История чисел и вычислений

Размещено на http://www.allbest.ru/

История чисел и вычислений

Введение

При изучении на уроках математики различных множеств чисел, начиная с натуральных, меня заинтересовал вопрос: как связаны между собой эти множества и почему нужно изучать все новые и новые множества чисел, как возникли числа и счёт.

1. Из истории возникновения счета и чисел

Учиться считать люди начали в незапамятные времена, а учителем у них была сама жизнь.

Древние люди добывали себе пищу главным образом охотой. На крупного зверя - бизона или лося - приходилось охотиться всем племенем: в одиночку ведь с ним и не справишься. Чтобы добыча не ушла, ее надо было окружить, ну хотя бы так: пять человек справа, семь сзади, четыре слева. Тут уж без счёта никак не обойдешься! И вождь первобытного племени справлялся с этой задачей, Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как «пять» или «семь», он мог показать числа на пальцах рук.

Есть и сейчас на земле племена, которые при счёте не могут обойтись без помощи пальцев. Вместо числа пять они говорят «рука», десять - «две руки», а двадцать - «весь человек», - тут уж присчитываются числа на пальцах рук. В Африке есть племя, где и в наше время люди считают «один», «два», «три», а дальше «много».

Лет сорок назад и в нашей стране были ещё народности, которые умели считать только на пальцах. Вот как рассказывает об этом писатель Сёмушкин:

«Проезжая однажды мимо стойбища чукчей, я заметил на склоне небольшое стадо оленей. Я насчитал 128 оленей. Когда я спросил хозяина, сколько у него оленей, он ответил:

- Мы не считали. Но если хоть один олень пропадет из стада, глаза мои узнают сразу.

— А можешь ты посчитать?

— Если тебе нужно, посчитаю. Долго буду считать. Поезжай пока в ярангу, а потом я принесу счёт.

В яранге мы успели попить чаю, закусить, переговорить с хозяином обо всём, а часа через два пришел наш «подсчётчик». Он назвал число - 128. Старик хозяин крайне удивился такому множеству оленей.

— Наверно, ты ошибся. Так много оленей никогда у нас не было.

Старик решил проверить.… Для этого он разулся и через три часа сообщил, что подсчёт произведён правильно (он помнил каждого оленя). Для подсчёта не хватило своей семьи из пяти человек, и пришлось пригласить ещё двух человек из соседней яранги…».

Так люди начинали учиться считать, пользуясь тем, что дала им сама природа, - собственной пятернёй.

Предметы считать просто; один, два, три, четыре.… Измерить небольшое расстояние тоже несложно. Надо только иметь какую-нибудь мерку. Даже теперь мы нередко меряем расстояние по способу первобытных людей - считаем шаги.

Гораздо труднее найти мерку для времени. Тут ни пальцы, ни шаги не помогут: время можно измерять только временем. А мерка? Мерку надо было искать в природе.

Самыми древними «часами», которые к тому же никогда останавливались и не ломались, оказалось солнце. Утро, день, вечер, ночь. Не очень уж точные мерки, но поначалу первобытному человеку этого было достаточно. Потом люди научились определять время более точно: днём - по солнцу, а ночью - по звёздам.

Звёзды были для людей не только первыми часами, но и первым компасом.

А как разделить год? Весь год - это целых 365 дней, очень большая и не всегда удобная мера времени. На помощь пришла луна. Люди заметили, что от полнолуния до полнолуния проходит почти ровно тридцать суток. Так появилась ещё одна мера времени - месяц. Понятно, почему и по-русски и на многих других языках слово «месяц» означает и луну, и отрезок времени. Потом месяц стали делить ещё на четыре части. Из этих четвертушек месяца родились наши недели.

Для того чтобы считать дни нужны большие числа: десятки, сотни и даже тысячи. Тут, конечно, никаких пальцев для счёта хватить не могло! Да и считая предметы, их можно было перекладывать, пересчитывать несколько раз. А в счёте времени ошибаться нельзя. Прошедший день исчез, его не вернёшь, не присоединишь к другим.

