Метрические свойства косого четырехугольника

Размещено на http://www.allbest.ru/

Квалификационная работа

На тему: Метрические свойства косого четырехугольника

Реферат

Объект исследования: косой четырехугольник, косой параллелограмм.

Цель работы: провести анализ и систематизировать имеющийся материал по теме «Метрические свойства косого четырехугольника»; подобрать и решить ряд задач, иллюстрирующих основные теоретические сведения.

Метод исследования: сравнение, обобщение, изучение методической литературы.

В квалификационной работе, на основе проведенного анализа, изложен теоретический и практический материал по теме «Метрические свойства косого четырехугольника». Весь материал разбит на три основных раздела, при этом материал изложен логически - последовательно и в виде доступном для изучения на базе среднего школьного образования.

Работа может быть использована в школьном учебном процессе, как часть факультативного курса по геометрии, а так же как спецкурс для студентов математических специальностей.

Косой четырехугольник, центроид, медиана, барицентрические координаты, теорема Менелая, теорема Чевы, теорема гаусса, теорема Лейбница, косой параллелограмм, углы косого четырехугольника, признаки косого параллелограмма.

Содержание

Реферат

Введение

1. Косой четырехугольник и его замечательные точки

1.1 Косой четырехугольник. Элементы косого четырехугольника и их свойства

1.2 Барицентрические координаты точек пространства

1.3 Основные классические теоремы о замечательных точках косого четырехугольника

2 Зависимость между углами, сторонами и диагоналями косого четырехугольника. Косой параллелограмм

2.1 Сумма углов косого четырехугольника

2.2 Зависимость между сторонами и диагоналями косого четырехугольника

2.3 Косой параллелограмм

2.4 Свойство общего перпендикуляра диагоналей косого параллелограмм

2.5 Признаки косого параллелограмма

3. Косой четырехугольник в примерах и задачах

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Задача 10

Выводы

Перечень ссылок

Введение

Известно, что ни одна наука не может существовать изолированно от других. Математика, в частности, сейчас необходима везде.

Увеличивается не только количество наук, в которых применяется математика, но и объем математических знаний, которые используются. Вот почему очень важно, чтобы учащиеся имели хорошую математическую подготовку.

Важную роль в улучшении математической подготовки учащихся играют факультативные курсы по математике. Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Содержание программы факультативного курса по математике позволяет расширить и углубить изучение программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми современными математическими идеями, раскрыть приложение математики в практике.

Из существующих факультативных курсов [2,9,10,13,14,16,19,22,25] только [14,22,25] посвящены геометрическим вопросам. Среди рассматриваемых в них вопросах определенное место занимают тетраэдры.

Основные элементы геометрии тетраэдра и его свойства тесно связаны с такой пространственной фигурой как косой четырехугольник. Многие факты известные для тетраэдра могут быть перенесены и на косой четырехугольник. Однако, ни в одном из этих факультативных курсов не рассматривается косой четырехугольник.

Современному школьнику хорошо известны основные понятия тетраэдра и поэтому он может легко усвоить основные понятия, формулы и теоремы косого четырехугольника. При этом важным является и то, что после установления связи между этими объектами появляется возможность творческого применения и развития полученных знаний, то есть когда из известного факта одного объекта путем научного поиска делается вывод о наличии или отсутствии такого же свойства у «связанных объектов».

Вопросу анализа имеющегося материала [1,3-8,11,12,15,17,18,20,21,23,24] по теме «Косой четырехугольник» и его систематизации посвящена данная квалификационная работа.

Целью квалификационной работы является систематизированное изложение материала по теме «Метрические свойства косого четырехугольника», подборка и решение ряда задач, иллюстрирующих основные теоретические сведения.

Полученные в работе результаты могут быть использованы как отдельный факультативный курс «Косой четырехугольник и его свойства», «Косой четырехугольник и тетраэдр».

1. Косой четырехугольник и его замечательные точки

1.1 Косой четырехугольник. Элементы косого четырехугольника и их свойства

Пространственным невырожденным или косым четырехугольником будем называть четырехугольник, вершины которого не принадлежат одной плоскости.

Четырехугольник, все вершины которого принадлежат одной плоскости, будем называть вырожденным косым четырехугольником.

Если A1A2A3A4 - косой четырехугольник, то отрезки А1А2, А2А3, А3А4, А4А1 называют его сторонами, а плоскости, определяемые каждыми тремя вершинами, его гранями.

Теорема. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон и середины диагоналей косого четырехугольника, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам

Доказательство:

Пусть A1A2A3A4 - косой четырехугольник, М, Е, F, N - середины его сторон, точка О - произвольная точка пространства (рис 1.1). Тогда

, ,

, .

