Определители, их вычисление, свойства. Решение систем линейных уравнений методом исключения неизвестных и по правилу Крамера
Понятие и структура матрицы второго порядка, принципы и порядок ее формирования, отличительные черты от матрицы третьего порядка. Сущность и характерные свойства определителей. Методика вычисления определителя i-го порядка. Применение метода Крамера.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.03.2013 |
| Размер файла | 38,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Определители, их вычисление, свойства. Решение систем линейных уравнений методом исключения неизвестных и по правилу Крамера
Матрицей второго порядка называется таблица , составленная из элементов .
Пары элементов , и , образуют строки матрицы, а пары , и , - столбцы.
Матрицей третьего порядка называется таблица, составленная из девяти элементов : .
Матрица, имеющая одинаковое число строк и столбцов, называется квадратной, а число ее строк (столбцов) называется порядком матрицы.
Говорят, что элементы образуют главную диагональ, а - побочную.
Пусть дана квадратная матрица второго порядка ,
Число , составленное из элементов матрицы А, называют определителем второго порядка и обозначают . Таким образом, чтобы сосчитать определитель второго порядка, надо перемножить элементы, стоящие на главной диагонали и вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали. Например, определитель матрицы равен .
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка .
Определителем третьего порядка называется число, равное сумме
Определитель третьего порядка обычно считают, используя следующее правило, называемое правилом Саррюса или правилом треугольников.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «плюс», находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других - произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла. (Получаются два треугольника, располагающиеся поперек главной диагонали).
Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.
Определители обладают рядом свойств, которые лежат в основе практических способов их вычисления.
Свойство 1. Определитель квадратной транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
Отсюда следует, что строки и столбцы определителя равноправны, т.е. любое свойство определителя, доказанное для строк, справедливо и для столбцов и наоборот.
Свойство 2. При перестановке любых двух строк определитель меняет знак.
Свойство 3. Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно выносить за знак определителя.
Сформулируем теперь три признака равенства определителя нулю.
Свойство 4. Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю.
Свойство 5. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
Свойство 6. Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
И еще одно важное свойство:
Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам одной из его строк прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Вычисление определителя -го порядка
Определение. Если в определителе -го порядка вычеркнуть строку и столбец, то оставшийся определитель -го порядка называется минором данного элемента и обозначается .
Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком .
Алгебраическое дополнение элемента обозначается через . Следовательно, .
Теорема 1 (теорема разложения). Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.
,
где - фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя по элементам строки с номером .
Вычисление определителя -го порядка сводится к вычислению одного определителя -го порядка, для чего в какой-либо строке (или столбце) получают нулей, а затем разлагают определитель по этой строке, пользуясь формулой (*).
Легко вычисляются определители квадратных матриц треугольного или диагонального видов. В этом случае определитель равен произведению элементов, расположенных на диагонали.
Системы линейных уравнений
Произвольная система линейных уравнений (СЛУ) имеет вид
где и - натуральные числа. Числа называются коэффициентами системы, - свободными членами и являются заданными, называются неизвестными и являются искомыми.
Определение. Решением системы (1) называется всякая совокупность чисел , подстановка которых в систему (1) вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.
Подчеркнем, что набор - одно решение системы (1), то есть .
Определение. Две системы называются эквивалентными, если решение первой является решением второй и наоборот.
Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.
Определение. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения - неопределенной.
С системой линейных уравнений связаны две матрицы: матрица коэффициентов системы (или просто - матрица системы), составленная из коэффициентов при неизвестных , и матрица , получаемая добавлением к основной матрице столбца свободных членов и называемая расширенной матрицей системы (1).
Метод Крамера.
Если , то единственное решение системы находится по формулам
, (2)
где - определитель, получаемый из заменой -го столбца на столбец свободных членов.
Формулы (2) называют формулами Крамера.
Метод Гаусса (метод исключения неизвестных).
Суть этого метода разберем на примере.
Пример Методом Гаусса решить систему
Заметим, что при работе с системой нет необходимости выписывать полностью ее уравнения, так как вся информация о системе содержится в ее расширенной матрице. Имея в виду возможную перестановку слагаемых, столбцы матрицы нумеруют согласно нумерации неизвестных.
Выпишем расширенную матрицу системы и, оперируя только строками, приводим ее к трапециевидной форме, т.е. получаем нули ниже «диагонали», т.е. ниже элементов с номерами мест 1-1, 2-2, 3-3 и.т.д.
