Оптимальные стратегии игры (с седловой точкой). Решение матричной игры

Проверка платежной матрицы седловой точки. Решение игры в чистых стратегиях. Решение задачи геометрическим методом. Отложение по оси абсцисс отрезка в декартовой системе координат. Максиминная оптимальная стратегия игрока. Доминирующие строки и столбцы.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 19.03.2013
Размер файла 45,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой)

.

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки

B1

B2

B3

a = min(Ai)

A1

1

2

2

1

A2

0

4

-1

-1

A3

-1

-2

5

-2

b = max(Bi)

1

4

5

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 1, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 1.

Седловая точка (1, 1) указывает решение на пару альтернатив (A1,B1). Цена игры равна 1.

Решите игру с заданной платежной матрицей, используя графический метод:

2. 3. . 4. .

Решение матричной игры

Игроки

B1

B2

a = min(Ai)

A1

6

-1

-1

A2

5

-2

-2

A3

3

2

2

A4

-1

3

-1

b = max(Bi)

6

3

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 3.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ? b, тогда цена игры находится в пределах 2 <= y <= 3. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)

Стратегия A1 доминирует над стратегией A2 (все элементы строки 1 больше или равны значениям 2-ой строки), следовательно, исключаем 2-ую строку матрицы. Вероятность p2 = 0.

6

-1

3

2

-1

3

В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы (1). Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).

7

0

4

3

0

4

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:

1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии B1, правый - стратегии B2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).

2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии B1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии B2.

Решение игры (m x 2) проводим с позиции игрока B, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.

Максиминной оптимальной стратегии игрока B соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых A2A2 и A3A3, для которых можно записать следующую систему уравнений:

y = 4 + (3 - 4)q2

y = 0 + (4 - 0)q2

Откуда

q1 = 1/5

q2 = 4/5

Цена игры, y = 31/5

Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока A, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию A1, которая дает явно больший проигрыш игроку A, и, следовательно, p1 = 0.

4p2 = y

3p2+4p3 = y

p2+p3 = 1

или

4p2 = 31/5

3p2+4p3 = 31/5

p2+p3 = 1

Решая эту систему методом Гаусса, находим:

p2 = 4/5

p3 = 1/5

Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (1), то вычтем это число из цены игры. Цена игры: y = 31/5 - 1 = 21/5

1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки

B1

B2

B3

B4

B5

a = min(Ai)

A1

7

5

6

4

7

4

A2

5

10

4

10

11

4

A3

2

14

2

12

13

2

A4

6

6

5

5

10

5

b = max(Bi)

7

14

6

12

13

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 5, которая указывает на максимальную чистую стратегию A4.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 6.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ? b, тогда цена игры находится в пределах 5 ? y ? 6. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы

платежный матрица седловой декартовый

Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.

Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ? akj для всех j Э N и хотя бы для одного j aij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) - доминирующая, k-я - доминируемая.

Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M aij ? ail и хотя бы для одного i aij < ail. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю - доминируемой.

С позиции проигрышей игрока В стратегия B5 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 5 больше элементов столбца 1), следовательно исключаем 5-ой столбец матрицы. Вероятность q5 = 0.

7

5

6

4

5

10

4

10

2

14

2

12

6

6

5

5

В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки.

Мы свели игру 4 x 5 к игре 4 x 4.

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

3. Находим решение игры в смешанных стратегиях

Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:

найти минимум функции F(x) при ограничениях:

7x1+5x2+2x3+6x4 ? 1

5x1+10x2+14x3+6x4 ? 1

6x1+4x2+2x3+5x4 ? 1

4x1+10x2+12x3+5x4 ? 1

F(x) = x1+x2+x3+x4 > min

найти максимум функции Ф(y) при ограничениях:

7y1+5y2+6y3+4y4 ? 1

5y1+10y2+4y3+10y4 ? 1

2y1+14y2+2y3+12y4 ? 1

6y1+6y2+5y3+5y4 ? 1

Ф(y) = y1+y2+y3+y4 > max

Решаем эти системы симплексным методом.

