Создание сплайнов

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Сплайн

1.1 Определение сплайнов. Пространство сплайнов

Пусть на отрезке [a,b] задано разбиение ?: Для целого к ? 0 через =[a, b] обозначим множество k раз непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций, а через [a, b] - множество кусочно-непрерывных функций с точками разрыва первого рода.

Определение. Функция (x) называется сплайном степени n-дефекта v (v-целое число, 0?v?n+1) с узлами на сетке ?, если:

а) на каждом отрезке [] функция является многочленом степени n, т.е.

для x, i=0,…., N-1; (1)

б) [a, b].

Определение сплайна имеет смысл и на всей вещественной оси, если положить a= -?, b=+?. На каждом отрезке для сплайна, помимо формулы (1), возможно представление

, i=0, …, N-1 (2)

При этом на полуоси берется только формула (2), а на полуоси только формула (1).



Итак, сплайн имеет непрерывные производные до порядка n-v. Производные сплайна порядка выше n-v, вообще говоря терпят разрывы в точках ,…,N-1. Для определенности будем считать, что функция , r>n-v, непрерывна справа, т.е.

r=n-v+1,…, n; i=1,…, N-1.

Множество сплайнов, удовлетворяющих определению, обозначим через . Ясно, что этому множеству принадлежат и сплайны степени n дефекта и сплайны степени дефекта , если , в том числе многочлены степени не выше n. Так как обычные операции сложения элементов из и их умножения на действительные числа не выводят за пределы множества, то оно является линейным множеством или линейным пространством.

Простейшим примером сплайна является единичная функция Хевисайда

с которой естественным образом связана усеченная степенная функция

Функция и(x) и являются сплайнами соответственно нулевой степени и степени n-дефекта 1, с единственным узлом в нулевой точке (рис 1.1). Мы будем рассматривать также усеченные степенные функции , связанные с точками сетки ?. При они принадлежат множеству

Теорема 1.1

Функции , a=0,…, n, ,

a'= n-v+1,…, n(1?v?n+1), i=1,…, N-1 (3),

линейно независимы и образуют базис в пространстве размерности (n+1)+v(N-1).

Доказательство. Предположим противное, т.е. что существуют постоянные и, не все равные нулю и такие, что

Тогда для имеем и в силу линейной независимости функций находим с=0, a=0,…, n. Беря xє(получаем +…+ и, по той же причине, a'=n-v+1,…,n. Продолжая этот процесс, убеждаемся, что все =0. Следовательно, функции (3) линейно независимы.

Пусть теперь задан сплайн . На отрезке [], i=0,…, N-1 он является многочленом степени n, , и может быть записан в виде (1) или (2). При этом, так как первыеn-vпроизводных сплайна непрерывны в точках , т.е.

, r=0, …, n-v,

то , a=0,…, n-v; i=1,…, N-1.

Покажем, что сплайн на отрезке [a, b] может быть представлен в виде

, (4)

где .

Действительно, преобразуя это выражение при x[, получаем

Это доказывает, что всякий сплайн может быть представлен в виде линейной комбинации функций (3), т.е. эти функции образуют базис в , и представление (4) единственно. Эта формула называется представлением сплайна в виде суммы усеченных степенных функций. Итак, множество является конечномерным пространством размерности n+1+v(N-1).

1.2 Базисные сплайны с конечными носителями

В математическом анализе встречаются конструкции, связанные с финитными функциями, т.е. гладкими функциями, которые определяются на всей действительной оси, но отличны от нуля лишь на некотором конечном интервале (носителе). Ниже мы исследуем финитные сплайны из пространства . В последующем изложении они играют исключительно важную роль. Расширим сетку ?, добавив дополнительные точки

(Можно положить, например,, i=1,…,n).

Возьмем функцию и построим для нее разделенные разности (n+1)-го порядка по значениям аргумента t=. В результате получаются функции переменной x:

. (1)

Так как для разделенной разности (n+1)-го порядка от функции g(t) по точкам справедливо равенство

, ,

то i=-n,…, N-1 (2)

Если использовать тождество

,

То можно получить несколько иную форму записи этой функции:

,

i=-n ,…, N-1. (3)

Из определения усеченных степенных функций следует, что функция является сплайном степени n дефекта 1 на сетке узлов

Лемма 1.1. Тождество

(4)

Доказательство. Если , то разделенная разность функции g(t) по точкам может быть вычислена по формуле Лейбница:

g[]=+

Для разности (n+1)-го порядка путем рассуждений по индукции нетрудно получить



Представим функцию в виде и построим ее разделенную разность (n+1)-го порядка по формуле Лейбница. Получим

= .

