Планирование и организация эксперимента
Построение регрессионной математической модели с эффектами парного и тройного взаимодействия. Проверка выборок на однородность. Планирование эксперимента при оценке отклика. Оценка значимости влияния факторов на отклик при помощи латинского квадрата.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.03.2013 |
| Размер файла | 74,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Введение
Цель выполнения работы «Планирование и организация эксперимента» - закрепление и углубление знаний студентов по дисциплинам фундаментального, общетехнического и профессионального циклов, а также подробное изучение современных методов планирования экспериментов, математического моделирования объектов и систем контроля и управления.
Задачей работы является приобретение студентами навыков выбора необходимого плана эксперимента в соответствии с поставленной перед исследователем проблемой, построения матрицы планирования, обработки и анализа полученных результатов в зависимости от выбранного плана эксперимента.
1. Построение регрессионной математической модели
На токарном станке со скоростью резания V (х1) обтачиваются стальные заготовки. При этом изменяются значения продольной подачи S(х2) и глубины резания t (х3).
Требуется построить регрессионную математическую модель зависимости параметра оптимизации - шероховатости обработанной поверхности Y (Ra) от указанных параметров.
Таблица 1. Исходные данные
|
Контролируемые переменные |
V, м/мин |
S, мм/об |
t, мм |
|
|
Верхний уровень |
150 |
0,1 |
1,5 |
|
|
Нижний уровень |
80 |
0,02 |
0,3 |
Таблица 2 - Факторы процесса и параметры оптимизации
|
№ точки плана |
Факторы процесса |
Параметр оптимизации Y, мкм |
||||||
|
х1 |
х2 |
x3 |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
||
|
1 |
- |
- |
- |
1,8 |
3,6 |
3 |
2,4 |
|
|
2 |
+ |
- |
- |
2,6 |
2,4 |
2,6 |
2,5 |
|
|
3 |
- |
+ |
- |
3,6 |
2,6 |
3 |
3,3 |
|
|
4 |
+ |
+ |
- |
2,4 |
3,7 |
2,6 |
3,5 |
|
|
5 |
- |
- |
+ |
3,5 |
2,9 |
3 |
3,4 |
|
|
6 |
+ |
- |
+ |
3 |
3,5 |
3,6 |
2,9 |
|
|
7 |
- |
+ |
+ |
4,2 |
3,6 |
4,8 |
3 |
|
|
8 |
+ |
+ |
+ |
4,2 |
4,5 |
3,9 |
4,8 |
Эксперимент, в котором используются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ).
План проведения эксперимента и его результаты записываются в виде таблицы, которая называется матрицей планирования (МП).
Математическая модель с эффектами парного и тройного взаимодействия имеет вид:
Для определения параметров данной модели нужно построить расширенную матрицу планирования. Знаки в столбцах взаимодействий получаются путем перемножения единиц со знаками соответствующих сомножителей.
Таблица 3 - Расширенная матрица ПФЭ 23
|
№ точки плана |
Факторы процесса |
Взаимодействие факторов |
Параметр оптимизации Y, мкм |
||||||||||
|
x0 |
х1 |
х2 |
x3 |
x1 x2 |
x1 x3 |
x2 x3 |
x1 x2 x3 |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
||
|
1 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
1,8 |
3,6 |
3 |
2,4 |
|
|
2 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
2,6 |
2,4 |
2,6 |
2,5 |
|
|
3 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
3,6 |
2,6 |
3 |
3,3 |
|
|
4 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
2,4 |
3,7 |
2,6 |
3,5 |
|
|
5 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
3,5 |
2,9 |
3 |
3,4 |
|
|
6 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
3 |
3,5 |
3,6 |
2,9 |
|
|
7 |
1 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
4,2 |
3,6 |
4,8 |
3 |
|
|
8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
4,2 |
4,5 |
3,9 |
4,8 |
Вычисление параметров нормализованной математической модели с парными и тройными взаимодействиями производится по формулам:
Результаты расчетов:
Для проверки адекватности модели определяем дисперсию воспроизводимости и доверительный интервал оценки параметров.