Пусть G1, G2-середины МЕ, FN соответственно. Тогда

,

.

Отсюда следует

.

Пусть G3 -середина диагонали LQ. Учитывая, что

,, ,

Получаем

.

Видно что

,

Отсюда следует

,

то есть

. (1.1)

Точку G будем называть центроидом косого четырехугольника.

Все рассуждения останутся верными, если косой четырехугольник вырождается в плоский.

Теорема. Сумма квадратов расстояний от точки до вершин косого четырехугольника (тетраэдра) наименьшая для его центроида.

Доказательство:

Пусть A1A2A3A4 - косой четырехугольник. Введем прямоугольную декартову систему координат. Тогда

A1(х1,0,0), A2(х2,y2,0), A3(х3,y3,0), A4(0,0,z4).

Точка Р(х,y,z) - произвольная точка пространства.

Составим функцию для трех переменных:

.

Найдем ее минимум. Для этого решим систему:

.

.

Точка Р имеет координаты

(,,).

Легко показать, что в точке Р функция имеет min.

Теперь найдем координаты центроида при таком расположении системы координат:

.

Получили, что P=G, что и доказывает теорему.

Медианами косого четырехугольника будем называть отрезки, соединяющие его вершины с центрами треугольников противоположных граней.

Теорема (о пересечении “медиан”). Медианы косого четырехугольника пересекаются в его центроиде и делятся в нем в отношении 3:1, считая от вершины.

Доказательство:

Пусть A1A2A3A4 - косой четырехугольник, G, A1G1, А2G2, А3G3, A4G4 -его центроид и медианы соответственно.

Из (1.1)

.

Из треугольников А2А3А4, А1GO, А1G1O

, , .

Тогда получаем



То есть точка G делит в отношении 3:1, считая от вершины.

Аналогично доказывается для , , . Таким образом медианы косого четырехугольника пересекаются в его центроиде и делятся в нем в отношении 3:1, считая от вершины.

1.2 Барицентрические координаты точек пространства

Если полюс выбрать вне трехмерного пространства четырехугольника А1А2А3А4, то радиус-вектор любой точки Р этого пространства через радиус-векторы вершин данного косого четырехугольника выражается так

. (1.2)

В самом деле, векторы линейно независимы и поэтому по ним однозначным образом разлагается вектор . Однако четыре вектора в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы и поэтому:

. (1.3)

причем не все равны нулю одновременно. Но:

, , , .

Следовательно, пользуясь равенством (1.2), получаем:

,

,

,

.

Если эти четыре вектора (i=1,2,3,4) подставить в (1.3.), то получим уравнение

относительно (к=1,2,3,4),которое может быть удовлетворено лишь тогда, когда все коэффициенты при равны 0, либо векторы линейно независимы. Это приводит к системе четырех линейных однородных уравнений относительно . Собираем коэффициенты при :

.

Так как линейно независимы, то коэффициенты при них должны равняться 0. Приходим к системе уравнений



Данная система относительно (i=1,2,3,4) имеет ненулевое решение, если ее определитель равен 0, то есть

.

Раскрывая определитель,получаем

,

.

Итак, каждой точке Р пространства четырехугольника А1А2А3А4 соответствуют четыре числа 1,2,3,4, сумма которых равна 1. Эти числа называются нормированными барицентрическими координатами точки Р относительно косого четырехугольника А1А2А3А4.

Покажем, что числа i не зависят от выбора полюса О. Для этого возьмем другую точку О1 и, докажем, что:

, (1.4)

где i - барицентрические координаты точки Р, определенные выше с помощью косого четырехугольника А1А2А3А4 и точки О, то есть



Действительно:

Поэтому

.

Таким образом, независимость барицентрических координат i от выбора точки доказана.

Аффинный и метрический смысл барицентрических координат в пространстве

С геометрической точки зрения нормированные барицентрические координаты i точки Р равны отношениям объемов двух ориентированных тетраэдров: объема тетраэдра, полученного путем замены соответствующей вершины тетраэдра А1А2А3А4 точкой Р, к объему тетраэдра А1А2А3А4:

, , , . (1.5)

Пусть di - ориентированные расстояния точки Р до граней данного тетраэдра, причем за положительное направление принято направление соответствующей высоты hi тетраэдра А1А2А3А4 от вершины к противоположной грани. Тогда отношения объемов указанных тетраэдров, очевидно равны (i=1,2,3,4), таким образом,

, (1.6)

а значит,

. (1.7)

1.3 Основные классические теоремы о замечательных точках косого четырехугольника

Теорема Лейбница. Сумма квадратов расстояний произвольной точки Р до вершин косого четырехугольника (тетраэдра) А1А2А3А4 равна сумме квадратов расстояний его центроида G до вершин, сложенной с учетверенным квадратом расстояния точки Р до центроида G (рис. 1.4).

