9

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

Наближені методи обчислення невласних та кратних інтегралів

Зміст

Вступ

1. Наближене обчислення невласних інтегралів

2. Застосування квадратурних формул з вагою до інтеграла з нескінченними межами

3. Метод Л.В. Канторовича для виділення особливостей

4. Застосування квадратурних формул з вагою до невласного інтеграла від розривної функції

5. Наближене обчислення кратних інтегралів

6. Метод Монте-Карло (метод статистичних випробувань)

7. Метод Л.А.Люстерника і В.А.Діткіна

Список використаної літератури

Вступ

В практичних розрахунках, у тому числі і в задачах механіки нерідко виникає необхідність обчислення невласних кратних інтегралів.

Розглянемо низку методів, які дають наближено обчислити невласні та кратні інтеграли. Один із методів обчислення невласних інтегралів полягає в тому, що підінтегральну функцію подають у вигляді суми двох інших функцій. Інтеграл від однієї з функцій обчислюється за допомогою одної з квадратурних формул. В іншому методі підінтегральну функцію подають у вигляді добутку двох функцій, при чому одна із функцій обмежена на проміжку інтегрування і має достатньо похідних, а інша має бути додатньою на проміжку інтегрування. Тоді можна буде підібрати квадратурну формулу.

Для наближеного обчислення кратних інтегралів використовують формулу:

,

де А_i числові коефіцієнти, а точки (x_i, y_i) є G. Наведена формула називається кубатурою, точки (x_i, y_i) - вузлами кубатурної формули, числа А_i - коефіцієнтами кубатурної формули, а величина R(f) - залишковим членом. Але найпростішим методом обчислення кратних інтегралів є метод повторного обчислення однократних інтегралів. Він легко програмується на ЕОМ, так як дозволяє використовувати стандартні програми для обчислення однократних інтегралів.

1. Наближене обчислення невласних інтегралів

Інтеграл

називається власним, якщо:

1) проміжок інтегрування скінченний;

2) підінтегральна функція неперервна на .

В інших випадках інтеграл називається невласним.

Загальний підхід до наближеного обчислення невласних інтегралів.

Припустимо, що нам потрібно обчислити збіжний інтеграл

із заданою точністю . Для цього запишемо інтеграл у вигляді

У силу збіжності інтеграла число b можна вибрати настільки великим, щоб виконувалась нерівність

Власний інтеграл

легко обчислити за допомогою однієї з квадратурних формул. Нехай S - наближене значення цього інтеграла з точністю , тобто

Тому

Приклад

Обчислити наближено інтеграл

з точністю

Розв'язок

Виберемо число b так,щоб виконувалась нерівність:

.

Відмітимо, що

Число b обчислюємо з умови

.

Звідси одержуємо, що b=10. Покладаємо, що

і обчислюємо одержаний визначений інтеграл з точністю до за формулою Сімпсона з кроками ,

Обчислення інтеграла за формулою Сімсона

k
0 1 2 3 4 5 6 7 8	2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0	9 28 65 126 217 344 513 730 1001	0,1111 0,0357 0,0154 0,0079 0,0046 0,0029 0,0020 0,0014 0,0010	1 4 2 4 2 4 2 4 1	1 4 2 4 1
Суми	0,3477	0,1809

Результати обчислень записані в таблиці. В останньому рядку наведені суми

і ,

за допомогою яких обчислюється наближене значення інтеграла. З кроком одержуємо з кроком одержуємо . Ці значення відрізняються менше ніж на . Отже, отримуємо

Нехай тепер необхідно обчислити з точністю збіжний невласний інтеграл

де функція на проміжку має точку розриву другого роду x=c. Тоді треба взяти додатні числа і настільки малими, щоб

а власні інтеграли

,

обчислити з точністю .