Решение симплекс-методом доступно в расширенном режиме.

Цена игры будет равна g = 1/F(x), а вероятности применения стратегий игроков:

pi = g*xi; qi = g*yi.

Цена игры: g = 1 : 2/11 = 51/2

p1 = 51/2 * 3/22 = 3/4

p2 = 51/2 * 1/22 = 1/4

p3 = 51/2 * 0 = 0

p4 = 51/2 * 0 = 0

Оптимальная смешанная стратегия игрока I:

P = (3/4; 1/4; 0; 0)

q1 = 51/2 * 0 = 0

q2 = 51/2 * 0 = 0

q3 = 51/2 * 3/22 = 3/4

q4 = 51/2 * 1/22 = 1/4

Оптимальная смешанная стратегия игрока II:

Q = (0; 0; 3/4; 1/4)

Цена игры: v=51/2

Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии.

?aijpi ? v

?aijqj ? v

M(P1;Q) = (7*0) + (5*0) + (6*3/4) + (4*1/4) = 5.5 ? v

M(P2;Q) = (5*0) + (10*0) + (4*3/4) + (10*1/4) = 5.5 ? v

M(P3;Q) = (2*0) + (14*0) + (2*3/4) + (12*1/4) = 4.5 ? v

M(P4;Q) = (6*0) + (6*0) + (5*3/4) + (5*1/4) = 5 ? v

M(P;Q1) = (7*3/4) + (5*1/4) + (2*0) + (6*0) = 6.5 > v

M(P;Q2) = (5*3/4) + (10*1/4) + (14*0) + (6*0) = 6.25 > v

M(P;Q3) = (6*3/4) + (4*1/4) + (2*0) + (5*0) = 5.5 < v

M(P;Q4) = (4*3/4) + (10*1/4) + (12*0) + (5*0) = 5.5 < v

4. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку

Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки

B1

B2

B3

B4

B5

a = min(Ai)

A1

5

10

0

9

4

0

A2

10

5

0

7

6

0

A3

0

12

10

8

7

0

A4

0

15

5

10

1

0

b = max(Bi)

10

15

10

10

7

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 0, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 7.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ? b, тогда цена игры находится в пределах 0 ? y ? 7. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

5. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы

Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.

Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ? akj для всех j Э N и хотя бы для одного j aij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) - доминирующая, k-я - доминируемая.

Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M aij ? ail и хотя бы для одного i aij < ail. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю - доминируемой.

В платежной матрице отсутствуют доминирующие строки.

В платежной матрице отсутствуют доминирующие столбцы.

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

6. Находим решение игры в смешанных стратегиях

Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:

найти минимум функции F(x) при ограничениях:

5x1+10x2 ? 1

10x1+5x2+12x3+15x4 ? 1

10x3+5x4 ? 1

9x1+7x2+8x3+10x4 ? 1

4x1+6x2+7x3+x4 ? 1

F(x) = x1+x2+x3+x4 > min

найти максимум функции Ф(y) при ограничениях:

5y1+10y2+9y4+4y5 ? 1

10y1+5y2+7y4+6y5 ? 1

12y2+10y3+8y4+7y5 ? 1

15y2+5y3+10y4+y5 ? 1

Ф(y) = y1+y2+y3+y4+y5 > max

Решаем эти системы симплексным методом.

Решение симплекс-методом доступно в расширенном режиме.

Цена игры будет равна g = 1/F(x), а вероятности применения стратегий игроков:

pi = g*xi; qi = g*yi.

Цена игры: g = 1: 1/5 = 5

p1 = 5 * 0 = 0

p2 = 5 * 1/10 = 1/2

p3 = 5 * 1/10 = 1/2

p4 = 5 * 0 = 0

Оптимальная смешанная стратегия игрока I:

P = (0; 1/2; 1/2; 0)

q1 = 5 * 1/10 = 1/2

q2 = 5 * 0 = 0

q3 = 5 * 1/10 = 1/2

q4 = 5 * 0 = 0

q5 = 5 * 0 = 0

Оптимальная смешанная стратегия игрока II:

Q = (1/2; 0; 1/2; 0; 0)

Цена игры: v=5

Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии.

