Кривые линии

Размещено на http://www.allbest.ru

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра Информатика

Отчет о самоподготовке

на тему: «Кривые линии»

Выполнил студент: Адистанов Н.А.

гр. БАП 1202

Проверила: Рывлина А.А.

Москва - 2012

Содержание

Введение

Способы образования кривых линий

Плоские кривые линии. Кривые линии второго порядка

Рулетты

Замечательные кривые линии

Заключение

Список литературы

Введение

Кривые линии - это траектории движущихся объектов, очертания инженерных конструкций и деталей машин, границы и результат пересечения поверхностей, графическое выражение различных функциональных зависимостей, характеризующих изучаемые процессы и явления. Кривые линии применяются при конструировании форм различных поверхностей, в теории машин и механизмов, в моделировании и разметочном деле, при построении диаграмм многокомпонентных систем.

Кривые линии широко распространены в архитектуре и строительстве. По кривым линиям очерчиваются арки и своды инженерных сооружений. Кривые линии применяются для образования поверхностей различных архитектурных деталей: колонн, куполов, карнизов, покрытий, винтовых лестниц и т.д. Кривыми линиями - горизонталями - изображается рельеф земной поверхности.

Способы образования кривых линий

Под кривой линией подразумевается геометрическое место (траектория) последовательных положений движущейся точки. Можно представить себе, что кривая линия состоит из множества точек. Однако кривая линия также может быть представлена как линия пересечения двух поверхностей.

В начертательной геометрии кривые линии представляют особый интерес как производящие (образующие) кинематических поверхностей.

Кривые, все точки которых принадлежат одной плоскости, называют плоскими, остальные - пространственными.

Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют ее определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую.

Различны и способы задания кривых:

аналитический - кривая задана математическим уравнением;

графический - кривая задана визуально на носителе графической информации;

табличный - кривая задана координатами последовательного ряда ее точек.

Способы образования кривых линий могут быть различны. Одни кривые линии образуются по определенному закону - закономерные кривые; образование других носит эмпирический (опытный) характер - незакономерные кривые линии. Закономерные кривые линии могут быть заданы графически и аналитически. Незакономерные кривые линии задаются только графически на чертеже.

Уравнением кривой линии называют такое уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей этой линии.

Закономерные кривые линии разделяют на алгебраические (определяемые в декартовых координатах алгебраическими уравнениями) и трансцендентные (определяемые неалгебраическими уравнениями). Кривая линия, представляемая в декартовых координатах уравнением n-степени, называется алгебраической кривой n-го порядка. К алгебраическим кривым относятся окружность, эллипс, парабола, гипербола, астроида, кардиоида. К трансцендентным кривым относятся: синусоида, спираль Архимеда, циклоида.

Порядком алгебраической кривой линии называют степень ее уравнения. Геометрически порядок плоской алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек ее пересечения прямой линией. Любая прямая может пересекать алгебраическую кривую n-го порядка не более чем в n точках.

Проекции кривых в общем случае представляются кривыми того же или более низкого порядка.

Плоские кривые линии. Кривые линии второго порядка

Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называют плоскими.

При параллельном проецировании порядок плоской алгебраической кривой не изменяется.

Кривая линия как траектория движущейся точки должна быть непрерывной. Движущаяся точка в любом из положений должна иметь определенное направление движения. Это направление указывает касательная, проходящая через рассматриваемую точку. Длина отрезка кривой определяется в общем случае суммой длин отрезков вписанной в нее ломаной линией с достаточно большим числом сторон, с заданной точностью передающей форму кривой. Касательная к кривой проецируется в касательную к проекции кривой.

Эталоном плоской кривой является окружность.

В частном случае, когда плоскость кривой параллельна плоскости проекций, кривая и ее проекции конгруэнтны. Степень искривленности кривой линии определяет ее кривизна. Кривизна кривой есть предел отношения угла смежности между полукасательными к длине дуги. Кривизну кривой в рассматриваемой точке определяют с помощью соприкасающейся окружности. Центр этой окружности определяет центр кривизны кривой. Множеством центров кривизны кривой линии является кривая. Ее называют эволютой данной кривой. Саму кривую в этом случае называют эвольвентой.

В практике конструирования линий и поверхностей широко используются составные кривые, составленные из последовательного ряда дуг монотонных кривых линий - обводы. Точки стыка дуг обвода называют узлами. Обводы, заданные координатами своих точек, называют дискретными.

Вершины (точки стыка) с общим центром кривизны называют регулярными, а замкнутые кривые линии с регулярными вершинами называются овалами. Вершины, отличные от регулярных вершин, называют иррегулярными. Иррегулярные вершины: двойная, острия, перегиба, клюва.

Плоскую кривую линию можно рассматривать как траекторию (путь) движущейся точки в плоскости.

Каждому участку пути s, пройденного точкой, соответствует определенный угол б поворота касательной относительно начального положения.

Величины s и б (в радианах) называют естественными координатами плоской кривой.

В инженерной практике часто приходится проводить касательные и нормали к плоским кривым.

Касательная - это прямая, соединяющая две бесконечно близкие точки кривой. Касательной t к кривой a в точке C называется прямая, с которой стремятся совпасть две разнонаправленные секущие.

Нормалью в точке C кривой a называется перпендикуляр к касательной t.

Алгебраическую кривую линию, которая описывается в системе декартовых координат уравнением второй степени относительно текущих координат, называют кривой линией второго порядка.

