Элементы теории вероятности

Размещено на http://www.allbest.ru/

7

ЛЕКЦИЯ

на тему: «Элементы теории вероятности»



Случайные события и их классификация

Определение: Опытом или испытанием называется реализация определенных условий, которые можно повторить.

Примеры:

1. бросание монеты;

2. игральный кубик;

3. выстрел из ружья или пистолета;

4. вытаскивание карты из колоды;

Определение: Случайным событием называется любой возможный исход опыта.

Обозначение: А, В, С…

Примеры:

1. бросание монеты:

А - герб;

В - решка;

2. игральный кубик:

А1 - значение 1;

А2 - значение 2; …

А6 - значение 6;

3. выстрел из ружья или пистолета:

А - попадание;

В - промах;

4. вытаскивание карты из колоды:

А - туз;

В - бубновая дама;

С - бубновая масть.

Определение: Событие называют достоверным, если оно обязательно произойдёт при данном испытании.

Примеры:

1. бросание монеты:

М - герб или решка; - достоверное событие.

2. игральный кубик:

Д - выпадение числа очков не более 6 -достоварное событие

Определение: Событие называют невозможным, если оно никогда не произойдёт при данном испытании.

Примеры:

3. бросание монеты:

Е - монета повисла в воздухе - невозможное событие.

4. игральный кубик:

К - выпадение числа очков более 6 -невозможное событие

Определение: События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одно испытание. В противном случае они называются совместными.

Примеры:

1. бросание монеты; А и В - несовместные

2. игральный кубик; А1, А2, А6 -несовместные

3. выстрел из ружья или пистолета; А и В - совместные

4. вытаскивание карты из колоды; (А,В - несовместная; В,С - совместная;

А,С - совместная)

Определение: События называются единственно-возможными, если какое-либо из них обязательно произойдет в результате испытания.

Примеры:

1. бросание монеты; А и В - единственно-возможные;

2. игральный кубик; А1, А2, А6 - не единственно-возможные

3. выстрел из ружья или пистолета; А и В - единственно-возможные

4. вытаскивание карты из колоды; А,В,С-не единственно-возможные

Определение: Если события несовместные и единственно-возможные, то они называются полной группой событий.

Примеры:

1. бросание монеты; полная группа

2. игральный кубик; неполная группа

3. выстрел из ружья или пистолета; полная группа

4. вытаскивание карты из колоды; неполная группа

Определение: События считаются равновозможными, если нет никаких оснований предполагать, что какое-либо из них может происходить чаще, чем другое.

Примеры:

1. бросание монеты; равновозможные

2. игральный кубик; равновозможные

3. выстрел из ружья или пистолета; не равновозможные

4. вытаскивание карты из колоды; не равновозможные

Определение: Если события образуют полную группу и являются равновозможными элементарными событиями, то они составляют классическую схему исходов или пространство элементарных событий.

Примеры:

1. бросание монеты; классическая схема

2. игральный кубик; классическая схема

3. выстрел из ружья или пистолета; нет классической схемы

4. вытаскивание карты из колоды; нет классической схемы

Определение: Если два события составляют полную группу, то они называются противоположными.

Обозначение: А и В (всегда, когда не произойдёт А, обязательно произойдёт)

Примеры:

1. бросание монеты; А и В - противоположные события

2. игральный кубик; А1 и А6 -не являются противоположными

3. выстрел из ружья или пистолета; А и В -противоположные события

4. вытаскивание карты из колоды; В и С не являются противоположными

Вероятность события. Понятие о вероятности

Определение: Вероятностью события считается объективная численная мера возможности наступления этого события.

Обозначение: Р(А); р;

Считают, что вероятность достоверного события равна 1, а вероятность невозможного события равна 0. Тогда вероятность любого события заключается в пределах от 0 до 1.

(1)

Замечание: Иногда вероятность выражается в процентах. В таком случае полученный результат умножается на 100 (%).

Классическое определение вероятности: Пусть имеется классическая схема, состоящая из n исходов, и пусть m из них благоприятствует событию А. Тогда классическая вероятность события А определяется формулой:

вероятность событие случайная величина

(2)

m - количество благоприятных событию А исходов;

n - всего количество исходов;

Формула 2 удовлетворяет всем требованиям, применяемым к вероятности.

Пример:

1)бросается игральный кубик

А -выпала четная грань

n - 6; m - 3;

2) игральный кубик

А - единица

n - 6; m - 1;

3) колода карт

А₁ - туз

n - 36; m - 4

А₂ - бубновая дама

n - 36; m - 1

A₃ - бубновая карта

n - 36; m - 9

Статистическая вероятность (частость, доля): Пусть производится n опытов, в которых событие А произошло m раз (имело m успехов). Тогда статистической вероятностью, или долей называется отношение

(3)

Пример:

Бросание монеты.

статистическая вероятность:

n - 10; m - 8

классическая вероятность:

n - 2; m - 1

Замечание:

1. Статистическая вероятность может быть найдена только после проведения опытов, а для классической вероятности опыты не нужны.

2. Статистическая вероятность получается различной для разных серий опытов, однако при достаточно большом количестве опытов практически достоверно, что статистическая вероятность будет сколь угодно мало отличатся от классической вероятности (устойчивость статистической вероятности).

Операции над случайными событиями. Вероятности суммы и произведения событий

Суммой события А+В называется такое третье событие С, которое заключается в том, что хотя бы одно из событий-слагаемых произойдет, т.е. либо А, либо В, либо оба вместе.

Произведением двух событий А и В называется такое третье событие D, которое заключается в том, что оба события-сомножителя произошли, т.е.

Замечание: Если события не совместны, то их произведение является невозможным событием.

Теорема сложения вероятностей.