?aijpi ? v

?aijqj ? v

M(P1;Q) = (5*1/2) + (10*0) + (0*1/2) + (9*0) + (4*0) = 2.5 ? v

M(P2;Q) = (10*1/2) + (5*0) + (0*1/2) + (7*0) + (6*0) = 5 = v

M(P3;Q) = (0*1/2) + (12*0) + (10*1/2) + (8*0) + (7*0) = 5 = v

M(P4;Q) = (0*1/2) + (15*0) + (5*1/2) + (10*0) + (1*0) = 2.5 ? v

M(P;Q1) = (5*0) + (10*1/2) + (0*1/2) + (0*0) = 5 = v

M(P;Q2) = (10*0) + (5*1/2) + (12*1/2) + (15*0) = 8.5 > v

M(P;Q3) = (0*0) + (0*1/2) + (10*1/2) + (5*0) = 5 = v

M(P;Q4) = (9*0) + (7*1/2) + (8*1/2) + (10*0) = 7.5 > v

M(P;Q5) = (4*0) + (6*1/2) + (7*1/2) + (1*0) = 6.5 > v

7. Решите игру с заданной платежной матрицей, используя симплекс-метод

Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки

B1

B2

B3

B4

B5

a = min(Ai)

A1

8

6

8

7

8

6

A2

8

6

8

10

5

5

A3

8

7

6

8

7

6

A4

7

8

7

8

6

6

A5

10

6

7

7

7

6

b = max(Bi)

10

8

8

10

8

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 6, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 8.

Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ? b, тогда цена игры находится в пределах 6 ? y ? 8. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

8. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы

Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.

Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ? akj для всех j Э N и хотя бы для одного j aij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) - доминирующая, k-я - доминируемая.

Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M aij ? ail и хотя бы для одного i aij < ail. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю - доминируемой.

С позиции проигрышей игрока В стратегия B4 доминирует над стратегией B2 (все элементы столбца 4 больше элементов столбца 2), следовательно исключаем 4-ой столбец матрицы. Вероятность q4 = 0.

8

6

8

8

8

6

8

5

8

7

6

7

7

8

7

6

10

6

7

7

Стратегия A1 доминирует над стратегией A2 (все элементы строки 1 больше или равны значениям 2-ой строки), следовательно, исключаем 2-ую строку матрицы. Вероятность p2 = 0.

8

6

8

8

8

7

6

7

7

8

7

6

10

6

7

7

Мы свели игру 5 x 5 к игре 4 x 4.

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.

Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

9. Находим решение игры в смешанных стратегиях

Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так:

найти минимум функции F(x) при ограничениях:

8x1+8x2+7x3+10x4 ? 1

6x1+7x2+8x3+6x4 ? 1

8x1+6x2+7x3+7x4 ? 1

8x1+7x2+6x3+7x4 ? 1

F(x) = x1+x2+x3+x4 > min

найти максимум функции Ф(y) при ограничениях:

8y1+6y2+8y3+8y4 ? 1

8y1+7y2+6y3+7y4 ? 1

7y1+8y2+7y3+6y4 ? 1

10y1+6y2+7y3+7y4 ? 1

Ф(y) = y1+y2+y3+y4 > max

Решаем эти системы симплексным методом.

Решение симплекс-методом доступно в расширенном режиме.

Цена игры будет равна g = 1/F(x), а вероятности применения стратегий игроков:

pi = g*xi; qi = g*yi.

