Линейная алгебра

Размещено на http://www.allbest.ru/

Линейная алгебра



Лекция 1. Решение систем линейных уравнений

1.1 Матрицы и действия над ними

Матрица размера есть прямоугольная таблица, в которой строк и столбцов.

Элементы матрицы нумеруются номером строки и столбца: a_ij элемент матрицы A, стоящий в i-й строке и j-м столбце.

Матрицы умножать на число, матрицы одного размера можно поэлементно складывать:

;

Пример.

; .

Умножение матриц.

Определим операцию умножения матриц. Пусть сначала имеется матрица размера (векторстрока) и матрица размера (векторстолбец). Их произведение это число, которое определяется формулой:

.



Пример

Пусть теперь имеется матрица размера и вектор-столбец размера . Будем рассматривать матрицу как совокупность строк. Тогда умножение матрицы на столбец сводится к последовательному умножению первой, второй, третьей и т.д. строк матрицы на вектор:

В общем случае матрицы размера и матрицы размера умножение сводится к последовательному умножению матрицы, стоящей слева, на столбцы матрицы, стоящей справа.

Пример.

Свойства операции умножения матриц.

Умножение дистрибутивно:

Умножение ассоциативно:



Умножение некоммутативно: в общем случае

Обратная матрица.

С этого момента будем рассматривать квадратные -матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Имеется специальная матрица, которая при умножении не изменяет сомножителя. Эта матрица называется единичной:

Для матрицы A обратной матрицей называется такая матрица A^-1, что выполнены соотношения

Если обратная матрица существует, она однозначно определена.

Критерий существования обратной матрицы.

Определитель.

Сопоставим произвольной квадратной -матрице A число , которое называется определителем.

Определитель матрицы :



Пример

.

Определитель матрицы :

Знак элемента равен числу . Легко запомнить следующее правило знако-чередования: элементу матрицы, стоящему в левом верхнем углу, сопоставляется знак +, а знаки любых двух соседних в строке или столбце элементов различны.

Минор элемента есть матрица , которая получается вычеркиванием из i-й строки и j-го столбца.

Число называется алгебраическим дополнением элемента .

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения.



Пример. Пусть

Тогда

, , ,

Свойства определителя.

1. При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель матрицы изменяет знак, оставаясь тем же по абсолютной величине.

2.

3. Если определитель имеет два одинаковых ряда, то он равен нулю.

4. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя.



5. Определитель, имеющий нулевой ряд, равен нулю.

6. Если все элементы какого-либо ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, определитель можно представить в виде суммы двух определителей.

7. Если какую-либо строку (столбец) матрицы добавить к любой другой строке (столбцу), определитель не изменится.

Матрицей, транспонированной к матрице , называется матрица, которая получается, если строки матрицы последовательно записать в виде столбцов. Обозначается транспонированная матрица через .

Матрица, которая не изменяется при транспонировании , называется симметрической.

8. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

.



1.2 Правило Крамера

Решаем систему из уравнений с неизвестными.

Мартица

составлена из коэффициентов при неизвестных.

Если , то решения системы равны

, , , ,

где есть определитель матрицы , в которой на -м месте стоит столбец свободных членов:

Пример.



.

Окончательно,

, , .



Лекция 2. Применение матричного исчисления к решению систем линейных уравнений

Теорема. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда . При этом

,

.

Обратите внимание, что в формуле для алгебраические дополнения элементов -й строки стоят в -м столбце.

Пример. Пусть

.

Вычислим . Найдем все девять алгебраических дополнений в матрице .

, , ,

, ,,

, , .



Записывая алгебраические дополнения элементов строк в столбцы, получим присоединенную матрицу (матрицу из алгебраических дополнений):

Остается вычислить определитель матрицы . Используем разложение по первой строке:

Окончательно,

.

Проверим результат умножением:



Применение матричного исчисления к решению систем линейных уравнений.

Используя операцию умножения матрицы на вектор систему уравнений

можно записать в виде , где

, , .

Пусть . Умножим уравнение слева на матрицу . Получим

Поскольку и , получаем формулу



.

Решение системы уравнений с помощью этой формулы (с вычислением обратной матрицы) называется матричным способом.

Пример.

Запишем систему в виде , где

, , .

Проверим условие .

.

