Матрицы и действия над ними

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Матрицы. Виды матриц

Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Вектор-строкой называют матрицу, состоящую из одной строки. Вектор-столбцом - из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей n-ого порядка. Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нуль-матрицей.

2.Действия над матрицами

1)Умножение матрицы на число: условий нет, умножить на число можно любую матрицу. Произведением матрицы А на число называется матрица В, равная А, каждый элемент которой находится по формуле: b_ij = x a_ij. Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле С_ij=a_ij+b_ij. Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы, стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц: операция аналогична сложению. Умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера mxk на матрицу В размера kxn называется матрица С размера mxn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В. 5)Возведение в степень: возводить в степень можно только квадратные матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы А^m называется произведение m-матриц, равных А. 6)Транспонирование: условий нет; транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной диагонали остаются на своих местах.

3. Определители 1, 2, 3-го порядков

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент а11:

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Например, пусть

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.Пример:

4. Свойства определителей

1.) если строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее опре-ль = 0; 2.) если все элементы строки (столбца) матрицы умножить на число л, то ее определитель умножится на это число; 3.) при транспонировании матрицы ее определитель не изменится; 4.) при перестановке 2х строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный; 5.) если матрица содержит 2 одинаковых строки, то ее опр-ль = 0; 6.) если элементы 2х строк матрицы пропорциональны, то ее определитель=0; 7.) сумма произведений элементов какой-либо строки матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки матрицы = 0; 8.) определитель матрицы не изменится если к элементам какой либо строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число; 9.) сумма произведений чисел b1, b2,…bn на алг.дополнение элементов любой строки = определителю матрицы, полученого из данной матрицы заменой элементов этой строки на числа b1, b2,…bn; 10.) опр-ль произведения 2х квадратных матриц = произведению их определителей. С = AB => |A|*|B|

5. Минор, алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа

Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij

т. Лапласа: Определитель любой квадратной матрицы = сумме произведений элементов любой строки или столбца, умноженное на их алгебраич.дополнения.

6.Обратная матрица. Алгоритм нахождения. Матричные уравнения

Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная матрица. Теорема (необходимое и достаточн.условие сущ-я обратн.матрицы): обратная матрица А-1 сущ-т и единственна тогда и только тогда, когда заданная матрица не вырожденная.Алгоритм вычисления обратной матрицы: 1)находим определитель исходной матрицы.если |А|не равно 0,то переходим к след. Этапу.2)Находим А^т; 3)Находим алгебраическое дополнение эл-ов А^т и составляем из них присоедин матр. 4)Вычисляем обратную матр; 5) проверка правильности. Уравнения: 1) A*x=B (*A^-1cлева) x= A^-1*B; 2) x*A=B (*A^-1 справа) x=B*A^-1; 3) A*X*B=C (*A^-1слева и *B^-1cправа) x= A^-1*C*B^-1 .

7.Ранг матрицы. Основные теоремы о ранге матрицы

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается: rank A; rang A; r (A). Теоремы: 1) Ранг м.не изменяется при ее элементарных преобразованиях; 2.)Ранг матрицы = максимальному числу ее линейно-независимых строк или столбцов через которые линейно выражаются все ее остальные строки и столбцы.

8. Системы линейных уравнений. Основные понятия

Определение. Система линейных уравнений -- это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Решение системы уравнений -- это последовательность чисел (k1, k2, ..., kn), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x1, x2, ..., xn дает верное числовое равенство. Решить систему уравнений -- значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Переменная xi называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной xi должен быть равен нулю.

9. Алгоритмы решения СЛУс квадратной матрицей: метод Крамера, метод обратной матрицы

Метод Крамера -- способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.

Метод обратной матрицы. Рассмотрим систему уравнений с неизвестными Если определитель матрицы A отличен от нуля , то решение системы может быть найдено по формуле x=A^-1B, где A^-1 обратная к матрице A.

10. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса-Жордана решения системы СЛУ

Теорема. Для того чтобы система была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы. Определение: Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, т.е. , то ранг матрицы системы называют рангом системы. Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

11. Балансовая модель Леонтьева

Цель бал.анализа ответить на “каким должен быть объем пр-ва каждой из n отраслей чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли?”. Соотношения баланса: (i=1,2,n) - величины имеют стоимостное выражение. Коэф-ты прямых затрат показывают затраты продукции i-й отрасли на произ-во единицы продукции j-й отрасли. Линейная зависимость мат.затрат от вал.выпуска: x_ij=a_ijx_j (i, j=1,2,..n). Осн.задача м.б. состоит в отыскании вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. Матрица S=(E-A)^-1 наз-ся матрицей полных затрат.

12. Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением называется (в;b) число = произведению длин этих векторов на cos угла между ними. В.a*в.b=|a|*|b|*cos ц.

13. Уравнения прямой на плоскости

матрица уравнение модель вектор

Уравнением на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты точки не лежащей на ней линии.

1?. Y=kx+b; уравнение прямой с угловым коэф.k проходящая через точку (x;y). Если b=0, то y=kx, проходит через нач.координат и если tgб(k)>0, то обр.острый улол с ОХ, k<0 то образуется тупой угол, k=0 прямая совпадает с ОХ. 2?.y-y1=k(x-x1) уравнение прямой проходящ.через данную точку в данном направлении. Образуется путем вычисления kx+b из kx1+b. Если в этом уравнении k-производное число, то это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку. 3?. =. Уравнение прямой, проходящ.через 2 точки. Даны точки m1, m2. Уравнение пучка прямых, проходящ.через т.m1 y-y1=k(x-x1). Т.к. m2 принадлежит этой прямой то выделим эту прямую из пучка подставив ее координаты в уравнение y2-y1=k(x2-x1). k=y2-y1/x2-x1, y-y1=y2-y1/x2-x1 => 1ое уравнение. 4?. y/b + x/a=0 уравнение прямой в отрезках. 5?. Ax+By+C=0. Общее уравнение прямой. При всех A,B,C это ур-ие записывает прямую на корд.пл., значит это ур-е верно для всех прямых. 6?. k2-k1/1+k1*k2 угол между 2мя прямыми.

14. Угол между двумя прямыми. Условия || и ? прямых. Точка пересечения прямых. Расстояние от точки до прямой

Угол: пусть заданы 2 прямые y=k1x+b1 и y=k2x+b2

ц=б1-б2, tgб=tg(б2-б1)= ;

|| и ? прямых: y=k1x+b1 и y=k2x+b2. Если прямые ||, то ц=0 => tgц=0 или k1=k2 и наоборот если k1=k2, то ц=0 => равенство k прямых явл-ся необх.условием параллельности прямых.

Если прямые ? то ц=п/2, ctgц=0. Ctg=1/tg=1+k1k2/k2-k1=0 => 1+k1k2=0 => k1k2=-1. Пусть прямые заданы общим ур-ем: A1,2x+B1,2y+C1,2=0 => k1=-A1/B1, k2=-A2/B2 => k1=k2 => =

Т.е. при || и при ? k1k2=-1, A1A2/B1B2=-1, A1A2+B1B2=0. Точка пересеч: A1x+B1y+C=0 и A2x+B2y+c=0 точка пересеч. = решению системы.

15. Прямая и плоскость в пространстве

Всякое уравнение относительно координат x, y, z: Ax + By + Cz +D = 0 задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением, кот. называется уравнением плоскости. Прямая в пространстве может быть задана: 1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений: A1 x+B1y+C1 z+D1=0, A2x+B2y+C2 z+D2=0; 2) двумя своими точками M1 (x1, y1, z1) и M2(x2, y2,z 2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями: ; 3) точкой M1 (x1,y1,z1),ей принадлежащей, и вектором a (m,n,р),ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями: - канонические уравнения прямой.

16. Графическое решение системы линейных неравенств

Чтобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, т.e. привести неравенства к виду и построить графики функций y = f ( x ), y = g ( x ) , ... Каждое из этих неравенств решается графическим методом (построить графики, найти нули функции, которые разделят ось Х на несколько интервалов. определим интервалы x, внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства). После этого нужно найти пересечение решений всех неравенств, т.e. их общую часть.

17. Множества и операции над ними

Множества - это совокупность элементов, объединённых по какому-либо общему признаку. Множесто А считается заданным, если для любого элемента а из множества А всегда можно определить, принадлежит элемент а этому множеству или нет. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ш. Например, множество действительных корней уравнения х²+1=0 есть пустое множество. Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается В С А. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ .А, В, С - множества, аА; А=a1…an, А=х; х0, АВ, А является подмножеством множества В, -весь, всякий, каждый, -существует, !- существует и единственный, => -следует, <=>- тогда и только тогда, - множество, которое не содержит ни одного элемента, А: А - для любого множества А любое пустое множество является подмножеством множества А. АВ=С - объединение множеств; АВ=С - пересечение множеств; А/(наоборот линию)В=С - множество, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В; А х В={(а, в); аА} - множество упорядоченных пар вВ; А х ВВ хА.