Цена игры: g = 1 : 1/7 = 7

p1 = 7 * 1/21 = 1/3

p2 = 7 * 1/21 = 1/3

p3 = 7 * 1/21 = 1/3

p4 = 7 * 0 = 0

Оптимальная смешанная стратегия игрока I:

P = (1/3; 1/3; 1/3; 0)

q1 = 7 * 0 = 0

q2 = 7 * 1/14 = 1/2

q3 = 7 * 0 = 0

q4 = 7 * 1/14 = 1/2

Оптимальная смешанная стратегия игрока II:

Q = (0; 1/2; 0; 1/2)

Цена игры: v=7

Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии.

?aijpi ? v

?aijqj ? v

M(P1;Q) = (8*0) + (6*1/2) + (8*0) + (8*1/2) = 7 = v

M(P2;Q) = (8*0) + (7*1/2) + (6*0) + (7*1/2) = 7 = v

M(P3;Q) = (7*0) + (8*1/2) + (7*0) + (6*1/2) = 7 = v

M(P4;Q) = (10*0) + (6*1/2) + (7*0) + (7*1/2) = 6.5 ? v

M(P;Q1) = (8*1/3) + (8*1/3) + (7*1/3) + (10*0) = 7.67 > v

M(P;Q2) = (6*1/3) + (7*1/3) + (8*1/3) + (6*0) = 7 = v

M(P;Q3) = (8*1/3) + (6*1/3) + (7*1/3) + (7*0) = 7 = v

M(P;Q4) = (8*1/3) + (7*1/3) + (6*1/3) + (7*0) = 7 = v

Дана матрица выигрышей в игре с природой

П1

П2

П3

П4

П5

А1

9

5

10

3

9

А2

6

4

8

4

5

А3

5

6

1

10

9

А4

4

2

9

1

3

А5

10

1

4

3

6

q

0,3

0,3

0,2

0,1

0,1

Найти показатели благоприятности для состояний природы, построить модель рисков. Используя критерий Байеса, по полученным матрицам определить оптимальные стратегии игрока А:

а) по значениям вероятностей появления событий природы qj;

б) считая состояния природы равновероятными;

в) сравнить полученные результаты и дать им соответствующую трактовку.

10. Критерий Байеса

По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.

Считаем значения ?(aijpj)

?(a1,jpj) = 9*0.3 + 5*0.3 + 10*0.2 + 3*0.1 + 9*0.1 = 7.4

?(a2,jpj) = 6*0.3 + 4*0.3 + 8*0.2 + 4*0.1 + 5*0.1 = 5.5

?(a3,jpj) = 5*0.3 + 6*0.3 + 1*0.2 + 10*0.1 + 9*0.1 = 5.4

?(a4,jpj) = 4*0.3 + 2*0.3 + 9*0.2 + 1*0.1 + 3*0.1 = 4

?(a5,jpj) = 10*0.3 + 1*0.3 + 4*0.2 + 3*0.1 + 6*0.1 = 5

Ai

П1

П2

П3

П4

П5

?(aijpj)

A1

2.7

1.5

2

0.3

0.9

7.4

A2

1.8

1.2

1.6

0.4

0.5

5.5

A3

1.5

1.8

0.2

1

0.9

5.4

A4

1.2

0.6

1.8

0.1

0.3

4

A5

3

0.3

0.8

0.3

0.6

5

pj

0.3

0.3

0.2

0.1

0.1

0

Выбираем из (7.4; 5.5; 5.4; 4; 5) максимальный элемент max=7.4

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A1.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Составление платежной матрицы, поиск нижней и верхней чисты цены игры, максиминной и минимаксной стратегии игроков. Упрощение платежной матрицы. Решение матричной игры с помощью сведения к задаче линейного программирования и надстройки "Поиск решения".

    контрольная работа [1010,3 K], добавлен 10.11.2014

  • Основные определения теории биматричных игр. Пример биматричной игры "Студент-Преподаватель". Смешанные стратегии в биматричных играх. Поиск "равновесной ситуации". 2x2 биматричные игры и формулы для случая, когда у каждого игрока имеется две стратегии.