Отсюда, если учесть определение сплайнов (1), следует тождество (4).

Лемма 1.2. Сплайны , обладают следующими свойствами:

а) (5)

б) . (6)

Доказательство. Функция равна нулю при x? t и является многочленом степени n от x при x?t. Поэтому ее разделенные разности (n+1)-го порядка по значениям аргумента t= тождественно равны нулю при x? и x?, т.е. Внутри интервала ( В самом деле, при n=0 согласно (2)

. Пусть, далее, утверждение а) верно при n=й-1. Тогда при n=й в силу (4) на интервале функция является линейной комбинацией с положительными весами функций и , причем по предположению в произвольной точке указанного интервала хотя бы одна из этих функций больше нуля. Следовательно, , и утверждение а) установлено.

Докажем утверждение б) Всякую n+1 раз непрерывно дифференцируемую функцию g(t) на промежутке a?t?b можно представить формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме:

(7)

Здесь под знаком интеграла вместо обычного сомножителя стоит усеченная степенная функция, что позволяет заменить переменный верхний предел t постоянной величиной b. Из (7) следует разностное соотношение, где

Так как

, ,

то, полагая , получаем

Поскольку вне интервала (a,b), то это равенство совпадает с (6) и лемма доказана.

Лемма 1.3. Функции являются сплайнами степени n дефекта 1 с конечными носителями минимальной длины.

Доказательство. Предположим, что существует сплайн , отличный от нуля на интервале, меньшем, чем . Такой интервал, очевидно, не может иметь границей точку, не являющуюся узлом сетки . Поэтому пусть это будет интервал .

Возьмем представление сплайна дефекта =1 через усеченные степенные функции. Вследствие того, что при , в этом представлении Так как то ее производные до порядка n-1 равны нулю в точке Имеем

Последние равенства представляют собой однородную систему линейных уравнений для определения коэффициентов . Ее определитель пропорционален определителю Вандермонда n-го порядка, который отличен от нуля, и система имеет только нулевое решение. Наконец, из того же условия следует, что Значит, на [a,b], и лемма доказана.

Теорема 1.2. Функции линейно независимы и образуют базис в пространстве сплайнов

Доказательство. Покажем сначала линейную независимость функций на всей действительной оси. Предположим противное, т.е. что существуют такие постоянные , не все равные нулю, что

(8)

Выбирая , получаем, что и, значит, . Беря затем , находим, что и т.д., т.е.

. Следовательно, функции линейно независимы на (-?;+?).

Предположим теперь, что соотношение (8) выполняется только на [a, b]. Это значит, что на отрезках [ обращаются в нули сплайны вида

.

Каждый из них отличен от нуля самое большее на интервале ( Поэтому из предположения следует, что , а значит, и на всей действительной оси. В силу линейной независимости функций на (-?, +?) должно быть и это для всех i=0,…, N-1.

Таким образом, функции линейно независимы, и так как согласно теореме 1.1 размерность пространства равна n+N, то они образуют базис в этом пространстве. Теорема доказана.

Функции , называются базисными сплайнами с конечными носителями минимальной длины (B-сплайнами). В силу теоремы 1.2. всякий сплайн может быть единственным образом записан в виде

 (9)

где - некоторые постоянные коэффициенты. Эту запись сплайна называют его представлением через B-сплайны. Из теоремы 1.2. вытекает

Следствие 1.1. Всякий сплайн , принадлежащий , с конечным носителем минимальной длины с точностью до постоянного множителя совпадает с B-сплайном.

Доказательство. Минимальным конечным носителем сплайна является один из интервалов Согласно (9)

.

Так как , то, выбирая последовательно , получаем, что . Аналогично, для p=i+n,…,i+1. Следовательно

.

1.3 Нормализованные базисные сплайны и представление ими многочленов

При практических вычислениях удобнее использовать не сами B-сплайны, а функции, получающиеся из них умножением на постоянные множители:

(1)

Эти функции называются нормализованными B-сплайнами. Нормирующий множитель равен среднему арифметическому шагов на отрезке, где B-сплайн отличен от нуля.