Следовательно, матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы .



; ; ;

; ;;

; ;.

Получаем:

.

Теперь решение уравнения можно найти по формуле :

2.1 Вырожденные системы

Пример 1



Мы привели систему к верхне-треугольному виду. Однако для переменной не хватило “своего” уравнения. В этом случае переменную , объявляют свободной (её значения могут выбираться произвольным образом), а значения переменных , (они называются базисными) могут быть выражены через значения свободных переменных.

Пример 2

Система имеет противоречие. Решений такой системы нет .



Лекция 3. Аналитическая геометрия. Векторная алгебра

3.1 Декартова система координат в пространстве

Основный принцип аналитической геометрии: соответствие

точка набор чисел (координат)

Уравнение геометрического объекта (прямой, кривой, плоскости, поверхности) это такое уравнение (или система из нескольких уравнений), что

1) координаты произвольной точки объекта обращают уравнение в тождество;

2) если координаты некоторой точки удовлетворяют уравнению, то точка принадлежит данному объекту.



3.2 Векторная алгебра

Вектор - направленный отрезок прямой, то есть пара точек пространства, одна из которых объявляется началом, а вторая концом вектора.

Вектор - совокупность направленных отрезков пространства, которые можно перевести друг в друга параллельным переносом.

Такой вектор называется свободным (то есть его можно рассматривать как один направленный отрезок, который можно перемещать в пространстве, так, чтобы он оставался параллельным самому себе).

Координаты свободного вектора есть координаты точки вектора , который получается из переносом начала вектора в начало координат .

Пусть

, .

Тогда

.

Длина вектора



По теореме Пифагора:

,

.

Пример. Найти длину отрезка , где , .

,

.

3.3 Операции над векторами

1) Сложение векторов (правило параллелограмма)

В координатах:

Тогда



2) Умножение на скаляр (число)

В координатах:

Если

,то

Деление отрезка в заданном отношении

Задача. Даны точки и . Найти координаты точки , принадлежащей отрезку и такой, что

.

Имеем:

, откуда

.

Достаточно рассмотреть первую координату:



или, окончательно,

,

=

Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Найти длину медианы треугольника.

Координаты середины отрезка находим по формуле деления отрезка с :

, откуда

;

.

3) Скалярное произведение векторов

Пусть даны два вектора и . Сопоставим им число , называемое скалярным произведением и вычисляемое по правилу



где - угол между векторами.

Свойства скалярного произведения:

а) симметричность

б) однородность

в) аддитивность

Вычисление скалярного произведения в координатах.

Пусть и . тогда

.

Доказательство. Обозначим единичные базисные векторы, направленные по осям , , и через , , соответственно. Тогда , .

Заметим, что

, , ,

, , ,

поскольку эти векторы единичной длины и взаимно перпендикулярны.

Используя свойства 13 скалярного произведения, получаем:



Рассмотрим первое слагаемое:

Точно также доказывается, что второе слагаемое равно , а третье . Ч.Т.Д.

Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Найти величину угла .

Имеем:

;

Запишем формулу скалярного произведения:

.

В координатах:



,

,

Отсюда

, , .

Критерий перпендикулярности

Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Точка есть основание высоты, опущенной из вершины на сторону . Найти .

Размещено на http://www.allbest.ru/



Положение точки определяется двумя векторными соотношениями. 1) Так как точка лежит на , то вектор коллинеарен вектору , то есть . 2) Поскольку - высота, то вектор перпендикулярен вектору , то есть . Вектор можно записать как сумму векторов и , то есть . Подставляя это соотношение в уравнение , получим уравнение на коэффициент :

,

откуда

.

В координатах:

;

;

;

;

;

Теперь высота треугольника может быть найдена как длина вектора :

.

4) Векторное произведение векторов

Сопоставим произвольной паре векторов , третий вектор , удовлетворяющий трем условиям:

а) вектор перпендикулярен к плоскости, натянутой на вектора и ;

б) длина равна площади параллелограмма , натянутого на вектора и ;

в) если смотреть с конца стрелки вектора на плоскость, образованную векторами и , то вращение (внутри ) от к должно происходить против часовой стрелки.

Нетрудно видеть, что если векторы и независимы (то есть ), то вектор определен условиями 1-3 однозначно. Если векторы и зависимы, то можно по определению считать, что вектор равен 0. Векторное произведение векторов и обозначается как .