    реферат [84,2 K], добавлен 13.02.2011

  • Принятие решений как особый вид человеческой деятельности. Рациональное представление матрицы игры. Примеры матричных игр в чистой и смешанной стратегиях. Исследование операций: взаимосвязь задач линейного программирования с теоретико-игровой моделью.

    курсовая работа [326,4 K], добавлен 05.05.2010

  • Определение матричных игр в чистых стратегиях. Смешанные стратегии и их свойства. Решения игр матричным методом. Метод последовательного приближения цены игры. Отыскание седлового элемента. Антагонистические игры как первый класс математических моделей.

    контрольная работа [855,7 K], добавлен 01.06.2014

  • Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.

    контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015

  • Вычисление скалярного и векторного произведений векторов, заданных в прямоугольной декартовой системе координат. Расчет длины ребра пирамиды по координатам ее вершин. Поиск координат симметричной точки. Определение типа линии, описываемой уравнением.

    контрольная работа [892,1 K], добавлен 12.05.2016

  • Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.

    контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014

  • Математическая модель задачи. Решение транспортной задачи методом потенциалов. Значение целевой функции. Система, состоящая из 7 уравнений с 8-ю неизвестными. Решение задач графическим методом. Выделение полуплоскости, соответствующей неравенству.

    контрольная работа [23,5 K], добавлен 12.06.2011

  • Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.

    задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012

  • Решение линейной производственной, транспортной и двойственной задач. Динамическое программирование и распределение капитальных вложений. Анализ доходности и риска финансовых операций. Понятие матричной игры как модели конкуренции и сотрудничества.

    курсовая работа [427,7 K], добавлен 14.10.2012

  • Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.

    контрольная работа [462,6 K], добавлен 12.11.2010

  • Решение задачи Коши для дифференциального уравнения. Погрешность приближенных решений. Функция, реализующая явный метод Эйлера. Вычисление погрешности по правилу Рунге. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. Условие устойчивости для матрицы.

    контрольная работа [177,1 K], добавлен 13.06.2012

  • Матричные уравнения, их решение и проверка. Собственные числа и собственные векторы матрицы А. Решение системы методом Жорданa-Гаусса. Нахождение пределов и производных функции, ее градиент. Исследование функции методами дифференциального исчисления.

    контрольная работа [287,0 K], добавлен 10.02.2011

  • Игры, повторяемые многократно, их отличительные свойства и этапы. Смешанные стратегии, условия и возможности их использования на практике. Аналитический метод решения игры типа 2 x 2. Основные теоремы для прямоугольных игр. Алгебраические решения.

    презентация [893,5 K], добавлен 23.10.2013

  • Вычисление корня функции нелинейного уравнения методом деления отрезка пополам. Способы ввода, вывода и организации данных. Модульная организация программы. Разработка блок-схемы алгоритма задачи. Порядок создания программы на алгоритмическом языке.

    реферат [30,0 K], добавлен 28.10.2010

  • Графическое решение задачи линейного программирования. Общая постановка и решение двойственной задачи (как вспомогательной) М-методом, правила ее формирования из условий прямой задачи. Прямая задача в стандартной форме. Построение симплекс таблицы.

    задача [165,3 K], добавлен 21.08.2010

  • Вычисление и построение матрицы алгебраических дополнений. Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса. Определение главной и проверка обратной матрицы. Аналитическая геометрия на плоскости.

    контрольная работа [126,9 K], добавлен 20.04.2016

  • Базовые действия над матрицами. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью элементарных преобразований. Понятия обратной и транспонированной матриц. Решение матричных уравнений различных видов: АХ=В, ХА=В, АХВ=С, АХ+ХВ=С, АХ=ХА.

    курсовая работа [172,0 K], добавлен 09.09.2013

  • Предмет и методы изучения дифференциальной векторно-матричной алгебры, ее структура. Векторное решение однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Численное решение векторно-матричных уравнений. Формулы построения вычислительных процедур.

    реферат [129,3 K], добавлен 15.08.2009

  • Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.

    контрольная работа [161,0 K], добавлен 16.03.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.