Приклад

Обчислити з точністю 0,05 інтеграл

Розв'язок

Підінтегральна функція має розрив при x=2. Запишемо інтеграл у вигляді суми двох інтегралів

,

і виберемо так щоб величина була достатньо малою. При інтеграл задовольняє умову

Покладаючи одержимо

Приймаючи до уваги одержану оцінку інтеграла обчислимо

по формулі Сімпсона з точністю 0,022. Обчислення з кроками 2h=0,8 і h=0,4 дають:, .

З точністю до 0,004 можемо записати . Таким чином покладаючи одержимо,що .

2. Застосування квадратурних формул з вагою до інтеграла з нескінченними межами

інтеграм квадратний функція

При обчисленні інтегралів

зручно використовувати квадратурні формули виду

в яких коефіцієнти не залежать від і абсциси підбираються так щоб формула була точною для многочленів найбільшої можливої степені.

При мають місце квадратурні формули з вагою Чебишева-Ерміта

(3)

які є точними для многочленів степені не вище 2n-1 залишковий член формули (3) має вигляд



В таблиці 2 наведені значення коефіцієнтів і абсцис для даних n

Табл.2 Значення і для квадратурних формул з вагою Чебишева-Ерміта

n
3
4
5	-

При мають місце квадратурні формули з вагою Чебишева-Лагерра

(4)

Які точні для многочленів степені не вище ніж 2n-1. Залишковий член формули (4) має вигляд

де Г (n+1)- гамма-функція. В таблиці 3 наведені значення і для деяких n.

Табл.3 Значення і для квадратурних формул з вагою Чебишева-Лагерра

n	k
3	1 2 3	0,415774 2,294280 6,289945	0,711093 0,278518 0,010389
4	1 2 3 4	0,322548 1,745761 4,536620 9,395071	0,603154 0,357419 0,038888 0,00539
5	1 2 3 4 5	0,263560 1,413403 3,596425 7,085810 12,640801	0,521756 0,398667 0,075942 0,003612 0,000023

Приклад

Обчислити інтеграл

за квадратурною формулою (4) при n=5

Розв'язок

Так як вузли квадратурної формули розміщені симетрично відносно x=0, а коефіцієнти, які відповідають симетричним вузлам рівні то по формулі (4) маємо

Для порівнювання замітимо, що безпосереднє обчислення інтеграла дорівнює

3. Метод Л.В. Канторовича для виділення особливостей

Для наближеного обчислення інтеграла від розривної функції корисним може бути метод Л.В. Канторовича для виділення особливостей. Ідея цього методу полягає в тому, що підінтегральну функцію представляють у вигляді

,

де не має особливостей на проміжку і інтеграл

може бути обчислений за допомогою квадратурної формули, а функція має ті ж особливості на проміжку , що й функція , але інтеграл

може бути обчислений точними методами інтегрального числення.

Наприклад, нехай потрібно обчислити

Функція

має особливість у точці x=0. Запишемо у вигляді

Тоді

Підінтегральна функція

не має особливостей на проміжку інтегрування. Тому

можна обчислити за допомогою відповідної квадратурної формули. Функція має особливість у точці x=0, але

може бути обчислений безпосередньо:

.

Нехай функція має такий вигляд:

,

де , , - неперервна функція на . Припустимо, що , де . Тоді за формулою Тейлора матимемо:

,

де . Тому

або

де

,

Інтеграл

легко обчислюється. Оскільки

,

то функція належить . Тому не має жодних особливостей при x=c і

може бути обчислений з потрібною точністю за допомогою відповідної квадратурної формули.

Розглянутий підхід застосовується і тоді, коли підінтегральна функція має такий вигляд:

,

де , , p - натуральне число, а - неперервно диференційована функція до певного порядку.

Якщо , де , то аналогічно

При цьому

виражається через елементарні функції, якщо використати метод інтегрування за частинами, а для обчислення

можна скористатися відповідною квадратурною формулою, оскільки функція буде гладкою.

Метод Канторовича може бути узагальнений і на випадок, коли підінтегральна функція на проміжку має декілька особливостей,

де , при , а має на неперервні похідні досить високого порядку.