Свойства векторного произведения.

1) (антикоммутитивность)

2) (однородность)

3) (аддитивность)

Вычисление векторного произведения в координатах.

Даны векторы

, ,тогда

.

Доказательство основано на трех соотношениях

, ,

(которые следуют непосредственно из определения векторного произведения) и преобразовании выражения

,



аналогичному тому, которое было проведено при выводе формулы скалярного произведения векторов в координатах.

Ч.Т.Д.

Мнемоническая формула векторного произведения:

Пример. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

Решение. Воспользуемся вторым свойством векторного произведения: длина равна площади параллелограмма, натянутого на векторы , . Таким образом, нам нужно найти и затем положить

.Имеем:

,

,

.

5) Смешанное произведение векторов

Произвольной тройке векторов , , сопоставим число, равное и называемое смешанным произведением векторов. Обозначается смешанное произведение через . Из формулы разложения определителя по строке следует, что

Геометрический смысл смешанного произведения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из рисунка видно, что, с точностью до знака, смешанное произведение равно объему параллелепипеда, натянутого на векторы , , :

.

Следствие: критерий компланарности векторов. Три вектора , , компланарны (то есть параллельны одной плоскости) тогда и только тогда когда .

Пример. Найти объем пирамиды с вершинами , , , .

Решение. Объем пирамиды вычисляется по формуле



,

а объем параллелепипеда по формуле

.

Следовательно,

и .

Остается вычислить смешанное произведение векторов .

,

,

.

Теперь вычисляем смешанное произведение в координатах:



3.4 Аналитическая геометрия на плоскости

Векторное уравнение прямой

Пусть известны координаты некоторой точки прямой и координаты направляющего вектора . Точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, то есть

с некоторым коэффициентом пропорциональности .

Параметрическое уравнение прямой.

Запишем векторное уравнение прямой в координатах:

Полученную систему называют параметрическим уравнением прямой.

Пример. Написать параметрическое уравнение прямой , где , .

Направляющий вектор прямой есть

.



В качестве точки на прямой возьмем точку . Подставляя эти данные в параметрическое уравнение прямой, получим

Это уравнение определяет прямую.

При получаем , , то есть это -- точка . Значению отвечает точка , значению точка, находящаяся в середине отрезка . Значению отвечает точка, расположенная симметрично точке относительно .

Зная координаты произвольной точки плоскости, по параметрическому уравнению можно определить, лежит ли данная точка на прямой и, если да, то какому значению эта точка отвечает. Например, для точки получаем

Система противоречива, и точка не лежит на прямой. Для точки получаем

,



откуда следует, что лежит на прямой и отвечает значению .

Каноническое уравнение прямой.

Выражая параметр из каждого уравнения параметрической системы, получим

Опуская , получим окончательно:

Пример. Дано каноническое уравнение прямой

Через какую точку и в каком направлении проходит данная прямая?

Вспомним, что в числителе в каноническом уравнении стоит точка прямой, а в знаменателе - ее направляющий вектор. Таким образом, , .

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно прямой

.



Уравнение любой прямой начинается с выписывания шаблона

В числитель следует подставить координаты какой-либо точки прямой, а в знаменатель - координаты направляющего вектора. Точка известна , поэтому:

Направляющий вектор должен быть перпендикулярен прямой

,

и, в частности, перпендикулярен ее направляющему вектору . Воспользуемся критерием перпендикулярности векторов и подберем вектор , скалярное произведение которого с вектором равно 0. Самый простой способ - взять в качестве вектор (то есть переставить координаты и изменить знак у одной из координат). Таким образом, каноническое уравнение искомой прямой имеет вид

.



Общее уравнение прямой.

В каноническом уравнении избавимся от знаменателей и перенесем все члены по одну сторону от знака равенства. Имеем:

Переобозначая коэффициенты полученного уравнения, получим

,

где , , .

Отметим, что направляющий вектор прямой равен и, следовательно, равен

.

Скалярное произведение вектора с направляющим вектором равно 0, поэтому вектор нормали к прямой.

Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Написать уравнение высоты .

Решение. Уравнение высоты имеет вид



Здесь - вектор нормали к . В частности, , поэтому

.

.