Как же считали дни люди в те времена, когда они и писать не умели?

Додумались. Ведь можно было каждый день делать зарубку на палке и потом зарубки эти сосчитать. Так началась первая на земле запись прожитых дней. Только делали её не пером, а топором. Именно таким деревянным календарём пользовался на необитаемом острове Робинзон Крузо. Через каждые тридцать дней, то есть каждое новолуние, он делал на своём календаре зарубку подлиннее. Получалась отметка месяца. Из месяцев складывался год.

Несколько десятков лет назад учёные-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нём они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то древний охотник нанес пятьдесят пять зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из одиннадцати групп по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других местах были найдены сделанные в ту же далёкую эпоху каменные орудия и украшения, на которых тоже были чёрточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.

Некоторые народы - например индейцы в Северной Америке - вместо зарубок на палке завязывали узлы на шнуре или верёвке.

Так люди постепенно учились считать до сотен и тысяч и даже «записывать» эти числа с помощью палки или верёвки.

Постепенно росли знания людей, и чем дальше, тем больше увеличивалась потребность в умении считать и мерить. Скотоводам приходилось пересчитывать свои стада, а при этом счёт мог идти уже сотнями и тысячами. Земледельцу надо было знать, сколько земли засеять, чтобы прокормить себя до следующего урожая, А время посева? Ведь, если посеять не вовремя, урожая не получишь!

Счёт времени по лунным месяцам уже не годился. Нужен был более точный календарь. К тому же людям всё чаще приходилось сталкиваться с большими числами, запомнить которые трудно или даже невозможно. Нужно было придумать, как их записывать.

Около пяти тысяч лет назад люди додумались до того, что числа можно записывать не просто зарубками-единицами, а по разрядам: отдельно единицы, отдельно десятки, отдельно сотни. Это было очень важным открытием. Считать и записывать числа теперь стало гораздо легче.

В древнем Вавилоне считали не десятками, а шестидесятками. Число шестьдесят играло у них такую же роль, как у нас десять. Вавилоняне пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек - десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что вавилоняне писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.

Вавилонская запись чисел была не очень удобной. Скучное занятие - рисовать много клинышков или уголков подряд, чтобы записать число двумя знаками. А если число было большое, то нередко происходила путаница, потому что специального значка для обозначения разряда 60 не было. И например, число 3600 изображалось, как и единица, вертикальным клином. Вот тут и разберись!

Очень интересная система счёта была у народа майя, который жил в Центральной Америке (там, где сейчас государство Мексика). Около двух тысяч лет назад индейцы майя были гораздо культурнее, чем народы, жившие в то время в Европе.

Майя считали двадцатками - у них была двадцатеричная система счёта. Числа от 1 до 20 обозначались точками и чёрточками. Если под числом был нарисован особый значок в виде глаза, это значило, что число надо увеличить в двадцать раз. Получались уже не единицы, а двадцатки, второй разряд. Если глаз был нарисован дважды, то число надо было дважды умножить на двадцать. Это был третий разряд - четырёхсотки. Выходит, что изображение глаза играло у майя ту же роль, что у нас цифра нуль. Только они рисовали глаз не рядом с числом, а под ним.

Китайцы, как и египтяне, пользовались десятичной системой счёта. Кроме цифр от 1 до 9 там есть ещё значки для 10, 100 и 1000. Если справа от цифры стоит значок «10», - значит, цифру надо умножить на 10, Получаются десятки, второй разряд.

Любопытны были различные методы обозначения чисел, придуманные египтянами и вавилонянами, греками и римлянами. Но у всех этих методов был один недостаток: по мере увеличения чисел нужны были всё новые и новые знаки. И когда один из величайших древнегреческих математиков Архимед научился называть громадные числа, никто из купцов, чиновников или военачальников не обратил на это внимания. А метод Архимеда был и впрямь замечателен. Он просто называл обычную единицу единицей чисел первых, а мириаду мириад, то есть 100000000, - единицей чисел вторых. Мириаду мириад чисел вторых он назвал единицей чисел третьих и так вел счёт до мириады мириад чисел мириадо-мириадных.