Приклад

Обчислити наближено інтеграл



Розв'язок

Підінтегральна функція має розрив при x=0. запишемо її у вигляді:

Таким чином, , c=0,

.

За формулою Тейлора маємо

Тоді можемо записати у вигляді:

де

,

причому . Звідси

, де .

Інтеграл обчислюємо за формулою Сімпсона при n=10, h=0,05.

Значення функції

I
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50	0,000000 0,000000 0,000009 0,000056 0,000216 0,000624 0,001508 0,003225 0,006316 0,011588 0,020239	1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1
Сума	0,098309

В таблиці обчислені значення підінтегральної функції з точністю до . В останньому рядку таблиці обчислена сума на множники звідси .

Отже, отримуємо

4. Застосування квадратурних формул з вагою до невласного інтеграла від розривної функції

Розглянемо невласний інтеграл від розривної функції

.

Підінтегральну функцію подамо у вигляді добутку двох функцій і :

Причому обмежена на відрізку і має достатнє число похідних, а >0 на . Тоді можна підібрати квадратурну формулу виду:

(5)

В якій сталі коефіцієнти не залежать від , а абсциси визначаються таким чином, щоб формула була точною для многочленів найбільшої можливої степені. Функція називається ваговою функцією або вагою. Ідея застосування квадратурних формул з вагою для інтегрування розривних функцій полягає в тому, що залишковий член не залежить від тобто від розривної частини функції. В книгах наведені значення коефіцієнтів і абсцис квадратурних формул виду (5) для різних вагових функцій p(x). В табл..1 наведені значення і для випадку коли а=0, b=1 і вагова функція має вигляд



Табл.1 Значення і для квадратурної формули

n	k
3	1 2 3	0,056939 0,437198 0,869499	0,93828 0,721523 0,342649
4	1 2 3 4	0,033648 0,276184 0,634677 0,922157	0,725368 0,627413 0,444762 0,202457
5	1 2 3 4 5	0,022164 0,187831 0,461597 0,748335 0,948494	0,591048 0,538533 0,438173 0,298903 0,133343

При a=-1, b=1 і

має місце квадратурна формула Ерміта.

де

і

Приклад

Обчислити наближено інтеграл

I=

Розв'язок

Подамо підінтегральну функцію у вигляді

І будемо розглядати функцію

як вагову функцію. Тоді для обчислення даного інтеграла можна використати квадратичну формулу Ерміта

I=

Взявши n=6, одержимо

I

Замітимо, що безпосереднє обчислення інтеграла дорівнює I=2,21441

Приклад

Обчислити наближено інтеграл

Розв'язання

Позначимо

,

Використовуючи значення і , які наведені в таблиці 1 при n=4 по формулі (1) одержимо

Безпосереднє значення інтеграла

5. Наближене обчислення кратних інтегралів

Нехай функція - визначена і неперервна в деякій скінченній області G. Припустимо, що треба обчислити інтеграл

(6)

Для наближеного обчислення інтеграла (1) можна використати формулу

(7)

де - числові коефіцієнти, а точки . Формула (7) називається кубатурною формулою, точки - вузлами кубатурної формули, числа - коефіцієнтами кубатурної формули, а величина - залишковим членом.

Щоб знайти коефіцієнти , можна було б вимагати, аби кубатурна формула була точна для всіх многочленів

Степінь яких не перевищує заданого числа n. Підставивши в формулу (7)

,

коефіцієнти , взагалі кажучи, можна визначити із системи лінійних алгебраїчних рівнянь

де k,l=0,1,…,n; k+ln. при цьому одержуємо, що для кількості невідомих N системи і n повинна виконуватись умова

де права частина рівності виражає кількість різних точок , для яких k,l=0,1,…,n; k+ln, тобто

.

Однак такий загальний підхід наштовхується на значні труднощі і не має практичного застосування.