Тождество (2.4) для нормализованных B-сплайнов имеет вид

(2)

С его помощью легко можно построить последовательность сплайнов Приведем первые четыре функции этой последовательности для случая равноудаленных узлов . Будем обозначать Точка - это середина отрезка-носителя B- сплайна. Тогда имеем

;

Эти B-сплайны изображены на рис.1.3, а, б, в, г соответственно.

Как здесь уже было отмечено, многочлены степени не выше n являются элементами пространства сплайнов Следовательно, они представимы через базисы этих пространств, в частности через базис из B- сплайнов в пространстве Для вывода формул воспользуемся тождеством (2). После умножения обеих его частей на число и суммирования по индексу i получаем

где

(4)

Лемма 1.4. Справедливо тождество

(5)

в предположении

Доказательство. В формуле (4) положим Тогда получаем

Подставляя в (3), находим

Повторяя это преобразование n раз, получим справа

Теперь разложим обе части тождества (5) по степеням t. При этом

b (6)

(7)

Здесь суть символы элементарных симметрических функций от n аргументов степени a.Это многочлены, состоящие из слагаемых. Они имеют вид

Подставляя разложения (6) и (7) в (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, находим представления мономов через нормализованные B-сплайны на отрезке [a, b]:

 (8)

В частности, при a=0 получаем соотношение

(9)

Полученные формулы решают вопрос о представлении произвольного многочлена n-й степени через нормализованные B-сплайны.

1.4. Фундаментальные сплайны. Интерполяционная формула Лагранжа для сплайнов.

Будем рассматривать две сетки узлов, одна из которых

а другая:

.

Ставится задача: построить сплайн ), удовлетворяющий интерполяционным условиям

(1)

Где , i=0,…, N,- заданные действительные числа. Такой сплайн называется интерполяционным. Исчерпывающий ответ на вопрос, когда эта задача разрешима, дает следующая

Теорема 1.3. Для того чтобы существовал единственный интерполяционный сплайн , удовлетворяющий условиям (1), необходимо и достаточно, чтобы

 (2)

Доказательство. Обратимся к представлению сплайна через усеченные степенные функции. Тогда условия (1) будут равносильны соотношениям

(3)

Образующим систему N+1 линейных уравнений для определения N+1 неизвестных коэффициентов сплайна: и

Решение системы существует и единственно, если ее определитель (N-n - число узлов сплайна). Таким образом, доказательство теоремы сводится к установлению того факта, что

(4)

Если сетка не содержит узлов (N-n=0), то сформулированная задача есть задача лагранжевой интерполяции многочленом. Эта задача разрешима, ибо как определитель Вандермонда (т+1)-го порядка.

Пусть теорема верна для Покажем, что тогда она справедлива и для

Если то все элементы последнего столбца определителя будут равны нулю и Если то в правом нижнем секторе определителя Из первых столбцов составим линейные комбинации вида



и вычтем их из соответствующих столбцов правой части определителя . В результате получаем 1.

В нижних n+2 строках определителя отличны от нуля только элементы первых n+1 столбцов. Разлагая его по минорам этих строк, убеждаемся, что

Остается исследовать случай, когда Для этого разложим определитель (5) по элементам последнего столбца, из которых первые l равны нулю. Получаем

Где - алгебраические дополнения (с соответствующими знаками) элементов , по предположению все отличные от нуля. Очевидно, как функция аргумента является сплайном с конечным носителем минимальной длины Внутри этого интервала , а вне его Но тогда, согласно следствию 1.1., может отличаться от сплайна только постоянным множителем и, значит не обращается в нуль ни в одной точке интервала . Так как теорема справедлива при N-n=0, то она верна при любом значении N-n.

Пусть ограничения (2) выполнены и система сплайнов i=0,…,N, удовлетворяет условиям интерполяции вида для , i=0,…, N. Здесь - символ Кронекера, т.е

Сплайны называются фундаментальными сплайнами (рис 1.4, где

Теорема 1.4. Фундаментальные сплайны образуют базис в пространстве

Доказательство. В самом деле, если и

То

(6)

и в силу теоремы 1.3. такой сплайн единствен.

Представление сплайна в виде (6) называется интерполяционной формулой Лагранжа для сплайнов. При N-n=0 - фундаментальные многочлены, а S(x)-интерполяционный многочлен Лагранжа. При …, N-1, фундаментальные сплайны совпадают на [a,b] со сплайнами и (6) есть формула кусочно-линейной интерполяции.

1.5 Кубический сплайн

Кубический сплайн - это функция, которая :

- проходит через все заданные N точки , k=1,2,…,N;

- на каждом отрезке между соседними точками является кубической параболой ;

- непрерывна вместе со своими первой и второй производными во всех точках.

