Интеграл и его применение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Интеграл и его применение

Введение

интеграл математический анализ

Лейбниц, независимо от Ньютона, создал математический анализ -- дифференциальное и интегральное исчисления, основанные на бесконечно малых. Лейбниц создал комбинаторику как науку; только он во всей истории математики одинаково свободно работал как с непрерывным, так и с дискретным методами. Он заложил основы математической логики. Описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника. Первым ввёл понятие «живой силы» (кинетической энергии) и сформулировал закон сохранения энергии. Выдвинул в психологии понятие бессознательно «малых перцепций» и развил учение о бессознательной психической жизни.

1. История интегрального исчисления

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу». (Эта классическая задача “о квадратуре круга” круга» не может, как известно, быть решена с помощью циркуля и линейки.)

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно, происхождение термина интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696 г., появилось и название новой ветви математики--интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились заметно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»:

F(x) = f(x)dx

-- начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. f(x)dx называют определенным интегралом (обозначение ввел К. Фурье (1768--1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение квадратур (т. е. вычисление площадей) плоских фигур, а также кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским (ок. 408 -- ок. 355 до н.э.). С помощью этого метода Евдокс доказал, например, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров, а объем конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же основание и высоту.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом. Основные этапы, характеризующие метод Архимеда: 1) доказывается, что площадь круга меньше площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади любого вписанного; 2) доказывается, что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников стремится к нулю; 3) для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится отношение площади правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон.

С помощью метода исчерпывания, целого ряда других остроумных соображений (в том числе с привлечением моделей механики) Архимед решил многие задачи. Он дал оценку числа (3.10/71<<3.1/7), нашел объемы шара и эллипсоида, площадь сегмента параболы и т. д. Сам Архимед высоко ценил эти результаты: согласно его желанию на могиле Архимеда высечен шар, вписанный в цилиндр (Архимед показал, что объем такого шара равен 2/3 объема цилиндра).

Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. (Добавим, что практически и первые теоремы о пределах были доказаны им.) Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод -- метод неделимых, который также зародился в Древней Греции (он связан в первую очередь с атомистическими воззрениями Демокрита). Например, криволинейную трапецию (рис. 1, а) они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(х), которым, тем не менее, приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(х)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S = f(x)dx, a<x<b бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме -- нули, но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму. На такой кажущейся теперь, по меньшей мере, сомнительной основе И. Кеплер (1571--1630) в своих сочинениях “Новая астрономия”.

2. Криволинейная трапеция

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x)- непрерывная неопр. функция, x[a;b].

Доказать: S = F(b) - F(a), где F(x)- первообразная f(x).

Табличный способ:

Способ подстановки

Если подынтегральная функция не является табличным интегралом, то возможно (не всегда) применить этот способ. Для этого надо:

1-разбить подынтегральную функцию на два множителя;

2-обозначить один из множителей новой переменной;

3-выразить второй множитель через новую переменную;

4-составить интеграл, найти его значение и выполнить обратную подстановку.

Примечание: за новую переменную лучше обозначить ту функцию, которая связана с оставшимся выражением.

По области интегрирования:

Кратный интеграл;

Криволинейный интеграл;

Поверхностный интеграл

Кратный интеграл

Интеграл от функции, заданной в какой-либо области на плоскости, в трёхмерном или n-мерном пространстве. Среди К. и. различают двойные интегралы, тройные интегралы и т. д. n-кратные интегралы.

Криволинейный интеграл 1-го рода

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Д si длиной Д si и выберем на каждой из частей точку M i. Составим интегральную сумму. Назовем л длину наибольшего отрезка кривой.

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл существует.

Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую - конечной. Если назвать эти точки А и В, то

Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го рода.

Криволинейный интеграл 2-го рода

Вновь рассмотрим кривую L, в каждой точке которой задана функция f(M), и зададим разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом отрезке точку Mi и умножим значение функции в этой точке не на длину i-го отрезка, как в случае криволинейного интеграла 1-го рода, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность xi - xi-1 = Дxi. Составим из полученных произведений интегральную сумму.

Определение

Если существует конечный предел при интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L

Определение 10.3. Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида)

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения). При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак: Действительно, при этом изменяется знак Дxi в интегральной сумме.

