Математика в музыке
Связь между музыкой и математикой. Основные характеристики колебательного процесса. Описание колебаний точки около положения равновесия. Математическое описание волн. Суммы гармонических колебаний. Уравнение колебания струны или волновое уравнение.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.02.2013 |
| Размер файла | 23,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Математика в музыке»
Ергалиева Д.К. Международная Академия Бизнеса,
«Учет и аудит», 1 курс, г.Алматы
Научный руководитель: Дюсембаева Г.С.
Почему мы выбрали именно эту тему? Потому что тема «музыка и математика» мало исследована и представляет определенную загадку. Изучив литературу по данной теме, мы поняли, что к теме математики в музыке обращаются не только математики, но и музыканты, мастера, изготавливающие музыкальные инструменты.
Связь между музыкой и математикой емко отражена в высказывании известного математика Пифагора: «Музыка воспринимается умом на основании математической гармонии». Суть Пифагора заключается в сочетании звуков, издаваемых струнами. Так, по его теории длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.
Интервал-это расстояние между нотами, определяемое отношением их частот. Наиболее важные в музыке интервалы получили свои собственные имена. Так, отношение частот 3/2 определяет интервал квинты, важен интервал октавы- его образуют две ноты с отношением частот 2, то есть математически октава описывается числом 2,которое является наименьшим простым числом. Рассмотрим первые понятия, которые человек изучает в музыке. Интервал октава звучит для человека очень приятно. Можно представить это как аксиому биологического уровня, а можно свести к физическому: звуки, различающиеся по частоте вдвое, дают то же множество обертонов, что и нижний из них. Поэтому они практически сливаются.
Всякий звук-это воспринимаемые человеческим ухом колебания среды, обычно воздуха. Источником колебаний могут быть голосовые связки певца, струна музыкального инструмента, плохо смазанная дверь. Одна из основных характеристик колебательного процесса- частота колебаний.
Колебания струны еще изучали пифагорейцы. Они использовали для этого несложный прибор под названием монохорд, представляющий из себя единственную струну, закрепленную в двух точках над резонатором. Под струной на верхней крышке Пифагор начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых ученый описал математически звучание натянутой струны.
Значительно позже, в XVIII веке, после работ Ньютона и Лейбница в области физики и дифференциального исчисления, было выведено уравнение колебания струны - так называемое волновое уравнение (породившее новую область в науке - математическую физику):
музыка математика волна колебание
Здесь - время; - координаты некой точки на струне в момент времени ; - функция отклонения точки в момент времени от положения равновесия; - коэффициент пропорциональности, характеризующий упругие свойства струны; - сила натяжения струны; - плотность однородной струны. Предполагается, что струна совершает малые колебания в одной плоскости.
Математическое описание волн было дано математиками д'Аламбером, Эйлером, Бернулли, Лагранжом. Прежде всего, описание колебаний точки около положения равновесия нужна всего одна переменная x, показывающая на сколько отклоняется точка от положения равновесия в момент времени t. В наиболее простом случае периодических колебаний с постоянной амплитудой зависимость x от времени описывается формулой x = Acoswt, гдеA - амплитуда, а w - частота колебаний. Здесь используются тригонометрические функции.
Примером применения функции двух переменных являются колебания протяженной струны, которая является функцией двух аргументов:
y= Asin 2p/l xcoswt
где A - амплитуда, р- длина струны, x - координата точки струны, а w - частота колебаний,t- время
Формула более сложного математического уравнения, описывающая колебания струны:
y=Asin 2p/l xcoswt+ Bsin 4p/l xcos2wt
Здесь во втором слагаемом удвоены коэффициенты при аргументах. Удвоение коэффициента при x соответствует уменьшению вдвое длины струны, удвоение коэффициента при t вдвое увеличивает частоту колебаний.
В музыке звуки состоят из суммы гармонических колебаний называемых идеальными звуками, тонами или просто звуками. Такие звуки хоть и не существуют в природе в чистом виде, но характеризуются частотой (f).Тембр-это сочетание обертонов, который дает музыкальную окраску звуку.
Рассмотренные формулы используются при изготовлении музыкальных инструментов, при расчете звуков, тембров при написании музыки с помощью компьютера, новых технологий. Сама математика своей логикой, системностью, точностью ограниченно вписывается в музыку. До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Таким образом, к словам Пифагора можно добавить, что на основании математической гармонии, не только воспринимается музыка, но и она создается, воспроизводится.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Анализ уравнения гиперболического типа - волнового уравнения. Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера, неоднородное уравнение. Задача Коши, двумерное волновое уравнение. Теорема устойчивости решения задачи Коши. Формулы волнового уравнения.