18. Функция и связанные с ней понятия

Функция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других.Постоянной величиной наз-ся величина, сохраняющая одно и то же значение. Переменная величина - может принимать разные цифровые значения. Параметр-если величина сохраняет постоянное значение только в условиях данного процесса. Функция явная если она задана ур.y=f(x) в кот.1я часть не содержит зависимой переменной и неявной если F(x;y)=0 неразрешенн.относит.y. Y=x²+2 - явная, e^xy+x/y=0 - невная. График - множество точек (x;y) на плоскости, координаты кот.удовлетворяют данному уравнению. Функция построенная из осн.элементов ф-ии с помощью конечного числа образования сложн.функции наз-ся элементарной. Элементарн.функции делятся на алгебраические и трансцендентные.

19. Определение предела функции ( в точке и на бесконечности)

Если каждому натуральному числу nN поставлено в соответствие вполне определенное число a_n, то говорят что задана числовая посл-ть a1,a2,..,a. Число A наз-ся пределом числ.посл-ти an если для любого положит.числа E>0 найдется такой N=N(E),что для всех членов посл-ти с номерами n>N выполняется |a_n-A|<E. Пр.в точке: A наз-ся пределом f(x) при x->? если для любого полож.числа E>0 найдется такое S=S(E)>0 что если |x|>S то |f(x)-A|<E. Т.е. A=lim x->? f(x) E>0 S=S(E)>0 |x|>S=>|f(x)-A|<E. Пр. в точке: пусть y=f(x) задана в окрестностях точки x₀ кроме самой этой точки. A=lim x->? f(x) E>0 д= д(E) |x-x₀|< д=>|f(x)-A|<E. замечание: если x->x0 принимает значения меньше х0 или только только больше x0 то говорят об односторонних пределах ф-ии.

20. Бесконечно малые величины, их свойства. Эквивалентные бесконечно малые

Бесконечно малая (величина) -- числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел an=1/n. Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если . Функция называется б.м. на бесконечности, если или . Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если то f(x) ? a = б(x), . Св-ва: 1)алгебр.сумма конечн.числа б.м. есть б.м.величина; 2)пр-е б.м.величины на огр.ф-ию есть б.м.величина; 3)частное от деления б.м. на ф-ию, lim которой отличен от 0, есть велич.б.м. Если , то б.м.в-ны б и в эквивалентные.

21. Бесконечно большие величины, св-ва. Связь между б.б. и б.м.

Бесконечно большая (величина) -- числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака. Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsin x, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при x->+?; Последовательность an называется бесконечно большой, если ; Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если;Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если или. Св-ва: 1)пр-ие б.б.вел.на функцию, lim кот.отличен от 0, есть вел.б.б; 2)сумма б.б.величин и огранич.ф-ии есть вел.б.б.; 3)частное от деления б.б. на ф-ию,имеющую lim,есть вел.б.б. Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость 0/0.

22. Основные теоремы о пределах

1) если предел сущ-т, то он единственный; 2) если ф-я y=f(x) в некоторой окрестности точки x₀ монотонно возрастает или убывает то она в этой точке имеет предел, если к тому же эта ф-ия ограничена сверху и снизу то этот предел конечный; 3) если в окр-ти т.x0 выполнено f(x) ?h(x)?g(x) и lim x->x0 f(x) = lim x->x0 g(x) = A и пределы этих ф-ий совпадают => lim x->x0 h(x)=A; 4) пусть limx->x0 f(x)=A<?, lim x->x0 g(x)=B<?, тогда lim x->x0 (f(x) ±g(x))=A±B и lim x->x0 [f(x)*g(x)]=A*B=>lim x->x0 (л*f(x)= лlimf(x), л=const.

