Математические основы теории систем
Качественный анализ линейной и нелинейной динамических систем, определение условий их устойчивости и построение фазовых портретов в программе WINSET. Вычисление дифференциальных уравнений Бюргерса. Компьютерное исследование уравнения на фазовой плоскости.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.02.2013 |
| Размер файла | 1,3 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт информационных систем и вычислительной техники
Кафедра вычислительных машин, комплексов, систем и сетей
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Математические основы теории систем»
Выполнила студентка Вайтайтис О.С.
Специальность 230101 Курс 5
Преподаватель: Морозов А.В.
Санкт-Петербург 2011
Задание 1
Дать полный качественный анализ линейной динамической системы с параметром
Используя программу WINSET изобразить фазовый портрет системы при.
Решение:
Найдем положение точек равновесия:
бx +2y =0 y = 5x x=0
-5x + y =0 x(б+10) = 0 y=0
Положение равновесия находится в точке С1(0;0)
Составляем характеристическое уравнение:
б-л 2
=0 (б-л) (1-л) + 10 =0
-5 1-л
л2 - (б+1)л + б + 10 = 0
Проанализировав полученное характеристическое уравнение, можно заметить, что решение системы находится в некотором диапазоне:
б+1< 0 б< -1
б+10>0 б > -10
Из этого можно сделать вывод об устойчивости системы: система устойчива при условии положительности коэффициентов характеристического уравнения.
Размещено на http://www.allbest.ru/
-10 -1 б
Рассмотрим знак дискриминанта
Д= (б+1)2 - 4(б+10) = 0, откуда Д= (б-1)2 -40.
От знака дискриминанта зависит фазовый портрет системы. Дискриминант в свою очередь зависит от параметра . Приравняем дискриминант 0 и найдем границы областей значений для разных фазовых портретов.
(б-1)2 -40 = 0
(б-1)2 <-40
б-1<
б-1<2
Возьмем те области значений , при которых значения будут становиться меньше, равными или большими нуля:
1. При и центром в точке (0;0) получаем на фазовой плоскости - седло.
2. Рассмотрим вариант б=. Это соответствует структуре на фазовой плоскости, в которой положения равновесия будут представлены в виде множества точек, находящихся на одной прямой. Это вырожденный случай.
3. При получаем фазовый портрет на плоскости - устойчивый фокус.
4. При и центром в точке (0;0)
Это соответствует структуре на фазовой плоскости - центр.
5. При -1< б < будет следующая структура на фазовой плоскости - неустойчивый фокус.
6. При Это соответствует структуре на фазовой плоскости - неустойчивый узел.
Используя программу WINSET, построим фазовый портрет системы с параметром (устойчивый фокус):
Задание 2
Дать полный качественный анализ следующей нелинейной динамической системы и построить эскиз ее фазового портрета:
Используя программу WINSET изобразить фазовый портрет системы.
Решение:
1. Найдем положения равновесия:
Первое положение равновесия находится в точке С1(0;2)
Второе положение равновесия находится в точке С2(1;0)
2. Дифференцируем систему в окрестности точки С1(0;2):
Составляем линеаризованную систему:
Характеристическое уравнение:
Так как , оба корня вещественны, положительны и равны, то положение равновесия С1(0;2) - устойчивый вырожденный узел, у этого узла сепаратрисы отсутствуют.
3. Дифференцируем систему в окрестности точки С2(1;0):
Составляем линеаризованную систему:
Характеристическое уравнение:
Так как один из корней отрицателен, а другой положителен, то положение равновесия в точке С2(1;0) - седло.
4. Найдем угловые коэффициенты сепаратрис седла, перейдя к уравнению фазовых траекторий:
(т.к. сепаратрисы лежат на полупрямых, то ):
Сепаратрисам соответствуют прямые линии:
5. Используя программу WINSET, построим фазовый портрет системы:
Задание 3
Исследовать дифференциальные уравнения Бюргерса - одномерного турбулентного течения жидкости:
;
где - положительные параметры.
Используя программу WINSET, изобразить фазовый портрет системы.
Решение:
Определим точки равновесия системы:
Положение равновесия - точка с координатами С(0,0).
Линеаризируем систему в окрестности этой точки:
При рассматриваемых значение всегда, а значение может меняться от отрицательного значения до положительного, а также может быть равным 0.
Поэтому, фазовый портрет вблизи точки равновесия может быть:
1. - седло
2. - линия из точек равновесия
3. - неустойчивый узел.
Для построения фазового портрета системы сначала примем коэффициенты , при этом :
Увеличим масштаб у точки С(0,0), убедимся, что имеем множество точек равновесия:
Затем, установив коэффициенты , построим фазовый портрет системы, при этом :
В этом случае фазовый портрет системы не претерпел существенных изменений, кроме изменения масштаба.
Установим коэффициенты , построим фазовый портрет системы, при этом :
Увеличим масштаб области у точки С(0,0) и убедимся, что положение равновесия - неустойчивый узел:
Установим коэффициенты , построим фазовый портрет системы, при этом :
Хорошо видно, что положение равновесия в точке С(0,0) - седло. На фазовом портрете также появились две области, в которых также есть положения равновесия. При увеличении масштаба и после анализа движения отображающей точки делаем вывод, что эти области - неустойчивые фокусы.
