0,9906

Структурный сдвиг должен был уменьшить отчетную выручку в базисных ценах в 0,9906 раза или на 0,94%.

Тогда изменение выручки за счет изменения общего количества товара определяется по формуле 33:

, (33)

В нашей задаче Д?Q_q= (1,43-1) 265 = 114 (тыс. руб.),

Изменение количества проданного товара увеличило выручку на 114 тыс. руб.

Изменение общей выручки за счет структурных сдвигов находится по формуле 34:

, (34)

В нашей задаче Д?Q_d= 1,43 (0,9906 - 1) 265 = - 3,6 тыс. руб.

Структурный сдвиг в количестве проданного товара уменьшил выручку на 3,562 тыс. руб. Изменение общей выручки за счет изменения отпускных цен рассчитывается по формуле 35:

, (35)

В нашей задаче =1,430,9906(0,78667 - 1)265 = -80 тыс. руб.

Изменение цен на товар уменьшило выручку на 80 тыс. руб. Контроль правильности расчетов производится по формуле 36, согласно которой общее изменение выручки равно сумме ее изменений за счет каждого фактора в отдельности.

, (36)

В нашей задаче Д?Q = 114 + (- 3,6) + (- 80) = 30,4 тыс. руб.

Результаты факторного анализа общей выручки заносятся в последнюю строку факторной таблицы 3.

Таблица 3. Результаты факторного анализа выручки.

Рынки товара А	Изменение выручки, тыс. руб.	В том числе за счет
		Количества продукта	Структурных сдвигов	Отпускных цен
1	-10	56	-35,6	-30
2	40	58	32	-50
Итого	30	114	- 3,6	- 80

Наконец, ведется факторный анализ изменения частной (по каждому рынку товара в отдельности) выручки на основе следующей трехфакторной мультипликативной модели:

, (37)

Тогда изменение частной выручки за счет каждого из 3-х факторов (количество, структурный сдвиг и цена) по каждому рынку товара А определяется соответственно по формулам 38 - 40.

, (38)

, (39)

, (40)

Так, по первому рынку изменение выручки за счет первого фактора (изменения общего количества проданного товара) по формуле 38 равно:

(1,43-1)130 = 56 тыс. руб.

Аналогично по второму рынку: (1,43-1)135 = 58 тыс. руб.

Контроль правильности расчетов:

, (41)

тыс. руб.

Так, по первому рынку изменение выручки за счет второго фактора (структурных сдвигов в количестве проданного товара) по формуле 39 равно:

= -35,6 тыс. руб.

Аналогично по второму рынку: = 32 тыс. руб.

Контроль правильности расчетов:

, (42)

-35,6 + 32 = -3,6 тыс. руб.

И, наконец, по первому рынку изменение выручки за счет 3-го фактора (изменения отпускной цены) по формуле 40 равно:

= -30 тыс. руб.

Аналогично по второму рынку:

= -50 тыс. руб.

Контроль правильности расчетов:

, (43)

(-30) + (-50) = -80 (тыс. руб.)

Результаты факторного анализа частной выручки также заносятся в таблицу 3, в которой все числа оказались взаимно согласованными.

1) Количество проданного товара в базисных (июльских) ценах выросло в 1,41509 раза или на 41,509% в августе по сравнению с июлем.

2) Цена товара при объемах продаж отчетного (августовского) периода снизилась в 0,21333 раза или на 21,333% в августе по сравнению с июлем.

3) Цена проданного товара при объемах продаж базисного (июльского) периода

уменьшилась в 0,21132 раза или на 21,132% в августе по сравнению с июлем.

4) Количество проданного товара в отчетных (августовских) ценах выросло в 1,41148 раза или на 41,148% в августе по сравнению с июлем.

5) В среднем количество проданного товара выросло в 1,41328 раза или на 41,328%.

6) В среднем цена проданного товара снизилась в 0,21233 раза или на 21,233%.

7) Структурный сдвиг должен был уменьшить отчетную выручку в базисных ценах в 0,9906 раза или на 0,94%.

8) Изменение количества проданного товара увеличило выручку на 114 тыс. руб.

9) Структурный сдвиг в количестве проданного товара уменьшил выручку на 3,562 тыс. руб.

10) Изменение цен на товар уменьшило выручку на 80 тыс. руб.

Задача 6

Таблица. Реализация продуктов характеризуется следующими показателями:

Продукт	Базисный период	Отчетный период
	Количество товара, кг.	Цена 1 кг, руб.	Количество товара, кг.	Цена 1 кг., руб.
1	500	12	650	10
2	200	14	250	15

Определите:

1. индивидуальные индексы цен и физического объема продукции

2. общий индекс цен

3. общий индекс физического объема продукции

4. абсолютный размер экономии или перерасхода от изменения цен

5. используя взаимосвязь индексов, определите индекс товарооборота.

Решение.

1. Рассчитаем индивидуальные индексы цен (i_p) и физического объема (i_q) продукции по формулам 44 и 45.

, (44)

, (45)

Результаты расчетов представим в таблице 2.

Таблица 2. Расчет индивидуальных индексов

Индивидуальный индекс	Первый продукт	Второй продукт
Отпускных цен, iр	10/12 = 0,833	15/14 = 1,071
Физического объема, iq	650/500 = 1,3	250/200 = 1,25

2. Агрегатный общий индекс цен Пааше рассчитывается по формуле 46:

, (46)

= 10250/11300 = 0,90708

Цена проданных продуктов при объемах продаж отчетного периода уменьшилось в 0,90708 раза или на 9,29% в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Агрегатный общий индекс цен Ласпейреса вычисляется по формуле

, (47)

= 8000/8800 = 0,90909

Цена проданных продуктов при объемах продаж базисного периода уменьшилась в 0,90909 раза или на 9,091% в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Средняя геометрическая величина определяется из индексов Ласпейреса и Пааше (по методике Фишера) по формуле 48 для цен:

, (48)

= 0,90808

В среднем цена проданного товара снизилась в 0,90808 раза или на 9,192%.

3. Определим общий индекс физического объема продукции.

Агрегатный общий индекс физического объема Ласпейреса определяется по формуле 49:

, (49)

В нашей задаче = 11300/8800 = 1,28409

Количество проданных продуктов в базисных ценах выросло в 1,28409 раза или на 28,409% в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Агрегатный общий количественный индекс Пааше рассчитывается по формуле 50:

, (50)

В нашей задаче = 10250/8000 =1,28125

Количество проданных продуктов в отчетных ценах выросло в 1,28125 раза или на 28,125% в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Средняя геометрическая величина определяется из индексов Ласпейреса и Пааше (по методике Фишера) по формуле 51 для количества товаров

, (51)

= 1,28267

В среднем количество проданных продуктов выросло в 1,28267 раза или на 28,267%.

4) Рассчитаем абсолютный размер экономии или перерасхода от изменения цен Q по формуле 52.

Q, (52)

Q=1450 тыс. руб.

Имеется перерасход: стоимость товаром в ценах базисного периода ниже отчетного.

5) Используем взаимосвязь индексов, чтобы определить индекс товарооборота:

, (53)

= 1,16477

абсолютный относительный прирост урожайность

Размещено на Allbest.ru

...