. (1.8)

Доказательство:

Пусть А1А2А3А4- косой четырехугольник, G- его центроид и Р- произвольная точка (рис.1.4). Рассмотрим треугольники A1PG, A2PG, A3PG, A4PG. Учитывая, что

, , ,

и

, ,

, ,

получим:

Но ,

что непосредственно следует из (1.1) при условии, если полюс помещен в точку G. Следовательно, равенство (1.8) доказано.

Теорема Менелая. Пусть на прямых А1А2, А2А3, А3А4, А4А3 определяющих косой четырехугольник А1А2А3А4 даны соответственно точки P12,Р23,Р34,Р41. Для того чтобы эти точки лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы:

. (1.9)

Доказательство:

Для доказательства указанные отношения обозначим:

, , ,

Тогда необходимо доказать, что 1234=1.

,

.

Аналогично для 2,3,,4. тогда:

. (1.10)

(i=1,2,3,4; j=i+1, если i=1,2,3, и j=1,если i=4).

Из (1.2)

Следовательно матрица нормированных барицентрических координат точек Pij относительно тетраэдра А1А2А3А4 будет иметь вид:



При помощи элементарных преобразований строк матрица может быть приведена к

Так как элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы, то ранги матриц и одинаковы. Очевидно, ранг матрицы не ниже трех. Для того, что бы он был равен трем, необходимо и достаточно, что бы =1. При этом и только при этом условии точки Pij будут лежать в одной плоскости.

Теорема Чевы.. Пусть на прямых A1A2, А2А3, А3А4, А4А1, определяющих косой четырехугольник А1А2А3А4, даны точки Р12,Р23,Р34, Р41. Для того, чтобы плоскости Р12А3А4, Р23А4А1, Р34А1А2, Р41А2А3 пересекались в одной точке Р, необходимо и достаточно, чтобы

( 1.11)

Доказательство:

Необходимость. Пусть А1А2А3А4- косой четырехугольник, прямые РА1, РА2,РА3,РА4 пересекают плоскости А2А3А4, А3А4А1, А4А1А2, А1А2А3 в точках Р1,Р2,Р3,Р4. По теореме Чевы

1⁾ Теорема Чевы для треугольника А₁А₂А₃. Пусть на прямых АВ, ВС,СА, определяющих треугольник АВС, даны точки С₁, А₁, В₁. Для того, чтобы прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекались в одной точке О или были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы .) для треугольника А1А2А3 и точки Р4 имеем

.

По той же теореме для треугольника А3А4А1 и точки Р2:

.

Перемножим эти равенства

,

.

Получили доказываемое соотношение (1.11).

Достаточность. Пусть равенство (1.11) выполняется. Тогда по теореме Менелая для косого четырехугольника А1А2А3А4, точки Р12,Р23,Р34, Р41 лежат в одной плоскости. Это значит, что прямые Р12Р34 и Р23Р41 пересекаются в некоторой точке Р. Следовательно, плоскости А1Р23А4, Р12А3А4, А1А2Р34, А2А3Р41 проходят через точку Р.

Следствие. если точки Р12,Р23,Р34, Р41, взятые на прямых A1A2, А2А3, А3А4, А4А1, лежат в одной плоскости, то плоскости Р12А3А4, Р23А4А1, Р34А1А2, Р41А2А3 пересекаются в одной точке, и обратно.

Теорема Гаусса. Пусть плоскость, не проходящая через вершины косого четырехугольника А1А2А3А4, пересекает его стороны соответственно в точках Р12,Р23,Р34, Р41. Тогда центроиды треугольников Р12А3А4, Р23А4А1, Р34А1А2, Р41А2А3 принадлежат одной плоскости.

Доказательство:

Пусть А1А2А3А4- косой четырехугольник. Обозначим центроиды треугольников Р12А3А4, Р23А4А1, Р34А1А2, Р41А2А3 через Gij (соответственно точкам Pij), а отношения

.

Договоримся радиус-векторы точек обозначать одной буквой. Тогда радиус-векторы точек Gij определяются

, ,

, .

Пользуясь (1.10), имеем

.

Тогда

, ,

,

.