После подсчета дисперсии воспроизводимости для каждого из восьми опытов, рассчитаем доверительный интервал.
где t (P, mN) - Критерий Стьюдента, определяется по таблице П1 при Р=0,95, m=4, N=32, t (P, mN)=2,045.
N - суммарное количество опытов, N=32.
Sв2=0,033880 - среднее значение дисперсии воспроизводимости.
Параметр считается статистически значимым, если его абсолютная величина больше доверительного интервала: . Статистически незначимые параметры считаем равными нулю.
Таким образом, все параметры удовлетворяют такому требованию и считаются статистически значимыми.
Если каждый опыт повторялся m раз, где m=4, дисперсия адекватности будет вычисляться по следующей формуле:
где fu значение отклика, вычисленное по модели при уровнях факторов, соответствующих опыту (или серии опытов) с номером u;
j - номер опыта в серии u:
Таблица 4 - Расчетные данные
|
2,7 |
-0,9 |
0,9 |
0,3 |
-0,3 |
1,8 |
|
|
2,525 |
0,075 |
-0,125 |
0,075 |
-0,025 |
0,0275 |
|
|
3,125 |
0,475 |
-0,525 |
-0,125 |
0,175 |
0,5475 |
|
|
3,05 |
-0,65 |
0,65 |
-0,45 |
0,45 |
1,25 |
|
|
3,2 |
0,3 |
-0,3 |
-0,2 |
0,2 |
0,26 |
|
|
3,25 |
-0,25 |
0,25 |
0,35 |
-0,35 |
0,37 |
|
|
3,9 |
0,3 |
-0,3 |
0,9 |
-0,9 |
1,8 |
|
|
4,35 |
-0,15 |
0,15 |
-0,45 |
0,45 |
0,45 |
Адекватность модели с взаимодействиями определяется с помощью критерия Фишера.
Определим наблюдаемое значение критерия Фишера по следующей формуле:
где So2 - дисперсия адекватности, рассчитанная ранее; Sb2=0,033880 - среднее значение дисперсии воспроизводимости для восьми опытов.
Критическое значение критерия Фишера Fк определяется по табл. П. 7 в зависимости от доверительней вероятности Р, числа параллельных экспериментов в серии m=(m2) и m1=N-k-1, где m1=4, m2=4, отсюда следует Fк= 9,28.
Fн<Fк, (2<9,28), следовательно, регрессионная математическая модель зависимости параметра оптимизации, выбранная нами, адекватна.
1.1 Проверка выборок на однородность
При анализе выборочных данных могут выдвигаться гипотезы об однородности дисперсией в нескольких выборках. В этом случае можно использовать критерий Кохрена. Наблюдаемое значение критерия Gн определяется по формуле:
где S2imax - максимальная оценка дисперсии среди n сравниваемых дисперсий (все n выборок имеют одинаковый объем m).
Для определения наблюдаемого значения Кохрена найдём суммы дисперсий и максимальное значение дисперсий.
Выбираем максимальное значение дисперсии Simax2= 0,6.
Критическое значение критерия определяется из табл. П. 8 в зависимости от принятых доверительной вероятности P, объема выборок m и их числа n.
По табл. П. 8 для P = 0,95, m=4 и n=8 находим Gk.
Gk = 0,438
Поскольку Gн < Gk (0,276710 < 0,438), то можно считать выборки однородными.
1.2 Планирование эксперимента при оценке отклика
- для 6 точки плана определить минимальное количество параллельных опытов для достижения заданной точности Д=0,2.
Таблица 5 - Исходные данные
|
Исходные данные |
||||
|
3 |
3,5 |
3,6 |
2,9 |
Находим размах данной выборки по формуле:
Заданная точность =0.2
Находим первую оценку:
,
где R - размах, R=0,7; dm - среднее значение относительного размаха, находящийся по таблице П5, для m=4, dm=2,059.
