Размещено на http://www.allbest.ru/

Матриці та дії над ними

Вступ

Метою даної роботи є ознайомлення з елементами теорії матриць.

Серед розглядуваних питань найважливішим є властивості дій над матрицями. Теорія матриць відіграє важливу роль не тільки у всіх галузях математики, але й у фізиці. Тому її вивчення повинно бути дуже ретельним. Матриці з числовими елементами є природнім узагальненням чисел і широко використовуються в алгебрі, як приклади алгебраїчних структур. Так, наприклад, кватерніони Гамільтона можна представляти у вигляді певних квадратних матриць 4-го порядку з дійсними елементами. Якщо ж дозволити елементам матриць пробігати множину елементів певного кільця, то можна отримати приклади нових кілець. Таким способом отримуються кільця із заданими властивостями.

1. Означення матриць

Матрицею називається прямокутна таблиця, що заповнена певними математичними об'єктами, які називаються елементами матриці. Тут будемо розглядати лише такі матриці, елементами яких є числа. Елементи матриці будемо позначати однією буквою з двома індексами, де перший індекс вказує номер рядка елемента матриці, а другий - номер його стовпця.

Таким чином, матриця записується у формі:

або .

Якщо матриця має k рядків і n стовпців, то про таку матрицю кажуть, що вона має розмір k ? n.

Якщо кількість рядків і кількість стовпців матриці рівні, то така матриця називається квадратною, а кількість її рядків (стовпців) називається її порядком.

Матрицю також позначають великими латинськими літерами або за допомогою відповідних малих літер з двома індексами:

А = = , В = = .

Дві матриці однакових розмірів називають рівними, якщо їх відповідні елементи рівні.

Наприклад, матриці

A = , В =

не є рівними (А ? В), оскільки = 8, = 1.

2. Види матриць

Матриця, що складається з одного рядка [стовпця], називається матрицею-рядком [матрицею-стовпцем].

Матрицю-рядок також називають рядком, а матрицю-стовпець - стовпцем. Використовуються також наступні терміни: вектор-рядок, вектор-стовпець. Вектор, що складається з n елементів, називається n-вимірним.

Матриця О довільних розмірів, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нуль-матрицею:

О = .

Рядок [стовпець], всі елементи якого є нулі, називається нульовим рядком [стовпцем] або нуль-вектором.

Одиничною матрицею називається квадратна матриця Е n-го порядку наступного вигляду:

Е = = [_ij],

де _ij = - символ Кронекера.

Квадратна матриця D називається діагональною, якщо вона має наступний вигляд:

D = ,

тобто d_ij = 0, якщо і j. Таку матрицю також позначають наступним чином:

D = diag .

Наприклад,

.

Зрозуміло, що одинична матриця є діагональною.

Квадратна матриця А називається нижньою трикутною, якщо вона має вигляд:

А =,

тобто а_ij = 0, якщо і < j.

Квадратна матриця А називається верхньою трикутною, якщо вона має вигляд:

А = ,

тобто а_ij = 0, якщо і > j.

Матриця, яка є або нуль-матрицею, або матрицею виду

,

де 0, 0,…, 0 називають верхньою трапецієподібною матрицею.

Приклади:

1). Ї нуль-матриця;

2). Ї вектор-стовпець;

3). Ї діагональна матриця;

4). Ї одинична матриця;

5). Ї нижня трикутна матриця;

6). , , , Ї верхні трапецієподібні матриці.

Східчастою називають матрицю А, яка має наступні властивості:

1). Якщо і-й рядок нульовий, то (Я+1) - й рядок також нульовий;

2). Якщо перші ненульові елементи Я-го і (Я+1) - го рядків є в стовпцях К_і і К_і+1 відповідно, то К_і < К_і+1.

Приклад.

Ї східчаста матриця, де =2, , .

3. Означення дій над матрицями

Сумою двох матриць однакових розмірів А і В називають матрицю С, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В, тобто

С=А+В=

(або для всіх i, j).

Добутком матриці А на число л називають таку матрицю В, кожний елемент якої дорівнює добутку числа л і відповідного елемента матриці А, тобто:

В = л А = л = =

(або для всіх ).