Оскільки кратні інтеграли можна обчислити шляхом повторного обчислення однократних інтегралів,то одним із найпростіших шляхів отримання кубатурних формул є метод повторного використання квадратурних формул для наближеного обчислення однократних інтегралів. Проілюструємо цей метод на прикладі обчислення інтеграла (1), використавши квадратурну формулу Сімпсона. Нехай область G це прямокутник . Тоді інтеграл (1) запишемо у вигляді:

Де

Використовуючи формулу Сімпсона для наближеного обчислення , дістаємо

.

Тоді

Застосовуючи до кожного інтеграла формулу Сімпсона, записуємо

,

або

(8)

Отже, для наближеного обчислення інтеграла використовується значення підінтегральної функції у дев'ятьох точках (рис.1).



9

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1. Схема використання вузлів у формулі Сімпсона

Формула (8) називається малою кубатурною формулою Сімпсона.

Якщо розміри прямокутника великі, то для підвищення точності кубатурної формули задану область розбивають на систему прямокутників, до кожного з яких застосовують кубатурну формулу Сімпсона (8). В результаті отримують велику кубатурну формулу Сімпсона.

Недоліки методу:

1) цей метод зручно використовувати для прямокутних областей інтегрування;

2) із зростанням кратності інтеграла збільшується об'єм обчислень;

3) збільшення точності за рахунок зменшення кроків інтегрування помітно збільшує об'єм обчислень.

Використавши квадратурні формули прямокутників і трапецій для повторного обчислення однократних інтегралів, одержимо кубатурні формули прямокутників і трапецій. Малі кубатурні формули прямокутників і трапецій відповідно мають такий вигляд:



Іншим підходом для одержання кубатур них формул є заміна підінтегральної функції деяким інтерполяційним многочленом. У разі, якщо треба обчислити інтеграли великої кратності при невисокій точності, широко застосовують метод статистичних випробувань (метод Монте-Карло).

Приклад

Обчислити наближено інтеграл

Розв'язок

Позначимо

Тоді за формулою Сімпсона при n=4 будемо мати

Інтеграли

 ( i=0,1,2,3,4)

обчислимо наближено за формулою Сімпсона при n=2. Послідовно одержуємо

,

,

,

,

.

Підставляючи значення (i=0,1,2,3,4) одержимо

6. Метод Монте-Карло (метод статистичних випробувань)

Нехай потрібно обчислити m-кратний інтеграл

по області G, яка лежить в m-вимірному одиничному кубі

(i=1,2,...,m)

Виберемо m рівномірно розподілених на відрізку послідовностей випадкових чисел

… , …,

… , …,

… , …,

Тоді точки (i=1,2,...) можна розглядати як випадкові, які рівномірно розміщені m-вимірному одиничному кубі.

Нехай із загального числа N випадкових точок n точок попали в область G, а інші N-n не попали в цю область. Тоді при достатньо великому N має місце наближена формула

(9)

де - m-вимірний об'єм області інтегрування. Якщо об'єм важко обчислити то можна покладати , і для наближеного обчислення інтегралу одержимо



Розглянутий метод можна застосовувати до обчислення кратних інтегралів і для довільної області G, якщо існує така заміна змінних при якій нова область інтегрування буде міститись в m-вимірному одиничному кубі.

Приклад

Методом Монте-Карло обчислити інтеграл.

(2)

9

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2.

де область G визначається наступними нерівностями (рис.2)

, .

Для обчислення інтеграла скористаємось таблицею випадкових чисел (табл..1); при цьому кожні два послідовні числа із цієї таблиці приймемо за координати випадкової точки .

Записуємо координати x i y випадкових точок в табл.2, заокруглюючи до трьох знаків після коми, і вибираємо з них ті, які належать області інтегрування.

Порядок заповнення таблиці 1.

1) Серед всіх значень x виділяємо ті які знаходяться між =0,5 і =1. Для цих значень покладаємо =1, для всіх інших =0. Наприклад для x=0,577 маємо =1, для x=0,170 маємо =0

2) Серед всіх значень, які відповідають виділеним x, вибираємо ті, які знаходяться між , . Для цих значень покладаємо =1, для всіх інших =0. Наприклад для 0,701 одержимо =0, для 0,205 одержимо =1.