Процедуру последовательного планирования выполним, пользуясь формулой:
,
где t (P, m) - значение критерия Стьюдента (табл. П. 1) при Р=0,95 и m=4, t (P, m)=3,183
Подставляя значение S в данную формулу, получим:
m(3,18320,339972/(20,22))= 14,6375
Выбирая новое значение t при m=15 и повторяя вычисления, имеем:
m(2,14520,339972/(20,22))= 6,64734
При m = 7 получим:
m(2,44720,339972/(20,22))= 8,65090
Окончательно принимаем m=9. Для реализации эксперимента необходимо провести 7 дополнительных опытов.
После реализации 5 дополнительных опытов получена новая оценка у: для m=9, dm=2,97.
.
Согласно неравенству:
Rm / dm1 < < Rm / dm2,
где у - стандартное отклонение;
dm1=4,7, dm2=1,55, получим:
0,148936 < < 0,451613,
т.е. доверительный интервал равен:
Д=0,451613-0,148936=0,302677,
а его половина Д(у)= 0,1513384<0,2,
Таким образом, для достижения заданной точности Д=0,2 необходимо провести 9 параллельных опытов.
2. Оценка значимости влияния факторов на отклик при помощи латинского квадрата
Латинские квадраты применяются для трех факторов Х1, Х2 и Х3, каждый из которых может находиться на г уровнях. Число опытов в этом случае равно г2, т.е. числу ячеек квадрата.
Пример латинского квадрата для г = 4 приведен в таблице 6, где к каждому из сочетаний уровней факторов Х1 и Х2 (сочетание строки и столбца) добавляется один из уровней фактора Х3 так, что в каждом столбце (строке) он встречается только один раз. Строится латинский квадрат следующим образом. В первой строке располагают фактор Хз с упорядоченным расположением уровней. Во второй строке записывается первая строка, сдвинутая влево (или вправо) на одну ячейку, которая записывается в конце (начале) строки. Каждой ячейке соответствует определенное сочетание уровней трех факторов, которое встречается в плане только один раз. Так, седьмой (выделенной) ячейке таблицы 6 соответствует сочетание уровней Х13, Х22, Х34.
Таблица 6 - Латинский квадрат для r = 3
|
X11 |
X12 |
X13 |
||
|
X21 |
X31 |
X32 |
X33 |
|
|
X22 |
X32 |
X33 |
X31 |
|
|
X23 |
X33 |
X31 |
X32 |
где х1 - скорость резания;
х2 - глубина резания;
х3 - зернистость обрабатываемой заготовки.
Оценим значимость влияния трех факторов на отклик при помощи латинского квадрата для уровней факторов r=3.
Матрица плана латинского квадрата приведена в таблице 6.
Таблица 7 - Результаты эксперимента латинского квадрата.
|
X11 |
X12 |
X13 |
||
|
X21 |
-4020 |
-1470 |
2680 |
|
|
X22 |
-2310 |
2640 |
-1110 |
|
|
X23 |
200 |
-1550 |
5000 |
Для вычисления критерия Фишера необходимо знать значение So и Sв.
Остаточная дисперсия So вычисляется по следующей формуле:
Для расчета этой формулы и для того, чтобы оценить значимость влияния факторов, необходимо вычислить общую сумму значений откликов:
Y = 60
Затем вычислим квадрат общей суммы значений откликов:
= 3600
Далее вычислим сумму квадратов значений отклика:
Затем производим суммирование значений откликов по уровням каждого фактора. Результаты суммирования сведены в таблицу 8, где первая строка представляет собой суммы значений кодов отклика по столбцам таблицы 6, вторая - по строкам таблицы 6, а третья - по диагоналям, в соответствии с матрицей плана латинского квадрата.
Таблица 8 - Суммы по уровням факторов
|
фактор |
уровень фактора |
|||
|
1 |
2 |
3 |
||
|
X1 |
-6130 |
-380 |
6570 |
|
|
X2 |
-2810 |
-780 |
3650 |
|
|
X3 |
-6680 |
1220 |
5520 |
Находим суммы кодов откликов в строках таблицы 7
Y1 = 80886200
Y2 = 21827000
Y3 =76581200
Далее вычисляем дисперсию отклика, вызванную влиянием j-го фактора по формуле:
,
где i - номер уровня;
j - номер фактора;
Y - общая сумма значений откликов.