Чтобы представить себе, каким громадным было это число, достаточно сказать, что по-нашему оно записывается в виде единицы с 800000000 нулями. Но и здесь не остановился великий ученый. Мириаду мириад чисел мириадо-мириадных он назвал единицей чисел второго периода и, продолжая идти вперёд, дошёл до чисел мириадо-мириадного периода. Насколько велико это число, сказать почти невозможно. Если записать его обычным почерком на бумажной ленте, то эта лента окажется во много тысяч раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца! Чтобы записать, сколько нулей в числе Архимеда, надо написать цифру 8 и поставить после неё 16 нулей.

Но хотя названия громадных чисел у Архимеда уже были, обозначать их он ещё толком не умел. Не хватало ему самой малости. Архимед, один из гениальнейших математиков, не додумался до…нуля!

Впервые нуль был придуман вавилонянами примерно две тысячи лет назад. Но они применяли его лишь для обозначения пропущенных разрядов. Писать нули в конце записи числа они не догадались. Да к тому же их система счисления была, как мы знаем, шестидесятичной, и поэтому их открытие оказалось незамеченным народами, считавшими в десятичной системе счисления. Может быть, к идее о нуле для десятичной системы счёта пришли счётчики на абаке, знавшие, что иногда не приходится не класть камешки в какую-нибудь канавку на доске? Может быть, это сделали александрийские купцы? Но обычно считают, что это замечательное достижение было сделано в Индии полторы тысячи лет тому назад.

Нуль был присоединён к девяти цифрам, и появилась возможность обозначать этими девятью цифрами любое число как бы велико оно не было.

Индийцы очень обрадовались этой возможности, и в их легендах есть повествования о битвах, в которых участвовало такое количество обезьян, что для его обозначения надо было написать после единицы ещё 23 нуля! Столько обезьян не поместится во всей Солнечной системе.

И самое главное, запись таких гигантских чисел стала довольно короткой. Ведь если бы живший тридцать тысячелетий тому назад древний человек имел представление о миллионе и захотел бы изобразить это число с помощью зарубок на волчьих костях ему пришлось бы истребить 20 тысяч волков. А для записи миллиарда не хватило бы волков во всех европейских лесах. Теперь же вся запись умещалась в одной строке!

Надо сказать, что хотя введение обозначения нуля оказалось чрезвычайно полезным для математики, первоначально некоторые «учёные» встретили это нововведение враждебно. «Зачем обозначать то, чего нет!» Но полезность нового открытия скоро стала ясна всем.

Как же в древности пользовались люди своим умением считать? Для чего им была нужна математика?

Народам-земледельцам, для того чтобы прожить и прокормиться, нужно было знать гораздо больше, чем кочевникам-скотоводам. Жизнь заставляла их учиться быстрее. Поэтому у земледельческих народов математика из набора отдельных простейших правил постепенно стала превращаться в науку.

2. Число, как основное понятие математики

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами.

Существует большое количество определений понятию «число».

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского (около 408 - около 355 гг. до н.э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц».

Со слов греческого философа Ямвлиха, еще Фалес Милетский - родоначальник греческой стихийно-материалистической философии - учил, что «число есть система единиц». Это определение было известно и Пифагору.

3. Исследование множеств чисел с применением кругов Эйлера

Натуральные числа

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 - 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

Итак, изучение математики начиналось с натуральных чисел, недаром они и называются натуральными, то есть «природными», естественными, обыкновенными. Это числа 1, 2, 3, 4, …

С появлением натурального ряда был сделан первый шаг к созданию математики. Сейчас все понимают, что натуральный ряд чисел бесконечен. В древности люди этого не знали. Сначала они умели считать до трех, потом до десяти, до сорока, до ста, а дальше была «тьма», «легион» «леодр» «ворон», «колода», после чего добавляли, что большего числа не существует.