3) Обчислюємо =. Області інтегрування належать лише ті точки для яких =1. Наприклад для точки маємо =1.

В нашому прикладі області інтегрування належить 4 точки, тобто N=20, n=4.

4) Обчислюємо значення підінтегральної функції в одержаних точках.

Після заповнення таблиці.2 обчислюємо площу області інтегрування

і за формулою (1) знаходимо

Для порівняння візьмемо точне значення інтеграла .

Результат має порівняно невелику точність тому, що число точок N=20 не достатньо велике.

Таблиця.1 Випадкові числа, які рівномірно розподілені на відрізку

0,57705 0,71618 0,73710 0,70131 0,16961 0,53324 0,43166 0,26275 0,05926 0,66289	0,35483 0,09393 0,30304 0,55186 0,64003 0,20514 0,00188 0,55709 0,86977 0,31303	0,11578 0,93045 0,93011 0,42844 0,52906 0,09461 0,99602 0,69962 0,31311 0,27004	0,65339 0,93382 0,05758 0,00336 0,88222 0,98585 0,52103 0,91827 0,07069 0,13928

Таблиця.2 Обчислення подвійного інтеграла (7) методом Монте- Карло.

x
0,577 0,737 0,170 0,432 0,059 0,355 0,303 0,640 0,002 0,870 0,116 0,930 0,529 0,996 0,313 0,653 0,058 0,882 0,521 0,071	0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500	1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000	1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0	0,716 0,701 0,533 0,263 0,663 0,094 0,552 0,205 0,557 0,323 0,930 0,428 0,095 0,700 0,270 0,934 0,003 0,986 0,918 0,139	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	0,154 0,474 0,280 0,740 0,860 0,058 0,992 0,306 0,764 0,042	0 0 1 1 1 0 1 0 0 0	0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0	0,452 0,855 1,048 1,482
Суми	4	3,837

7. Метод Л.А.Люстерника і В.А.Діткіна

Для обчислення подвійного інтеграла

застосовують наближені формули виду

(10)

де коефіцієнти і точки вибираються так, щоб формула (10) була точною для многочленів деякої достатньо високої степені при мінімальній кількості точок .

Якщо область G одиничний круг з центром в початку координат, то інтеграл обчислюється по кубатурній формулі Люстерника-Діткіна

(11)

де точки мають наступні полярні координати , (i=0,1,2,3,4,5) тобто точки є вершинами правильного шестикутника,який вписаний в коло радіусом

Якщо область G має вигляд правильного шестикутника вписаного в одиничний круг,то має місце наступна кубатурна формула Люстерника-Діткіна

 (12)

де точки мають полярні координати

, (і=0,1,2,3,4,5)

Якщо область G-квадрат то кубатурна формула має вигляд

(13)

Зауваження: Формули (11)-(13) можна застосовувати для областей виду

1) круг довільного радіуса;

2) правильний шестикутник, який вписаний в круг довільного радіуса;

3) еліпс;

4) прямокутник,якщо зробити відповідну заміну змінних

Приклад

Обчислити інтеграл

по області G, обмеженій колом



Розв'язок Перепишемо рівняння кола у вигляді

і зробимо замінну змінних

тоді

де одиничний круг

Для обчислення інтеграла І скористаємось формулою (1) і для зручності обчислень запишемо підінтегральну функцію в полярних координатах

,

де , . Таким чином одержимо

Точне значення інтеграла

Список використаної літератури

1. Цегелик Г.Г. «Чисельні методи» 2004р.

2. Крилов В.І. і др. «Вираховувані методи» 1976р.

3. Березин І.С. Жидков І.П. «Методи ви числення» М: наука 1966р.

4. Копченова Н.В. Марон І.А. «Вичислена математика в примерах і задачах» 1972р.

5. Демидович Б.Г. Марон І.А «Основи вичисленої математики» М: наука 1970р.

Размещено на Allbest.ru

...