Для вычисления остаточной дисперсии необходимо сначала вычислить общую сумму дисперсий отклика:
где
Вычислим остаточную дисперсию:
,
где r - число уровней факторов r=3;
K - число факторов k=3.
Остаточная дисперсия отражает влияние неконтролируемых факторов и отождествляется с дисперсией воспроизводимости.
Проверку значимости влияния фактора Х, производим при помощи критерия Фишера, наблюдаемое значение которого высчитывается по формуле:
где So2 - дисперсия адекватности рассчитанная ранее;
Sb2 - среднее значение дисперсии воспроизводимости.
Критическое значение критерия Фишера Fк определяется по табл. П. 7 в зависимости от доверительней вероятности Р, числа параллельных экспериментов в серии m=(m2) и m1=N-k-1, Fк= 3,65.
Поскольку Fн(Х1) > Fк (4,012153 < 3,65), то изменение первого фактора, можно считать значимым.
Fн(Х2) < Fк (1,082629 < 3,65), то изменение второго фактора следует считать незначимым.
Fн(Х3) > Fк (3,798611 < 3,65), то изменение третьего фактора следует считать значимым.
Отсюда следует, что из трех изученных нами факторов значимыми являются 2 фактора (Х1 и Х3), т.е. скорость резания и зернистость обрабатываемой заготовки.
Заключение
В данной работе представлено решение задач на извлечения наибольшего объема информации об изучаемых процессах или устройствах при ограничениях по затратам.
Решением указанной проблемы является широкое внедрение в практику прикладных исследований статистических методов планирования экспериментов, которые дают не только способ обработки экспериментальных данных, но позволяют также оптимально организовать эксперимент.
Список источников
1) Г. Шпур, Автоматизированное проектирование в машиностроении / Г. Шпур, Ф.Л. Краузе; пер. с нем. Г.Д. Волковой; под ред. Ю.М. Соломенцева, В.И. Диденко-М.: Машиностроение, 1988
2) Якобе, Г.Ю. Оптимизация резания: параметризация способов обработки резанием и использование технологии оптимизации / Г.Ю. Якобе, Э. Якоб, Д. Кохан; пер. с нем. В.Ф. Котельнева. - М.: Машиностроение, 1981
3) Ящерицын, П.И. Планирование эксперимента в машиностроении / П.И. Ящерицын, Е.И. Махаринский. - Минск: Выш. шк., 1985
регрессионный однородность эксперимент отклик
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Планирование эксперимента для описания зависимости показателя стойкости концевых фрез от геометрических параметров. Уровни факторов и интервалы варьирования. Применение неполной кубической функции. Использование полного факторного эксперимента.
практическая работа [38,6 K], добавлен 23.08.2015Построение математической модели технологического процесса напыления резисторов методами полного и дробного факторного эксперимента. Составление матрицы планирования. Рандомизация и проверка воспроизводимости. Оценка коэффициентов уравнения регрессии.
курсовая работа [694,5 K], добавлен 27.12.2021Изучение раздела математической статистики, посвященного методам выявления влияния отдельных факторов на результат эксперимента. Эффекты взаимодействия. Использование однофакторного дисперсионного анализа для сравнения средних значений нескольких выборок.
презентация [110,0 K], добавлен 09.11.2014Планирование эксперимента и факторы параметра оптимизации. Математическая модель и матрица планирования, коэффициенты уравнения регрессии и абсолютная величина доверительного интервала. Имитационный эксперимент и дифференциальные уравнения колебаний.
курс лекций [240,8 K], добавлен 22.09.2011Методы планирования многофакторных экспериментов и преимущества их использования. Математическое планирование эксперимента и его основные направления. Пример применения метода дробного факторного эксперимента. Расчет коэффициентов уравнения регрессии.