реферат [1,0 M], добавлен 11.12.2014Открытие Пифагора в области теории музыки. Что определяет консонанс. Законы пифагорейской музыки. Математическое описание построения музыкальной гаммы. Музыкальный строй. Номер ступени верхнего тона. Интервальные коэффициенты. Приемы дирижирования.
научная работа [724,1 K], добавлен 09.02.2009Понятие волнового уравнения, описывающего различные виды колебаний. Рассмотрение явной разностной схемы "крест" для решения данной задачи. Нахождение решений на нулевом и первом слоях с помощью начальных условий. Виды и решения интегральных уравнений.
презентация [240,6 K], добавлен 18.04.2013Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Биссектриса углов между прямыми. Деление отрезка в заданном отношении. Виды неполных уравнений. Понятие направляющего вектора. Расстояние от точки до прямой.
презентация [490,5 K], добавлен 10.11.2014Уравнение стороны треугольника и ее угловой коэффициент. Координаты точки пересечения медиан. Уравнение прямой, проходящей через точки. Область определения функции. Поиск производной и предела функции. Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.
контрольная работа [94,9 K], добавлен 12.05.2012Раскрытие понятия об уравнение Дирака и вывод его решения в виде плоских волн. Обозначение матриц и рассмотрение их основных свойств. Определение понятия спинора и релятивистских обозначений пространственно-временных координат и метрических тензоров.
курсовая работа [282,8 K], добавлен 14.06.2011Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной заданному вектору, плоскости в отрезках, проходящей через три точки. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
презентация [106,9 K], добавлен 21.09.2013Способы задания прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Рассмотрение частных случаев. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Построение графика прямой, проходящей через две точки. Рассмотрение примера.
презентация [104,9 K], добавлен 21.09.2013Описание подходов к построению динамической модели технологического процесса, этапы и направления данного процесса, ее конкретное представление. Аппроксимация заданных уравнений и оценка полученных результатов, решение и математическое значение.
контрольная работа [92,9 K], добавлен 11.03.2015Функциональные и корреляционные зависимости. Сущность корреляционной связи. Методы выявления наличия корреляционной связи между двумя признаками и измерение степени ее тесноты. Построение корреляционной таблицы. Уравнение регрессии и способы его расчета.
контрольная работа [55,2 K], добавлен 23.07.2009Уравнения линии на плоскости, их формы. Угол между прямыми, условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и главные геометрические свойства.
лекция [160,8 K], добавлен 17.12.2010Классификация гиперболических уравнений в общей классификации уравнений математической физики. Классификация уравнений: волновое, интегро-дифференциальные, уравнение теплопроводности. Методы решения в зависимости от видов гиперболических уравнений.
контрольная работа [249,3 K], добавлен 19.01.2009Метод координат. Основные задачи аналитической геометрии на прямой и на плоскости. Основные линии второго порядка. Алгебраическая и геометрическая интерпретация векторов. Уравнение поверхности и уравнение линии в пространстве. Общее уравнение плоскости.
учебное пособие [687,5 K], добавлен 04.05.2011Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера. Составление уравнение линии, каждая точка которой является центром окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точку. Нахождение размерности и базиса пространства.
контрольная работа [665,5 K], добавлен 28.03.2012Метод коллокаций - определение функции, удовлетворяющей линейное дифференциальное уравнение и линейные краевые условия. Определение коэффициентов конечной суммы в выражении для приближенного решения дифференциального уравнения методом Галёркина.
лекция [482,7 K], добавлен 28.06.2009Решение системы линейных уравнений методами Крамера, обратной матрицы и Гаусса. Расчет длин и скалярного произведения векторов. Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору. Расчет производных функций одной и двух переменных.
контрольная работа [984,9 K], добавлен 19.04.2013Определение разности и произведения матриц. Решение системы линейных уравнений методом Крамера. Уравнение прямой проходящей через точки A (xa, ya) и C (xc, yc). Порядок определения типа кривой второго порядка и ее основных геометрических характеристик.
контрольная работа [272,0 K], добавлен 11.12.2012Определение зависимости между танцем и математикой на примере изучения белорусских народных танцев. Анализ математических составляющих танца. Ознакомление с особенностями использования геометрических фигур в постановке национальных белорусских танцев.
контрольная работа [994,7 K], добавлен 15.09.2019Степенные ряды. Радиус сходимости. Ряды Лорана. Полюса и особые точки. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов. Общее дифференциальное уравнение Риккати. Исследование решений в окрестности полюса и существенно особой точки.
дипломная работа [252,1 K], добавлен 15.12.2012Математика Древнего и Средневекового Китая. Правило двух ложных положений. Системы линейных уравнений со многими неизвестными. Начальные этапы развития тригонометрии. Создание позиционной десятичной нумерации. Арифметика натуральных чисел и дробей.
дипломная работа [593,1 K], добавлен 22.12.2012