Натуральный ряд был очень коротким. Расширить его удалось великому механику и математику древности Архимеду (III в. до н.э.). Архимед написал знаменитый труд Псаммит, или Исчисление песчинок». В нем он подсчитал число песчинок, которые могли бы заполнить шар радиусом 15.000.000.000.000 километров. До Архимеда в Древней Греции самым большим числом считалось 10.000.000 мириад. Мириадой называлось число 10000, от греческого слова «мирос» - «неисчислимо большое». Архимед начал считать мириадами мириад и в результате вывел свою систему счисления. Наибольшее число его системы содержит 80.000.000.000.000.000 нулей. Это число так велико, что если напечатать его обыкновенным шрифтом на машинке, то этой лентой можно опоясать Земной шар по экватору более 2 миллионов раз. Даже ракете с первой космической скоростью (8 км/с) пришлось бы лететь вдоль этой ленты более 300 лет.

Вот до какого огромного числа простирается натуральный ряд. Но и это число не последнее. За ним еще числа, числа, числа, числа… до бесконечности. Если натуральный ряд чисел кажется вам скучным и однообразным, всмотритесь в него повнимательнее, и вы найдете много удивительного и неожиданного.

Например, обыкновенное число 37. А теперь умножьте его на три, потом на шесть и так далее… На этом чудеса числа 37 не кончаются. Возьмем любое трехзначное число, которое делится на 37. Пусть это будет 185. И сделаем в нем круговую перестановку - последнюю цифру поставим на первое место, не изменив порядка остальных. Получим 518. Сделаем еще одну перестановку. Получим 851. Оба эти числа также делятся на 37. Вот вам и диковинка!

Натуральные числа понадобились человеку прежде всего для счёта предметов, и мы, наверное, ничего тут пояснять не будем, ведь каждый знает смысл вопроса «сколько?», каждый умеет считать. Есть ещё одно назначение натуральных чисел - отвечать на вопрос «который?».

Таким образом, натуральные числа имеют две основные функции:

q характеристика количества предметов;

q характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

4. Множество натуральных чисел и его свойства

В математике принято, говоря не об отдельном натуральном числе n, а обо всех натуральных числах сразу, использовать термин множество натуральных чисел и обозначать это множество буквой N (лат. naturalis - естественный, природный). Рассмотрим некоторые его свойства.

1. Возьмём наугад какое-нибудь натуральное число, например 6, и запишем все его делители: 1, 2, 3, 6. Для каждого из этих чисел запишем,

сколько у него делителей. Так как у 1 только один делитель (само это число), у 2 и 3 по два делителя, а у 6 имеем 4 делителя, то получаем числа 1, 2, 2, 4. У них есть замечательная особенность: если возвести эти числа в куб и сложить ответы, получится в точности такая же сумма, которую мы получили бы, сначала сложив эти числа, а потом возведя сумму в квадрат. Иными словами, 1³+2³+2³+4³= (1+2+2+4)².

И в самом деле, оба выражения равны 81.

Может быть, всё дело в том, что мы взяли число 6? Попробуем другое число, например 12. Здесь уже больше делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Записывая число делителей для каждого из этих чисел, получаем: 1, 2, 2, 3, 4, 6. Проверим, выполняется ли равенство 1³+2³+2³+3³+4³+6³=(1+2+2+3+4+6)².

Подсчёты показывают, что и слева, и справа ответ один и тот же, а именно 324.

Какое бы число мы не взяли, подмеченное нами свойство будет выполняться.

2. Возьмем любое четырёхзначное число, например 2519, и расставим его цифры сначала в порядке убывания, а потом в порядке возрастания: 9521 и 1259. Из большего числа вычтем меньшее: 9521-1259=8262. С полученным числом проделаем то же самое: 8622-2268=354. И ещё один такой же шаг: 6543-3456=3087. Далее, 8730-0378=8352, 8532-2358=6174. Сделаем ещё один шаг: 7641-1467=6174. Снова получилось 6174.

Вот теперь мы «зациклились»: сколько бы раз мы теперь мы ни вычитали, ничего, кроме 6174, не получим. Может быть, дело в том, что так было подобрано исходное число 2519? Оказывается, оно здесь не при чём: какое бы четырёхзначное число мы не взяли, после не более чем семи шагов обязательно получится это же число 6174.