Остается найти константу , для чего подставим в данное уравнение координаты точки . Получаем

откуда , и уравнение прямой имеет вид .

Приведенное уравнение прямой.

Рассмотрим общее уравнение прямой , и в случае выразим переменную через остальные члены уравнения.

.

После переобозначений получаем так называемое приведенное уравнение прямой

.



Геометрический смысл коэффициента в приведенном уравнении.

Пусть для простоты , .

Рассмотрим угол , образованный прямой и положительным направлением оси абсцисс. Из рисунка видно, что

.

Таким образом, есть тангенс угла наклона прямой к оси .

Угол между прямыми.

Пусть заданы две прямые

и

Задача - найти угол между ними.

Размещено на http://www.allbest.ru/



Из рисунка видно, что

,

где , .

Воспользуемся формулой

.

Отсюда

.

Окончательный ответ:

.

В частности, если угол составляет , то . Это возможно, если . Получаем критерий перпендикулярности прямых.

.



Лекция 4. Аналитическая геометрия в пространстве

Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Написать уравнение биссектрисы .

Решение. Найдем приведенные уравнения прямых , . Для имеем точку, и направляющий вектор , откуда следует каноническое уравнение прямой

.

Аналогично, для имеем точку и направляющий вектор , откуда каноническое уравнение прямой имеет вид

.

Напишем приведенное уравнение биссектрисы в общем виде:



.

Найдем сначала из приведенных уравнений прямых и , а затем из уравнений и . Получаем:

, ,

Откуда

,

и, следовательно,

, .

Одно из значений , а именно (это видно из рисунка), отвечает биссектрисе смежного угла с углом . Поэтому . Остается определить значение в уравнении биссектрисы

.



Подставляя координаты точки , получим

.

.

4.1 Прямая в пространстве

Прямая в пространстве определяется произвольной точкой на ней и направлением, которое задается произвольным вектором, параллельным данной прямой.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Условие, что точка лежит на данной прямой, в векторной форме запишется в виде условия коллинеарности векторов и :

.

Запишем данное равенство покоординатно, получим параметрическое уравнение прямой.



Выражая из каждого из трех уравнений системы, получим каноническое уравнение прямой:

Пример. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение. Направляющий вектор прямой - это вектор

.

Подставляя в шаблон канонического уравнения в числитель координаты точки , а в знаменатель координаты вектора соответственно, получим:

.

Первое уравнение плоскости.

Предположим, что нам известны координаты некоторой точки плоскости и координаты двух неколлинеарных векторов, параллельных данной плоскости.

Тогда условие, что точка лежит в данной плоскости сводится к условия, что три вектора: , и параллельны этой плоскости, или, иначе, эти три вектора компланарны. Критерием компланарности векторов было равенство нулю их смешанного произведения:

.

В координатной записи это дает первое уравнение плоскости:

.

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки, и .

Решение. Найдем два вектора, параллельных плоскости .

,

.



В качестве точки плоскости подставим уравнение координаты точки . Получим

Раскрывая определитель по первой строке, получим:

,

Откуда

.

Раскрывая скобки и приводя подобные, получим окончательно:

Второе уравнение плоскости.

Пусть заданы координаты некоторой точки плоскости и координаты вектора , перпендикулярного к плоскости.

Размещено на http://www.allbest.ru/



Теперь условие, что точка лежит в данной плоскости, сводится к взаимной перпендикулярности векторов и :

.

Переходя к координатной записи, получим:

.

Это - второе уравнение плоскости.

Пример. Дана точка и прямая

.

Написать уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно к прямой .

Решение. Направляющий вектор прямой является одновременно перпендикуляром к плоскости . Поэтому

,



Откуда

.

В качестве приложения выведем формулу для расстояния от точки до плоскости. Пусть дана точка и плоскость . Требуется определить расстояние от до .

Решение. Выпишем уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно к плоскости . Затем найдем координаты точки точки пересечения прямой и плоскости . После этого расстояние от до найдем как длину вектора .

Имеем:

Откуда

.

В частности, если координаты точки , то они удовлетворяют уравнению плоскости

,



откуда

.

После приведения подобных слагаемых получим:

.

Следовательно, вектор имеет координаты

Остается определить его длину:

.



Лекция 5. Угол между плоскостями

Пусть плоскости и заданы общими уравнениями.