(4)

для совместных событий.

(5)

для несовместных событий.

Доказательство для несовместных событий.

Пусть имеется n возможных классических исходов.

Пусть m из них благоприятствуют событию А и пусть k других (других, т.к. события несовместные и у них нет благоприятствующих исходов) исходов благоприятствуют событию В.

Тогда событию А+В благоприятствуют m+k исходов, т.е.

,

что и требовалось доказать.

Следствие № 1: Теорема о сложении (формула 5) распространяется на любое конечное число несовместных событий (может быть 3, 4, 5…слагаемых).

Следствие № 2: Если события А₁, А₂, А₃, …образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1.

(6)

полная группа

Доказательство:

Если события образуют полную группу, то их сумма является достоверным событием, вероятность которого равна 1, т.е.

Следствие № 3: Для противоположных событий справедливо равенство:

(7)

Пример:

В пруду плавает 100 рыб. Из них 20 щук и 10 лещей. Случайным образом ловят одну рыбу.

А) Какова вероятность того что это щука или лещ.

Б) Какова вероятность что это рыба другого сорта

Решение:

А - щука; В - лещ.

А)

Б)

Зависимые и независимые события. Умножение вероятностей

Пример:

В ящике имеется 10 электрических лампочек из которых 3 неисправны. Наудачу одну за другой вынимают 2 лампочки. Какова вероятность того, что вторая лампочка исправна, если:

А) первая была исправна.

Б) первая была неисправна.

Т.к одну уже вытащили, то остается 9, т.е n - 9.

А)

Б)

Понятие об условной вероятности

Под условной вероятностью мы понимаем вероятность одного события, вычисленное при условии, что другое событие произошло.

Определение: Условной вероятностью называется число, определяемое формулой:

(8) ,

(иногда условная вероятность обозначается P(A/B)

гдеP (AB) - вероятность совместного исполнения события;

P (B) - вероятность того события, которое уже произошло;

Определение: События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или нет второе, в противном случае они называются зависимыми.

Замечание: Для независимых событий условная вероятность совпадает с обычной вероятностью.

(9)

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т.е.

(10)

для двух зависимых событий;

Для нескольких попарно зависимых событий А₁,А₂,…А_n:

(11)

Для независимых событий теорема умножения вероятностей согласно (9) представлена формулой

(12).

Пример:

В ящике имеется 10 электрических лампочек из которых 3 неисправны. На удачу одну за другой вынимают 2 лампочки.

А) какова вероятность, что обе исправны.

Б) какова вероятность, что обе неисправны.

В) какова вероятность, что одна из двух исправна.

Г) какова вероятность, что хотя бы одна исправна.

Решение: Обозначим события М-1^я-исправна; К-2^я-исправна

События М и К зависимые (т.е. вероятность события К меняется от того, произошло событие М или нет)

А)

Б)

В) "первая хорошая, вторая плохая или первая плохая, вторая хорошая"

Г) "хотя бы одна исправна, т.е. одна или больше ( ? 1), первая исправна или вторая исправна

Замечание: Если вопрос задачи звучит как "хотя бы", то часто удобнее перейти к противоположному событию, т.е. "хотя бы одна исправная = 1 - Р (обе неисправны)"

Пример:

Бросаем 2 монеты. Событие А - 2 герба, событие В - 2 решки, событие С - 1 герб и 1 решка. Являются ли равновозможными события? Результаты для каждой из монет независимы.

Решение:

А)

Б)

В) "герб и решка или решка и герб"

Формула полной вероятности и формула Байеса.

Пример:

Однотипная продукция выпускается 3-мя цехами, производительности которых относятся как 1:3:2. Вероятность брака в каждом цехе составляет соответственно 1, 2 и 3%. Все изделия хранятся на одном складе. Наудачу одно изделие выбирается на складе. Какова вероятность, что оно браковано.

Решение:

I - A₁ составляют полную группу

II - A₂

III - A₃

E - бракованное изделие

Пусть событие Е может произойти с любым из событий A₁, A₂, и т.д., образующих полную группу. Тогда полная вероятность события Е определяется формулой:

(12)

Пусть в условиях предыдущего примера известно, что наудачу взятое изделие оказалось бракованным.

А) какова вероятность, что оно было сделано в первом цеху.

Б) если известно, что изделие браковано, в каком цеху вероятнее всего было сделано.

Ответ на поставленный вопрос (переоценка гипотез при дополнении информации) дают формулы Байеса.

(13)

Доказательство:

Выражая неизвестную величину через известные, получаем формулу 13, что и требовалось доказать.

С помощью формулы 13 отвечаем на вопрос задачи.

Значит, вероятнее всего бракованное изделие будет сделано в первом или втором цеху.



Решение задач с помощью числа сочетаний

Определение сочетания: Пусть имеется N элементов. Составляем из них комбинации, содержащие M элементов. Если порядок элементов внутри комбинации не играет роли, то такие комбинации называются сочетаниями. Число таких сочетаний определяется формулой:

Пример:

N=10; M=3

Пример:

В студенческой группе 20 человек. Среди них 7 юношей и 13 девушек. Случайным образом отбирают 3-х человек для дежурства. Какова вероятность того, что:

А) все три юноши.

Б) все три девушки.

В) две девушки и один юноша.Г) хотя бы 1 юноша.

А)

Б)

В)

Г) "хотя бы один юноша"

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Пусть событие А может произойти в любом из n испытаний с постоянной вероятностью р, не зависящей от исходов других испытаний. Такие испытания называются повторными независимыми, или схемой Бернулли. Если событие А произошло m раз, то говорят, что произошло m успехов в n испытаниях.

Если р - вероятность успеха, то q = 1 - р - вероятность неуспеха.