3. Возьмём любое число (хоть тысячезначное), записанное в десятичной системе счисления. Возведём все его цифры в квадрат и сложим. С суммой проделаем то же самое. Оказывается, после нескольких шагов мы получим либо число 1, после чего иных чисел не будет, либо 4, после чего имеем числа 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 и снова получим 4. Значит цикла не избежать и здесь.

Что мы знаем о множестве N - множестве натуральных чисел?

Во-первых, это множество упорядочено. Это означает, что о любых двух неравных натуральных числах всегда можно сказать, что одно из них меньше другого. Например, 3 меньше 5, 1000 меньше 10000 и т.д.

Во-вторых, множество N ограничено снизу. Это значит, что в нём есть число, меньше которого натуральных чисел уже не существует. Что это за число? Конечно, 1. Меньших натуральных чисел не бывает.

В-третьих, множество N не ограничено сверху, иначе говоря, не существует самого большого натурального числа.

Мы часто пишем: 1, 2, 3, …! Но что таится за этими тремя точками? Попробуем представить себе, что же кроется за этим многоточием. Возьмём полоску и будем писать на ней 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. Даже если взять полоску длиной в один километр, то, когда мы всю её испишем, процесс писания не окончится. Поэтому возьмём полоску побольше. Например, равную расстоянию от Бреста до Владивостока. Чтобы всю её заполнить числами, придётся несколько лет идти с запада на восток. Но всё равно, хотя написанные числа будут очень большими, за каждым из них идет следующее, Даже полоска, опоясывающая земной шар, не вместит всех натуральных чисел.

Значит - на первый взгляд - бесконечен должен быть и запас знаков для их обозначения. А в действительности мы обходимся всего лишь десятью знаками цифрами (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0)!

Простота и удобство десятичной системы не только в краткости записи и удобной форме произнесения любых чисел. Важной и полезной особенностью этой системы является возможность хорошей организации вычислений.

Ученый Леонард Эйлер придумал обозначать множества чисел кругами и они получили название «круги Эйлера».

Один из величайших математиков петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь (он родился в 1707 году, а умер в 1783 году) написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Венн и его назвали «диаграммы Венна». Наряду с кругами применяются прямоугольники и другие фигуры.

Обозначим множество натуральных чисел с помощью кругов Эйлера так:

Множество целых чисел.

Достаточно ли множества N для человека? Конечно, нет, так как не всегда можно выполнить вычитание во множестве натуральных чисел. Существуют и отрицательные числа, то есть числа … -3, -2, -1, каждое из которых противоположно какому-нибудь натуральному. Границей между натуральными числами и целыми отрицательными числами служит число 0, а все они вместе (натуральные, нуль и целые отрицательные) составляют новое числовое множество Z (от первой буквы немецкого слова zahl - число) - множество целых чисел. Натуральные числа, противоположные им (отрицательные) числа и ноль называются целыми числами.

Обходиться только натуральными числами неудобно. Например, ими нельзя вычесть большее из меньшего. Для такого случая были введены отрицательные числа: китайцами - в Х в. до н.э., индийцами - в VII веке, европейцами - только в XIII веке.

Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные - «фу»; их изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу» - черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел - цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.

В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас.

В Европе к идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский, однако в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.

Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками «+» и «-» применил немецкий математик Видман, однако еще в ХVI столетии много математиков (например, Виет) не признавали отрицательных чисел.

Наглядно представить себе дробь может каждый: для этого достаточно посмотреть на разрезанные арбуз, пирог или на огород, разделённый на грядки. Но представить себе число -5 труднее. Ведь нельзя ни отмерить-5 метров ткани, ни отрезать -500 грамм хлеба. Зачем же нужны такие странные числа с ещё более странными правилами действий над ними?

Дело в том, что существует много вещей, которые могут как увеличиваться, так и уменьшаться.

