Системы счисления
Определение понятия и виды систем счисления, их основные функции и принципы представления числа. Перевод чисел из одной системы счисления в другую, простейшие арифметические операции. Двоичная система счисления, её использование в вычислительной технике.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.01.2013 |
| Размер файла | 21,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Системы счисления
1. Общие понятия
Системой счисления называется совокупность приемов обозначения чисел - язык, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом - правило, позволяющее сформулировать запись чисел однозначно.
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа. Общий вид числа:
A = anan-1...a2a1a0
Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
В техническом аспекте длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки.
Диапазон представления D чисел в данной системе счисления - это интервал числовой оси, заключенной между минимальным и максимальным числами, представленными заданными разрядами.
Любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:
1)возможность представления числа в заданном диапазоне чисел;
2)однозначность представления;
3)краткость и простота записи чисел;
4)легкость овладения системой, а также простота и удобство оперирования ею.
Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.
|
Двоичная |
0,1 |
|
|
Десятичная |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 |
|
|
Шестнадцатиричная |
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F |
Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
Непозиционные - алфавит которых содержит неограниченное количество символов, причем количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от ее начертания. Позиция цифр в числе значения не имеет.
Непозиционные системы строятся по принципу аддитивности (англ.Add - сумма) - количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр.
Пример:
I = 1
II = 2
III = 3
XXXI = 31
Позиционными называются системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причем значение каждой цифры в числе определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе.
Пример:
111 = 1*102 + 1*101+1*100 = 100 + 10 + 1
Общий вид для положительных целых чисел:
Здесь X - число, xi - i-тый разряд числа, p - основание системы счисления.
В десятичной системе счисления каждая единица старшего разряда равна десяти единицам младшего разряда.
Пример:
273,210 = 2*102 + 7*101 + 3*100 + 2*10-1
Развернутая запись числа:
Xp = ¦ (x1pm-1 + x2pm-2 + ... + xm-1p1 + xm + p0 + xm+1p1 + ... + xnpm-n)
xi принимает значения 0, 1, 2, ... , p-1;
Двоичная система (p = 2) использует 2 цифры: 0 и 1. Если основание системы счисления больше 10 и общепринятых цифр не хватает, используют другие символы.
Пример:
185,210
В9,416 = 11*161 + 9*160 + 4*16-1
271,28 = 2*82 + 7*81 + 1*80
2321,14 = 2*43 + 3*42 + 2*41 + 1*40 + 1*4-1
10111001,012 = 1*27 + 1*25 + 1*24 + 1*23 + 1*20 + 1*2-2
Существует двоично-десятичная система. В такой системе каждая десятичная цифра кодируется определенной комбинацией цифр двоичной системы. Обозначение каждой десятичной цифры называется тетрадой.
Пример:
12510 = 0001 0010 01012-10 (3 тетрады)
|
0000 = 0 |
0100 = 4 |
1000 = 8 |
|
|
0001 = 1 |
0101 = 5 |
1001 = 9 |
|
|
0010 = 2 |
0110 = 6 |
||
|
0011 = 3 |
0111 = 7 |
В общем, система распределения весов разрядов - 8421.
2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Пусть Ap (A - число, p - основание системы) - число в системе счисления с основанием p, требуется перевести в систему счисления с основанием q. Перевод осуществляется следующим образом:путём последовательного деления числа Аp частных на q получаем в виде остатков от деления p-ичные записи q - ичных цифр, начиная с младших, необходимых для изображения числа Аq, первое полуученое значение частного < q определяет старшую цифру числа Аq, что фиксирует окончание перевода. Деление всегда должно производиться в исходной системе счисления.
Пример:
Требуется перевести число 13910 в 2-ную, 8-ную, 4-ную системы счисления.
Решение:
1) 139 69 34 17 8 4 2 1 0 - частное
1 1 0 1 0 0 0 1 - остаток
100010112 = 1*27+1*23+1*21+1*20 = 13910
2) 139/8 = 17, остаток 3
17/8 = 2, остаток 1
2/8 = 0, остаток 2
2138 = 2*82+1*81+3*80 = 128+8+3 = 13910
3) 139/4 = 34, остаток 3
34/4 = 8, остаток 2
8/4 = 2, остаток 0
2/4 = 0, остаток 2
20234 = 2*43+2*41+3*40 = 128+8+3 = 13910
3. Двоичная система счисления
число представление арифметический двоичный
Под двоичной системы исчисления понимают систему счисления, в которой для изображения чисел используется 2 символа - 0 и 1. Веса разрядов изменяются по закону: 2¦k, kОZ
В вычислительной технике используется двоичная система исчисления, так как элементы имеют 2 состояния, а их легче реализовывать, чем множество состояний. Например, триггер условно принимает 2 состояния + и -, 1 и 0, Да и Нет. Цифра двоичной системы - бит. Восемь цифр - байт.