Угол между плоскостями и равен углу между их нормальными векторами и .

Условие параллельности плоскостей.

Условие перпендикулярности плоскостей.

5.1 Угол между прямыми

Угол между прямыми и равен углу между их направляющими векторами и .



ПРИМЕР. Найти угол между прямыми

РЕШЕНИЕ. Найдем угол между векторами и .

5.2 Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью можно найти через угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости



5.3 Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой совпадает с высотой параллелограмма, построенного на векторах и . .

ПРИМЕР. Найти расстояние от точки до прямой

РЕШЕНИЕ.

Найдем векторное произведение



Задача 1. Прямая является пересечением двух плоскостей и , заданных уравнениями и . Написать каноническое уравнение прямой .

РЕШЕНИЕ. Выпишем решение вырожденной системы уравнений

в параметрической форме. Применим метод последовательных исключений Гаусса.

Обозначая , получим



И окончательно

Эту систему уравнений можно интерпретировать как параметрическое уравнение прямой . Тогда точка, через которую проходит прямая - эта точка (отвечает значению ), а координатами направляющего вектора прямой являются коэффициенты при в каждом из трех уравнений системы, то есть . Таким образом, каноническое уравнение прямой имеет вид

.



Задача 2. Даны плоскость и точка . Найти точку , симметричную относительно плоскости .

РЕШЕНИЕ. Точка находится на прямой, проходящей через перпендикулярно к плоскости , причем лежит по другую сторону от плоскости и на том же расстоянии, что и . Другими словами, точка середина отрезка , принадлежит плоскости . Уравнение прямой имеет вид

Если координаты точки обозначить как , то координаты точки можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении:

.

Следовательно, координаты точки удовлетворяют системе уравнений

Положим



,

Тогда

.

Подставляя эти выражения во второе уравнение системы, получим

Умножив на 2, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим

.

Следовательно,

.

Ответ: .

Задача 3. Дана точка прямая

,

.



Найти уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно к прямой и пересекающей прямую .

РЕШЕНИЕ. Имеется целая плоскость , целиком заполненная прямыми, проходящими через точку и перпендикулярными к прямой . Чтобы найти в ней нужную нам прямую, достаточно найти пересечение плоскости и прямой .

Уравнение плоскости имеет вид:

.

Пересечение плоскости и прямой определяется из системы уравнений:

Из последнего уравнения получаем:

Подставляя эти соотношения в первое уравнение системы, получим:

.

Следовательно, и координаты точки имеют вид



Направляющий вектор искомой прямой есть

.

Каноническое уравнение прямой имеет вид

.



Лекция 6. Математический анализ

Предел функции одного вещественного переменного .

Как вычислить значение функции

при , при , при ? Непосредственное вычисление громоздко и, возможно, даст большую погрешность при округлении. Однако, можно попробовать найти , и затем оценить, насколько сильно уклоняется от . Если уклонение тем меньше, чем меньше разность , то естественно считать, что , а “в пределе” при значение точно равно .

Действительно,

.

Таким образом, значения функции в точках, мало отличающихся от 2, мало отличается от 4. Можно сказать, что 4 есть предел функции

при .

Определение. Число называется пределом функции в точке и обозначается как



если для любого найдется такое число , что при всех .

6.1 Свойства пределов

1. .

2. .

3. Если , то .

Лемма о двух милиционерах.

Если и , то .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если .

Теорема. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то композиция непрерывна в точке и .

Попробуем вычислить

при .



Подставим значение в качестве аргумента функции . Получим “неопределенное” выражение. Какое число в этом случае определяет приближенное значение функции ? Чтобы это определить, следует “разрешить особенность” функции в точке , иными словами, определить, за счет чего числитель и знаменатель дроби обращаются в ноль при подстановке 1 вместо . Имеем:

.

Следовательно,

.

Пример.

Вновь непосредственный подсчет приводит к неопределенности:



Числитель можно разложить на множители

,

Преобразуем знаменатель, домножив и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение сумму :

Теперь

6.2 Первый замечательный предел

Рассмотрим предел

Прямое вычисление дает:



Для вычисления предела воспользуемся леммой о двух милиционерах.

Напишем неравенство для площадей треугольника , углового сектора и треугольника :

.