Формула Бернулли.

Вероятность того, что событие А произойдет m раз в n повторных испытаниях (m успехов в n испытаниях) определяется формулой:

(14)

Пример:

Пусть стрелок делает 3 выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Найти вероятность тому, что он попал 2 раза при трех выстрелах.

Решение:

n = 3; m = 2; p - постоянная; q = 1 - p;



Пример:

Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение рабочего дня равна 0,2. всего рабочий обслуживает 4 станка. Найти вероятность того, что хотя бы один из них потребует внимания рабочего.

Решение:

n = 4; m ? 1; p - 0,2; q = 0,8;

Асимптотические формулы.

При большом количестве испытаний n формула Бернулли не удобна для вычислений, поэтому применяется приближенные формулы, результаты которых тем точнее, чем больше n.

Формула Пуассона (для редких событий).

Пусть событие А может произойти в любом из n повторных независимых испытаний с постоянной вероятностью р, отличной от 0 и 1. Пусть количество испытаний n достаточно велико, а вероятность р мала, т.е. выполняются условия Пуассона:

тогда справедлива формула Пуассона:

(15)

Замечания:

1. Функция, стоящая в правой части формулы 2 называется функцией Пуассона. Значение этой функции определяется по двум параметрам л и m.

2. Формула 2 является приближенной, а формула 1 точной.

Пример:

Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,995. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей будет более 3-х браков.

Решение:

n = 1000 ? 100 ; m > 3; p = 0,005; q = 0,995;

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Пусть событие А может произойти в любом из n повторных независимых испытаний с постоянной вероятностью р отличной от 0 и 1. пусть событие А не редкое, а количество испытаний достаточно велико, т.е. выполняются условия Муавра-Лапласа:

(1)тогда справедлива локальная формула Муавра-Лапласа:

(2) ;; локальная функция Муавра-Лапласа

Свойства локальной функции Муавра-Лапласа.

Пример:

Вероятность того, что посеянное семя взойдет равна 0,85. найти вероятность того, что ровно 213 из 250 семян взойдет.

Решение:

n = 250 > 100; m = 213; p = 0,85; q = 0,15;



Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пусть событие А может произойти в любом из M повторных независимых испытаниях с постоянной вероятностью р отличной от 0 и 1. Пусть количество испытаний велико, а события не редкие, т.е выполняются условия Муавра-Лапласа. Тогда вероятность того, что количество успехов заключено в некотором интервале определяется интегральной функцией Муавра-Лапласа.

(16)

- интегральная функция Муавра-Лапласа

Свойства интегральной функции Муавра-Лапласа:

Пример:

Вероятность того, что деталь не пройдет контроль равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 деталей число не прошедших контроль заключено в пределах от 70 до 100.

Применим формулу 3 и подставим полученные данные.

Следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа:

Для симметричного интервала для числа успехов:

Пример:

В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что число деталей не прошедших контроль заключено в пределах от 70 до 90.

Применяя формулу 4 получаем:

Для доли или частости успехов.

Если доля или частость успехов заключена в интервале, симметричном относительно р, то справедлива формула:

Задача № 1.

Вероятность того, что стрелок попадет в цель равна 0,7. Произведено 400 выстрелов. Найти вероятность того, что доля попаданий отклоняется от вероятности равной 0,7 не более чем на 0,04.

Ответ: С вероятностью 0,9281 можно утверждать, что доля попаданий отклоняется от вероятности равной 0,7 не более чем на 0,04.

Задача № 2.

В условиях предыдущей задачи определить, какой интервал для частости попаданий можно гарантировать с вероятностью 0,9281.

По таблице наоборот.

(19);

Ответ: Можно гарантировать интервал (0,66; 0,74) для доли попаданий с вероятностью 0,9281.

Задача № 3.

В условиях предыдущей задачи определить, сколько нужно произвести выстрелов, чтобы для доли попаданий гарантировать интервал (0,66; 0,74) с вероятностью 0,9281.

Ответ: Необходимо произвести 400 выстрелов, чтобы для доли попаданий гарантировать интервал (0,66; 0,74) с вероятностью 0,9281.

Случайная величина

Определение 1: Случайная величина это числовая величина, которая может принимать некоторые значения в зависимости от исхода опыта, с определённой вероятностью.

Определение 2: Случайная величина это числовая функция, аргументом которой является множество случайных событий, т.е. каждому случайному событию ставится в соответствие некоторое число, которое является значением случайной величины.

X, Y - случайные величины.

x, y - их значения.

Определение: Вероятностью того или иного значения случайной величины называют вероятность соответствующего события.

Пример:

бросание игральной кости

Х - число выпавших очков - случайная величина

Определение: Случайная величина называется дискретной если ее значения являются дискретными. В противном случае, т.е. если значения случайной величины занимают некоторый числовой промежуток, то случайная величина не является дискретной.

Пример:

Х - число очков на кубике - дискретная случайная величина.

Y - уровень воды в реке занимает некоторый промежуток от 6 до 10 метров, не является дискретной случайной величиной.

Закон распределения случайной величины.

Закон распределения случайной величины - закон, связывающий ее значение с соответствующей вероятностью.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан таблицей, в которой расположены ее значения в порядке возрастания с соответствующими вероятностями.

Замечание:

Так как все значения дискретной случайной величины составляют полную группу, то для любого ряда распределения сумма вероятностей равна 1.

Пример №1:

Стрелок два раза стреляет по мишени. Вероятность попадания равна 0,8. составить закон распределения дискретной случайной величины Х - числа попаданий при двух выстрелах.

	0	1	2

Пример №2:

Стрелок имеет три патрона и стреляет до первого попадания или до израсходования все патронов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. составить закон распределения случайной величины Х - числа произведенных выстрелов.

