Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Контрольная работа № 1

Вариант № 9

по дисциплине «Высшая математика»

Исследование функций, их производные и пределы

неопределенность предел производная функция интеграл

Задача 1.

Вычислить пределы функций а) - е):

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

Решение

а) = Мы имеем дело с неопределенностью вида . Приводим выражение к общему знаменателю:

Тогда вынесем х в старшей степени за скобку в числителе и знаменателе 1-й дроби и знаменателе второй дроби после чего - сократим. Получим:

Устремим х к ?, получим|



Ответ:

б) Так как функция непрерывна на (0;?) , то Мы имеем дело с неопределенностью вида . Тогда вынесем х² скобку в числителе и знаменателе и сократим. Получим:

Ответ:

в) ;

В данном случаем мы имеем дело с неопределенностью вида . Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а к выражению соответственно. Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений, и используя формулу , получим:



Ответ:

г)

Подстановка числа 6 вместо х показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределённость 0/0. Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Уравнение тождественно уравнению где x₁ и x₂ корни квадратного уравнения Исходя из этого получаем: =

,аналогично

Таким образом:

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

так как функция непрерывна в точке х=6, подставляем х=6

Ответ:

д)

Подстановка числа 0 вместо х показывает, что предел числителя и предел знаменателя при х>0 равны нулю. Поэтому имеет место неопределённость 0/0. Для того, чтобы раскрыть неопределённость можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

1. Совершим необходимые тождественные, тригонометрические преобразования:



2. Другое решение задачи. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя

Снова имеем неопределенность 0/0. Применяем правило Лопиталя:

Ответ:

е)

Решение.

замена переменной ; так как =0, то y>0, следовательно:

используем второй замечательный предел



Ответ:

Задача 2

Вычислить производные функции а)-г).

а) ; б)

в) у = (sinx) * e^2x* ln(sinx); г) у =(sinx)^lnx.

Решение

а) ,Используем формулу производной дроби: и формулу производной степенной функции:

Ответ:

б),Найдём сначала производную функции , используя формулу производной степенной функции:



Теперь находим в таблице производных сложных функций формулу подставляя , получаем

Ответ:

в) у = (sinx) * e^2x* ln(sinx);

Функция у(х) представляет собой произведение трёх функций u(х)= (sinx), v(x)= e^2x и w(x)= ln(sinx). Используя правило Лейбница, можно вывести общую формулу:

(u·v·w) '=u'·(vw)+u· (vw)'=u'vw+u· (v'·w+v·w')

Следовательно,

(uvw)'=u'· v·w+u·v'·w+u·v·w'

Далее используя формулу производной сложной функции

Получаем:

Ответ:

г) у =(sinx)^lnx

Пользуясь основным логарифмическим тождеством y=e^lny, представим y(x) в виде y(x)=(e^ln(sinx))^lnx . Так как (a^b)^c=a^bc, то y(x)= e ^{lnx ln(sinx)}. и поэтому

В последнем равенстве мы вновь воспользовались формулой у =(sinx)^lnx= e ^{lnx ln(sinx)}.

Ответ:

Задача 3

а). Исследовать функцию у(х)=2x³ - 9x² + 12x - 5.

Решение

1). Так как 2x³ - 9x² + 12x - 5-- многочлен, то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, область определения данной функции вся -- числовая прямая: D(y)=(-?;+?).

2). Функция не является ни чётной ни нечётной, поскольку

y(1)=0; y(-1)=-28; у(-1)?у(1); y(1)?y(-1).

3). Заметим, что при х>+? и при х>-? поведение многочлена у(х) определяется поведением его старшего члена 2х³, который неограниченно возрастает при х>+? и неограниченно убывает при х>-?. Поэтому

y(x)= +?, l y(x)=-?,

Так как функция у(х) определена на всей числовой оси и , график функции не имеет асимптот.

4). у(0) = -5 > A(0; -5) -- точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения точек пересечения графика с осью Оx решим уравнение

у(х)=0 - 2x³ - 9x² + 12x - 5=0 - x*(2х² + 15x + 24) = 0;

Методом подбора определяем корень уравнения х₁=1.