Пример: сложение двух чисел
1001+1010 = 10011
910+1010 = 1910
0+0 = 0 0-0 = 0 0*0 = 0
1+0 = 1 1-0 = 1 1*0 = 0
0+1 = 1 0-1 = 1 0*1 = 0
1+1 = 1 1-1 = 0 1*1 = 1
Для увеличения или уменьшения двоичного числа на порядок применяются операция сдвига вправо или влево (SRR и SRL)
Пример: Операция SRL
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
преобразуется в
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Исследование истории систем счисления. Описание единичной и двоичной систем счисления, древнегреческой, славянской, римской и вавилонской поместной нумерации. Анализ двоичного кодирования в компьютере. Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
контрольная работа [892,8 K], добавлен 04.11.2013Понятие и математическое содержание систем счисления, их разновидности и сферы применения. Отличительные признаки и особенности позиционных и непозиционных, двоичных и десятичных систем счисления. Порядок перевода чисел из одной системы в другую.
презентация [419,8 K], добавлен 10.11.2010Математическая теория чисел. Понятие систем счисления. Применения двоичной системы счисления. Компьютерная техника и информационные технологии. Алфавитное неравномерное двоичное кодирование. Достоинства и недостатки двоичной системы счисления.
реферат [459,5 K], добавлен 25.12.2014Система счисления, применяемая в современной математике, используемые в ЭВМ. Запись чисел с помощью римских цифр. Перевод десятичных чисел в другие системы счисления. Перевод дробных и смешанных двоичных чисел. Арифметика в позиционных системах счисления.
реферат [75,2 K], добавлен 09.07.2009Понятие системы счисления. История развития систем счисления. Понятие натурального числа, порядковые отношения. Особенности десятичной системы счисления. Общие вопросы изучения нумерации целых неотрицательных чисел в начальном курсе математики.
курсовая работа [46,8 K], добавлен 29.04.2017История развития систем счисления. Непозиционная, позиционная и десятичная система счисления. Использование систем счисления в компьютерной технике и информационных технологиях. Двоичное кодирование информации в компьютере. Построение двоичных кодов.
курсовая работа [5,3 M], добавлен 21.06.2010Определения системы счисления, числа, цифры, алфавита. Типы систем счисления. Плюсы и минусы двоичных кодов. Перевод шестнадцатеричной системы в восьмеричную и разбитие ее на тетрады и триады. Решение задачи Баше методом троичной уравновешенной системы.
презентация [713,4 K], добавлен 20.06.2011Совокупность приемов и правил записи и чтения чисел. Определение понятий: система счисления, цифра, число, разряд. Классификация и определение основания систем счисления. Разница между числом и цифрой, позиционной и непозиционной системами счисления.
презентация [1,1 M], добавлен 15.04.2015Сущность двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления, их отличительные черты и взаимосвязь. Пример алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую. Составление таблицы истинности и логической схемы для заданных логических функций.
презентация [128,9 K], добавлен 12.01.2014Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника и наука вообще. История цифр. Числа и счисление. Способы запоминания чисел.
реферат [42,5 K], добавлен 13.04.2008Ознакомление с записью чисел в алфавитной системе счисления. Особенности установления числовых значений букв у славянских народов. Рассмотрение записи больших чисел в славянской системе счисления. Обозначение "тем", "легионов", "леордов" и "колод".
презентация [1,0 M], добавлен 30.09.2012Как люди научились считать, возникновение цифр, чисел и систем счисления. Таблица умножения на "пальцах": методика умножения для чисел 9 и 8. Примеры быстрого счета. Способы умножения двузначного числа на 11, 111, 1111 и т.д. и трехзначного числа на 999.
курсовая работа [66,8 K], добавлен 22.10.2011Перевод мер угла в градусной системе. Соотношения между градусной и часовой системами счисления. Перевод меры угла из классического вида в секунды, в десятичный и наоборот. Алгоритм (правила) и методы его перевода. Перевод мер угла в часовой системе.
контрольная работа [50,1 K], добавлен 13.05.2009Вавилонская система счисления, таблицы обратных чисел и математика для исследования движений планет. Египетский календарь и введение символа для обозначения нуля у майя. Греческая математика, Индия и арабы. Современная математика и математический анализ.
реферат [49,7 K], добавлен 27.04.2009История возникновения и развития арабских цифр, особенности их написания, удобство по сравнению с другими системами. Знакомство с цифрами разных народов: системой счисления Древнего Рима, китайскими, деванагари и их развитием от древности, до наших дней.
реферат [276,4 K], добавлен 22.01.2011Система, свойства и модели комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел. Корень четной степени из отрицательного числа. Матрицы второго порядка, действительные числа. Операции сложения и умножения матриц.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 15.06.2011Комплексные числа и комплексные равенства, их алгебраическая и тригонометрическая формы. Арифметические действия над комплексными числами. Целые функции (многочлены) и их свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел.
лекция [464,6 K], добавлен 12.06.2011Мнимые и действительные, равные и сопряжённые комплексные числа; модуль и аргумент. Арифметические действия над множеством комплексных чисел: сумма, разность, произведение, деление. Представление комплексных чисел на координатной комплексной плоскости.
презентация [60,3 K], добавлен 17.09.2013Свойства чисел натурального ряда. Периодическая зависимость от порядковых номеров чисел. Шестеричная периодизация чисел. Область отрицательных чисел. Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.
научная работа [20,2 K], добавлен 29.12.2006Определение операций сложения, вычитания и умножения для дуальных чисел. Определение модуля и сопряжённого числа. Деление на дуальное число. Определение делителя нуля. Запись дуального числа в форме, близкой к тригонометрической форме комплексного числа.
курсовая работа [507,8 K], добавлен 10.04.2011
