Разложение потенциалов в ряды
Произвольный электростатический или магнитный скалярный потенциал как функция пространственных координат. Уравнение Лапласа. Цилиндрическая система координат в виде ряда Фурье. Метод разделения переменных для определения распределений потенциалов.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.02.2013 |
| Размер файла | 45,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Разложение потенциалов в ряды
Рассмотрим произвольный электростатический или магнитный скалярный потенциал как функцию пространственных координат. Для дальнейшего рассмотрения удобно представить в виде ряда.
Будем работать в цилиндрической системе координат, определенной соотношениями , , . Уравнение Лапласа будет иметь следующий вид:
.
Цилиндрическая система координат очень удобна, так как потенциал является периодической функцией координаты с периодом . Поэтому его можно представить в виде ряда Фурье:
, (1)
где и - коэффициенты Фурье, являющиеся функциями и . Определим их. Для этого продифференцируем по всем координатам и подставим производные в уравнение Лапласа. В результате
. (2)
Так как это уравнение справедливо для любых значений , оба выражения в скобках должны быть равны нулю. Поэтому имеем два дифференциальных уравнения:
, (3)
, (4)
определяющие для каждого неизвестные функции и . Будем искать эти функции в виде разложений в ряд по степеням с коэффициентами, зависящими только от :
, (5)
. (6)
Эти степенные ряды имеют несколько странную форму. Зачем нам нужна сумма в качестве степеней ? Ниже будет ясно, что этот выбор приводит к относительно простой форме решения.
Вычисляя частные производные выражения (5) и подставляя их в (3), имеем
. (7)
Более удобно иметь выражение, содержащее только одну степень . Этого можно достичь, если заменить на в первом члене суммы и начать суммирование с . Тогда
. (8)
Это уравнение справедливо только в том случае, если коэффициенты при всех степенях равны нулю. Однако можно заметить, что при первый член исчезает для любых значений . В случае имеем
. (9)
(По этой причине мы выбрали «странную» форму степенных рядов.) Остальные коэффициенты должны удовлетворять рекурсивному соотношению
. (10)
Немедленно замечаем, что вследствие (9) и (10) все коэффициенты с нечетным вторым индексом равны нулю:
(= 0, 1, 2, …). (11)
Начнем теперь с . Обозначим
(12)
и, подставляя в (10), получаем
. (13)
Полагая в уравнении (10) и подставив в (13), находим следующий коэффициент:
. (14)
Легко видеть, что общее выражение имеет вид
(= 0, 1, 2, …). (15)
Аналогично из уравнения (6) получаем
(= 0, 1, 2, …) (16)
и, обозначая
, (17)
имеем
(= 0, 1, 2, …). (18)
Подставляя (11) - (18) в (5) и (6), заменяя суммирование по суммированием по и затем подставляя в (1), получаем конечный результат:
. (19)
электростатический скалярный потенциал разложение
В этом соотношении все три переменные разделены. Метод разделения переменных является одним из нескольких подходов к аналитическому определению распределений потенциалов. Таким образом, произвольное распределение потенциала представлено бесконечным набором функций и , зависящих только от координаты . Если известны все эти функции и все они бесконечно дифференцируемы, то мы знаем распределение потенциала по всему пространству.
Физический смысл этих функций зависит от вида симметрии в решаемой задаче. Рассмотрим простой случай аксиальной (или осевой) симметрии. Аксиальная симметрия означает, что потенциал симметричен относительно оси , т.е. не зависит от угла . Зависимость от можно устранить, полагая . Тогда, заменив на в (19), получаем выражение
, (20)
включающее только одну функцию , физический смысл которой очевиден. В самом деле, полагая , получаем распределение потенциала вдоль оси симметрии и видим, что
. (21)
Другими словами, если известно аксиальное распределение вращательно-симметричного электростатического или магнитного поля и это распределение является бесконечно дифференцируемой функцией, то можно определить поле во всем пространстве с помощью разложения в степенной ряд (20). Единственно, что для этого необходимо знать - аксиальное распределение потенциала.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Разложение в ряд Фурье. Определение функции и нахождение коэффициентов разложения. Проведение замены в интеграле. Условия теоремы о разложении функции в ряд Фурье. Примеры взятия интеграла по частям. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
презентация [73,1 K], добавлен 18.09.2013Полярная система координат. Построение линий в полярной системе координат с помощью математического пакета MathCAD. Уравнение в полярных координатах логарифмической спирали. Полярное уравнение архимедовой спирали. Координаты, применяемые в математике.