23. Замечательные пределы

Первый замечательный предел: Второй замечательный предел:

24. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она удовлетворяет следующим трём условиям: определена в точке x0 (т.е. существует f(x0)); имеет конечный предел ф-ии при x->x0; этот предел = значению ф-ии в точке x0,т.е. lim x->x0 f(x)=f(x0). Определение непрерывности ф-ии lim x->x0 f(x) = f(x0) может быть записано и так: lim x->x0 f(x)=f(limx), т.е. для непрерывной ф-ии возможна перестановка символов предела и ф-ии. Св-ва ф-ий, непрерывных в точке: 1.)Если ф-ии f(x)и ц(x) непрерывны в точке x0, то их сумма, произведение и частное (при условии ц(x0) ?0) явл. ф-ями, непрерывными в точке x0. 2) Если ф-ия y=f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0)> 0, то сущ-ет такая окрестность точки x0, в кот. f(x)> 0. Если ф-ия y=f(u) непрерывна в точке u0, а ф-ия u= ц(x)непрерывна в точке u0= ц(x), то сложная ф-ия y=f[ц(x)] непрерывна в точке x0.

25. Свойства функций, непрерывных на отрезке (т.Вейерштрасса, Больцано-Коши)

1. Если ф-ия y=f(x) непрерывна на отр. [a; b], то она ограничена на этом отр.

2. Если ф-ия y=f(x) непр. на отр. [a; b], то она достигает на этом отр. наим. знач. m и наиб. знач. M (теорема Вейерштрасса).

3. Если ф-ия y=f(x) непр. на отр. [a; b] и знач-я ее на концах отр.f(a)и f(b) имеют противоп. знаки, то внутри отр. найдется точка м принадлеж.(a,b), такая, что f(м )=0 (теорема Больцано-Коши).

26. Производная функции, ее геометрический, механический и экономический смысл

Производной y=f(x) наз-ся предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента к стремлению последнего к нулю. Нахождение производной наз-ся дифференцированием. Геометрический смысл производной: производная f ` (x0) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке х0, т.е. k=f'(x0), Тогда уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке ч0 примет вид y-f(x0)= f'(x0)(x-x0).Механический смысл производной: производна пути по времени s'(t0) есть скорость точки в момент t₀/v(t₀). Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная пути S по времени t. Экономический смысл. V(t), t0 принадлежит (a,b). Тогда за время ? t предприниматель произведет продукции V(t0 + ? t) - V(t0).Средней производительностью труда называется отношение

27. Основные правила дифференцирования. Производная неявной функции. Производные высших порядков

C'=0; x'=1; (u±v)'=u'±v'; (u*v)'=u'v+uv'; (u/v)'=u'v-uv'/v²; y=f(u) u=f(x) y=f[ц(x)] y'=f'[ц(x)]* ц'(x).

Пр-ая неявной ф: F(x,y)=0 для нахождения y' нужно продиф.уравнение, рассматривая y как ф-ию от x, а затем из получ.выражения получить y'. Произ.высш.пор.: когда мы берем пр-ую от ф-ии, то f'(x) также явл.ф-ией от x₁ => если f'(x) дифференцируемая, то от нее также можно получить произ-ую. f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))'

28. Основные теоремы диффернционального исчесления функции одной переменной

Т.Ферма: если диф-я на нек.промежутке x, y=f(x) достигает наиб.или наим.значения во внутр.точке х₀ этого промежутка, то пр-ая ф-ии в этой точке=0. Т.Ролля: пусть y=f(x): 1)непрерывна на [a;b]; 2)дифференц.внутри отрезка; 3)f(a)=f(b) тогда сущ-т точка Е в кот.произ-я=0. Т.Лагранжа: непрерывна на [a;b]; 2)дифференц.на отрезке тогда сущ-т хотя бы одна точка Е такая что прои-ая в этой точке = f'(E)=f(b)-f(a)/b-a, f(b)-f(a)=f'(E)(b-a); Т.Коши: если f(x) и g(x) непрерывны на отр. [a;b] дифференц.на (a;b) и g(x)?0 на (a;b) тогда f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(E)/g'(E).

29.Исследование функции: монотонность и точки экстремума

монотонность функции связана с тем, каков знак ее производной: Если производная положительна, то функция возрастает; Если производная отрицательна, то функция убывает. Достаточное условие вострастания ф-ии: если пр-ая диф.функции положит.внутри нек.промежутка x,то внутри этого промежутка ф-ия возрастает. Экстремумы: 1) x0 наз-ся т.max ф-ии y=f(x) если в нек.окрестности т.x0 вып-ся f(x)<f(x0) для любой т.х из этой окрестн. 2) х1 нах-ся т.min если в нек.окр-ти т.х0 вып-ся f(x)>f(x0) значение f(x0)-max, f(x1)-min.