Матрица нормированных барицентрических координат точек Gij относительно тетраэдра А1А2А3А4 (после сокращения на 1/3) имеет вид:

Для нахождения ранга этой матрицы, после преобразований ее столбцов приходим к матрице вида

.

Эта матрица сходна с матрицей ( из доказательства теоремы Менелая) и тем же путем, что и приводится к виду . Но так как точки Рij лежат по условию в одной плоскости, то по теореме Менелая =1 и поэтому ранг нашей матрицы равен трем, что и доказывает теорему.

2. Зависимость между углами, сторонами и диагоналями косого четырехугольника. Косой параллелограмм

2.1 Сумма углов косого четырехугольника

Теорема. Сумма внутренних углов косого четырехугольника меньше 2.

Доказательство:

Так как сумма любых двух плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла, то для косого четырехугольника А1А2А3А4 имеем неравенства:

A2A1A4 < A3A1A4+A2A1A3,

A1A2A3 < A1A2A4+A3A2A4,

A2A3A4 < A1A3A4+A1A3A2,

A1A4A3 < A1A4A2+A2A4A3.

Сумма

=A1A2A3+A2A1A4+A2A3A4+A1A4A3

меньше суммы углов треугольников A1A2A3, A1A2A4, A1A3A4, A2A3A4, уменьшенной на :

< (A3A1A4+A1A3A4) + (A2A1A3+A1A3A2) + (A1A2A4+A1A4A2) + (A3A2A4+A2A4A3),

< (A3A1A4+A1A3A4+A3A4A1-A3A4A1) + (A2A1A3+A1A3A2+A3A2A1-A3A2A1) + (A1A2A4+A1A4A2+A2A1A4-A2A1A4) + (A3A2A4+A2A4A3+A2A3A4-A2A3A4);

Или

< +++-,

< 4-,

2 < 4,

< 2.

2.2 Зависимость между сторонами и диагоналями косого четырехугольника

Рассмотрим тетраэдр А1А2А3А4. Проведем через вершины А1, А2, А3 произвольную сферу F, пересекающую ребра (прямые) А4А1, А4А2, А4А3 соответственно в точках Р1, Р2, Р3. Тогда плоскость Р1Р2Р3 параллельна касательной плоскости в точке А4 к описанной около тетраэдра сфере. Для доказательства этого достаточно заметить, что прямые Р1Р2, Р2Р3, Р3Р1 соответственно параллельны прямым пересечения касательной плоскости и плоскостей граней тетраэдра. На рисунке 2.1 изображена фигура, полученная в плоскости А4А1А2.

Треугольник Р1Р2Р3 называется антипараллельным сечением тетраэдра относительно вершины А4. Прямые РiPj называются антипараллельными прямым AiAj (i,j=1,2,3).

Рассмотрим одно свойство сторон треугольника Р1Р2Р3. Пусть АiAj=аij и s-степень точки А4 относительно сферы F, то есть

. (2.1)

Разделим все на

.

Из подобия треугольников А1А4А2 и Р2Р1А4 получаем

.

Из подобия треугольников А2А3А4 и Р3Р2А4

.

Из подобия треугольников А1А3А4 и Р3Р1А4

.

Учитывая эти равенства, находим:

,

. (2.2)

Итак, длины сторон антипараллельного сечения тетраэдра пропорциональны произведениям длин пар его противоположных ребер.

Поэтому антипараллельные сечения тетраэдра относительно всех его вершин подобны между собой.

Из свойств сторон треугольника Р1Р2Р3, являющегося антипараллельным сечением тетраэдра А1А2А3А4 сразу следует

,

,

,

,

,

. (2.3)

Таким образом, сумма произведений противоположных сторон косого четырехугольника больше произведений его диагоналей. Это означает также, что сумма произведений двух пар противоположных ребер тетраэдра больше произведения третьей пары его противоположных ребер.

2.3 Косой параллелограмм

Под косым параллелограммом мы понимаем косой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны. Если ABCD - косой параллелограмм, то AB=CD, BC=DA, или а=а1, b=b1, если АВ=а, CD=а1, ВС=b, DA=b1.

Теорема. Для того, чтобы косой четырехугольник был косым параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные углы были попарно равны.

Доказательство:

Необходимость. У косого параллелограмма противоположные углы равны: А=С, B=D. В самом деле, если BD-диагональ параллелограмма, то треугольники ABD и BCD равны, (n-общая, а=а1, b=b1) поэтому А=С. Аналогично доказываются равенство B=D.

Достаточность. Если в косом четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то он является косым параллелограммом.

