Расчет вероятностей событий
Порядок расчета вероятностей событий с использованием классической формулы. Процесс решение задач для выражения события В через все события А. Определение вероятности того что взятая деталь окажется стандартной. Использование формулы Бейеса и Пуассона.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.02.2013 |
| Размер файла | 300,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Свободная таблица для решения задач раздела «Теория вероятностей»
|
Вариант № 1 |
Тополь Анна Владимировна |
|||
|
№ задачи |
Ответы |
|||
|
а) |
б) |
в) |
||
|
1 |
||||
|
2 |
||||
|
3 |
||||
|
4 |
||||
|
5 |
||||
|
6 |
||||
|
7 |
Тема № 1 «Расчет вероятностей событий»
Задача № 1
На 12 карточках написаны все будет равн. числа от 1 до 12. Из этих 12-ти карточек одновременно случайным образом выбираются две. Найти вероятность того, что на одной из них написано число, большее 9, а на другой - меньшее 9.
Решение
Введем обозначение: А- это событие, состоящее в том, что путем буде травнаого случайного отбора выбираются две карточки.
2) Искомую величину найдем, применив классическое определение вероятности:
(1)
3) Число благоприятствующих событию А исходов
(2)
где - количество вариантов чисел менше девяти;
- количество вариантов чисел більше девяти
4) Так как порядок выбора людей роли не играет, а один выбор отличается от другого хотя бы одным человеком, то это сочетания.
Как известно, число сочетаний из n элементов по k равно
.
По условию задачи рассматривается случай, уде для испытаний будут отобраны две карточки при условии что первая будет с числом менше 9, а вторая - больше 9. Следовательно число вариантов каждой из груп чисел будет соответствовать следующему:
, и ; (3)
5) Общее число вариантов отбора карточек будет равна - (4)
так-как число исходов благоприятствующих событию будет равно - 8 исходов при которых число меньше 9 (1;2;3;4;5;6;7;8), плюс 3 исхода при которых число больше 9 (10;11;12).
6) Подставив в исходную формулу (1) выражения (2) и (3) окончательно получим:
Ответ:
Задача № 2
Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведенной схеме. Пусть событие Аi означает безотказную работу за время Т элемента с номером i ( i = 1,2,3,... ), а событие В - безотказную работу цепи. Требуется:
а) написать формулу, выражающую событие В через все события Аi ; б) вычислить Р(В ) при р = 1/2.
Решение
Как видно из рисунка в цепи можно выделить четыре последовательно включених блоков. Присвоим этим блокам № I, II, III, IV с лева на право.
Пусть В - это событие означает безотказную работу блока с номером к (к= I, II, III, IV). Поскольку при последовательном расположении блоков цеп работает, если все четыре блока работают совместно, то -
Первый блок состоит из одного элемента с номером -1, потому - ;
Второй блок состоит из трех едементов с номерами 2,3,4. Поэтому блок работает, когда работает хотя бы один элемент блока, следовательно -
Третий блок содержит 3 элемента с номерами 5,6,7 - то,
Четвертый блок состоит из одного элемента под. номером 8, то ;
Таким образом: Часть а) Формулу события В через все события , (і=1,2,3,4,5,6,7,8) можно написать:
Часть б)
=
Ответ: а)
б)
Задача №3
Детали партии выпущены двумя заводами, причем детали, выпущенные первым заводом, составляют 40 % партии. Вероятность выпуска стандартной детали для первого завода равна 0.9, для второго - 0.95. Найти вероятности того, что случайным образом взятая деталь из партии: а) окажется стандартной; б) изготовлена первым заводом, если при проверке она оказалась нестандартной.
Решение
Часть а)
Введем обозначение: А - событие-деталь окажется стандартной,вероятность того,что деталь сделана первым заводом;-вероятность того,что деталь сделана вторам заводом;С -событие- деталь окажеться нестандартной.
По формуле Бейеса
По условиям задачи имеем условные вероятности:
= 0,9
(А)=0,95
4)Найдем вероятность события А и события :
Р(Х)=1-
=1-0,4=0,6
=1-0,6=0,4
Р()= 1-0,60,4=0,76
Р(=1- 0,76= 0,24
5)Применим формулу Бейеса, получим:
вероятность бейес пуассон
Задача № 4
Устройство содержит п одинаковых деталей 1-го типа и столько же оди- наковых деталей 2-го типа. Предполагается, что детали работают независимо друг от друга. По прошествии времени Т каждая деталь 1-го типа выходит из строя с вероятностью р1, а каждая деталь 2-го типа - с вероятностью р2. Найти вероят- ность того, что через время Т выйдет из строя не более одной детали 1-го типа и ни одной детали 2-го типа с помощью двух формул: а) точной формулы Бернулли при п = 100, р1 = 0.02, р2 = 0.01; б) приближенной формулы Пуассона при тех же данных. Кроме того, найти абсолютную и относительную погрешности при- ближенного вычисления.