3. Поверхностный интеграл

Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Рассматриваются интегралы двух типов: поверхностные интегралы I-го и II-го рода, их определения аналогичны соответствующим определениям для криволинейных интегралов, для определения поверхностного интеграла II-го рода на поверхности необходимо задать ориентацию. Как и для криволинейных интегралов, существуют формулы, связывающие поверхностные интегралы I-го и II-го рода. Однако в отличие от кривой, которая определяется заданием одного параметра, для описания поверхности необходимо уже два параметра, поэтому вычисление поверхностных интегралов сводится к вычислению двойного интеграла по области на плоскости (а не определенного интеграла Римана, как для криволинейных интегралов).

Поверхностный интеграл I-го рода

В трехмерном пространстве с декартовой системой координат ОXYZ рассмотрим кусочно-гладкую (определение было дано в п.5.1 главы 5) поверхность ?, ограниченную кусочно-гладкой (определение в п.6.1) кривой Г = Г(?). В частном случае замкнутой поверхности (например, сферы) ее граница представляет собой пустое множество, а значит также является кусочно-гладкой.

Теорема 1. Если ? - непрерывная кусочно-гладкая поверхность, ограниченная кусочно-гладкой кривой Г(?), и функция f(M) непрерывна на ней, то поверхностный интеграл I-го рода (2) от функции f(M) существует и определен однозначно.

Обратимся теперь к вычислению поверхностного интеграла I-го рода.

Теорема 2. Пусть ? - гладкая поверхность, заданная на ограниченной области D плоскости OXY уравнением: z = g(x,y), где (x,y) ? D, и пусть функция f(M) непрерывна на этой поверхности.

Поверхностный интеграл 2-го рода

Введем определение поверхностного интеграла 2-го рода по аналогии с соответствующим криволинейным интегралом. В случае криволинейного интеграла была направленная (ориентированная) кривая, которую раскладывали на элементы. Каждый такой элемент, соответственно направленный, проектировался на координатную ось. Проекция получалась тоже направленной, и ее длина бралась со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет. В данном случае рассматривается гладкая или кусочно-гладкая двусторонняя поверхность S, для определенности пусть она задана явным уравнением z = z(x, y) ( точка (x, y) изменяется в области D на плоскости , ограниченной кусочно-гладким контуром), в каждой точке которой определена функция f(M) = f(x, y, z). Разобьем поверхность S при помощи гладких или кусочно-гладких кривых на конечное число частей S1, S2,…, Sп, выберем в каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi).Обозначим через максимальный размер Si. Выберем какую-либо из сторон поверхности (или, что то же самое, определенную ориентацию). Выбор возможен между верхней и нижней сторонами. В первом случае замкнутой кривой на поверхности приписывается направление против часовой стрелки, если смотреть сверху, во втором - обратное направление. Спроектировав каждую часть, соответственно ориентированную, на плоскость, получим, что направление обхода контура проектируемой фигуры определит и направление обхода контура проекции. Это направление будет совпадать с вращением против часовой стрелки, то есть отвечать ориентации самой плоскости, если фиксирована была верхняя сторона поверхности; в этом случае нормаль с осью будет составлять острый угол, и площадь проекции будет браться со знаком плюс. В случае нижней стороны вращение будет обратным, угол между нормалью и осью будет тупым, и площадь проекции будем брать со знаком минус. Обозначим через Di- площадь проекции части Si на плоскость с определенным знаком, зависящим от выбора стороны поверхности.

Умножим f(Mi) на площадь Di проекции части Si на плоскость . Если существует конечный предел этой суммы при , не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек Mi на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается (говорит о площади проекции элемента поверхности на плоскость). В этой записи не содержится указания на то, какая сторона поверхности выбрана, поэтому это требуется оговаривать отдельно. Если поверхность S не имеет указанного специального вида, то есть, не задана явным уравнением, то определение поверхностного интеграла второго рода строится совершенно так же. Площади Di проекций могут браться не все с одинаковыми знаками, а возможно и с разными знаками, если одни части поверхности оказываются лежащими вверху, а другие - снизу.

Криволинейная трапеция

Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.