интерполяция
локальная	глобальная
линейная	параболическая	кубическая парабола	полином степени (N-1)	Кубический сплайн

Рис. 1.5

Очевидно, что при локальной интерполяции в местах стыка кусочков полиномов получаются разрывы производных, что в ряде задач может быть нежелательным, например, при вычислении скорости по координатам точек. При глобальной интерполяции полиномом все (N-1) производных полинома степени (N-1) непрерывны, но из-за использования высоких степеней полиномов при N>>1 непрерывная функция может иметь много максимумов и минимумов, т.е. могут появиться на кривой значительные выбросы, которых нет в исходной функции. Из-за этих выбросов полиномы степени выше пятой или шестой для интерполяции не применяют. Для глобальной интерполяции в настоящее время используют кубические сплайны.

При интерполяции значения функции должны иметь малую погрешность, т.к. непрерывная кривая y(x) проводится точно через заданные точки.

Если функция измеряется или вычисляется приближенно и погрешности существенны, то не имеет смысла проводить интерполяцию и переходят к аппроксимации. В латыни слово ap-proximo означает “почти близкий”. При аппроксимации кривая y(x) проводится вблизи заданных точек в соответствии с некоторым критерием близости, например, критерием наименьших квадратов или минимаксным критерием. Различия интерполяции и аппроксимации иллюстрирует рис 1.6.

интерполяция	аппроксимация	Интерполяция и аппроксимация	сглаживание

Рис.1.6

Если имеем непрерывную или дискретную функцию, то обычно используют 5 видов преобразований функций:

- непрерывная в дискретную (дискретизация),

- дискретная в непрерывную (интерполяция),

- дискретная в непрерывную (аппроксимация),

- непрерывная в непрерывную (интерполяция),

- дискретная в дискретную (сглаживание).

Отметим, что при сглаживании, которое широко применяется в цифровой обработке, непрерывная функция не строится, и преобразуются только координаты точек.

Кубические сплайны для интерполяции предложил использовать Шенберг в 1949г. Слово “сплайн” происходит от названия длинных и тонких металлических реек, которые с давних времен немецкие чертежники крепили гвоздиками на кульмане вместо лекал для проведения сложных кривых.

Итак, кубический сплайн - это функция, которая:

- проходит через все заданные N точки , k=1,2,…, N;

- на каждом отрезке между соседними точками является кубическим полиномом;

- непрерывна вместе со своими первой и второй производными во всех точках.

Заметим, что, благодаря третьему условию, кубическая парабола через две точки проводится однозначно.

Формула для кубического сплайна записывается для произвольного отрезка с номером k, левый конец которого имеет абсциссу . На этом отрезке для любого результат интерполяции вычисляется по кубическому сплайну.

, (2.1)

Причем между N заданными точками имеем (N-1) отрезок, так что в этой формуле k=1,2,…, N-2.

Если x переходит на другой отрезок, то следует изменить номер k текущего отрезка и при этом изменяются все коэффициенты в формуле. На основании трех условий можно показать, что

(2.2)

где штрих означает дифференцирование по x. Следовательно, коэффициенты сплайна характеризуют значения его производных в узлах интерполяции. Третья производная сплайна является разрывной функцией, но в задачах моделирования третьи производные используются очень редко.

Для проведения интерполяции, т.е. вычисления для любого x, предварительно по заданным точкам должны быть вычислены все коэффициенты сплайна, т.е. массивы b,c,d каждый из которых имеет длину (N-1) в соответствии с количеством отрезков между N точками.

Постановка задачи: даны N точек Определить все коэффициенты сплайна т.е. всего 3(N-1) коэффициентов, k=1,2,…(N-1), т.к. (N-1) отрезок.

Рассмотрим два любых соседних отрезка c номерами (k-1) и k. Точка для них является общей (рис. 2.1.)

Рис 2.1

Для правого отрезка кубический сплайн имеет вид (2.1), а для левого, т.е. при

, (2.3)

.

В общей точке приравняем правые и левые значения и производных и в соответствии с определением кубического сплайна. Используя обозначение для длины левого отрезка, получаем три уравнения для пяти неизвестных коэффициентов

Такие тройки уравнений можно записать для всех внутренних узлов k=2,3,…N-1, что дает 3(N-2) уравнений.

 (2.4)

k=2,3,…N-1 (здесь k это номера участков).

