Преобразование Лапласа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция №5

Преобразование Лапласа

Для сигнала x(t) (x(t) 0 при t < 0) изображение определяется по формуле одностороннего преобразования Лапласа

, (2.2.11)

где р = +j - переменная преобразования Лапласа. Согласно введенным обозначениям величина комплексной переменной является абсциссой абсолютной сходимости. Если , то результатом интегрирования (2.2.11) будет конечное значение, которое является решением и оригиналу будет соответствовать изображение . Здесь применено обозначение переменной преобразования Лапласа все той же буквой р. В математической литературе, как правило, переменная преобразования Лапласа обозначается буквой s. p = s - это третий смысл переменной р в зависимости от контекста.

Преобразование Лапласа обладает свойством линейности, заключающемся в том, что изображение суммы сигналов равно сумме их изображений, и если оригинал умножается на постоянную величину, то и изображение также. Другими словами, если z(t) = ax(t) + bу(t), то и Z(p) = aX(p) + bY(р). Согласно теореме об изображении производных при нулевых начальных условиях имеем

. (2.2.12)

Дополнительно отметим:

- теорему запаздывания

,

где - время упреждения, а - время запаздывания сигнала;

- теорему свертки:

.

Изображения непрерывных сигналов по Лапласу приведены в табл.2.2.1.

Оригиналы и изображения непрерывных сигналов по Лапласу

Перейдем теперь от дифференциального уравнения (2.2.3), как от уравнения для оригиналов (функций действительного аргумента t - в данном случае времени) к уравнению для изображений по Лапласу. Воспользовавшись свойством линейности, соотношениями (2.2.12) и аналогичными соотношениями для реакции системы после почленного перехода от оригиналов к изображениям при нулевых начальных условиях получим уравнение для изображений

(anpn+…+a0)Y(p) = (bmpm+…+b0)X(p), (2.2.13)

или A(p)Y(р) = B(p)X(p). (2.2.14)

Данные уравнения по внешнему виду напоминают уравнения (2.2.3), (2.2.4) для оригиналов. Однако переменная р в них имеет различный смысл. Уравнения (2.2.12), (2.2.13) можно переписать в виде

. (2.2.15)

Это отношение изображения выхода Y(p) к изображению входа X(p) по Лапласу при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией системы.

Из (2.2.15) следует, что

Y(p) = X(p)W(p), (2.2.16)

т.е. в области изображений определение реакции сводится к алгебраической операции умножения, что упрощает нахождение реакции.

Операторный метод решения (с помощью преобразования Лапласа) сводится к трем действиям:

1. От оригинала x(t) по формуле (2.2.11) переходят к изображению Х(р).

2. Пo формуле (2.2.16) находят изображение реакции.

3. По формуле обратного преобразования Лапласа

(2.2.17)

находят реакцию.

Заметим, что изложенная методика позволяет при известной передаточной функции найти реакцию системы при нулевых начальных условиях. Если начальные условия не нулевые, то при переходе от дифференциального уравнения к изображениям необходимо воспользоваться изображениями производных при ненулевых начальных условиях.

На практике переход от оригиналов к изображениям и обратно осуществляется с помощью таблицы преобразования Лапласа.

Пример 2.2.1. Найти реакцию инерционного звена при нулевых начальных условиях на единичное ступенчатое воздействие 1(t), имеющее Х(p) =1/р. Передаточная функция инерционного звена равна

Здесь где k и Т - коэффициент усиления и постоянная времени инерционного звена.

Для изображения реакции находим

, (2.2.18)

Здесь дробно-рациональное изображение реакции разложено на сумму двух простых дробей. Каждая из них соответствует одному из множителей, на которые разложен знаменатель. В данном примере с самого начала непосредственно знаменатель равен произведению двух множителей. Если знаменатель записан в виде полинома, то его разлагают на множители по теореме Безу. Если корни различны, то число дробей равно числу корней. Существует теорема разложения, на основании которой можно определить неопределенные множители (коэффициенты числителей простых дробей). Если есть кратные корни, то число дробей больше. Среди них содержатся дроби со знаменателями в виде степеней множителей, соответствующих кратному корню от единицы до кратности корня. Для определения неопределенных множителей можно также привести дроби к общему знаменателю и рассмотреть тождество для числителей, которое должно выполняться для любых значений переменной р. Последнее означает, что должны быть равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной р. В результате образуется система, количество уравнений которой равно количеству неизвестных неопределенных множителей. В следующем примере поясним сказанное. Завершая данный пример, воспользуемся свойством линейности преобразования Лапласа и перейдем с помощью табл. 2.2.1 от изображений в (2.2.18) к оригиналам. В результате получим

. (2.2.19)

Пример 2.2.2. Разложим дробно-рациональную функцию на простые дроби.

Представим функцию в виде суммы двух дробей с неопределенными множителями А, В и приведем их к общему знаменателю

. (2.2.20)

В тождестве из левой и правой частей (2.2.20) знаменатели одинаковы и, следовательно, должны быть одинаковы и числители, причем при любых значениях переменой р. Поэтому считаем, что в левой части также полином первой степени, и записываем тождество в виде . Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной р, получаем систему из двух уравнений: 0 = AT + B и 1 = А и находим А = 1, В = - Т, что объясняет (2.2.18).

Заметим, что в данном относительно простом примере можно было воспользоваться искусственным приемом. Добавим и отнимем в числителе Тр, после этого разобьем дробь на сумму двух и проведем сокращение:

.

Заметим, наконец, что если степень числителя больше или равна степени знаменателя, то делением можно выделить целую часть и останется дробно-рациональная функция.

Пример 2.2.3. Найти реакцию дифференцирующего звена с замедлением (передаточная функция ) на -функцию, изображение которой по Лапласу равно Х(р) = 1.

Имеем . Выделяем целую часть путем деления числителя изображения на знаменатель. Тогда . Переходя с помощью таблицы преобразования Лапласа от изображений к оригиналам, для реакции получим .

В заключение еще раз обратим внимание на три значения переменной р в зависимости от контекста. Это в какой-то степени неудобно, но, тем не менее, используется в литературе по автоматическому управлению.

Очевидно, что в обратном порядке можно от передаточной функции перейти к дифференциальному уравнению. Для этого нужно приравнять передаточную функцию согласно ее определению отношению изображения выхода к изображению входа, перейти к записи уравнения для изображений в строчку (2.2.13) и затем от него перейти к уравнению для оригиналов (2.2.3), или (2.2.4).

Пример 2.2.4. Найдем дифференциальное уравнение для передаточной функции колебательного звена

.

Для этого приравняем передаточную функцию отношению изображений и перепишем уравнение в строчку

.

Теперь перейдем к оригиналам при нулевых начальных условиях. Формально заменим изображения , на оригиналы , и переменную Лапласа - на оператор дифференцирования :

,

или в классической форме

.

Характеристический полином формируется по однородному дифференциальному уравнению. Правая часть полного дифференциального уравнения к характеристическому уравнению не имеет никакого отношения. Чтобы записать характеристический полином или характеристическое уравнение по дифференциальному уравнению, надо в его левой части заменить производные соответствующим степенями переменной р.

При этом y(t) трактуется как производная нулевой степени и заменяется на р0 = 1. Из сравнения (2.2.15) и (2.2.9) следует, наконец, что формально характеристический полином совпадает со знаменателем передаточной функции системы (а также с множителем при у(t) в формализованной записи дифференциального уравнения (2.2.3) и соответствующим смыслом переменной р).

Размещено на Allbest.ru