30.Исследование ф-ии: выпуклость и точки перегиба

При исследовании функции и построении ее графика на одном из этапов мы определяем точки перегиба и интервалы выпуклости. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х. Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз - вогнутой. Точка называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее. Если функция y = f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство , то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х. Алгоритм нахождения точек перегиба функции: Находим все абсциссы x0 возможных точек перегиба графика функции (или и ) и выясняем, проходя через какие x0 вторая производная меняет знак. Такие значения и будут абсциссами точек перегиба, а соответствующие им точки будут точками перегиба графика функции.

31. Асимптоты графика ф-ии

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x > a, если выполнено хотя бы одно из условий , Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x > +?, если . Прямая y = kx + b, k ? 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x > +?, если Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x > -?.

32. Приложение производной в экономике

Интерпретация т.Ферма: один из базовых законов т.про-ва звучит как оптимальный для пр-ля ур.выпуска товара опр-ся равенством MD(доход) и MS(издержки). Ф-ия прибыли = С(х), тогда С(х)=D(x)-S(x), при C'(x)=0 прибыль макс. => MD(x0)=MS(x0). Уровень наиб.экономичного пр-ва: ср.издержки (AS)=пред.изд.(MS). AS=S(x)/x, min дост-ся в критич.т.функции y=AS(x), т.е. при AS'(x)=S'x-S/x²=0 =>S'*x-S=0 или S'=S/x,т.е. MS(x)=AS(x). Закон убывающей доходности: c увелич.пр-ва доп.продукция,пол-ая на кажд.нов.ед.ресурса с нек.момента убывает, т.е. ?y/?x (?x-приращение ресурса, ?y-приращение выпуска прод-ии) уменьшается при увеличении х. => ф-ия y=f(x),выраж-щая зависимость выпуска прод-и от вложенного ресурса, явл-ся ф-ией, выпуклой вверх. Ф-ия полезности: U=U(x) (x-кол-во товара,U-полезность) закон: с ростом кол-ва товара доп.полезность от каждой новой его единицы с некотор.момента убывает. Переформулировка: ф-ия полезности явл. выпуклой вверх.

33. Эластичность функции

Эластичностью ф-ии E_x наз-ся предел отношения относит.приращения ф-ии y к относит.приращению переменной х при ?х->0: E_x(y)=lim ?x->0 (?y/y:?x/x)=x/y lim ?x->0 ?y/?x=x/y*y'. Показывает насколько % измен-ся ф-я y=f(x) при изменении независимой переменной на 1%. Геомет.смысл: E_x(y)=x/y*y'=x/y tgб, где tgб - tg угла наклона касательной. Т.е. эластичность ф-ии (по абс.величине) = отношению расстояний по касательной от данной точки графика ф-ии до точек ее пересечения с Ох и Оу. Свойства эл-ти: 1)эл-ть = пр-ию независимой переменной х на темп изменения функции Ty=(lny)'=y'/y,т.е.E_x(y)=xTy; 2)эл-ть произв-я 2хфункций = сумме эластичности этих ф-ий: Ex(uv)=Ex(u)+Ex(v); 3)эл-ти взаимно обратных ф-ий - взаимно обратные величины Ex(y)=1/Ey(x).

34. Производная по направлению. Градиент

Производной z'_l по направлению l ф-ции 2х переменных z=f(x;y) наз-ся предел отношения приращения ф-ии в этом направлении к величине перемещения ?l при стремлении последней к нулю, т.е. z'_l=lim ?l->0 ?_lz/?l. Пр-ая z'_l хар-ет скорость изменения функции в направлении l. Градиентом ?z функции z=f(x,y) наз-ся вектор с координатами (z'_x,z'_y).