Поделим все на (поскольку функция четная, то можно считать, что ):

,

Откуда

.

Следовательно,

Полученная формула называется первым замечательным пределом.



Пример. Вычислить предел

Решение.

Окончательно,

Предел функции на бесконечности.

Определение. Число называется пределом функции при , если для любого найдется такое число , что при всех .

Обозначается этот предел как



Если в определении предела считать, что или , то получится определение одностороннего предела или соответственно.

Очевидные пределы

Пример. Вычислить предел

.

Решение. Разделим и числитель и знаменатель на старшую степень . Имеем:



Пример. Вычислить предел

Решение.

При получаем

При получаем



6.3 Второй замечательный предел

Теорема (без доказательства). Предел монотонно возрастающей ограниченной функции (то есть и для произвольных ) существует и удовлетворяет неравенству .

.

Доказательство существования. Рассмотрим сначала функцию

при натуральных значениях аргумента . Покажем, что функция

монотонно возрастает. Воспользуемся формулой бинома Ньютона

где



(в числителе столько же множителей, сколько их имеется в знаменателе). Всего в формуле бинома слагаемых. Доказывается формула бинома индукцией по .

Разложим по формуле бинома выражения

и .

Докажем неравенство

.

Имеем:

Теперь неравенство становится очевидным (каждый множитель слева не больше соответствующего по порядку множителю справа). Следовательно, уже первые слагаемые в разложении



больше суммы всех слагаемых в разложении , то есть

.

Покажем, что последовательность ограничена и не превосходит 3. Воспользуемся оценкой

Откуда

Сумма оценивается сверху суммой геометрической прогрессии , откуда для любого . По теореме о пределе монотонной ограниченной функции существует предел при натуральных значениях переменной . Этот предел был назван числом и может быть вычислен с любой степенью точности.

Для доказательства существования предела при произвольных вещественных можно воспользоваться очевидным неравенством

при ,

и теоремой о двух милиционерах, с учетом того, что

,

.

Можно показать, что предел

существует и равен и при .

Пример. Вычислить предел



Решение.

Следствия

1) ,

2) .

Доказательство. 1) Полагая в формуле , получим . Вычисляя натуральный логарифм от правой и левой частей формулы, получим



.

2). Полагая , получим

.

6.4 Комбинирование пределов

Пример. Вычислить предел

.

Решение. Это неопределенность вида . Действительно,

, откуда

.

Выполним тождественное преобразование



и воспользуемся формулой

:

Следовательно,

Сделаем замену

.

Очевидно, что при . При этом

, откуда .

Получаем:



Непрерывность и типы разрывов. Если или предела вообще не существует, то говорят, что функция имеет разрыв в точке . Всего имеется три типа разрывов.

1) Устранимый разрыв, когда существует , но .

Пример. Доопределим функцію

при значением . Поскольку

,

то функция окажется разрывной в точке . Однако, изменив значение функции всего в одной точке, мы получим в результате непрерывную функцию, то есть мы устраним разрыв.

2) Разрыв 1-го рода. Если существует предел слева и предел справа , но , то говорят, что функция имеет разрыв первого рода с точке .

Пример. Рассмотрим функцію

и точку . Имеем



При предел отличается знаком:

Таким образом, т. является точкой разрыва первого рода функции

.

3) Все остальные разрывы считаются разрывами 2-го рода.

Пример 1

, .

Если , то .

Если , то .



Пример 2

, .

Если и при этом

, , то .

Если , но

, , то тогда

. Таким образом никакого предела (ни справа, ни слева) у функции в точке нет.



Лекция 7. Производные

Определение. Число называется производной функции в точке , если существует предел

(предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента ).

Производная обозначается как или как .

Для секущей графика (прямой, соединяющий точки и ) дробь равна угловому коэффициенту прямой

.

Здесь обозначают координаты текущей точки секущей. Таким образом,



показывает, насколько плавно (гладко) изменяется секущая при .

Определение. Касательная к графику функции в точке есть предельное положение секущих при .

Из определения следует, что уравнение касательной есть

Геометрический смысл производной состоит в том, что она является угловым коэффициентом касательной к графику функции в точке .