Если на товар большой спрос, на фабрике увеличивают план по его выпуску, а если товар вышел из моды, то план приходится уменьшать. При обработке детали на станке её масса уменьшается, а если к ней приваривают другую деталь, то масса увеличивается. Увеличивается и уменьшается с течением времени температура воздуха и т.д.

Положительные и отрицательные числа как раз и служат для описания изменений величины. Если величина растёт, то говорят, что её изменение положительно, а если она убывает, то изменение называют отрицательным. А можно толковать положительные и отрицательные числа и по-иному. Например, можно считать, что положительные числа выражают имущество, а отрицательные - долг. Если у кого-то в кармане 8 рублей, но он должен из них 5 рублей отдать, то располагать он может только тремя рублями. Поэтому считают, что 8+(-5)= 3. Если же, наоборот, у него в кармане только 5 рублей, а должен он 8 рублей, то после того, как отдана вся наличная сумма, останется ещё три рубля долга. Это и выражают равенством 5+(-8)= -3.

Примерно так толковали числа индийские математики, которые столкнулись с ними при решении уравнений. По-видимому, такие числа и рассматривал и греческий математик Диофант, живший в III веке нашей эры.

Ещё раньше с отрицательными числами столкнулись китайские ученые. Это было примерно во II веке до нашей эры. Более точно сказать трудно, так как император Ши Хуан Ди, разгневавшись на учёных, повелел все научные книги сжечь, а их авторов и читателей казнить. Содержание этих книг дошло до нас лишь в отрывках, откуда известно, что китайцы не знали правила знаков при умножении положительных и отрицательных чисел. Впервые его сформулировали индийские учёные.

Надо сказать, что именно это правило является самым таинственным во всей теории. Объяснить, почему при умножении отрицательного числа на положительное получается отрицательное, несложно. Для этого достаточно заменить умножение на натуральное число сложением и увидеть, что, например, (-7) х3= -7+(-7)+(-7)= -21. Труднее объяснить, почему это остаётся верным при умножении положительного числа на отрицательное, - ведь что значит, например, взять число 6 слагаемым - 3 раза? Даже самые крупные математики XVIII века давали здесь на редкость туманные объяснения. Английский поэт У.Г. Оден с огорчением воскликнул:

«Минус на минус - всегда только плюс.

Отчего так бывает, сказать не берусь».

А ничего и не надо говорить. В современной математике равенство

a (-b) = - ab и (-a) (-b) = ab принимают без всяких доказательств.

Однако в математике наряду с вопросом «почему?» встаёт вопрос «а зачем?». Зачем говорить: «Температура изменилась на -8°С», вместо того чтобы сказать: «Температура упала на 8° И впрямь, для обычной речи это не нужно. Но при составлении уравнений мы не всегда знаем, какой получится ответ - положительный или отрицательный. Например, в задаче спрашивается: «Через сколько лет отец будет вдвое старше сына?» Составив уравнение и решив его, оказывается, что корень равен - 7. Значит 7 лет назад отец был вдвое старше сына. Вот поэтому математике и ввели отрицательные числа и с их помощью решают самые сложные уравнения.

Множество рациональных чисел

А что дальше? Как только людям понадобилось что-либо делить на части и что-то измерять, так оказалось, что натуральных чисел не хватает. Понадобилось новые числа - дробные. Множество дробных чисел (разумеется, и положительных, и отрицательных) вместе с целыми числами называется множеством рациональных чисел и обозначается буквой Q (от первой буквы французского слова quotient - отношение). Целые и дробные числа получили общее название - рациональные числа.

Обыкновенные дроби

Чтобы выяснить вопрос о происхождении дроби, надо остановиться не на счете, а на другом процессе, который возник со стародавних времен, - на измерении. Исторически дроби возникли в процессе измерения.

В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т.д.). Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

Дроби в Древнем Египте

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали ¹/₄, ¹/₈ …, затем ¹/₃, ¹/₆ и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.

В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате измерения получалось дробное число ³/_4, то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей ? + ?.

Дроби в Древнем Риме

Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей - унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть ¹/₁₂, ²/₁₂, ³/₁₂…

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо ¹/₁₂ римляне говорили «одна унция», ⁵/₁₂ - «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции - третью, шесть унций - половиной.