	1	2	3
	Попал	Не попал и попал	Не попал и не попал и попал или не попал и не попал и не попал
	0,6

Операции над случайными величинами.

Пусть даны две случайные независимые величины Х и Y. Две случайные величины являются независимыми, если независимыми являются события, составляющие любой порядок их событий.

1. умножение на число - значения случайных величин умножаются на это число, а их вероятности не изменяются;

2. возведение в натуральную степень (квадрат, куб и т.д) - значения возводятся в степень, а вероятности не изменяются;

3. сложение, вычитание, умножение независимых случайных величин - значения попарно складываются, а соответствующие вероятности перемножаются;

Пример:

Даны две независимые случайные величины Х и Y. Составить закон распределения случайной величины Z = 2X + Y.

Числовые характеристики случайной величины.

Математическое ожидание.

Обозначение:

Пояснение: математическое ожидание характеризует среднее, наиболее ожидаемое значение случайной величины.

Определение: Математическим ожиданием называется сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности, т.е.:

(1)

Пример № 1: (см. выше)

Вычислите математическое ожидание.

Свойства математического ожидания.

если X и Y - независимые случайные величины >

Дисперсия.

Пояснение: дисперсия характеризует средний разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Определение: Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания, т.е.:

(2)

Пример:

	0	1	2
	0,04	0,32	0,64

Свойства дисперсии.

если X и Y - независимые случайные величины >

формула для вычисления дисперсии:

(3)

Доказательство:

Пример № 1:

Вычислить дисперсию по формуле (3).

	0	1	4
	0	1	2
	0,04	0,32	0,64

Среднее квадратическое отклонение.

Пояснение: характеризует средний разброс в тех же единицах, что и сама случайная величина.

Обозначение:

(4)

Пример № 1:

Числовые характеристики суммы и среднего арифметического случайных величин

Пусть заданы n независимых случайных величин X₁, Х₂, …, Х_n имеющих математические ожидания a₁, a₂, …, a_n и дисперсии у², у²,…, у². рассмотрим

случайную величину Y, равную их сумме (Y = X₁ + Х₂ + …+ Х_n) и случайную величину Z, равную их среднему арифметическому

тогда математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий

(1)

дисперсия суммы равна

(2)

математическое ожидание среднего арифметического равно

(3)



дисперсия среднего арифметического равна

(4)

Частные случаи: если a₁ = a₂ = …= a_n , т.е все математические ожидания одинаковы, то

(1а)

(3а)

Замечания:

Формулы 1-4 следуют из свойств математического ожидания и дисперсии.

из формулы 4 следует, что дисперсия среднего арифметического случайных величин в n раз меньше, чем дисперсия каждого из слагаемых, поэтому для уменьшения ошибки рекомендуется использовать среднее арифметическое.

Важные примеры дискретных случайных величин.

Биноминальная случайная величина (закон Бернулли).

Случайная величина Х называется биноминальной или распределенной по закону Бернулли, если ее закон распределения имеет следующий вид:

	0	1	2	…		…



где

т.е Х - число успехов m в n повторных независимых

испытаниях, а вероятности вычисляются по формуле Бернулли.

Пример № 1 - пример биноминальной случайной величины.

	0	1	2
	0,04	0,32	0,64

Числовые характеристики биноминальной случайной величины

Можно доказать, что:

(5)

(6)

(7)

Пример № 1 по формулам 5, 6, 7 вычислить числовые характеристики случайной величины.

Распределение Пуассона.

Случайная величина Х называется распределенной по закону Пуассона, если ее закон распределения имеет вид:

	0	1	2	…		…

где вероятность того, что X примет значение m вычисляется по формуле

(8)

(9)

Пример:

Известно, что для случайной величины Х вероятность того, что Х принимает значение К равна:

Определить по какому закону распределена эта случайная величина, найти ее математическое

ожидание, дисперсию и вероятность того, что она принимает значение равное 3.

распределение Пуассона;

Математическое ожидание = 2; Дисперсия = 2;

Частность или доля успехов в n повторных независимых испытаниях

Используя формулы 5 и 6 и свойства математического ожидания и дисперсии, получаем:

(10)

(11)

Функция распределения случайной величины

Закон распределения случайной величины может быть задан в виде функции распределения, которая тоже связывает значение случайной величины и соответствующую вероятность.

Определение: Функцией распределения называется числовая функция числового аргумента F(x) равная вероятности того, что случайная величина примет значение меньше этого аргумента, т.е.:

(12)

Общие свойства функции распределения.

F(x) - неубывающая;

- т.к это вероятность;

Пример:

Найти функцию распределения и построить график для примера 1.

	0	1	2
	0,04	0,32	0,64

Особенности функции распределения для дискретной случайной величины

График имеет ступенчатый вид.

Самая нижняя ступень равна 0, самая верхняя равна 1.

Скачки ступеней происходят в точках, соответствующих значениям случайной величины.

Скачок ступени происходит на величину p₁, p₂, …

Пример:

	1	2	3
	0,3	0,2	0,5



Непрерывная случайная величина

Определение: Случайная величина Х называется непрерывной, если она может принимать все значения из некоторого числового промежутка.

Для непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна на ( .

Определение: Пусть задана непрерывная случайная величина Х. Пусть ее функция распределения F(x) дифференцируема. Плотностью вероятности ц(х) называется первая производная от функции распределения.

(1)

Свойства плотности вероятности.

- производная неубывающей функции;

Площадь фигуры под графиком плотности вероятности равна 1.