Физический смысл производной. Пусть есть время, в течение которого материальная точка двигается вдоль прямой, а обозначает расстояние до некоторой точки отсчета . Тогда функция есть закон движения и определяет изменение положение точки со временем.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При такой интерпретации есть расстояние, которое проходит материальная точка за время . Следовательно, дробь есть средняя скорость движения за время . Переходя к пределу при , получаем, что есть мгновенная скорость движения, описываемого законом . Это и есть физический смысл производной.

7.1 Простейшие свойства производных

Свойства пределов определяют следующие свойства производных.

1)

2) для произвольной константы .

3) Если производная в точке существует, то функция непрерывна в этой точке.

Производные по определению.

Пример 1.

.

То есть

Пример 2.

.



Таким образом,

Пример 3.

.

Таким образом,

.

Таблица производных от элементарных функций.

Рассмотрим дифференцирование степенной функции при некоторых .

Имеется два основных приема дифференцирования функций

1) Формула дифференцирования произведения и частного двух функций



,

.

Доказательство. Докажем формулу дифференцирования произведения. По определению производной имеем:

2) Формула дифференцирования композиции (или сложной функции)

.

Доказательство По определению производной имеем:



.

Примеры.

1)

2)

3)

4)

5)

6)



6.2 Логарифмическая производная

Рассмотрим функцию

.

Теорема.

.

Доказательство. Прием, с помощью которого мы найдем производную функцию , называется логарифмическим дифференцированием. Именно, прологарифмируем тождество , а затем найдем производную от правой и левой части.

,

,

Ч.Т.Д.

Пример.

1)

откуда

.

2)

6.3 Производной обратной функции

Определение. Функция называется обратной к функции если , .

Примеры.

1) , ;

2) , ;

3) , .

Теорема. Если есть обратная функция к функции , то



.

Доказательство. Используя формулу для дифференцирования сложной функции, продифференцируем тождество

.

Получаем:

, Ч.Т.Д.

Пример. Найдем производную функции . По теореме о производной обратной функции имеем:

где .

В силу основного тригонометрического тождества,

.

Следовательно,

.



Лекция 7. Производная функции, заданной параметрически

Длина пройденного пути равна, с одной стороны, , а с другой стороны, (длина дуги). Следовательно,

,

.

Обозначая , получим

Функция, обратная к функции , не может быть выражена через элементарные функции. Поэтому явное представление также не может быть получено в классе элементарных функций.

Пусть есть параметрическое представление функции .

Теорема.



Доказательство. Пусть функция, обратная к функции . Тогда , поэтому

По теореме о производной обратной функции имеем

, где

Следовательно,

. Ч.Т.Д.

7.1 Производная неявной функции

Иногда функцию можно задать неявно, посредством некоторого уравнения, зависящего от переменных и : .

В таком случае говорят, что функция задана неявно.

Пример 1.

.



Однако в явном виде выразить функцию посредством элементарных функций можно не всегда.

Пример 2.

.

Пусть точка принадлежит множеству решений уравнения (то есть ), и пусть некоторая функция, удовлетворяющая условию . Как найти производную ? Проще всего продифференцировать тождество и, убедившись, что производная входит в получившееся выражение линейно, найти значение .

Продолжение примера 1.

, откуда

.

В частности, если

, то .



Проверка:

При получаем

.

7.2 Основные теоремы дифференциального исчисления

Определение. Точка называется точкой локального минимума функции , если для всех из некоторого интервала выполнено соотношение .

Если неравенство заменить на неравенство , то точка будет называться точкой локального максимума функции .

Теорема Ферма. Пусть функция определена на некотором интервале и дифференцируема в точке . Тогда, если является точкой локального минимума или максимума функции , то .

Доказательство. Пусть для определенности является точкой локального минимума функции . В определении производной функции в точке рассмотрим предел справа:

.

В числителе стоит положительная величина, так как по предположению . В знаменателе выражение положительно, следовательно

, и .

Рассмотрим теперь предел слева.

В числителе, по--прежнему, стоит положительная величина, а выражение в знаменателе теперь отрицательно, следовательно

, и .



Но тогда . Ч.Т.Д.

Теорема Вейерштрасса (без доказательства). Непрерывная функция, определенная на отрезке, достигает как своего минимум, так и своего максимума.

Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в каждой точке интервала . Если , то найдется точка на интервале , в которой .