Положим AC=m, BD=n. По теореме конусов имеем:

n2=a2+b12-2ab1cos A - из треугольника ABD,

n2=a12+b2-2a1bcos C - из треугольника BCD,

m2=a2+b2-2abcos B - из треугольника ABC,

m2=a12+b12-2a1b1cos D - из треугольника ADC.

а) cos A =, cos C=,

б) cos B=, cos D=.

Отсюда:

а) =,

б) =.

Преобразуем эти два равенства:

а) (а2+b12-n2)a1b=(a12+b2-n2)ab1,

(a2+b12)a1b-(a12+b2)ab1=n2(a1b-ab1).

б) (a2+b2-m2)a1b1=(a12+b12-m2)ab,

(a2+b2)a1b1-(a12+b12)ab=m2(a1b1-ab).

Или

а) a2a1b1+b12a1b-a12ab1-b2ab1=n2(a1b-ab1),

aa1(ab-a1b1)+bb1(a1b1-ab)=n2(a1b-ab1),

(ab-a1b1)(aа1-b1b)=n2(a1b-ab1). (2.4)

б) a2a1b1+b2a1b1-a12ab-b12ab=m2(a1b1-ab),

aa1(ab1-a1b)+bb1(ba1-b1a)=m2(a1b1-ab),

(aa1-bb1)(ab1-a1b)=m2(a1b1-ab). (2.5)

Эти равенства умножим почленно:

(aa1-bb1)2(ab-a1b1)(ab1-a1b)=m2n2(a1b-ab1)(a1b1-ab).

Отсюда получим:

(ab-a1b1)(ab1-a1b)(aa1-bb1)2-m2n2=0,

или

(ab-a1b1)(ab1-a1b)(aa1-bb1-mn)(aa1-bb1+mn)=0

В силу неравенства (2.3)

(aa1-bb1-mn)(aa1-bb1+mn)<0, то есть 0.

Следовательно,

(ab-a1b1)(ab1-a1b)=0. (2.6)

Пусть, например, ab=a1b1. Тогда согласно (2.4) имеем a1b=ab1. Из этих двух равенств следует aa1b2=aa1b12, или b=b1 и, далее, a=a1. Если же в (2.6) положить ab1-a1b=0, тогда согласно (2.5) получаем a1b1=ab и опять из последних двух равенств вытекает, что a=a1, и b=b1, то есть ABCD- косой параллелограмм.

2.4 Свойство общего перпендикуляра диагоналей косого параллелограмма

Теорема. (О замечательном свойстве косого параллелограмма) Прямая, соединяющая середины его диагоналей, является осью параллелограмма.

Доказательство:

Пусть АВСD- косой параллелограмм, АС,BD - его диагонали. В самом деле, если N-середина диагонали BD, а N1- середина диагонали АС, то BN1=DN1 (как соответственные медианы в равных треугольниках ABC и ADC). Поэтому треугольник BN1D равнобедренный и NN1BD. Аналогичным образом доказывается, что NN1AC. Следовательно, NN1- общий перпендикуляр для АС и BD,проходящий через середины отрезков АС и ВD.

Это значит, что, точка А симметрична точке С относительно прямой NN1, а точка В симметрична точке D относительно той же прямой. Если принять прямую NN1 за ось симметрии, то в преобразовании симметрии относительно этой оси параллелограмм ABCD преобразуется в четырехугольник CDAB, то есть переходит в себя. Следовательно, NN1 - ось симметрии параллелограмма.

Теорема. На общем перпендикуляре диагоналей косого параллелограмма расположены центроид, цент описанной сферы и центр вписанной сферы тетраэдра, вершинами которого служат вершины косого параллелограмма.

Доказательство:

Если около тетраэдра ABCD описать сферу, то в симметрии относительно NN1, она переходит в себя. Следовательно, центр описанной сферы лежит на оси симметрии. Аналогично, на оси симметрии лежит центр сферы, вписанной в тетраэдр и его центроид.

метрическое свойство косой четырехугольник параллелограмм

2.5 Признаки косого параллелограмма

Теорема. (Первый признак косого параллелограмма) Для того, чтобы косой четырехугольник был косым параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы каждая из его диагоналей образовала со сторонами четырехугольника пару равновеликих треугольников.