Сейчас «асс» - аптекарский фунт.

Вавилонские шестидесятеричные дроби

Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до н.э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития.

Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась их двух значков: вертикального клина Ў, обозначавшего единицу, и условного знака <, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Вертикальный клин обозначал не только 1, но и 60, 60², 60³ и т.д. Знака для нуля в позиционной шестидесятеричной системе у вавилонян вначале не было. Позже был введен знак , заменяющий современный ноль, для отделения разрядов между собой.

Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связано, как полагают ученые, с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей:

v 1 талант = 60 мин;

v 1 мина = 60 шекель.

Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 60² = 3600, 60³ = 216000 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.

Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60 с.

Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.

Нумерация и дроби в Древней Греции

В Древней Греции арифметику - учение об общих свойствах чисел - отделяли от логистики - искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Здесь мы впервые встречаемся с общим понятием дроби вида m/n. Таким образом, можно считать, что впервые область натуральных чисел расширилась до области дополнительных рациональных чисел в Древней Греции не позднее V столетия до н.э. Греки свободно оперировали всеми арифметическими действиями с дробями, но числами их не признавали.

В Древней Греции существовали две системы письменной нумерации: аттическая и ионийская или алфавитная. Они были так названы по древнегреческим областям - Аттика и Иония. В аттической системе, названной также геродиановой, большинство числовых знаков являются первыми буквами греческих соответствующих числительных, например, ГЕNTE (генте или центе) - пять, ДЕКА (дека) - десять и т.д. Эту систему применяли в Аттике до I века н.э., но в других областях Древней Греции она была еще раньше заменена более удобной алфавитной нумерацией, быстро распространившейся по всей Греции.

Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним - числитель дроби. Например, ⁵/₃ означало три пятых и т.д.

Нумерация и дроби на Руси

Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной с ионийской. Над буквами-числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи применялся другой знак, который приставлялся слева от букв.

В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

число эйлер дробь натуральный

1/2 - половина, полтина	1/3 - треть
1/4 - четь	1/6 - полтреть
1/8 - полчеть	1/12 - полполтреть
1/16 - полполчеть	1/24 - полполполтреть (малая треть)
1/32 - полполполчеть (малая четь)	1/5 - пятина
1/7 - седьмина	1/10 - десятина

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

Дроби в других государствах древности

В китайской «Математике в девяти разделах» уже имеют место сокращения дробей и все действия с дробями.

У индийского математика Брахмагупты мы находим достаточно развитую систему дробей. У него встречаются разные дроби: и основные, и производные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим.

Арабы первыми начали отделять чертой числитель от знаменателя.

Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа, целое число справа, но читает так, как принято у нас. Иордан Неморарий (XIII ст.) выполняет деление дробей с помощью деления числителя на числитель и знаменателя на знаменатель, уподобляя деление умножению. Для этого приходится члены первой дроби дополнять множителями:



В XV-XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые встречаются в наших учебниках.

Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в дроби», что означало - зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не знает дробей, не знает и арифметики.

Десятичные дроби

Со временем практика измерений и вычислений показала, что проще и удобнее пользоваться такими мерами, у которых отношение двух ближайших единиц длины было бы постоянным и равнялось бы именно десяти - основанию нумерации. Этим требованиям отвечает метрическая система мер.

Однако следует отметить, что европейцы не первые, кто пришел к необходимости использовать десятичные дроби в математике.

В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины ЧИ: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 3,275694 выглядела так: 3 чи, 2 цунь, 7 долей, 5 порядковых, 6 шерстинок, 9 тончайших, 4 паутинки.

Десятичную дробь с помощью цифр и определенных знаков попытался записать арабский математик аль-Уклисиди в X веке в «Книге разделов об индийской арифметике». Некоторые элементы десятичной дроби встречаются в трудах многих ученых Европы в 12-14 веках.