Матрицю (-1) А позначатимемо через - А і називатимемо її матрицею, протилежною до матриці А.

Під різницею матриць А і В (А - В) будемо розуміти суму А + (-В). Зрозуміло, що А - А = О, А + О = О +А = А для всякої матриці А і нуль-матриці О тих же розмірів.

Транспонованою до матриці А розмірів k n називається така матриця В розмірів n k, що для всіх і, j. Тобто матриця В має за рядки відповідні стовпці матриці А.

Транспоновану матрицю позначають через А^T, а елементи її через (= а).

Приклад:

А = А^T=

Для введення добутку двох матриць визначимо спочатку добуток рядка і стовпця однакової довжини (рядок - лівий множник, стовпець - правий множник, бо порядок співмножників тут важливий!):

=

У результаті одержимо квадратну матрицю першого порядку, яку можна ототожнити з її єдиним елементом Добуток АВ матриць А і В визначаємо тільки тоді, коли кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

Нехай матриця А має розмір , а матриця В - n.

Добутком матриць А і В називається матриця С = АВ, що має розмір kr, а її елемент дорівнює добутку і-го рядка матриці А і j-го стовпця матриці В:

c_ij = =

i =1,…, k; j =1,…, r.

Приклади:

1). = ;

2). ;

3). = ;

4).

Нехай А - квадратна матриця n-го порядку, Е - одинична матриця n-го порядку, а О - квадратна нуль-матриця n-го порядку. Тоді легко перевірити, що:

АЕ = ЕА = А,

АО = ОА = О.

Слід зауважити, що добуток двох ненульових матриць може бути нульовою матрицею (нуль-матрицею).

Справді,

Квадратна матриця В n-го порядку називається оберненою до квадратної матриці А n-го порядку, якщо АВ = ВА = Е.

Обернену матрицю до матриці А позначають через .

Приклад.

Нехай А = . Тоді В = - обернена матриця до матриці А.

4. Властивості додавання матриць та множення матриць на числа

Додавання матриць та множення матриць на числа мають наступні властивості:

1. А + (В + С) = (А + В) + С (асоціативність);

1. А + О = О + А = А;

2. А + (-А) = (-А) + А = О;

3. А + В = В + А (комутативність);

4. А = А;

5. (А + В) = А + В;

6. ( + ) А = А + А;

7. (А) = () А

(для довільних матриць А, В, С однакових розмірів і для довільних чисел , ).

Доведемо властивості 1 і 7. Всі інші властивості доводяться аналогічно і залишаються для самостійного доведення читачу.

1. А + (В + С) = +

= =

=

(тут ми використали асоціативність додавання чисел).

7.

=

(тут ми використали дистрибутивність множення відносно додавання для чисел).

5. Символи суми

Суму позначають через, де і називається індексом підсумовування і його позначення ролі не відіграє, тобто його можна замінити будь-якою іншою буквою:

1). ;

Очевидними також є й інші властивості символу суми:

2). (адитивність);

3). (однорідність);

де - будь-яке число (яке не залежить від і).

Часто використовуються так звані подвійні суми, які необхідні для підсумовування доданків з двома індексами.

тобто для знаходження суми всіх елементів прямокутної таблиці (матриці):

Тут і, j називаються першим і другим індексами підсумовування відповідно.

Очевидно, що сума S всіх елементів даної таблиці дорівнює

S =

де

Тому

(Знаходимо суму всіх сум елементів рядків).

З другого боку,

(Знаходимо суму всіх сум елементів стовпців).

Таким чином, має місце наступна властивість символу подвійної суми:

4).

Взагалі кажучи, символ суми може записуватися у найрізноманітніших ситуаціях. Його ж зміст може бути зрозумілим з контексту.

Тепер нам легко буде оперувати з матрицями. Наприклад, елемент добутку матриць і розмірів і , відповідно, записується наступним чином:

.

6. Властивості множення матриць

1. Множення матриць не є комутативним, тобто існують такі матриці А і В, для яких АВ ? ВА.

Наприклад,



2. (АВ) С = А(ВС) для довільних матриць А, В, С, для яких існують добутки АВ і ВС (асоціативність).