Доказательство:

Пусть АВСD- косой параллелограмм, АС,BD - его диагонали. Проведем высоты ВВ1 и DD1 треугольников АВС и ACD. Из середины N диагонали BD опустим на АС перпендикуляр NN1. Поскольку BN=ND, то B1N1=N1D1. Следовательно, BN1=N1D и поэтому NN1 BD. Таким образом, NN1-общий перпендикуляр диагоналей АС и BD. Если из середины М диагонали АС опустим перпендикуляр ММ1 на BD, то аналогичным образом рассматривая пару равновеликих треугольников, доказываем, что ММ1- общий перпендикуляр этих диагоналей. Но две скрещивающиеся прямые имеют только один общий перпендикуляр, поэтому ММ1=NN1. Другими словами, общий перпендикуляр проходит через середины диагоналей и служит для косого четырехугольника осью симметрии. Это значит, что ABCD-косой параллелограмм.

Теорема. (Второй признак косого параллелограмма) Для того, чтобы косой четырехугольник был косым параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы прямая, проходящая через центр сферы, описанной около тетраэдра (вершины которого совпадают с вершинами четырехугольника), и через центр сферы, вписанной в этот тетраэдр, пересекала диагонали четырехугольника.

Доказательство:

Пусть прямая, проходящая через центр J сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, пересекает диагонали AC и BD соответственно в точках P и Q, принадлежащим соответственно отрезкам AC и BD. Докажем, что если на прямой PQ лежит центр О сферы, описанной около тетраэдра ABCD, то ABCD- косой параллелограмм.

В самом деле, плоскость, проходящая через AC и Q, является биссектрисой для двугранного угла тетраедра при ребре AC. Следовательно, каждая ее точка, в том числе и О, одинаково удалена от граней АВС и ACD. Поэтому окружности, описанные около треугольников ABC и ACD, равны. Отсюда уже следует, что АВС= ADC или АВС+ADC=. Если центр О сферы лежит внутри отрезка PQ или на его продолжении за точку Q, то центры окружностей, описанных около треугольников АВС и АСD, лежат соответственно с вершинами B и D по одну сторону от АС и АВС=ADC. Если же центр О лежит на продолжении отрезка PQ за точку Р, то центры окружностей, описанных около треугольников АВС и ACD, находятся с вершинами B и D этих треугольников по разные стороны от АС и снова АВС=ADC. Следовательно, случай, когда АВС+ADC=, отпадает. Аналогичным образом доказываем, что BCD=BAD. Но согласно теореме из пункта 2.3 четырехугольник ABCD -косой параллелограмм.

3. Косой четырехугольник в примерах и задачах

Задача 1

Даны четыре прямые, никакие три из которых не компланарны, тогда существует косой четырехугольник, стороны которого параллельны этим прямым.

Доказательство:

Пусть - векторы, параллельные данным прямым. Так как любые три прямые из данных не компланарны, то их направляющие векторы так же не компланарны, таким образом они образуют базис. Тогда четвертый направляющий вектор может быть представлен как их линейная комбинация, то есть разложен по векторам базиса.

Возьмем в качестве базисных векторов , тогда

или

.

Легко видеть, что на векторах можно построить косой четырехугольник.

Задача 2

а) Сколько существует попарно не равных пространственных четырехугольников с одним и тем же набором векторов?

б) Докажите, что объем всех тетраэдров, заданных этими пространственными четырехугольниками, равны.

Решение:

а) Если заданы стороны пространственного четырехугольника в виде векторов , то сумма всех этих векторов должна быть равной нулю. Если от А отложить , то В является концом ,от которого можно отложить три вектора . Значит существуют три варианта выбора второго вектора. Если второй вектор выбран, то третий можно выбрать двумя способами. То есть вариантов выбора трех векторов существует 32=6. Последний вектор можно выбрать только одним способом.

Значит всего 6 попарно не равных пространственных четырехугольников с одним и тем же набором векторов.

б) Пусть а,b,c и d - данные векторы сторон. Рассмотрим параллелепипед, задаваемый векторами а,b и c, его диагональю служит вектор d. Несложный перебор показывает, что все шесть различных четырехугольников содержатся среди четырехугольников, сторонами которого являются ребра этого параллелепипеда и его диагональ d (фиксировать при переборе удобно вектор d). Объем каждого соответствующего тетраэдра составляет 1/6 часть объема параллелепипеда.

Задача 3

Пусть в пространстве задан тетраэдр А1А2А3А4.

а) Доказать, что любая точка Х имеет некоторые барицентрические координаты относительно него.

б) Доказать, что при условии m1+m2+m3+m4=1 барицентрические координаты точки Х определены однозначно.

Решение:

а) Введем следующие обозначения:

и .

Точка Х является центром масс вершин тетраэдра А1А2А3А4 (рис.3.2) с массами m1,m2,m3,m4 тогда и только тогда, когда

то есть

, (3.1)

где m=m1+m2+m3+m4.