Задание 4
линейный динамический дифференциальный уравнение
Провести компьютерное исследование уравнения на фазовой плоскости. Рассмотреть два случая:
Решение:
Исследование проведем при помощи программы WINSET, преобразуем уравнение
и внесем данные для параметров WINSET p1 и p2, соответствующие :
Запускаем программу и получаем фазовый портрет системы при заданных параметрах:
С первого взгляда может показаться, что это одиночная замкнутая линия, но при более тщательном просмотре видно (место просмотра выделено красным), что она состоит из спиральной линии с плотным расположением витков, которые становятся плотнее к центру, но не переходят определенную границу:
При выборе других начальных точек получаем другую спиральную линию, также с уплотняющимся к центру расположением витков, но не переходящим определенную границу. Таким образом, при можно эту границу назвать устойчивым предельным циклом. При уменьшении значения координаты начальной точки видно, что предельным значением является центр координат - точка О(0,0), являющаяся центром.
Внесем данные для параметров WINSET p1 и p2, соответствующие :
При подробном рассмотрении видно, что спираль равномерно скручивается к положению устойчивого равновесия. Соответственно, точка равновесия - устойчивый фокус. При изменении координат начальной точки расчета также получается спираль, идущая к положению устойчивого равновесия.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Дифференциальные уравнения как модели эволюционных процессов. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Асимптотическая устойчивость линейных однородных автономных систем. Изображения фазовых кривых при помощи ПО Maple.
дипломная работа [477,4 K], добавлен 17.06.2015Представления фазовых кривых систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи критического направления. Построение примеров, удовлетворяющих методу Фроммера. Нахождение характеристических чисел 1 и 2 рода дифференциального уравнения в C++.
дипломная работа [595,0 K], добавлен 11.02.2012Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010Приемы и методы качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. Теорема о существовании четырех линий равновесия. Первый интеграл. Решение системы первого и второго порядка.
курсовая работа [378,5 K], добавлен 02.04.2016Нахождение особых точек уравнений, определение их типов, построение фазовых траекторий в окрестности каждой особой точки. Исследование циклических траекторий на изохронность, устойчивости нулевого решения, доказывание существования циклов в уравнениях.
контрольная работа [457,9 K], добавлен 23.09.2010Дифференциальные уравнения как математический инструмент моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в науке и технике. Описание математических методов решения систем дифференциальных уравнений. Методы расчета токов на участках цепи.
курсовая работа [337,3 K], добавлен 19.09.2011Вычисление и исследование предела и производной функции, построение графиков. Вычисление неопределенных интегралов, площади фигуры, ограниченной графиками функций. Нахождение решения дифференциального уравнения и построение графиков частных решений.
контрольная работа [153,6 K], добавлен 19.01.2010Рассмотрение теории дифференциальных уравнений. Выделение классов уравнений с систем, решения которых не имеют подвижных критических особых точек. Установление достаточности найденных условий путем сравнения с классическими системами типа Пенлеве.
курсовая работа [137,0 K], добавлен 01.06.2015Понятия и решения простейших дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений произвольного порядка, в том числе с постоянными аналитическими коэффициентами. Системы линейных уравнений. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем.
дипломная работа [395,4 K], добавлен 10.06.2010Основные понятия теории погрешностей. Приближенное решение некоторых алгебраических трансцендентных уравнений. Приближенное решение систем линейных уравнений. Интерполирование функций и вычисление определенных интегралов, дифференциальных уравнений.
методичка [899,4 K], добавлен 01.12.2009Возникновение и развитие теории динамических систем. Развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем. Математическое моделирование - один из основных методов научного исследования.
реферат [35,0 K], добавлен 15.05.2007Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений для сравнительно простых объектов. Выражение входной и выходной величины элемента в долях, введение безразмерных координат. График кривой разгона, коэффициент усиления.
реферат [12,5 K], добавлен 16.05.2010Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели. Моделирование с использованием пакета расширения Symbolic Math Tolbox. Построение модели в виде системы дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши.
курсовая работа [863,4 K], добавлен 21.06.2015Неизвестная функция, ее производные и независимые переменные - элементы дифференциального уравнения. Семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, их систем. Методы наименьших квадратов, золотого сечения, прямоугольников.
контрольная работа [138,9 K], добавлен 08.01.2016Сущность методов сведения краевой задачи к задаче Коши и алгоритмы их реализации на ПЭВМ. Применение метода стрельбы (пристрелки) для линейной краевой задачи, определение погрешности вычислений. Решение уравнения сшивания для нелинейной краевой задачи.
методичка [335,0 K], добавлен 02.03.2010Поиск базисного решения для системы уравнений, составление уравнения линии, приведение его к каноническому виду и построение кривой. Собственные значения и векторы линейного преобразования. Вычисление объема тела и вероятности наступления события.
контрольная работа [221,1 K], добавлен 12.11.2012Основные формулы, используемые в исследовании. Определение стохастической устойчивости и структура соответствующих уравнений. Применение второго метода Ляпунова. Скалярные уравнения n-го порядка. Анализ устойчивости по вероятности движений спутника.
курсовая работа [235,6 K], добавлен 21.02.2016Моделирование непрерывной системы контроля на основе матричной модели объекта наблюдения. Нахождение передаточной функции формирующего фильтра входного процесса. Построение графика зависимости координаты и скорости от времени, фазовой траектории системы.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 25.12.2013Запись комплексного числа в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изображение корней уравнения на комплексной плоскости. Умножение и сложение матриц. Вычисление определителя четвертого порядка. Проверка совместимости систем уравнений.
контрольная работа [444,4 K], добавлен 13.12.2012Существование и единственность решений дифференциальных уравнений. Геометрическая интерпретация решений. Линейные и нелинейные системы. Дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций конкурирующих видов, их решения и фазовые портреты.
дипломная работа [2,5 M], добавлен 27.06.2012