Способы нахождения площади криволинейной трапеции

Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.

Дано: f(x)- непрерывная неопр. функция, xО[a;b].

Доказать: S = F(b) - F(a), где F(x) - первообразная f(x).

Применение интеграла

Объём - количественная характеристика пространственного тела. За единицу измерения объёма принимают куб с ребром 1мм(1ди, 1м и т.д.).

Количество кубов единичного объёма размещенных в данном теле - объём тела.

Аксиомы объёма:

Объём - это неотрицательная величина.

Объём тела равен сумме объёмов тел, его составляющих. Найдем формулу для вычисления объёма выберем ось ОХ по направлению расположения этого тела; определим границы расположения тела относительно ОХ введем вспомогательную функцию S(x) задающую следующее соответствие: каждому x из отрезка [a;b] поставим в соответствие площадь сечения данной фигуры плоскостью, проходящей через заданную точку x перпендикулярно оси ОХ ,разобьем отрезок [a;b] на n равных частей и через каждую точку разбиения проведём плоскость перпендикулярную оси ОХ, при этом наше тело разобьется на части.

Для нахождения объема надо:

1). Выбрать удобным способом ось ОХ.

2). Определить границы расположения этого тела относительно оси.

3). Построить сечение данного тела плоскостью перпендикулярно оси ОХ и проходящей через соответственную точку.

4). Выразить через известные величины функцию, выражающую площадь данного сечения.

5). Составить интеграл.

6). Вычислив интеграл, найти объем.

Объем фигур вращения

Тело, полученное в результате вращения плоской фигуры, относительно какой-то оси, называют фигурой вращения.

4. Определённый интеграл

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается.

Таким образом, в этом случае функция называется интегрируемой. Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Неопределённый интеграл

Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом. Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением

5. Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида:

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени то,

6. Несобственный интеграл

Определение 1. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции и обозначается .

Определение 2. Если в несобственном интеграле предел существует, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Признаки сходимости несобственных интегралов

Теорема 1. Пусть функции и непрерывны на промежутке и удовлетворяют неравенствам.

Теорема 2. Пусть функции и непрерывны на промежутке, удовлетворяют неравенствам и в точке одновременно терпят разрыв второго рода.

Теорема 3. Если на промежутке функция меняет свой знак, то если сходится, то сходится и при этом второй интеграл называется абсолютно сходящимся.

Теорема 4. Если положительные функции и непрерывны на промежутке и при этом, то оба несобственных интеграла и ведут себя одинаково.

7. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, yў) = 0, связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и ее производную.

Частным решением такого уравнения является любая функция y = f (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество для всех допустимых значений переменной.

Множество всех решений уравнения называется его общим решением, или общим интегралом

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, yў) = 0 , связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Частным решением такого уравнения является любая функция y = f (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество для всех допустимых значений переменной. Множество всех решений уравнения называется его общим решением, или общим интегралом

8. Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид

Общим решением уравнения является семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных и: (или - общий интеграл дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям. Необходимо заметить, что графики решений уравнения 2-го порядка могут пересекаться в отличие от графиков решений уравнения 1-го порядка. Однако решение задачи Коши для уравнений 2-го порядка при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение, единственно, т.е. всякие два решения с общим начальным условием, совпадают на пересечении интервалов определения.

Таблица интегралов основных элементарных функций

1. ?xбdx=б+1xб+1+C,б/=?1 в частности при б=1:?xбdx=2x2

2. ?xdx=ln?x?+C

3. ?dx1+x2=arctg(x)+C

4. ?dxv1?x2=arcsin(x)+C

5. ?axdx=axln(a)+c

6. ?exdx=ex+C

7. ?sin(x)dx=?cos(x)+C

8. ?cos(x)dx=sin(x)+C

9. ?dxcos2(x)=tg(x)+C

10. ?dxsin2(x)=?ctg(x)+C

11. ?dxx2?a2=12aln?x+a??x?a?+C

12. ?dxvx2+k=ln? ? x+vx2+k? ? +C

13. ?dxx2+a2=a1arctg(xa)+C

14. ?dxva2?x2=arcsin(xa)+C

Размещено на Allbest.ru