Будем считать, что m=1 в (3.1).

б) Докажем однозначность барицентрических координат. Любой вектор можно представить в виде

,

причем числа m1,m2,m3 определены однозначно. Число m4 находится по формуле:

m4=1-m1-m2-m3,

то есть определена также однозначно.

Задача 4

В системе барицентрических координат, связанных с тетраэдром А1А2А3А4.

Найти уравнение:

а) прямой А1А2;

б) плоскости А1А2А3;

в) плоскости, проходящие через А3А4 параллельно А1А2.

Решение:

а) Пусть точка О - полюс системы барицентрических координат, точка М() - произвольная точка (А1А2), тогда

(из определения барицентрических координат).

, =,

, ,

или



то есть , , .

Точка с барицентрическими координатами лежит на прямой , если . Таким образом векторное уравнение (А1А2) имеет вид

.

б) Пусть точка М принадлежит (А1А2 А3), тогда

.

Воспользуемся геометрическим смыслом барицентрических координат. Получаем

.

Точка М лежит в плоскости (А1А2А3 ), если . Таким образом векторное уравнение плоскости имеет вид

.

в) Пусть:

- базис.

Для точки , такой что , можно записать

.

и образуют базис плоскости (А4ХА3), тогда для любой точки этой плоскости

,.

Решим задачу при помощи барицентрических координат.

Вводим базис

. Тогда

.

, ,

,

с одной стороны.

С другой стороны

.

В силу единственности разложения вектора, получаем

,

.

Задача 5

Доказать, что если точка с барицентрическими координатами и принадлежат некоторой прямой, то той же прямой принадлежит точка с координатами

.

Решение:

Пусть точки А (х1,х2,х3,х4) и В (y1y2y3y4) заданы барицентрическими координатами. Тогда (О-полюс) имеют те же координаты.

Отсюда

.

Условие является условием принадлежности точки М(z1,z2,z3,z4) прямой АВ. Приравнивая координаты получим:

При получаем интересующее равенство.

Задача 6

Пусть - площади граней DCD, ACD, ABD и ABC тетраэдра ABCD. Найти координаты центра вписанной сферы.

Решение:

Пусть точка Р- центр сферы с барицентрическими координатами (1,2,3,4), тогда используя метрический смысл барицентрических координат, получим:

,

причем, di =R (радиус сферы). С другой стороны

,

то есть

,

тогда

Точка Р имеет координаты

.

Задача 7

Поставим задачу определить расстояние между точками М и Р если известны барицентрические координаты i точки Р и расстояния точки М от вершин Аi данного тетраэдра.

Решение:

Пусть i- барицентрические координаты точки Р относительно тетраэдра А1А2А3А4. Тогда для любого вектора имеет место равенство:

,где . (3.2)

При любом выборе точки О в качестве полюса

.

Поэтому

,

так как 1+2+3+4=1.

Вычислим скалярный квадрат вектора . Воспользовавшись равенством (3.2), будем иметь:

, i<j.

Но ,

Поэтому

, i<j

После несложных преобразований находим, что

, i<j

и окончательно

, i<j. (3.3)

Задача 8

Используя решение предыдущей задачи определим расстояние между некоторыми замечательными точками тетраэдра.

Решение:

1) Пусть точка М совпадает с центром О описанной около тетраэдра сферы. Если R-радиус сферы, то все . Точку Р поместим в центроид G тетраэдра. Для нее . Согласно (3.3) будем иметь:

, i<j (3.4)

Из (3) следует, что для всякого тетраэдра имеет место неравенство:

, i<j,

причем знак неравенства следует писать тогда и только тогда, когда центроид и центр описанной сферы совпадают.

Если точка G- центроид тетраэдра, а точка М совпадает с одной из вершин тетраэдра, например, с вершиной А4, то

и равенство (3.3) в этом случае принимает вид:

,i<j,

или

.

Учитывая, что

где Gi - центроид грани , отсюда получаем формулу для вычисления длины медианы тетраэдра через длины его ребер:

.

Задача 9

Пусть точка Р- точка, не лежащая на сторонах косого четырехугольника А1А2А3А4, через которую проведены две прямые, пересекающие попарно различные его противоположные стороны, соответственно в точках Р12, Р34 и Р23, Р41, а так же заданы отношения, в которых они делят соответствующие стороны

.

По теореме Менелая для А1А2А3А4 =1.

Найти в каком отношении делит точка Р отрезки Р12Р34 и Р23Р41, то есть

.