Разделим многочлен на многочлен x -1



2x² - 7x + 5= 0,

D=b²-4ac=-7²-4*2*5=49- 40=9

Точки пересечения с осью Ох: B(1;0), С(5/2;0),

5). Находим локальные экстремумы, а также промежутки возрастания и убывания функции. Для этого вычисляем производную функции у(х):

у'(х)=(2x³ - 9x² + 12x - 5)ґ,

у'(х)=6x² - 18x + 12 ,

у'(х)=x² - 3x + 2 ,

и решаем уравнение у'(х)=0:

x² - 3x + 2 = 0, критические точки х₁= 1, x₂= 2.

Так как производная не имеет точек разрыва, других критических точек нет. Определяем знак производной справа и слева от каждой критической точки и составляем таблицу:

x	(-?;1)	1	(1;2)	2	(2; +?)
y'	+	0	-	0	+
y		Максимум		Минимум

Итак, функция возрастает при х[-?; 1] и при х[2; +?] и убывает при х[1; 2]; локальный минимум -- у(2)=-1, локальный максимум -- у(1)=0.

6). Используя пункт 3), получаем, что множество значений функции Е(y) -- вся числовая прямая, Е(у) = (--?; +?).

7). Находим точки перегиба функции и устанавливаем промежутки, на которых график функции обращен выпуклостью вверх и вниз. Для этого, прежде всего, вычисляем производную второго порядка и приравниваем её к нулю:

у''(х)= (у'(х))'=(x² - 3x + 2)'=2х-3

у"(х)=0 - 2х - 3= 0 - х=3/2=1,5.

Для определения знаков второй производной подставляем в неё числа из промежутков и : у"(0)=-3; у"(2)=1.

x	(-?;)		(; +?;)
y''	-	0	-
y	Выпуклость вверх	Перегиб	Выпуклость вниз

Теперь необходимо найти значение функции в точке перегиба и определить угол наклона касательной к графику функции в этой точке:
у(1,5)=-0,5, тангенс угла наклона равен значению производной в данной точке у'(1,5)=tgб=1,5.

Следовательно, касательная к графику проходит через точки D(1,5; -0,5) Е(3,5;-3,5). Проводим через точки D и E прямую (DE). График функции у(х) должен касаться прямой (DE) в точке D.

8). На этом исследование функции закончено и остаётся лишь вычислить её значения в некотором числе точек, достаточном для построения графика, и построить график.



б). Исследовать функцию .

Решение

1). Так как D 2(х - 6)² = R и D()=М, то функция g(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой.

2). Функция не является ни чётной ни нечётной, поскольку

g(1)= ;

g(-1) = и g(-1)?g(1)

3)

Следовательно, nак как функция g(х) определена на всей числовой оси и функция имеет левую горизонтальную асимптоту y =0.

4). Так как g(0)=2(0-6)²*=72?3,58, то А(0;72) -- точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение g(х)=0, т. е. 2*(x-6)²*=0. Так как любая степень числа е положительна, мы можем разделить на 2 обе части уравнения:

(x-6)² = 0; D=144-144=0; x=6.

График функции пересекает ось Ох в точке B(6;0) и в силу своей непрерывности, функция g(х) не меняет своего знака на протяжений всей числовой оси т.к. и 2*(x-6)²>0. Отсюда вытекает, что g(х)>0 для всех действительных чисел x.

5). Экстремумы. Промежутки возрастания и убывания.

Для определения критических точек функции решим уравнение

g(х)=0 - -(х² + 5х + 4) * е^-1/2(x+3)=0 - х² + 5х + 4 = 0; критичбеские точки -- х₁ = 6, x₂ = 2.

Локальный максимум-- g(2)= 2*(2-6)²*?32/e², локальный минимум -- g(6)= 2*(6-6)²*=0*=0.

x	(-?;2)	2	(2;6)	6	(6; +?)
g'	+	0	-	0	+
g		32/e2 Максимум		0 Минимум

6). Используя пункты 3) - 5), получаем, что Е(у)=(0;+8). ґвв

7). Находим точки перегиба и промежутки выпуклости.

x	(-?;)	()	(;)		(; +?)
g'	+	0	-	0	+
g	Выпуклость вниз	Перегиб	Выпуклость вверх	Перегиб	Выпуклость вниз

Теперь необходимо найти значение функции и значение производной (тангенс угла наклона касательной к графику функции) в точках перегиба:

Вычислить значение функции в некотором числе промежуточных точек:

9). Строим график функции.