Доказательство:



Геометрически это площадь левее в

Геометрически это площадь правее б

Геометрически это площадь между б и в

Следствие из свойства 7:

Для любой непрерывной случайной величины

вероятность принять любое конкретное значение равна 0, т.е. если Х - непрерывно, то:

Доказательство:

Вывод: Для непрерывной случайной величины безразлично включать ли концы интервалов в неравенство или нет.

Пример 1н.:

Плотность распределения задана формулой:



Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание.

(2), если такой интеграл сходится.

Дисперсия.

(3) , если такой интеграл сходится.

Среднее квадратическое отклонение.

(4)

Замечание: свойства числовых характеристик сохраняются.

Пример 1н.:

Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Пример:

Функция распределения имеет вид:



1)

2)

3)

Важный пример непрерывной случайной величины

Нормально-распределенная случайная величина (закон Гаусса).

Определение: Случайная величина называется нормально-распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид:

(5)

Замечание: нормальный закон распределения зависит от двух параметров: a, у (у²) (N(a;у)).

Можно доказать, что математическое ожидание Х_N равно a.

(6)

Пример:

Написать плотность вероятности

Функция распределения непрерывной случайной величины является первообразной от плотности и имеет вид:

(7),

где Ц(t) - интегральная функция Муавра-Лапласа.

Замечание: т.к. Ц(t) - затабулирована, то для нормального закона распределения, можно вычислить любые вероятности. Графиком плотности вероятности нормального закона распределения является кривая Гаусса.



Замечания:

график симметричен относительно прямой х = а (математическое ожидание);

чем больше дисперсия у², тем ниже max и тем шире пик кривой, т.е. ее разброс, относительно среднего значения.

Вычисление вероятности для нормального закона распределения

(рис. 1)

(8)

(рис. 2)



(9)

(рис. 3)

(10)

(рис. 4) симметричный интервал

(*)

Правило трех сигм.

Возьмем интервал, где ? = 3у и подставим формулу * >

Практический вывод: Значение нормальной случайной величины, которое отличается от математического ожидания более чем на 3у, практически не встречаются.

Задача:

Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону.

Понятие о теореме Ляпунова

Пусть имеется n независимых случайных величин, каждая из которых имеют математическое ожидание и дисперсию. Пусть, кроме того, выполняется условие Ляпунова, которое заключается в том, что каждая из этих случайных величин вносит примерно одинаковый вклад в их сумму, тогда сумма и среднее арифметическое этих случайных величин имеют нормальный или почти нормальный закон распределения.

Закон больших чисел

Принцип практической уверенности.

Пусть событие А может произойти в одном испытании, вероятность которого P_б достаточно мала.

Будем считать, что такое событие практически не возможно при однократном опыте. А противоположное событие В, вероятность которого равна 1-б близка к 1 будем считать практически достоверным.

Вероятность б, которой решено пренебречь называется уровнем значимости. Уровень значимости устанавливается конкретно для каждого типа задач. Для экономических задач обычно полагают б = 0,5. если задача связана с риском для жизни или с высокой ответственностью, то б резко уменьшают.

Вывод: Практически достоверным мы называем событие, вероятность которого близка к единице.

Смысл закона больших чисел.

Закон больших чисел, это ряд утверждений, в которых говорится, что при достаточно большом числе испытаний n практически достоверными являются следующие события:

Среднеарифметическое случайных величин сколь угодно мало отличается от среднеарифметического их математических ожиданий (устойчивость среднеарифметического);

Частость наступления событий сколь угодно мало отличается от вероятности наступления этого события (устойчивость частости);

Количественное выражение закона больших чисел

Лемма Чебышева или неравенство Маркова.

Пусть случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание. Тогда для любого положительного числа А справедливо неравенство:

(1)

(2) ,

где и имеет математическое ожидание

Пример:

Пусть случайная величина Х - уровень воды в реке. Среднегодовой уровень равен 8 метров. Оценить вероятность того, что уровень воды не превзойдет 10 метров.

Ответ: С вероятность не меньше, чем 0,2 можно утверждать, что уровень воды не превзойдет 10 метров.

Неравенство Чебышева для симметричного интервала

Пусть случайная величина Х имеет математическое ожидание и дисперсию (М(х) и D(х)). Рассмотрим интервал, симметричный относительно математического ожидания.

Тогда справедливо следующее неравенство:

(3)

(4) ,

(самое распространенное)

Доказательство неравенства 4.



применим к неотрицательной случайной величине y неравенство Маркова (формула 2) >

Пример:

Пусть случайная величина Х - число попаданий при 100 выстрелах. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Можно ли применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что число попаданий заключено в границах от 72 до 90? Как рекомендуется изменить правую границу? После применения неравенства Чебышева уточнить результат с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Используя формулу 4 >

Ответ: С вероятностью не менее, чем 0,75 можно утверждать, что число попаданий заключено в интервале от 72 до 88.

Уточним результат с помощью 1-го следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа для числа успехов в симметричном интервале:

Вывод: полученный результат не противоречит, а уточняет предыдущую оценку.

Неравенство Чебышева для среднего арифметического случайных величин

Пусть даны независимые случайные величины X₁, Х₂, …, Х_n имеющих математические ожидания a₁, a₂, …, a_n и дисперсии, каждая из которых ограничена числом С , тогда справедливо неравенство:

(5)

Пояснение к доказательству: неравенство 4 применяется к среднему арифметическому случайных величин. Тогда

Пример:

Имеется 100 участков, засеянных пшеницей. Рассмотрим случайные величины X₁, Х₂, …, Х₁₀₀ - урожайность с каждого участка. Средняя урожайность на каждом участке составляет 40 центнеров с гектара. А средние квадратические отклонения этих случайных величин не превосходят 2-х центнеров. Оценить вероятность того, что средняя урожайность со всех участков отличается от средней на каждом участке не более чем на 3 единицы.