научная работа [3,2 M], добавлен 18.01.2011Векторные пространства, скалярное произведение и норма функций, ортогональные системы функций, равенства и тригонометрический ряд Фурье. Сходимость интеграла Фурье, основные сведения теории преобразования. Операционное исчисление, преобразование Лапласа.
учебное пособие [1,2 M], добавлен 23.12.2009Выражение для градиентов в криволинейной системе координат. Коэффициенты Ламе в цилиндрической системе координат. Дивергенция векторного поля. Выражение для ротора в криволинейной ортогональной системе координат. Выражение для оператора Лапласа.
контрольная работа [82,8 K], добавлен 21.03.2014Пьер-Симон Лаплас - выдающийся французский математик, физик и астроном, один из создателей теории вероятностей. Уравнение Лапласа в двумерном пространстве. Способы трехмерного уравнения Лапласа. Особенности решения задачи Дирихле в круге методом Фурье.
курсовая работа [271,8 K], добавлен 14.06.2011Краткая историческая сводка о системе координат. Криволинейные, полярные и сферические системы координат. Рене Декарт - французский философ, физик и математик. Декартова прямоугольная система координат (на плоскости и в трёхмерном пространстве).
презентация [640,7 K], добавлен 29.06.2010Условия разложения функций для тригонометрического ряда. Определение коэффициентов разложения с помощью ортогональности систем тригонометрических функций. Понятие периодического продолжения функции, заданной на отрезке. Ряд Фурье функции у=f(x).
презентация [30,4 K], добавлен 18.09.2013Определение положения точки в пространстве. Правая декартова (или прямоугольная) система координат. Способы измерения дуг. Определение координат точки в пространстве. Определение окружности и ее радиуса. Построение сферической системы координат.
контрольная работа [59,3 K], добавлен 13.05.2009Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умножения и сложения вероятностей независимых событий. Формулы Бейеса, Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
методичка [96,6 K], добавлен 25.12.2010Метод координат как глубокий и мощный аппарат. Основные особенности декартовых координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Понятие вектора как направленного отрезка. Рассмотрение координат вектора и важнейших в аналитической геометрии вопросов.
курсовая работа [573,7 K], добавлен 27.08.2012Анализ цепи с применением методов переменных состояния, операторного и частотного при апериодическом и периодическом воздействии. Определение амплитудного и фазового спектров входного сигнала. Получение тока на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 11.01.2012Определение понятия, графического изображения квадратической функции вида y=ax^2+bx+c и сравнение е свойств с функцией y=ax^2. Практическое нахождение оси симметрии, абсциссы и ординаты вершины параболы, координат точек пресечения с осями координат.
конспект урока [98,2 K], добавлен 17.05.2010Образование множеством функций системы ортонормированных функций, условия ортогональности для заданной системы. Разложение в тригонометрический и комплексный ряды Фурье пилообразного сигнала. Генерирование программного произвольного дискретного сигнала.
контрольная работа [378,6 K], добавлен 14.01.2016Основы тензорного анализа. Геометрический смысл и формула расчета коэффициентов Ламе. Взаимный базис; полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Рассмотрение способов преобразования векторов при переходе к криволинейным координатам.
курсовая работа [4,0 M], добавлен 06.11.2013Введение новых динамических систем и их решений, специальных функций эллиптических и тета-функций, зависящих от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье (теоремы разложения). Рассмотрение их связи с функцией Вейерштрасса.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 26.04.2011Поняття полярної системи координат, особливості завдання координат точки у ній. Формули переходу від декартової до полярної системи координат. Запис рівняння заданої кривої в декартовій системі координат з використанням вказаної формули переходу.
контрольная работа [2,4 M], добавлен 01.04.2012Простейшая разностная схема для задачи Дирихле: построение, аппроксимация и устойчивость. Описания метода установления. Анализ алгоритмов, реализующих метод установления: решение в виде конечного ряда Фурье, схема установления и переменных направлений.
курсовая работа [323,4 K], добавлен 25.11.2011Истоки, понятие аналитической геометрии. Метод координат на плоскости. Аффинная и Декартова система координат на плоскости, прямая и окружность. Аналитическое задание геометрических фигур. Применение аналитического метода к решению планиметрических задач.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 12.05.2009Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011Раскрытие понятия об уравнение Дирака и вывод его решения в виде плоских волн. Обозначение матриц и рассмотрение их основных свойств. Определение понятия спинора и релятивистских обозначений пространственно-временных координат и метрических тензоров.
курсовая работа [282,8 K], добавлен 14.06.2011