Кривые линии второго порядка

Эллипс представляет собой множество точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a.

Уравнение эллипса: x2/a2 + y2/b2=1

В частности, если a=b, то уравнение определяет окружность.

Гипербола -- множество точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a.

Уравнение гиперболы: x2/a2 - y2/b2=1

Парабола представляет собой множество точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы: y2=2px

Рулетты

Кривые линии, построенные при помощи центроид, называют рулеттами. Рулетту можно задать подвижной и неподвижной центроидами и производящей точкой. Рулетту называют циклической или циклоидальной, если центроидами ее являются дуги окружностей.

Кривая линия как траектория точки окружности, катящейся без скольжения по прямой линии, называется циклоидой.

Циклическую рулетту называют эпициклоидой (надциклоидой), если центроиды ее (окружности данных радиусов) находятся во внешнем соприкасании. Если соприкасание центроид (окружностей) внутреннее, рулетту называют гипоциклоидой (подциклоидой).

Виды рулетт

Эпициклоида - плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения, т.е. центроиды в эпициклоиде находятся во внешнем соприкасании.

Эпициклоида с r=1,0; R=1,0.

Для этой эпициклоиды k=R/r =1.

Эпициклоида с r=1,0; R=2,0.

Для этой эпициклоиды k=R/r=2.

Гипоциклоида - плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения, т.е. центроиды в гипоциклоиде находятся во внутреннем соприкасании.

Гипоциклоида с r=1,0; R=3,0.

Для этой гипоциклоиды k=R/r=3.

Гипоциклоида с r=1,0; R=4,0.

Для этой гипоциклоиды k=R/r=4.

Такую гипоциклоиду называют астроидой.

Кардиоида - плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца. Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды и синусоидальной спирали.

Для кардиоиды r=R, где r - радиус подвижной, a R - радиус неподвижной центроиды.

Замечательные кривые линии

Из плоских кривых широко известны замечательные кривые линии: строфоида, цисоида Диокла, декартов лист, Верзьера Аньези, линии Кассини, лемниската Бернулли, архимедова и логарифмические спирали и др. Такие кривые задаются уравнениями, которые и дают возможность всесторонне их исследовать, выявить их основные свойства.

Примеры замечательных плоских кривых линий

Строфоида - алгебраическая кривая 3-го порядка. Строится так: в декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OD, проводится произвольная прямая AL. Прямая AL пересекает ось ординат в точке P. От точки P, на расстоянии равном OP, в обе стороны, вдоль прямой AL находятся точки M1 и M2. Геометрическое место точек M1 и M2 образуют строфоиду. В прямоугольной системе координат строится прямая строфоида или просто строфоида. Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую - «птероида» (от греч. крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году.

Декартов лист - плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе x +y3=3axy. Параметр 3a определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

Циссоида Диокла - плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OY, на отрезке OA = 2a, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке A проводится касательная UV. Из точки O проводится произвольная прямая OF, которая пересекает окружность в точке E и касательную в точке F. От точки F, в направлении точки O, откладывается отрезок FM, длина которого равна длине отрезка OE. При вращении линии OF вокруг точки O, точка M описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии показаны синим и красным цветами. Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка P, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке E; ось симметрии - диаметр BD. Из точки P проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка M, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой OE. Этим методом Диокл построил только кривую DOB внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (DOB) замкнуть дугой окружности EAD, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ -- греч. чйуупт («киссос»), от этого и произошло название кривой - «Циссоида». В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Верзьера (верзиера) Аньези (иногда локон Аньези) - плоская кривая, геометрическое место точек M, для которых выполняется соотношение , где OA - диаметр окружности, BC -- полухорда этой окружности, перпендикулярная OA. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

Овал Кассини - геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа a. Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном 2a является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами. Кривая была придумана астрономом и инженером Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс. Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна.

Лемниската Бернулли - геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами. Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Её название восходит к античному Риму, где «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Архимедова спираль - спираль, плоская кривая, траектория точки M, которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние с=OM пропорционально углу поворота ц луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение с.

Логарифмическая спираль или изогональная спираль - особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, «удивительная спираль». Логарифмическая спираль обладает замечательным свойством восстанавливать свою форму после различных преобразований.

кривая линия плоская руллетт

Заключение

Линии занимают особое положение в начертательной геометрии. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени.

Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удается решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путем часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата.

Умело подбирая линии, дизайнер имеет возможность придать изящные и эстетичные формы конструируемым изделиям.

Кроме самостоятельного значения, линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм.

Список литературы

1. Бубенников А.В. Начертательная геометрия: Учебник для втузов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. школа, 1985. - 288 с.: ил.

2. Бударин О.С. Начертательная геометрия. Краткий курс: Учеб. пособие. - СПб.: Лань, 2008. - 368 с.: ил.

3. Гордон В.О. Курс начертательной геометрии: Учеб. пособие для втузов / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский; Под ред. В.О. Гордона и Ю.Б. Иванова. - 25-е изд., стер. - М.: Высш. школа, 2003. - 272 с.: ил.

4. Нартова Л.Г. Начертательная геометрия: Учеб. пособие для студ. технич. специальностей вузов / Л.Г. Нартова, В.И. Як унин. - М.: Академия, 2005. - 288 с.

Размещено на www.allbest.