Дано:

X₁, Х₂, …, Х₁₀₀ - случайные величины.

a₁ = a₂ = …, a_n = 40

Ответ: С вероятностью не менее чем 0,99, можно утверждать, что средняя урожайность со всех участков отличается от средней на каждом участке не более чем на 3 единицы.

Теорема Чебышева об устойчивости среднего арифметического

перейдем к переделу в обеих частях неравенства при

Правая часть формулы 4 стремится к 1, а левая не может быть больше 1, т.к. является вероятностью. Тогда в переделе получаем равенство:

(6)

,



т.е. говорят, что среднее арифметическое случайной величины сходится по вероятности среднего арифметического их математических ожиданий.

Теорема Чебышева

При достаточно большом n практически достоверно, что среднее арифметическое случайной величины сколь угодно мало отличается от среднего арифметического их математических ожиданий (устойчивость среднего арифметического).

Неравенство Чебышева для доли или частности (неравенство Бернулли)

Применим неравенство 4 для случайной величины >

Замечание:

По неравенству 7 можно оценить либо вероятность P, либо отклонение е, либо число испытаний n (см. аналогичные задачи 2-е следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа).

Пример:

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,3. произведено 100 выстрелов. Оценить вероятность того, что процент попадания будет заключен в пределах от 25% до 35%. Уточнить результат с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Дано:

Используя формулу 7 >

Ответ:

С вероятностью не менее, чем 0,16 можно утверждать, что процент попадания будет заключен в пределах от 25% до 35%.

Вывод: полученный результат не противоречит, а уточняет предыдущую оценку.

Пример:

В условиях предыдущей задачи оценить количество выстрелов, чтобы с вероятностью не меньше чем 0,8 можно было гарантировать отклонение е = 0,05.

Дано:

Ответ: Нужно произвести не менее 420 выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,8 гарантировать отклонение е = 0,05.

Теорема Бернулли.

В неравенстве перейдем к переделу при получаем:

(8)

, т.е. говорят, что частность сходится по вероятности к вероятности p этого события.

Теорема Бернулли.

При достаточно большом числе испытаний n практически достоверно, что частность сколь угодно мало отличается от вероятности наступления события (устойчивость частности).

Математическая статистика

Вариационный ряд.

Пусть изучается признак Х, который может принимать значение х. Например:

Х₁ - размер обуви;

х₁ - 35; 36;

Х₂ - рост;

х₂ Є (140;210)

Пусть исследуется n объектов, которые являются носителями признака Х. Результаты изучения признака можно занести в таблицу, которая называется вариационным рядом. Вариационный ряд - таблица, в которой значения признака расположены в порядке возрастания, и которая содержит соответствующие частоты. Если значение признака х_i встречаются n_i раз, то число n_i называется частотой данной варианты.

Таблица 1.

		…
		…

Можно также рассматривать частости для каждой варианты.

Замечание: частости являются аналогом вероятности.

Если значения признака не дискретны, т.е. заполняют некоторый интервал, то этот интервал разбивают на несколько возрастающих интервалов и получают так называемый интервальный вариационный ряд.

Таблица 2.

		…

Любой интервальный ряд можно превратить в дискретный, используя вместо х_i середины интервалов.

Числовые характеристики дискретного числового ряда.

Среднее значение (аналог математического ожидания).

(1)

Дисперсия вариационного ряда (аналог дисперсии случайной величины).

(2)

Среднее квадратическое отклонение вариационного ряда (аналог среднего квадратического отклонения случайной величины).

(3)

Свойства числовых характеристик вариационного ряда аналогичны свойствам характеристик случайных величин.

Пример:

Х - рост.

150-160	155	2
160-170	165	2
170-180	175	6

Выборочный метод

Определение: Пусть требуется изучить признак Х. Все элементы подлежащие изучению называются генеральной совокупностью.

Обозначение: N - количество элементов генеральной совокупности (объем генеральной совокупности).

На всей генеральной совокупности признак Х имеет следующий вариационный ряд.

Таблица 1.

		…
		…

Вариационный ряд для всей генеральной совокупности называется генеральным вариационным рядом.

Характеристики генерального вариационного ряда называются генеральными характеристиками.

Генеральное среднее:

(1)

Генеральная дисперсия:

(2)

Генеральное среднее квадратическое отклонение:

(3)

Генеральная доля или вероятность признака:

(4)

Как правило, распределение признака Х во всей генеральной совокупности неизвестно, т.е. неизвестен генеральный вариационный ряд, неизвестны все генеральные характеристики (формула 1-4).

Неизвестные параметры генеральной совокупности можно оценить с помощью результатов случайной выборки. Обследование всей генеральной совокупности бывает либо слишком дорого, либо практически невозможно (разрушаются элементы генеральной совокупности).

Определение: Часть элементов генеральной совокупности отобранных случайно называются случайной выборкой.

Количество элементов в выборке называется объемом выборки.

Выборка должна обладать свойством репрезентативности, т.е. она должна представлять всю генеральную совокупность. Для этого выборка должна отвечать следующим требованиям:

Выборка должна быть достаточно большой, чтобы проявились массовые закономерности.

Выборка должна быть случайной, чтобы каждый элемент генеральной совокупности мог иметь одинаковый с другими шанс попасть в выборку.

Существуют различные способы образования выборки (см. учебник).

Математическая статистика рассматривает собственно случайную выборку с повторным и бесповторным отбором членов. При повторном отборе элемент после обследования возвращается в генеральную совокупность, при бесповторном не возвращается. Бесповторная выборка более информативна, т.к. один и тот же элемент не может попасть в выборку дважды.

