Гравитационные потенциалы слоисто-неоднородных эллипсоидов
Общий и частный случаи стратификации. Внешний и внутренний потенциалы эллипсоида с гомотетическими слоями. Семейства однополостных и двуполостных гиперболоидов. Асимптотический конус второго порядка. Свойства обычного ньютоновского потенциала.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.02.2013 |
| Размер файла | 2,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
ФГБОУ ВПО «Удмуртский Государственный Университет»
«Кафедра астрономии»
Курсовая работа
«Гравитационные потенциалы слоисто-неоднородных эллипсоидов»
Выполнил:
студент группы 19-42
Сибриков Ростислав Сергеевич
Научный руководитель:
Кондратьев Борис Петрович
Ижевск 2012г.
Содержание
1. Общий случай стратификации
2. О притяжении и уровенных поверхностях в полостях эллипсоидальных оболочек
3. Свойства потенциалов слоисто-неоднородного эллипсоида
Список литературы
Общий случай стратификации
Теорема 3. Потенциал в точке , внешней по отношению к неоднородному эллипсоиду описанного типа, равен
где функция m2(u) неявно определяется уравнением
есть эллипсоидальная координата точки относительно граничной поверхности эллипсоида, а
Внешний потенциал эллипсоида с гомотетическими слоями
Когда слои плотности подобны друг другу, то все . Выражение (6.121) упрощается и принимает вид
Теорема 4. Потенциал во внутренней точке xi полости неоднородной эллипсоидальной оболочки, ограниченной эллипсоидами S (1) и S (п), даётся выражением
Теорема 5. Потенциал во внутренней точке xi неоднородного эллипсоида рассмотренного типа даётся выражением
Внутренний потенциал эллипсоида с гомотетическими слоями
Когда слои равной плотности подобны друг другу, то, как нетрудно показать, выражение (6.135) заметно упрощается и принимает вид
.
Разумеется, в случае слоисто-неоднородного сфероида, а также шара со сферически симметричным распределением вещества (для него см. интегральную формулу
эти формулы ещё более упрощаются.
Теорема 6. Потенциал во внешней точке неоднородной толстой эллипсоидальной оболочки рассматриваемого типа, ограниченной эллипсоидами с полуосями и , даётся выражением
О притяжении и уровенных поверхностях в полостях эллипсоидальных оболочек
Для исследования поверхностей равного потенциала внутри слоисто-неоднородной оболочки выражение
представим в виде, напоминающем формулу
для потенциала однородного эллипсоида во внутренней точке:
где обозначено
Отсюда ясно, что искомые уровенные поверхности внутри оболочки, как и в эллипсоиде, являются поверхностями второго порядка. Но важный момент: в отличие от коэффициентов Ai из (1.38), все три величины не могут иметь одинаковые знаки; только две из трёх производных dAi /dm могут иметь одинаковые знаки. Они не могут уже быть эллипсоидальными. Достаточно рассмотреть распределение знаков у величин Ai в каком-либо частном случае; пусть это будет случай
.
Что касается знака у то мы уже знаем, что он всегда положительный. Имеем
Итак, поверхности равного потенциала в полостях оболочек представляют собой в общем случае сопряжённые семейства однополостных и двуполостных гиперболоидов. Семейства однополостных и двуполостных гиперболоидов разделены асимптотическим конусом второго порядка (рис. 40)
На поверхности этого конуса ; при переходе от двуполостных к однополостным гиперболоидам мы переходим из области больших (где ) в область малых (где ).
Сила притяжения перпендикулярна к уровенным поверхностям, и при переносе материальной точки по любой из них работа не совершается. Поэтому работа по переносу тела из любой точки асимптотического конуса на бесконечность будет одной и той же, равной .
В области однополостных гиперболоидов сила притяжения направлена к поверхности оболочки (и чем ближе к поверхности, тем больше сила), а в области двуполостных -- направлена от неё. Этот эффект двух направлений сил существует внутри любой слоисто-неоднородной оболочке, кроме гомеоида. Важно и то, что сами силы внутри эллипсоидальных оболочек из-за квадратичности потенциала (6.140) линейно зависят от координат.
Нет оснований заранее считать силы притяжения в полостях оболочек величинами второго порядка малости. У однородных оболочек величины (а с ними -- и силы) могут заметно отличаться от нуля; влияние же неоднородности оболочек надо учитывать конкретно в каждой задаче.
Свойства потенциалов слоисто-неоднородного эллипсоида
1. Докажем, что потенциал эллипсоида во внешней точке (6.121) удовлетворяет уравнению Лапласа
Вначале из уравнения (6.122) находим, что
где для краткости обозначено
Дифференцируя из (6.121) по и учитывая равенство (6.122) и то, что (это даёт возможность считать А постоянной при взятии производной от интегралов типа
получим
Дифференцируя по выражение (6.146) и учитывая формулу (6.144), а также равенства и , находим (опуская элементарные промежуточные преобразования)
где . Суммируя вторые производные и учитывая равенства
и
получим
Легко показать, что
Поэтому (6.151) можно представить в виде
Взяв по частям интеграл в фигурных скобках, получим
Обратим теперь внимание на то, что
Действительно, при имеем , а при будет m2(u) = 1, что и доказывает равенство (6.155). Оставшийся в (6.154) интеграл даёт
С учётом (6.155) и (6.156) мы приходим в (6.154) к доказательству теоремы Лапласа.