Решение:

Рассмотрим косой четырехугольник Р12А2А3Р34 и плоскость А1Р14А4Р23. По теореме Менелая:

,

,

,,

, ,

,

,

, умножим на 12,

,

(3.5)

Рассмотрим косой четырехугольник Р14А1А2Р23 и плоскость А3Р34А4Р12. По теореме Менелая:

,

, ,

,

,

. (3.6)

Замечание: Легко видно, что для определения U или V достаточно знать только три из 1,2,3,4 (четвертое всегда находится из =1).

Если сделать замену в (3.5) и (3.6) соответственно:

1=, 2=y, х;

, , ,

то получим:

U=, V=.

Задача 10

Для любых косых параллелограммов, стороны которых попарно параллельны, отношения соответствующих сторон равны.

Доказательство:

Пусть А1А2А3А4, В1В2В3В4- косые параллелограммы, удовлетворяющие условию задачи. ^^ .

Для В1В2В3В4

.

Из определения косого параллелограмма следует, что . Разделив на получаем

, .

Для А1А2А3А4

.

Получаем, что в силу единственности разложения вектора по базису.

Значит .

Выводы

В квалификационной работе, на основе проведенного анализа теоретического и практического материала по теме «Метрические свойства косого четырехугольника», в трех разделах изложен с единой точки зрения систематизированный материал. В первых двух разделах изложен теоретический материал и в третьем разделе приведены задачи с решениями.

Формулировки большинства задач взяты из сборников 3,17,20, а остальные сформулированы автором. Основная часть приведенных решений и доказательств задач также принадлежит автору.

Цель квалификационной работы достигнута.

Материалы квалификационной работы могут быть использованы как составная часть факультативного курса по геометрии для учащихся 10-11 классов, а также как спецкурс для студентов математических специальностей.

Перечень ссылок

Автономова М.И., Аргунов Р.П. Основные понятия и методы школьного курса геометрии.-М. Просвещение,1988.-254 с.

Анпилогов А.Н. От числа до интеграла. - Запорожье: Изд. ЗГУ, 1990.-218 с.

Булатова Н.Н. Сборник задач по геометрии Ч.2. Стереометрия. -Воронеж: Изд. ВГПИ, 1975.-276 с.

Васильев Н.Б. Гухенмахер В.Л. Прямые и кривые - М.: Наука, 1978.-208 с.

Васильева В.А. Методические рекомендации и указания по геометрии.-М.: Просвещение, 1979.-206 с.

Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.-М.: Наука.1981.-344 с.

Готман Э.Г. Прямая Эйлера //Квант.- 1975.- №2.

Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. -М.: Учпедгиз, 1962.-126 с.

Кордемский Б.А., Аходов А.А. Удивительный мир чисел. -М.: Просвещение, 1986.-120 с.

Кострикин Н.П. Задание повышенной трудности в курсе алгебры. -М.: Просвещение,1991.-180 с.

Кушнир И.А. Некоторые свойства треугольника и их использование при решении задач //Математика в школе.- 1971.- №3.

Кушнир И.А. Ортоцентрический треугольник и доказательство его минимального свойства //Математика в школе.-1974. №3.

Литвиненко Т.И. Практикум по решению задач школьной математике.-М.: Наука, 1992.- 156 с.

Лоповок Л.М. Факультативные занятия по геометрии 7-11кл. -К.: Радянська школа, 1990.-96 с.

Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец./ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин.-М: Просвещение, 1987.-416 с.

Минскин Е.М. От игры к знаниям. -М.: Просвещение,1992.-162 с.

Прасолов В.В. Задачи по стереометрии. Ч.2 -М.: Наука, 1991.-320 с.

Программа по математике для V-XI классов средней общеобразовательной школы // Математика в школе.-1989-№6.

Система тренировочных задач упражнений по математике / А.Я. Симонов, Д.С. Бакиев, А.Г. Эпельман и др.-М.: Просвещение, 1991.-208 с.

Скопец З.А., Понарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. -Ярославль: Изд. ГПИ, 1974.-239 с.

Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей. Учеб. пособие для студентов мат. и физ.- мат. спец. пед. ин-тов / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев.-М.: Просвещение, 1985.-304 с.

Суконин Л.Н. Математические задачи повышенной трудности. -К.: Радянська школа, 1985.-284 с.

Тесленко Т.В. Методика преподавания планиметрии.-К.: Вища школа, 1986.-164 с.

Хованский А.Н. Аналитическая геометрия треугольника. Ученные записки Марийского пед-та. Йошкар-Ола, /Т.26, 1965.

Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 классов средней школы.-М.: Просвещение, 1991.-384 с.

Размещено на Allbest.ru

...