Пусть образована выборка объема n. В результате изучения признака Х на этой выборке получаем вариационный ряд, который называется выборочным вариационным рядом.



Таблица 2.

		…
		…

Все характеристики выборочного вариационного ряда называются выборочными характеристиками:

Выборочное среднее:

(5)

Выборочная дисперсия:

(6)

Выборочная средняя квадратическая ошибка:

(7)

Выборочная доля или частность:

(8)

Все характеристики выборочного вариационного ряда являются случайными величинами, т.к. отобраны случайным образом.

Точечные оценки.

Характеристики генеральной совокупности называются неизвестными параметрами.

Обозначение: и (тэта).

Определение: Оценкой неизвестного параметра и называется случайная величина Х, с помощью которой делаются выводы о неизвестном значении данного параметра.

Для практических целей вместо неизвестного параметра берут приближенно значение его оценки и ? Х.

Для оценки неизвестных параметров 1, 2, 3, 4 генеральной совокупности, как правило, берут оценки 5, 6, 7, 8 соответственно, т.е.:

Параметр	Оценка

Теоремы об оценках

Теорема 1: Для повторной и бесповторной выборок при достаточно большом объеме выборки n выборочное среднее является случайной величиной распределенной по нормальному закону со следующими характеристиками (для средних):

(9)



- повторная выборка

- бесповторная выборка

Теорема 2: Для повторной и бесповторной выборок при достаточно большом объеме выборки n выборочная доля является случайной величиной, распределенной по нормальному или почти нормальному закону со следующими характеристиками:

(11)

- повторная выборка

(12)

- бесповторная выборка

Требования к оценкам.

Пусть случайная величина Х является оценкой неизвестного параметра и:

Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание оценки совпадает с оцениваемыми параметрами, т.е.:

(13)

Оценка называется состоятельной, если при достаточно большом объеме выборки n практически достоверно, что оценка сколь угодно мало отличается от оцениваемого параметра.



Состоятельная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию на всех выборках данного объема n.

Теорема 3 (для средней): Выборочная средняя является несмещенной состоятельной оценкой для генеральной средней:

Теорема 4 (для доли): Выборочная доля является несмещенной состоятельной оценкой для генеральной доли:

Теорема 5 (для дисперсии): Выборочная дисперсия является смещенной состоятельной оценкой для генеральной дисперсии:

Несмещенной состоятельной оценкой для генеральной дисперсии является та называемая "исправленная" выборочная дисперсия:

(14)

Замечание: при достаточно большом объеме выборки n множитель , поэтому , поэтому для практических целей можно применять любую из этих двух величин.

Средние квадратические ошибки

Определение: Среднеквадратической ошибкой для выборочной средней называется среднеквадратическое отклонение выборочной средней.

Обозначение:

(15)

Определение: Среднеквадратической ошибкой для выборочной доли называется среднеквадратическое отклонение выборочной доли.



(16)

В теоремах 1 (для средней) и 2 (для доли) имеются формулы для соответствующих дисперсий (10, 12). Однако каждая из этих формул содержит неизвестные генеральные параметры:

- в формуле 10 неизвестна генеральная дисперсия ;

- в формуле 12 неизвестна генеральная доля р;

поэтому формулы 10 и 12 практически не применяются.

Для того чтобы можно было применять эти формулы на практике, заменяем неизвестные параметры их выборочными оценками:

;

Тогда получим расчетные формулы для средних квадратических ошибок.

Табл. 3 Среднеквадратические ошибки.

	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Средняя
Доля

Замечания:

т.к. , то средние квадратические ошибки для бесповторной выборки меньше, чем для повторной (если ошибки меньше, то они лучше, т.е. бесповторная выборка лучше, чем повторная);

если объем генеральной совокупности N очень велик, то . В этом случае результаты повторной и бесповторной выборок практически совпадают;

Доверительная вероятность

Интервальное оценивание.

Заменяя неизвестный параметр и его оценкой Х, мы допускаем некоторую ошибку ?, т.е. .

? - называется предельной ошибкой выборки, т.е. предельная ошибка выборки - max отклонение по модулю оценки от оцениваемого параметра, которое мы можем гарантировать с определенной надежностью.

Определение: Надежностью или доверительной вероятностью называется вероятность того, что оценка отличается от оцениваемого параметра не более, чем на ?.

(17) - доверительная вероятность (надежность).

Р - доверительная вероятность (надежность);

х - оценка, случайная величина;

и - неизвестный параметр, число;

? - предельная ошибка выборки;

Доверительная вероятность при оценивании среднего значения

Пусть требуется оценить неизвестное генеральное среднее, т.е. параметр . В соответствие с теоремой 3 его оценкой является выборочная средняя. По теореме 3 она имеет нормальный закон распределения, параметры которого известны из теоремы 1 (формулы 9 и 10).

Рассмотрим формулу *:

Применим формулу * к выборочной средней. Получаем:

(18)

- доверительная вероятность для оценки выборочной средней, где:

Р - доверительная вероятность (надежность);

- выборочное среднее, случайная величина, оценка, имеет нормальный закон распределения;

- генеральное среднее, неизвестный параметр;

? - предельная ошибка выборки;

- средняя квадратическая ошибка для выборочной средней (среднее квадратическое отклонение для выборочной средней) (см. табл. 3).

Доверительная вероятность при оценивании генеральной доли (вероятности)

Пусть требуется оценить неизвестный генеральный параметр. Р - генеральная доля (вероятность), т.е. в формуле 17 неизвестным параметром является и. В качестве оценки Х берем выборочную долю w (в соответствие с теоремой 4). Т.к. по теореме 2 выборочная доля w имеет нормальный закон распределения с параметрами 11, 12, то применим формулу * к случайной величине w:



(19)

- доверительная вероятность для оценки доли, где:

Р - доверительная вероятность;

w - выборочная доля, случайная величина, имеет нормальный закон распределения, оценка;

р - генеральная доля или вероятность признака, неизвестный параметр;

? - предельная ошибка;

- средняя квадратическая ошибка для доли (см. табл. 3, 2-я строчка), среднее квадратическое отклонение для выборочной доли.