Справді, нехай А має розмір Покладемо АВ = U і ВС = V. Зрозуміло, що U має розмір а . Тоді нам треба довести, що UС = АV. Доведемо це.

Елемент добутку UС дорівнює

але , тобто

елемент добутку UС (використана властивість 3 символу суми).

Знайдемо тепер елемент добутку АV.

(використана властивість 3 символу суми).

Використавши властивість 4 подвійних сум, матимемо, що UС = АV.

3. якщо і мають однаковий розмір та існує ; , якщо А і В мають однаковий розмір та існує АС (дистрибутивність).

Доведемо першу рівність за вказаних умов. Нехай А має розмір а В і С - . Тоді елемент добутку А (В + С) дорівнює



Елементи добутків АВ, АС дорівнюють відповідно,

.

Тому елемент матриці АВ + АС дорівнює

(тут була використана властивість 2 символу суми - адитивність).

Отже, відповідні елементи матриць А (В + С), АВ + АС рівні. Тому перша рівність доведена. Друга рівність доводиться аналогічно.

АЕ = ЕА = А,

де А - квадратна матриця, а Е - одинична матриця того ж порядку n.

Справді, елемент добутку АЕ дорівнює

а елемент добутку ЕА дорівнює

4. Якщо квадратна матриця А має обернену матрицю, то обернена матриця єдина.

Справді, нехай В і С - обернені до А матриці. Тоді

АВ = ВА = Е і АС = СА = Е.

Тоді

С = СЕ = С (АВ) = (СА) В = ЕВ = В

(тут використані властивості 4, 2 множення матриць).

5. Якщо квадратні матриці А і В мають обернені, то

і

(перевірити самостійно!)

7. Властивості транспонування

для довільної матриці А (ідемпотентність);

,

де А і В - довільні матриці однакових розмірів (адитивність);

для довільної матриці А і довільного числа л (однорідність);

для довільних матриць А і В, для яких існує добуток АВ;

.

Доведемо ці властивості.

1. Очевидно.

2. Справді,

=

3. Справді,

4. Нехай U = АВ. Тоді

тобто = .

5. Доведемо першу з рівностей. Використаємо попередню і першу властивості:

.

Матриця А, для якої , називається симетричною.

Таким чином, матриця завжди симетрична.

Приклад:

- симетрична матриця.

8. Обернена матриця у випадку квадратних матриць другого порядку

матриця кватерніон транспонування множення

Приклад.

Розглянемо матрицю . Припустимо, що матриця А має обернену матрицю . Тоді , тобто . З рівності отримаємо дві системи:

і

Оскільки то, тобто Очевидно, що така рівність і друга рівність системи виконуватися одночасно не можуть. Отже маємо протиріччя. Таким чином, матриця А оберненої матриці не має.

Приклад.

Нехай матриця . Покажемо, що А має обернену матрицю і знайдемо її.

Існування матриці, оберненої до А, рівносильне існуванню спільного розв'язку двох матричних рівнянь і , де

.

Припустимо, що такий розв'язок справді існує, тоді з отримаємо системи:

Зрозуміло, що тоді

Отже, з існування розв'язку випливає, що він дорівнює .

Легко переконатися, що справді

Таким чином існує і дорівнює

Для кожної квадратної матриці другого порядку існує простий спосіб з'ясування того факту, чи існує для неї обернена матриця. Для цього введемо поняття визначника квадратної матриці другого порядку.

Визначником матриці називається число

.

Зрозуміло, що .

Лема. Якщо А і В - дві квадратні матриці другого порядку, то

Доведення. Справді,

=

=

-

-

=

Лему доведено.

Список літератури

1. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. - Москва. - Наука. - 1980. - 240 с.

2. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - Москва. - Наука. - 1970. - 400 с.

3. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. - Москва. - МГУ. - 1980. - 320 с.

4. Ланкастер П. Теория матриц. - Москва. - Наука. - 1978. - 280 с.

5. Горбачук О.Л., Воробець Б.Д. Вступ до вищої алгебри. - Львів. - ЛДУ. -1976. - 88 с.

Размещено на Allbest.ru

...