Еще одно уравнение получаем, записывая для последнего узла первое из условий

(2.5)

В результате получаем 3(N-2)+1= 3N-5 уравнений. Эти уравнения содержат 3(N-1)= 3N-3 неизвестных, т.к. для каждого отрезка между узлами имеем три неизвестных. Очевидно, что для однозначного определения коэффициентов нужны еще два уравнения.

Эти дополнительные два уравнения могут быть произвольными, но обычно полагают, что функция вблизи ее концов является линейной

(2.6)

Откуда

В результате введения двух дополнительных условий получается система 3(N-1) уравнений с 3(N-1) неизвестными коэффициентами Эти уравнения можно преобразовать, выразив коэффициенты Введем формально Тогда, имеем из последнего и первого уравнений (2.4) и уравнения (2.5):

 (2.7)

Подставляя эти выражения во второе уравнение (2.4), получим СЛАУ для коэффициентов :

(2.8)

k= 2,3,…N-1,при

В результате система из (N-2) линейных уравнений для неизвестных коэффициентов

Матрица системы (2.8)состоит, в основном, из нулей и имеет только три ненулевых диагонали, а поэтому для ее решения применяют не метод Гаусса, а специальный эффективный метод прогонки, резко сокращающий количество операций.

Часто систему уравнений (2.8) записывают для вторых производных в узлах, обозначая их: Тогда она принимает вид:

(2.9)

k= 2,3,…,N-1, причем и формально введено .

1.6 Метод сплайн-коллокации для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

Традиционно метод коллокации строился на основе аппарата приближения многочленами. Однако, в силу сложности реализации, а также не вполне удовлетворительных аппроксимационных свойств многочленов этот метод представляет чисто теоретический интерес. На практике он оказался полностью вытесненным конечно-разностными методами.

Метод сплайн-коллокации, в отличие от классического метода, основывается на аппроксимации сплайнами. Такой подход позволяет построить алгоритмы, численная реализация которых не сложнее реализации разностных схем. Принципиальное отличие метода сплайн-коллокации от разностных методов заключается в том, что приближенное решение находится в виде сплайна во всей области определения решения задачи, в то время как разностное решение определяется только на сетке. Это позволяет получить гораздо более полную информацию о точном решении. Мы рассмотрим метод сплайн-коллокации на примере краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Пусть требуется найти решение уравнения

(1)

Удовлетворяющие краевым условиям (2)

В дальнейшем всюду предполагается, что двухточечная краевая задача (1), (2) имеет единственное решение y(x). Требования к гладкости y(x), а так же ограничения на заданные коэффициенты будут оговариваться особо в каждом конкретном случае.

Введем на [a,b] сетку Будем искать приближенное решение задачи (1),(2) в виде кубического сплайна класса с узлами на сетке .

Потребуем, чтобы сплайн удовлетворял уравнению (1) в точках (условия коллокации), и краевым условиям (2):

(3)

(4)

Соотношения (3), (4) представляют собой систему алгебраических уравнений относительно параметров сплайна. Точки называются узлами коллокации. Их количество определяется размерностью пространства сплайнов класса , которая, как мы знаем, равна N+3. Так как удовлетворяет двум граничным условиям (4), то количество узлов коллокации должно быть равно N+1. Их расположение на отрезке [a, b] не может быть произвольным. Так, например, на любом из промежутков не должно быть более трех узлов коллокации. В противном случае сплайн на] определялся бы независимо от других промежутков и, в частности, независимо от граничных условий. Ясно, что такой сплайн, вообще говоря, не имеет никакого отношения к решению задачи (1),(2). Кроме того, очевидно, в качестве узлов коллокации не могут быть взяты точки, в которых коэффициенты уравнения (1) имеют особенности. В дальнейшем мы предполагаем, что узлы коллокации упорядочены:

Конкретный вид системы (3),(4) зависит от выбранного способа представления сплайна и от расположения узлов коллокации.

Метод сплайн-коллокации может быть использован как средство построения разностных схем. Такие схемы обладают рядом полезных свойств, например, они имеют одинаковый порядок точности на равномерных и неравномерных сетках. Однако этот подход пригоден для сравнительно простых задач и не исчерпывает всех возможностей, заложенных в методе сплайн-коллокации. Наиболее полно они могут быть реализованы только при использовании аппарата B-сплайнов.

Отметим, что в методе сплайн-коллокации можно использовать и другие типы сплайнов - более высокой степени, эрмитовы, дискретные и т.д.

2. Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение относительно искомой функции, ее первой и второй производной. В общем виде это уравнение можно записать так:

где - заданная функция указанных аргументов.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция и двух независимых произвольных постоянных , обращающая данное уравнение в тождество. Общее решение, заданное в неявном виде называют общим интегралом.

Частным решением уравнения называется решение получающееся из общего путем фиксирования значений произвольных постоянных:

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее условиям: Числа определяющие искомое частное решение, находятся из системы уравнений:

2.1 Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Случаи повышения порядка

Если уравнение разрешимо относительно старшей производной, то его можно представить в виде

(2.1)

К простейшим интегрируемым дифференциальным уравнениям второго порядка относятся уравнения, для которых функция, стоящая в правой части равенства (2.1), зависит только от одного из трех аргументов:

Общее решение уравнения (2.2) находится двукратным интегрированием.

Уравнения (2.3) и (2.4) интегрируются подстановкой (2.5)которая дает возможность свести их к уравнениям с разделяющимися переменными:

Уравнение (2.6)

Подстановкой (2.5) приводится к уравнению первого порядка



С неизвестной функцией p.

Уравнение той же подстановкой сводится к уравнению первого порядка

в котором роль независимой переменной играет y.

Пример 2.1 Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям:

Данное уравнение можно разрешить относительно , правая часть его будет зависеть только от y, это уравнение вида (2.4). Применяем подстановку (2.5), т.е. полагаем тогда

откуда

.

Из начального условия при , определяем поэтому

Используя начальное условие Функция (1) принимает вид она определяет искомое частное решение.

2.2 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

где a,b,c- постоянные (a?0), называется дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если то уравнение (2.7) называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами или уравнением без правой части:

Последнее уравнение можно привести к виду

Уравнение

Называется характеристическим уравнением для уравнения (2.8).

В зависимости от корней и характеристического уравнения (2.9) получаем общее решение уравнения (2.8) в виде

если корни действительны и различны;

если действительны и равны;

если - комплексные числа.

Пример 2.2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение ; найти частное решение, удовлетворяющее условиям: .

Характеристическое уравнение (2.9) для данного уравнения принимает вид Так как , то общее решение в соответствии с (2.10) определяется формулой

Чтобы найти указанное частное решение, подставим начальные данные в выражения для = Из этой системы находим

При этих значениях функция(1) принимает вид Итак, - искомое частное решение.

Пример 2.3. Проинтегрировать уравнение

Характеристическое уравнение имеет два равных корня Общее решение данного дифференциального уравнения в соответствии с (2.11) определяется формулой .

2.3 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Если в уравнении (2.7) то оно называется неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами; это уравнение может быть приведено к виду

Общее решение уравнения (2.13) определяется формулой

где -общее решение соответствующего однородного уравнения , а -частное решение уравнения (2.13).

В простейших случаях, когда функция , входящая в уравнение (2.13), является показательной или многочленом, указанное частное решение находится с помощью метода неопределенных коэффициентов. Если

где a,k- постоянные, то частное решение уравнения (2.13) ищут в виде

Когда k не является корнем характеристического уравнения или в виде , когда k- простой корень характеристического уравнения, или , когда k- кратный корень указанного уравнения. Если где a,b,k - постоянные, то частное решение уравнения (2.13) ищут в виде , когда , и в виде , когда Если , где - многочлен степени n, то частное решение уравнения (2.13) ищут в виде в случае, когда q ? 0, и в виде , когда q = 0, p ? 0, где - многочлен степени n. Пусть дано неоднородное уравнение

правая часть которого есть сумма двух функций Если является частным решением уравнения - частным решением уравнения частное решение уравнения (2.17). Пример 2.4. Найти общее решение уравнения Правая часть данного уравнения является полиномом второй степени , где Так как q?0, то частное решение ищем в виде

Поскольку - решение дифференциального уравнения, то последнее равенство должно выполняться при всех x, т.е. являться тождеством, поэтому коэффициенты при одинаковых степенях x, стоящие в разных частях, равны между собой:

4A=8, 10A+4B= -4, 2A+5B+4C= -14.

Из полученной системы уравнений находим, что A=2,B= -6,C=3, поэтому Общее решение соответствующего однородного уравнения определяется формулой , так как характеристическое уравнение имеет корни

На основании формулы (2.14) получаем общее решение

Размещено на Allbest.ru

...