Для решения задач:

для доли или для средней;

определение доверительной вероятности;

определение (оценка) предельной ошибки ? и доверительного интервала (х-?; х+?);

определение необходимого объема выборки n - повторная, n' - бесповторная;

Пример:

С целью изучения средней производительности ткачей по схеме случайной бесповторной выборки было отобрано 100 ткачей из 2000. результаты занесены в таблицу.

1) Определить вероятность того, что средняя производительность ткача на всем комбинате отличается от средней производительности в выборке не более чем на 2 метра (по модулю).

Дано:

бесповторная выборка

производительность в метрах б - в	кол-во ткачей ni	xi	xi *ni
55-65	3	60	180	1438,83
65-75	20	70	1400	2832,2
75-85	40	80	3200	144,4
85-95	29	90	2610	1902,69
95-105	8	100	800	2620,88
m = 5	n = 100

Формула доверительной вероятности для средней:

- средняя производительность ткача

2) В условиях предыдущей задачи определить какова максимальная ошибка Д и каков доверительный интервал для средней производительности ткача, который можно гарантировать с вероятностью Р = 0,95.

Дано:

Используя формулу 18 и данные, полученные в предыдущей задаче:

используя таблицу наоборот, получаем

(80,9; 93,71)

Замечание: Доверительный интервал имеет границы, которые являются случайными величинами.

Ответ: с доверительной вероятностью 0,95 можно утверждать, что интервал (80,9; 93,71) генеральную среднюю - среднюю производительность ткачей на всем комбинате.

3) Какой должен быть объем повторной и бесповторной выборок, чтобы в условиях данной задачи с доверительной вероятностью Р равной 0,95 можно было гарантировать ошибку Д = 1,81 для средней производительности ткачей.

Дано:

Используя формулу 18 и данные, полученные в предыдущей задаче:

используя таблицу наоборот, получаем

а) пусть выборка повторная:



Объем повторной выборки при оценке среднего значения:

(20)

б) бесповторная выборка:

Объем бесповторной выборки при оценке среднего значения:

(21)

Ответ: нужно обследовать 105 ткачей для повторной выборки (100 для бесповторной) чтобы с вероятностью Р = 0,95 гарантировать наибольшее отклонение Д = 1,81 для средней производительности ткачей.

4) В условиях исходной задачи определить вероятность того, что доля ткачей, у которых производительность не более 75 метров на всем комбинате отличается от доли таких ткачей в выборке по модулю не более чем на 0,05.

Дано:

- выборочная доля



Ответ: с вероятность 0,778 можно утверждать, что доля ткачей, у которых производительность не более 75 метров на всем комбинате отличается от доли таких ткачей в выборке по модулю не более чем на 0,05.

5) В условиях задачи найти Д и доверительный интервал для доли ткачей на всем комбинате, чья производительность не более 75 метров, который можно гарантировать с вероятностью Р=0,778

Дано:

Используя формулу 19 и данные, полученные в предыдущей задаче:

(0,18; 0,28)

Замечание: Доверительный интервал имеет границы, которые являются случайными величинами.

Ответ: с вероятностью 0,778 можно утверждать , что доверительный интервал (0,18; 0,28) содержит генеральную долю ткачей, чья производительность не более 75 метров.

6) В условиях первоначальной задачи определить, сколько надо обследовать ткачей в случае повторной и бесповторной выборки, чтобы с вероятностью Р = 0,778 можно было гарантировать наибольшее отклонение Д равное 0,05 для доли ткачей, чья производительность не более 75 метров. Ответ дать для случая:

а) когда есть предварительная выборка;

б) когда никаких предварительных данных нет;

Дано:

а) предварительная выборка:

1) повторная выборка:

Объем повторной выборки при оценке доли:

(22)

2) бесповторная выборка:

Ответ: нужно обследовать 105 ткачей для повторной выборки (100 для бесповторной) чтобы с вероятностью Р = 0,778 гарантировать Д = 0,05 для доли ткачей, чья производительность не более 75 метров.

б) никаких предварительных данных нет (т.е. нет исходной таблицы)

Тогда рассмотрим формулу 22 как функцию переменной W:

и ищем, при каких W достигается max этой функции. Можно доказать, что max достигается при w = 0,5. Тогда >

Объем выборки при оценке доли, если никаких предварительных данных нет:

(23)

Проверка гипотез

Критерии согласия.

В некоторых случаях нас интересует неизвестный закон распределения изученного признака Х во всей генеральной совокупности. В этом случае информация о законе распределения поступает с помощью выборки.

Формируется гипотеза Н₀ о неизвестном законе распределения и по выборочным данным эта гипотеза либо отвергается либо принимается.

Правило, по которому решается отвергнуть гипотезу Н₀ или нет называется критерием согласия.

Гипотеза Н₀ может быть выдвинута не только о неизвестном законе распределения. Поскольку о признаке Х в генеральной совокупности, как правило, ничего не известно, то любое предположение относительно этого признака нуждается в подтверждении с помощью результатов выборки.

Гипотеза Н₀ это любое предположение о признаке Х во всей генеральной совокупности.

Критерий согласия это правило, по которому эту гипотезу отвергаем или принимаем.

Для проверки гипотезы Н₀ образуется выборка. С каждым критерием согласия связана некоторая случайная велич...