курсовая работа [26,7 K], добавлен 13.05.2014Описание способов нахождения коэффициентов регрессии модели полнофакторного эксперимента. Проверка многофакторных статистических гипотез на однородность ряда дисперсий, значимость и устойчивость математических коэффициентов множественной корреляции.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 05.08.2010Нахождение предела прочности алюминиевых деформируемых сплавов при испытании на растяжение. Расчет коэффициентов регрессии. Выбор и описание метода условной оптимизации. Результаты обработки данных эксперимента. Определение типа поверхности отклика.
курсовая работа [657,2 K], добавлен 10.06.2009Обработка случайных выборок с нормальным законом распределения. Оценка коэффициентов регрессии и доверительных интервалов. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам и корреляционного момента. Построение эмпирической интегральной функции.
курсовая работа [135,7 K], добавлен 03.05.2011Анализ влияния радиуса кривошипа на величину максимальной температуры рабочего тела в цилиндре двигателя. Получение функциональной зависимости между данными величинами методом наименьших квадратов. Проверка работоспособности регрессионной модели.
контрольная работа [57,1 K], добавлен 23.09.2010Создание математической модели движения шарика, подброшенного вертикально вверх, от начала падения до удара о землю. Компьютерная реализация математической модели в среде электронных таблиц. Определение влияния изменения скорости на дальность падения.
контрольная работа [1,7 M], добавлен 09.03.2016Построение многофакторной корреляционно-регрессионной модели доходности предприятия: оценка параметров функции регрессии, анализ факторов на управляемость, экономическая интерпретация модели. Прогнозирование доходности на основе временных рядов.
дипломная работа [5,1 M], добавлен 28.06.2011Вычисление среднего одномерных случайных величин. Определение доверительного интервала для математического ожидания и для дисперсии. Построение эмпирической и приближенной линий регрессии Y по X. Дисперсионный анализ греко-латынского куба второго порядка.
курсовая работа [698,0 K], добавлен 08.05.2012Оценки параметров распределения, наиболее важные распределения, применяемые в математической статистике: нормальное распределение, распределения Пирсона, Стьюдента, Фишера. Факторное пространство, формулирование цели эксперимента и выбор откликов.
реферат [105,5 K], добавлен 01.01.2011Анализ и обработка статистического материала выборок Х1, Х2, Х3. Вычисление статистической дисперсии и стандарта случайной величины. Определение линейной корреляционной зависимости нормального распределения двух случайных величин, матрицы вероятностей.
контрольная работа [232,5 K], добавлен 25.10.2009Понятие, виды и методы планирования экспериментальных исследований. Предварительная обработка экспериментальных данных, компьютерные методы статистической обработки и анализ результатов пассивного эксперимента, оценка погрешностей результатов наблюдений.
книга [3,1 M], добавлен 13.04.2009Метод планирования второго порядка на примере В3-плана. Получение и исследование математической модели объекта в виде полинома второго порядка. Статистический анализ полученного уравнения и построение поверхностей отклика. Расчет коэффициентов регрессии.
курсовая работа [128,4 K], добавлен 18.11.2010Определения оптимизации схемы планирования эксперимента при работе со швейной машиной. Расчёт коэффициентов уравнения регрессии и выделение значимых коэффициентов прочности ткани и растяжения между лапкой и иглой. Проверка гипотезы адекватности модели.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 30.12.2014Установление корреляционных связей между признаками многомерной выборки. Статистические параметры регрессионного анализа линейных и нелинейных выборок. Нахождение функций регрессии и проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.
курсовая работа [304,0 K], добавлен 02.03.2017Ознакомление с механизмом проверки гипотезы для случая единственной выборки, двух и нескольких независимых выборок. Проверка совпадений карт, выбор фильмов разных жанров. Обоснование результатов, полученных после проверки статистических гипотез.
курсовая работа [726,2 K], добавлен 26.02.2015Обработка одномерной и двумерной случайных выборок. Нахождение точечных оценок. Построение гистограммы функций распределения, корреляционной таблицы. Нахождение выборочного коэффициента корреляции. Построение поля рассеивания, корреляционные отношения.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 10.06.2013