Решение
А -это событие, которое обозначает что деталь первого типа выйдет из строя;
В - это событие обозначающее, что деталь второго типа не выйдет из строя;
Наблюдения за роботой устройства первого и второго типа укладывается в схему Бернулли
,
где . Здесь число наблюдений n = 100; где =1-0,02=0,98, а = 1-0,01=0,99.
Расчитываем формулу Бернулли:
Расчеты по приближенной формуле Пуассона:
,
где =100*0,02=2 и =100*0,01
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Опыт со случайным исходом. Статистическая устойчивость. Понятие вероятности. Алгебра событий. Принцип двойственности для событий. Условные вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула Байеса. Пространство элементарных событий.
реферат [402,7 K], добавлен 03.12.2007Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий. Теорема полной вероятности события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли, формула Пуассона, формула Муавра-Лапласа. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин.
контрольная работа [55,2 K], добавлен 19.12.2013Формулировка и доказательство теоремы о сложении вероятностей двух несовместных событий. Следствие теоремы в случае, когда события составляют полную группу несовместных событий, и в случае противоположных событий. Примеры вычисления вероятности событий.
презентация [77,5 K], добавлен 01.11.2013Решение задач по определению вероятности событий, ряда и функции распределения с помощью формулы умножения вероятностей. Нахождение константы, математического описания и дисперсии непрерывной случайной величины из функции распределения случайной величины.
контрольная работа [57,3 K], добавлен 07.09.2010Определение и оценка вероятности наступления заданного события. Методика решения задачи, с использованием теоремы сложения и умножения, формулы полной вероятности или Байеса. Применение схемы Бернулли при решении задач. Расчет квадратического отклонения.
практическая работа [55,0 K], добавлен 23.08.2015Определение вероятности случайного события, с использованием формулы классической вероятности, схемы Бернулли. Составление закона распределения случайной величины. Гипотеза о виде закона распределения и ее проверка с помощью критерия хи-квадрата Пирсона.
контрольная работа [114,3 K], добавлен 11.02.2014Основные понятия, действия над случайными событиями. Классическое определение, свойства вероятностей. Правила вычисления вероятностей случайных событий. Построение законов распределения вероятностей случайных величин, вычисление числовых характеристик.
задача [82,0 K], добавлен 12.02.2011Классическое определение вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Дисперсия случайной величины. Число равновозможных событий . Матрица распределения вероятностей системы. Среднее квадратическое отклонение, доверительный интервал.
контрольная работа [89,7 K], добавлен 07.09.2010Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Макларена. Теорема Дерихле. Основные понятия в теории вероятностей. Теорема умножения и сложения вероятностей независимых событий. Формулы Бейеса, Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
методичка [96,6 K], добавлен 25.12.2010Изучение закономерностей массовых случайных явлений. Степень взаимосвязи теории вероятностей и статистики. Невозможные, возможные и достоверные события. Статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое определение вероятности. Формула Бейеса.
реферат [114,7 K], добавлен 08.05.2011История и основные этапы становления и развития основ теории вероятности, ее яркие представители и их вклад в развитие данного научного направления. Классификация случайных событий, их разновидности и отличия. Формулы умножения и сложения вероятностей.
контрольная работа [22,6 K], добавлен 20.12.2009Теория вероятности как математическая наука, изучающая закономерность в массовых однородных случаях, явлениях и процессах, предмет, основные понятия и элементарные события. Определение вероятности события. Анализ основных теорем теории вероятностей.
шпаргалка [777,8 K], добавлен 24.12.2010Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Методы решения задач по теории вероятности, определение математического ожидания и дисперсии.
контрольная работа [157,5 K], добавлен 04.02.2012Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Пространство элементарных событий. Совместные и несовместные события. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин. Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики случайной функции. Условие независимости двух событий.
контрольная работа [30,0 K], добавлен 15.06.2012Основные принципы и формулы классической комбинаторики. Использование методов комбинаторики в теории вероятностей. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Решение комбинаторных задач.
учебное пособие [659,6 K], добавлен 07.05.2012Определение числа всех равновероятных исходов испытания. Правило умножения вероятностей независимых событий, их полная система. Формула полной вероятности события. Построение ряда распределения случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсия.
контрольная работа [106,1 K], добавлен 23.06.2009Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.
контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013Способы определения вероятности происхождения события с помощью формулы Бейеса на примере задач о вынимании шарика определенного цвета из урны, попадании стрелком в мишень, о выпадении герба монеты, передачи сообщения по средствам связи без помех.
контрольная работа [105,5 K], добавлен 01.12.2010Возникновение теории вероятностей как науки, вклад зарубежных ученых и Петербургской математической школы в ее развитие. Понятие статистической вероятности события, вычисление наивероятнейшего числа появлений события. Сущность локальной теоремы Лапласа.
презентация [1,5 M], добавлен 19.07.2015