Для удобства поменяем строки местами, чтобы в левом верхнем углу (на месте 1-1) была единица:
матрица определитель крамер
Работаем первой строкой (сама она остается неизменной). По очереди умножая ее на , , и прибавляя соответственно ко 2-й, 3-ей, 4-ой строкам, получим нули в первом столбце:
Теперь, с целью получения единицы во второй строке на месте 2-2, умножим третью строку на и прибавим ко второй:
Получив на месте 2-2, с ее помощью получим нули во втором столбце. Для этого умножим вторую строку на и сложим со второй, затем ее же умножим на и прибавим к последней строке:
Для получения нулей в третьем столбце нам желательно иметь единицу
(или ) на месте 3-3. Умножим последнюю строку на и прибавим к третьей. Получим:
Теперь, умножив третью строку на и прибавив к последней строке, приходим к трапециевидной форме:
Разделим элементы последней строки на 377, получим окончательно:
По этой матрице записываем систему, эквивалентную исходной:
матрица определитель крамер
откуда последовательно находим решение: .
Для проверки достаточно подставить найденные значения неизвестных в каждое уравнение системы и убедиться, что все они обратятся в тождества.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определители второго и третьего порядков, свойства определителей. Два способа вычисления определителя третьего порядка. Теорема разложения. Теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений используя определители.
лекция [55,2 K], добавлен 02.06.2008Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.
презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.
контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Пример вычисления определителя второго порядка в общем виде. Свойства векторного произведения и их доказательства. Пример применения правила Крамера для решения систем из n уравнений с n неизвестными. Векторное произведение векторов заданных проекциями.
контрольная работа [297,9 K], добавлен 14.03.2009Определители второго и третьего порядка. Перестановки и подстановки. Миноры и алгебраические дополнения. Применение методов приведения определителя к треугольному виду, представления определителя в виде суммы определителей, выделения линейных множителей.
курсовая работа [456,6 K], добавлен 19.07.2013Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.
лекция [30,2 K], добавлен 14.12.2010Понятие и сущность определителей второго порядка. Рассмотрение основ системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Изучение определителей n–ого порядка и методы их вычисления. Особенности системы из n линейных уравнений с n неизвестными.
презентация [316,5 K], добавлен 14.11.2014Сущность и содержание метода Крамера как способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Содержание основных правил Крамера, сферы и особенности их практического применения в математике.
презентация [987,7 K], добавлен 22.11.2014Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Понятие матрицы и линейные действия над ними. Свойства операции сложения матриц. Определители второго и третьего порядков. Применение правила Саррюса. Основные методы решения определителей. Элементарные преобразования матрицы. Свойства обратной матрицы.
учебное пособие [223,0 K], добавлен 04.03.2010Понятие ранга матрицы. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Свойства скалярного произведения. Разложение вектора по координатным осям. Минор и алгебраическое дополнение. Определители второго и третьего порядка. Плоскость и прямая в пространстве.
курс лекций [3,0 M], добавлен 30.10.2013Вычисление определителя 4-го порядка, математическое решение системы методами матрицы, Крамера и Гаусса. Характеристика понятий невырожденной и обратной, транспонированной и присоединенной матрицы, нахождение алгебраических дополнений элементов таблицы.
контрольная работа [64,5 K], добавлен 12.06.2011Линейные операции над матрицами. Умножение и вычисление произведения матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду и вычисление ранга матрицы. Вычисление обратной матрицы и определителя матрицы, а также решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
учебное пособие [658,4 K], добавлен 26.01.2009Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Элементы линейной алгебры. Виды матриц и операции над ними. Свойства определителей матрицы и их вычисление. Решение систем линейных уравнений в матричной форме, по формулам Крамера и методу Гаусса. Элементы дифференциального и интегрального исчислений.
учебное пособие [1,5 M], добавлен 06.11.2011Определение матрицы, решение систем уравнений методом Гаусса и по формулам Крамера. Определение параметров треугольника, его графическое построение. Задача приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду и ее построение.
контрольная работа [126,8 K], добавлен 08.05.2009Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Вид в матричной форме, определитель матрицы, алгебраического дополнения и всех элементов матрицы, транспоная матрица. Метод Крамера, правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с определителем основной матрицы.
задача [93,5 K], добавлен 08.11.2010