Доказательство. По теореме Вейерштрасса функция достигает в некоторой точке отрезка своего максимума и в некоторой точке отрезка своего минимума. Если , то функция постоянна, и тогда всюду в . Если , то, по крайней мере, одна из этих точек (точка минимума или точка максимума) не совпадает ни с , ни с . Тогда по теореме Ферма в этой точке .

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в каждой точке интервала . Тогда найдется точка на интервале , в которой .



Доказательство. Сведем теорему Лагранжа к теореме Ролля. Рассмотрим функцию

.

Тогда

,

Следовательно, , и по теореме Ролля найдется точка , в которой . Но

,



то есть

. Ч.Т.Д.

Следствие. Если всюду на интервале , то функция монотонно возрастает:

.

Если , то функция монотонно убывает

.



Лекция 8. Теорема Коши

Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Пусть . Тогда найдется точка , такая что

.

Доказательство. Вновь сведем утверждение теоремы к теореме Ролля. Рассмотрим функцию

.

Убедимся, что . Имеем:

,

Следовательно, найдется точка , в которой . Вычислим



,

Откуда

Ч.Т.Д.

Пример: проверить справедливость формулы Коши для функций и на отрезке .

Следствие. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0, ?/?. Пусть или . Тогда если предел равен пределу (если он существует), и предела нет, если не существует предел .

Пример. Вычислим

.



Мы имеем дело с неопределенностью . Запишем произведение функций в виде дроби

Теперь можно воспользоваться правилом Лопиталя

Производные высших порядков.

Определение. Производная от производной функции называется второй производной от :

, или .

Производная произвольного порядка :

.



Лекция 9. Вторая производная и выпуклость

Определение. Функция называется выпуклой вниз на отрезке , если для любых двух точек , отрезка прямая, соединяющая точки и графика функции, лежит выше самого графика.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Возьмем произвольную точку отрезка . Если она делит отрезок в отношении , то . Отвечающая точке точка секущей графика также делит отрезок в отношении , поэтому я координата точки отрезка равна . Следовательно, выпуклая функция удовлетворяет следующему неравенству (неравенство Йенсена)



для произвольного .

Теорема. Если на отрезке , то функция выпукла вниз на данном отрезке.

Доказательство. Рассмотрим разность

Нам надо показать, что для любого . Пусть . Поскольку , то . Предположим, что . Тогда достигается максимум в некоторой внутренней точке интервала . Обозначим эту точку .

Воспользуемся формулой Тейлора

Поскольку точка локального максимума, по теореме Ферма . Следовательно,



. Но

,

следовательно, для любого из отрезка . Поэтому для всех достаточно близких к . Это противоречит тому, что есть точка максимума. Ч.Т.Д.

Аналогично, функция называется выпуклой вверх на отрезке , если для любых двух точек , отрезка прямая, соединяющая точки и графика функции, лежит ниже самого графика. Достаточное условие выпуклости вверх неравенство .



Лекция 10. Общая схема исследования функций

матричный геометрия дифференциальный предел

Задача. Исследовать функцию

с помощью производных первого и второго порядка и построить её график.

Решение. Исследование функции производится по следующей схеме.

1. Общие особенности функции: область определения, непрерывность и точки разрыва, вертикальные асимптоты, четность - нечетность, периодичность.

В нашем случае область определения функции

;

прямая - вертикальная асимптота, функция общего вида.

2. Нули функции и интервалы знакопостоянства.

Применим метод интервалов для исследования знаков функции.

+ +

7 10 20



3. Возрастание - убывание функции, точки экстремума. Этот пункт связан с исследованием знаков первой производной функции. Имеем:

Корни квадратного многочлена равны

Знаки определим, используя метод интервалов.

+ +

8.6 20 31.4

max min

Точки и являются точками локального максимума и минимума соответственно.

4. Выпуклость - вогнутость функции, точки перегиба. Данный пункт связан с исследованием второй производной функции. Если , то функция выпукла вниз (как функция ), а если , то функция выпукла вверх (как функция ).

+

20

5. Наклонные асимптоты функции.

Наклонная асимптота функции (если она существует) есть такая прямая на плоскости , к которой “прижимается” график функции при , то есть . Коэффициенты и определяются из соотношений

, .



В нашем случае

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой функции.

Размещено на Allbest.ru

...