2. Докажем, что потенциал эллипсоида во внутренней точке (6.135) удовлетворяет уравнению Пуассона
Учитывая равенства (6.122) и (6.144), находим первую производную
Дифференцируя (6.158) по , суммируем полученные производные и, учитывая равенства (6.144), (6.148) и (6.149), так же, как и выше, получаем выражение для лапласиана
Нетрудно видеть, что
Действительно, при имеем , а при будет
вследствие чего
что и доказывает равенство (6.160).
Окончательно получаем
стратификация потенциал эллипсоид гиперболоид
что и доказывает теорему Пуассона.
Итак, найденные потенциалы слоисто-неоднородного эллипсоида имеют все свойства обычного ньютоновского потенциала.
Список литературы
1. Кондратьев Б.П. "ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА. НОВЫЕ МЕТОДЫ И ЗАДАЧИ". М.: МИР, 2007. - 512с
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, общий вид. Линейная зависимость векторов и функций. Определитель Вронского, практические примеры его нахождения. Неоднородные уравнения второго порядка, теорема и доказательство, решение.
презентация [272,9 K], добавлен 17.09.2013Уравнение для описания поверхности второго порядка в аффинной системе координат. Виды квадрики в прямоугольной системе координат: мнимый эллипсоид, гиперболоид, конус, параболоид, цилиндр, плоскости. Способы приведения квадрики к каноническому виду.
курсовая работа [4,5 M], добавлен 19.09.2012Основные свойства кривых второго порядка. Построение кривой в канонической и общей системах координат. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений.
курсовая работа [166,1 K], добавлен 17.05.2011Исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам. Инвариантность выражения АС-В2. Классификация линий второго порядка. Уравнения, определяющие эллипс и гиперболу. Директрисы кривых второго порядка.
курсовая работа [132,1 K], добавлен 14.10.2011Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013Роль идей и методов проективной геометрии в математической науке. Закономерности кривых второго порядка и кривых второго класса, основные теоремы Паскаля и Брианшона, описывающие замечательное свойство шестиугольника вписанного в кривую второго порядка.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 04.11.2013Метод планирования второго порядка на примере В3-плана. Получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка. Статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика. Расчет коэффициентов регрессии.
курсовая работа [128,4 K], добавлен 18.11.2010Общее уравнение кривой второго порядка, преобразование систем координат. Классификация кривых по инвариантам, исследование уравнения кривой второго порядка. Изучение и примеры исследования инвариант поворота и параллельного переноса систем координат.
курсовая работа [654,1 K], добавлен 28.09.2019Эллипс, гипербола, парабола как кривые второго порядка, применяемые в высшей математике. Понятие кривой второго порядка - линии на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением. Теоремма Паскамля и теорема Брианшона.
реферат [202,6 K], добавлен 26.01.2011Доказательство теоремы единственности для кривых второго порядка. Преимущества и недостатки разных способов доказательства теоремы единственности. Пучок кривых второго порядка. Методы решения теоремы единственности для поверхностей второго порядка.
курсовая работа [302,7 K], добавлен 22.01.2011Исследование кривой второго порядка. Определение типа кривой с помощью инвариантов. Приведение к каноническому виду, построение графиков. Исследование поверхности второго порядка. Определение типа поверхности. Анализ формы поверхности методом сечений.
курсовая работа [231,0 K], добавлен 28.06.2009Использование кривых второго порядка в компьютерных системах. Кривые второго порядка в 3d grapher. Жезл, гиперболическая спираль. Спираль Архимеда, логарифмическая спираль. Улитка Паскаля, четырех и трехлепестковая роза. Эпициклоида и гипоциклоида.
реферат [221,1 K], добавлен 26.12.2014Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.
курсовая работа [132,8 K], добавлен 28.06.2009Понятие конических сечений. Конические сечения-пересечения плоскостей и конусов. Виды конических сечений. Построение конических сечений. Коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка.
реферат [808,4 K], добавлен 05.10.2008Образование винтовой поверхности (геликоида) винтовым перемещением линии (образующей). Прямые и наклонные, закрытые и открытые геликоиды. Построение разверток поверхности, их свойства и сферы применения. Схемы развертки тел вращения: конус и цилиндр.
презентация [338,1 K], добавлен 16.01.2012Сведения о плоских кривых. Замечательные кривые третьего порядка. Классификация Ньютона кривых третьего порядка. Циссоида и ее свойства. Преобразования плоскости, переводящие кривые второго порядка в кривые третьего порядка. Преобразования Маклорена.
дипломная работа [960,1 K], добавлен 22.04.2011Вычисление градиента, дивергенции и ротора однократным дифференцированием функций. Дифференциальные операций и операторы второго порядка. Выполнение условий дифференцируемости и непрерывности. Оператор Лапласа, градиент дивергенции, формулы Грина.
реферат [527,5 K], добавлен 21.03.2014Линейные операторы, собственные значения. Общее понятие о квадратичных формах. Упрощение уравнений второго порядка на плоскости. Упрощение уравнений фигур в пространстве. Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.
курсовая работа [162,9 K], добавлен 13.11.2012Общее уравнение кривой второго порядка. Составление уравнений эллипса, окружности, гиперболы и параболы. Эксцентриситет гиперболы. Фокус и директриса параболы. Преобразование общего уравнения к каноническому виду. Зависимость вида кривой от инвариантов.
презентация [301,4 K], добавлен 10.11.2014Частное решение неоднородных дифференциальных уравнений. Геометрический смысл комплексного числа. Аргумент комплексного числа, его поиск с учетом четверти. Комплексное число в тригонометрической форме, извлечение корня третьей степени, формула Эйлера.
контрольная работа [24,8 K], добавлен 09.09.2009