Задача 4

Вычислить неопределённые интегралы а) - г):

а) б)

в) г)

Решение

a)

Сделаем подстановку Тогда

, памятуя что получаем

Ответ:

б)

Решение данной задачи основано на формуле интегрирования по частям по формуле: (1)

В этой формуле принимаем за u функцию x и du=dx. Тогда и (так как мы находим первообразную, то «+С» не пишем). Подставим найденные u',v', u_,v' в формулу интегрирования по частям b используя получаем:

Ответ:

в)

Найдем корни уравнения . Так как корнями уравнения является х₁=-7 и х₂=5, то по формуле ах²+bх+с=а(х+7)(x--5), знаменатель раскладываются на множители

.

Представим дробь в виде следующей суммы:

и найдём коэффициенты А и В. Приведём дроби в правой равенства части к общему знаменателю:

Приравняв числители, получим

Подставляя в последнее равенство х = 5, находим, что

5 = А(5 - 5) +B(5+7) - 5 = B * (12) - B= 5/12.

Подставляя х=-7 в равенство (2), находим, что

-7 = A(-7-5) +B(-7+7) - -7=A * (-12) - А = 7/12.

Таким образом,

Итак,

Ответ:

г)

Напомним, что в том случае, когда дискриминант квадратного ах² + bх + с двучлена отрицателен, D=b²--4ас<0, справедливо равенство:

Для вычисления интеграла найдем дискриминант знаменателя D=18²--4*9*10=324-360=-36<0 и рассмотрим функцию у=9х²-18x+10. Для последующей замены переменной вычислим производную знаменателя у'=(9х²-18x+10)'=18x-18 и заметим, что 18х-3=(18x-18)+15.

Отсюда,

Вычислим получившиеся интегралы по отдельности.

1)

2)

Подставляя полученные выражения, окончательно получаем следующий ответ:

Ответ:

Задача 5

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций g(х)=3х+4 и f(х) = -3х²+21x-11. Изобразить эту фигуру на координатной плоскости.

Решение

Графиком функции f(х) является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции f'(х)= - 6х+21 и находим координаты вершины параболы С:

Графиком функции g(x)=3x+4 является прямая, проходящая через точки (0;4), (-4/3;0).

Найдём точки пресечения графиков функции: g(х)=f(x)

-3х²+21x-11= 3x+4 - -3х²+ 18х -15 = 0 - х²- 6х + 5 = 0

Заметим, что g(1) = f(1) = 7, g(5) = f(5) = 19.

Пусть S -- площадь фигуры ABC, ограниченной графиками функций. Так как f(x)? g(х) при х [1;5], то

Ответ: 32 кв.ед

Задача 6

Найти общее решение дифференциального уравнения . Построить графики двух частных решений этого уравнения.

Решение.

1). Преобразуем уравнение к виду .

2) , где - const.

Графиком частных решений данного уравнения является множество парабол с общей вершиной в точке А(-1;0)

Положив С₁=1, и С₂=-1 построим графики двух частных решений

y₁=(x+1)²,

y₂= -(x+1)²,

Ответ:

Задача 7

Найти частное у_ч.(х) решение дифференциального уравнения у'cosx+уsinx=2, удовлетворяющее (начальному) условию: у_ч()=2.

Решение.

1). Разделим обе части уравнения на cosx:



Подставляя вместо у произведение двух функций y=uv, y'=u'v+uv'

получаем уравнение:

(1)

2). Найдём теперь какую-нибудь функцию u для которой выполняется равенство

Для этого найдём частное решение дифференциального уравнения

Если функции равны, то и неопределённые интегралы от них равны:

Так как нам нужно найти частное решение, полагаем С=0, т.е. приравниваем первообразные подынтегральных функций:

ln u= ln cos x - u= cos x.

3). Подставляя у = cos x в уравнение (1), получим

Так как всякая функция с точностью до константы равна неопределённому интегралу от собственной производной, то

у=u*v =cosx*(2*tgx + C) = cosx*=2*sinx+C*cosx.

Итак, общее решение дифференциального уравнения имеет вид
у=2*sinx+C*cosx.

4). Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значение неопределённой постоянной С по начальному условию, данному в задаче. Используя то условие, что у_ч=2 при , получаем равенство:

2=2*sinр+C*cosр; памятуя, что sinр=0 и cosр=-1, получаем:

2=2*0-C;

Отсюда С=-2. Подставляя найденное значение неопределённой постоянной, получаем частное решение у_ч.=2(sinx-cosx), удовлетворяющее условию, данному в задаче.

Ответ: у=2*sinx+C*cosx - общее решение,

у_ч.=2(sinx-cosx) - частное решение

Задача 8

Найти частное решение дифференциального уравнения y''-у'-6y =2sin2x-10cos2x, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=2, у'(0) = 3.

Решение.

1). Уравнение вида у" + bу' + су =0, где b и с -- некоторые числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение у_оo.(x) этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта D = b² -- 4aс характеристического уравнения k² + bk + с =0

В нашем случае характеристическое уравнение: k² --k -- 6=0.

D=1+24=25>0

Так как D>0 используем формулу у_о._о.=С₁е^бх + С₂е^вх, , где k=б, k=в -- два различных действительных корня (б?в) характеристического уравнения. В нашем случае: б=3, в=-2. Общее решение однородного уравнения:

у_oo (х)= С₁е^3х + С₂е^-2х

2). Так как правая часть f(х)= 2sin2x-10cos2x и k²+2²? k² --k -- 6 частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

у_ч(х) = Аcos2x + Вsin2x + С,

у'_ч.(x) = -2Аsin2х + 2Вcos2x,

у"_ч.(х) =-4Аcos2х -4Вsin2x,.

Подставляя у = у_ч.(x) в данное в задаче уравнение, получаем:

-4Аcos2х - 4Вsin2x + 2Аsin2х - 2Вcos2x - 6Аcos2x - 6Вsin2x = 2sin2x-10cos2x

cos2х(-4А - 2В - 6А) +sin2x(- 4В + 2А- 6В) = 2sin2x-10cos2x,

cos2х(-10А - 2В) +sin2x(2А- 10В) = 2sin2x-10cos2x,

Сравнивая коэффициенты при cos2x и sin2x, находим:

Отсюда у_ч.(x)=cos2x, поэтому так, как у_о._н.(х) = у_oo (х) + у_ч.(x), общее решение неоднородного уравнения имеет вид у_о._н.(х) = С₁е^3х + С₂е^-2х + cos2x.

3). Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче:

у(0) = 2 > C₁e⁰ + С₂е⁰ + cos 0 = 2 => С₁ * 1 + С₂ * 1 = 1, => С₁ + С₂ = 1,

у'(x) = 3С₁е^3х -2С₂е^-2х - 2sin2x.

у'(0) = 3C₁ е⁰ -2C₂ е⁰ -2sin 0= 3 > 3C₁ - 2C₂ - 0= 3 => 3C₁ - 2C₂=3.

Ответ: у (х) = е^х cos 2x + Ѕ е^x sin2x + х².

Следовательно, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче: у(х) = 1 * е^3х + 0 * е^-2х + cos2x= е^3х + cos2x.

Ответ: у(х) = е^3х + cos2x.

Задача 9

Исследовать сходимость ряда

Решение.

Используем признак Даламбера. Если существует предел , то числовой ряд сходится при q < 1 и расходится при q > 1.

В нашем случае и . Вычисляем предел:

так как q = ? > 1, то ряд расходится.

Ответ: Так как q > 1, то ряд расходится.

Задача10

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение.

Каждый степенной ряд сходится внутри интервала (с --R; с + R), где R?0 -- радиус сходимости, определяемый по формуле .

Определяем радиус сходимости:

Так как с = -2; с-R=-2-1,5=-3,5; с+R==-2+1,5=-0,5, находим интервал сходимости: (-3,5; -0,5). Исследуем на сходимость в точках x=-3,5 и x=-0,5. При x=-3,5 ряд имеет вид:

При x=-0,5 ряд имеет вид:

.

Поэтому интервал сходится и будет (-3,5;-0,5], R=1,5

Ответ: R = 1,5; (-3,5;-0,5].

Размещено на Allbest.ru

...