Четные и нечетные функции. Возрастающие и убывающие функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Шуйский государственный педагогический университет»

Кафедра психологии

Контрольная работа

по математике

Четные и нечетные функции. Возрастающие и убывающие функции

Работу выполнила:

Чудова Татьяна Александровна

студентка 1 курса 8 группы

заочной формы обучения

Шуя 2011

Содержание

1. Четные и нечетные функции

2. Основные понятия и свойства функции

3. Возрастание и убывание функции

Список литературы

1. Четные и нечетные функции

функция возрастание убывание четный координата

Определение 1. Функция у = f(х) называется четной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(--х)=f(x). Функция f(х) называется нечетной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х)=-f(x).

Если функция у = f(х) такова, что хотя бы для одной нары значении х и -х оказалось, что f(-х) -f(х), и хотя бы для одной пары значений х и --хоказалось, что f(-х) Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

f(х), то функция не является ни четной, ни нечетной. Из определения следует, что область определения Х как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если x X, то и -- x X (т. е. Х -- симметричное относительно 0 множество).

Пример 1. Исследовать на четность функции: а) у=х²; б) у=х³.

а) Имеем f(x)=x²,f(-х)=(--х)²=х². Значит, f(--х)=f(х) для всех х, т.е. функции является четной.

б) Имеем f(х)=x³ ,f(--х) = (--x)³=-x³. Поэтому f(--х) = --f(х) для всех х, т.е. функция является нечетной.

Следующие теоремы (одна из которых доказывается, а доказательство другой предлагается провести самостоятельно) выявляют особенности графиков четных и нечетных функций.

Теорема 1. Если функция у =f(х). xРазмещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

X является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат.

Пусть М (х; f(x)) - точка графика рассматриваемой функции. Так как по условию функция четна, то, во-первых, (--х)Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Х, и во-вторых,f(--х)=f(х). Значит, точка М'(--х; f(x)) также принадлежит графику функции. Но точки M и М' симметричны относительно оси ординат. Таким образом, график четной функции вместе с каждой своей точкой содержит точку, симметричную с ней относительно оси ординат. Поэтому график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Теорема 2. Если функция у =f(х), хРазмещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Х является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

Периодические функции

Определение 2. Говорят, что функция f(x) имеет период Т, если для любого значения х, при котором она определена, выполняются равенства f(х--Т)=f(х) = f(х+T). Функция f(х), имеющая отличный от нуля период Т. называется периодической.

Из этого определения следует, что если функция f(x) с периодом Т определена в точке х, то она определена и в точках x+T, x-T.

Теорема 3. Если функция f(х) имеет период Т, то любое число, кратное Т (т. е. число вида kТ, k.), также является ее периодом.

Докажем, например, что 2Т--период функции f(x). Имеем

F(x)=f(x+T)=f((x+T)+T)=f(x+2T),

F(x)=f(x-T)=f((x-T)-T)=f(x-2T).

Аналогично доказывается, что f(х)=f(x+3T)= f(х--3T) и вообще f(x-kT)= f(x) = f(x+kT) для любого k. Значит, все числа вида kT(k) - периоды функции.

Нечётные и чётные функции -- функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xⁿ чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

f(x) = x -- пример нечётной функции

f(x) = x² -- пример чётной функции

Таким образом, периодическая функция имеет бесконечное множество различных периодов. Если среди положительных периодов периодической функции существует наименьший, то его называют основным периодом этой функции; все остальные ее периоды кратны основному периоду.

Периодическая функция не всегда имеет основной период. Например, функция Дирихле периодическая: любое рациональное число является ее периодом. Однако среди положительных рациональных чисел нет наименьшего.

Нечётные и чётные функции -- функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xⁿ чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

Другие определения:

Нечётная функция -- функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).

Чётная функция -- функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.

2. Основные понятия и свойства функции

Область определения и область значений функции. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R. Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т.e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x, при которых функция y = f (x) определена, называется областью определения функции. Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция, называется областью значений функции. Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.

Из этого определения следует, что функция считается заданной, если:

- задана область определения функции X;

- задана область значений функции Y;

- известно правило (закон) соответствия, причём такое, что для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции.

Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x₁ и x₂ из условия x₂ > x₁ следует f (x₂) > f (x₁ ), то функция f (x)называется возрастающей; если для любых x₁ и x₂ из условия x₂ > x₁ следует f (x₂) < f (x₁), то функция f (x) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

Если функция непрерывна во всех точках своей области определения, то она называется непрерывной функцией.

Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место: f (- x) = f (x), то функция называется чётной; если же имеет место: f (- x) = - f (x), то функция называется нечётной. График чётной функции симметричен относительно оси Y, a график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

3. Возрастание и убывание функции

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция называется возрастающей на интервале , если для любых двух точек из неравенства следует, что ; убывающей на интервале , если из неравенства следует, что ; невозрастающей на интервале , если из неравенства следует, что , и неубывающей на интервале , если из неравенства следует, что .

Рис. 1. Графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций

Очевидно, что функция возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция ; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей.

Рис. 2. Графики функций и

Теорема 3. Пусть функция дифференцируема на интервале и при всех . Тогда возрастает на . Если же при всех , то не убывает на .

Доказательство. Применим к отрезку формулу конечных приращений:

где . В правой части и , так что , откуда , что означает возрастание функции.

Точно так же, если , то получаем , откуда , что означает неубывание функции.

Имеет место и утверждение, "почти обратное" к предыдущей теореме:

Теорема 4. Если дифференцируемая функция не убывает на интервале , то при всех ; если же функция не возрастает на , то при .

Доказательство. Фиксируем точку и рассмотрим предел, который равен производной:

При достаточно малых точка попадёт в интервал , при этом , откуда . Значит, числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, и дробь неотрицательна. По теореме о переходе к пределу в неравенстве, получаем , что и требовалось получить.

Пример 5. Рассмотрим функцию . Эта функция дифференцируема всюду и возрастает на всей оси : из следует, что . Однако неверно, что при всех : действительно, производная обращается в 0 при .

Итак, всё, что мы можем гарантировать в случае строгого возрастания (как и в случае нестрогого возрастания, то есть неубывания) - это нестрогое неравенство .

Практический смысл полученных утверждений о связи возрастания и убывания со знаком производной - в том, что для того, чтобы найти интервалы возрастания функции , надо решить относительно неравенство , а чтобы найти интервалы убывания - решить неравенство .

Пример. Рассмотрим функцию . Её производная такова:

Интервал возрастания функции можно найти из неравенства

При решении этого неравенства учтём, что в области определения функции , так что нужно решать неравенство . Отсюда . Таким образом, функция возрастает на интервале . Нетрудно видеть, что при выполняется обратное неравенство , так что на этом интервале функция убывает.

Рис. 3. График функции

Если два интервала возрастания функции примыкают друг к другу, то есть имеют вид и , и функция непрерывна в точке , то эти два смежных интервала можно объединить: функция будет возрастать на . То же, разумеется, относится и к смежным интервалам убывания функции.

Рис. 4. Объединение двух смежных интервалов возрастания функции

Пример. Рассмотрим функцию . Её производная имеет вид

Решая неравенство , получаем: ; при функция, очевидно, непрерывна, так что возрастает на объединённом интервале, то есть при . Решение неравенства даёт только один интервал ; на нём функция убывает.

Рис. 5. График функции

Геометрический смысл связи знака производной с направлением изменения функции легко виден из геометрического смысла производной: если угловой коэффициент касательной к графику (равный производной) положителен, то угол наклона касательной - острый, что соответствует графику возрастающей функции. Если же угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона касательной - тупой, и тогда функция убывает.

Рис. 6. Связь угла наклона касательной с направлением изменения функции

Список литературы

1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, - 1989, 656 с.

2. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, - 1996, 479 с.

3. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики, т. 1 и т. 2, 1978.

4. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики, т. 2, 2-е изд. перераб. и допол. - М.: Высшая школа - 1978, 328 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 1, 12-е изд. - М: Наука. -1985, 526 с.

6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2, 12-е изд. - М: Наука. -1985, 575 с.

7. Нефедов В.Н., Осипов В.А. Курс дискретной математики. - Москва: 1992.

8. Бобков Н.К. Элементы дискретной математики. - Москва:1995.

9. Карасев А.И., Аксютина З.М, Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. В 2-х томах.- Москва: Высшая школа, 1982.

Размещено на Allbest.ru