35. Экстремум функции 2х переменных

Точка M(x0,y0) наз-ся т.max (min) ф-ии z=f(x,y) если сущ-т окрестность т.M такая что для всех точек (x,y) из этой окр-ти вып-ся неравенство f(x0,y0)?f(x,y). Теорема: пусть точка (x0,y0) есть точка экстремума дифф-ой ф-ии z=f(x,y), тогда частные производные f'_x(x0,y0) и f'_y(x0,y0) в этой точке равны 0. Необходимое условие экстремума: в точке min, max диф-ой ф-ии градиент = 0. Достаточное условие экстремума ф-ии 2х переменных: пусть ф-ия z=f(x,y) a)определена в некот.окрестности критич.точки (x0,y0), в кот-ой f'_x(x0,y0)=0 и f'_y(x0,y0)=0; b)имеет в этой точке непрерывные частные произ-ые 2го порядка f''xx(x0,y0)=A, f''xy(x0,y0)=f''yx(x0,y0)=B; f''yy(x0,y0)=C. Тогда, если ?=AC-B²>0, то в точке (x0,y0) ф-ия z=f(x,y) имеет экстремум, причем если А<0-max, A>0-min. если ?=AC-B²<0 ф-ия не имеет экстр. если ?=AC-B²=0 то вопрос о наличии экстр.остается открытым. Т.е. чтобы найти экстр.ф-ии 2х переменных надо: найти частн.пр-ые ф-ии z'_x z'_y , решить сист.уравнений z'_x=0 z'_y=0 и найти критич.точки ф-ии, найти частн.пр-ые 2го порядка,вычисл.их значения в кажд.критич.точке и сделать вывод о наличии экстр., найти экстр. ф-ии.

36. Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F(x) наз-ся первообразной ф-ей для ф-ии f(x) на промежутке x, если в каждой точке х этого промежутка F'(x)=f(x). Совокупность всех первообразных для ф-ии f(x) на промежутке x наз-ся неопределенным интегралом от ф-ии f(x) и обозначается ?f(x)dx, где ?-знак интеграла, f(x)-подынтегральная ф-ия, f(x)dx-подынтегральное выражение. ?f(x)dx=F(x)+C.Операция нахождения интеграла от нек.ф-ии наз-ся интегрированием этой ф-ии.

37. Свойства неопределенного интеграла

1) Производная от неопр. ? равна подынтегральной ф-ии, т.е. (?f(x)dx)'=f(x); 2)Дифференциал неопр. ? = подынтегр.выражению d(?f(x)dx)=f(x)dx; 3)неопр. ? от дифференциала нек.ф-ии равен этой ф-ии с точностью до постоянного слагаемого ?dF(x)=F(x)+C; 4)Постоянный множитель можно выносить за знак ?, ?бf(x)dx=б?f(x)dx; 5) Интеграл от алг.суммы 2х ф-ий равен такой же сумме интегралов от этих ф-ий ?(f(x)±g(x))dx=?f(x)dx±?g(x)dx.

38. Методы нахождения неопределенного интеграла

1) Метод замены переменной (подстановки) ?f(x)dx=?f(ц(t))ц'(t)dt, x=ц(t)-ф-ия диффер.на данном промежутке. 2) интегрирование по частям ?udv=uv-?vdu фиксируется разбиение подынтегр.выражения искомого интеграла на 2 сомножителя (u и dv) первый дифф-ся, второй интегрируется.

39. Понятие интегральной суммы и определенного интеграла

Инт.сумма: пусть на [a,b] задана ф-ия y=f(x). Разобьем отр.[a,b] на n элементарных отрезков точками x0,x1,.,xn a=x0<x1<x2<..<xn=b. На кажд.отрезке [x_i-1,x_i]разбиения выберем нек.точку Е1 и положим ?x_i=x_i-x_i-1, где i=1,2,..,n. Сумму вида наз-м интегральной суммой для ф-ии y=f(x) на [a,b]. Опр. ?: пусть предел интег.суммы при стремлении max?xi к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек x1,x2,.. и точек E1,E2,.. Тогда этот предел наз-ся определенным интегралом от ф-ии y=f(x) на [a,b].

40. Свойства определенного интеграла

1) постоянный множитель можно вынос. за знак интегр.=, где -число. 2)интегр.от суммы 2х ф-ий = такой же сумме инт-ов от этих ф-ий =; 3) если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке = сумме интегралов для каждой из возникших частей, при любых a,b,c ; 4)если на отрезке [a,b] f(x)?g(x), то , т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать. 5)теорема о среднем: если ф-ия y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] a<b то найдется такое значение E[a,b] что

41. Методы вычисления определенного интеграла

Т.Ньютона-Лейбница: пусть y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) - любая первообразная для этой ф-ии на данном отрезке, тогда . Метод замены переменной: пусть y=ц(t) имеет непрер.пр-ю на [ а=ц(, b=ц(). Пусть f(x) непрер. в кажд.точке вида x=ц(t), где t[ => . Интегрирование по частям: (uv)=u(b)v(b)-u(a)b(a)

42. Несобственный интеграл с бесконечными пределами

Несобственным интегралом наз-ся . Если предел правой части этого рав-ва сущ-т и конечен, то интеграл сходящийся, а если нет то расходящийся.

Размещено на Allbest.ru