Полную теорию десятичных дробей дал узбекский ученый Джемшид Гиясэддин аль-Каши в книге «Ключ к арифметике», изданной в 1424 году, в которой он показал запись дроби в одну строку числами в десятичной системе и дал правила действия с ними. Ученый пользовался несколькими способами написания дроби: то он применял вертикальную черту: 3¦275694, то чернила черного и красного цветов: 3275694. Но этот труд до европейских учёных своевременно не дошёл.

Примерно в это же время математики Европы также пытались найти удобную запись десятичной дроби. В книге «Математический канон» французского математика Ф. Виета (1540-1603) десятичная дробь записана так: дробная часть подчеркивалась и записывалась выше строки целой части числа 3 275694.

Лишь в конце XVI века Симон Стевин (1548-1620) независимо от аль-Каши, ввёл в Европе в употребление десятичные дроби, о чем написал в своей книге «Десятая». Эта работа (всего 7 страниц) содержала объяснение записи и правил действий с десятичными дробями. Он писал цифры дробного числа в одну строку с цифрами целого числа, при этом нумеруя их.

1571 г. - Иоган Кеплер предложил современную запись десятичных дробей, т.е. отделение целой части от дробной запятой.

1617 г. - шотландский математик Джон Непер предложил отделять десятичные знаки от целого числа либо запятой, либо точкой.

1703 год - В России учение о десятичных дробях изложил Л.Ф. Магницкий, в учебнике «Арифметика - сиречь наука численная».

В странах, где говорят по-английски (Англия, США, Канада и др.), и сейчас вместо запятой пишут точку, например: 2.3.

Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид - проценты - применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

Взаимосвязь между этими тремя множествами с помощью кругов Эйлера выглядит так:

Посмотрим на множество Z с той же точки зрения, что и на множество N. Есть и неограниченность, и упорядоченность, и замкнутость относительно сложения, вычитания и умножения. Замкнуто ли Z относительно деления? Тоже, очевидно, нет - как во множестве N, так и во множестве Z деление выполняется далеко не всегда.

5. Четыре действия арифметики

Сложение и вычитание.

Числа были придуманы людьми, чтобы обозначать количество предметов: стрел в колчане, мешков зерна в амбаре, овец в стаде. Но эти величины непостоянны - количество предметов то увеличивалось, то уменьшалось, поэтому важно было складывать и вычитать.

Когда числа были небольшими, это делалось просто: рисовали черточки на дереве, завязывали узелки на веревке. Пасет пастух стадо овец, на поясе у него веревка, а на веревке столько узелков, сколько овец в стаде. Родился ягнёнок - пастух завязал ещё один узелок. Утащили волки ещё двух овец - развязал два узелка. Вместо верёвки часто использовали живой «вычислительный прибор» - пальцы. Обычно так считают малыши. Большого труда стоит преподавателям отучить первоклассников от такого счёта и приучить к устному счёту в «уме». Однако наиболее стойкие продолжают считать на пальцах, держа руки в карманах, чтобы не видел учитель. А один первоклассник складывал числа, глядя на циферблат часов.

С развитием цивилизации появились различные приёмы счёта. Они были необходимы и купцам, и ремесленникам, и тогдашним «банкирам» - ростовщикам. Однако искусством счёта владели не многие. Для расчётов привлекали специально обученных людей - счетчиков.

Представьте, что вы оказались в Древнем Риме и вам следует сложить, например, числа CXXXIX и CCC XLIV. Что вы будете делать? Конечно, сначала перепишете их привычными для себя цифрами: 139 и 344, а потом будете складывать так, как учили в школе.

А как это сделал бы римский счётчик? Точно так же, хотя индийская позиционная система счисления пришла в Европу намного позже. Дело в том, что счётчик осуществит, не записывая числа, а с помощью своего счётного инструмента - абака. Абак - это доска с прорезанными в ней жёлобами. Чтобы сложить 139 и 344, счётчик сначала обозначает на абаке число 139. Для этого он укладывает на нижнем жёлобе 9 камешков, на следующем три камешка и один камешек кладёт в третий жёлоб, («камешек» по латыни calculus; отсюда и произошло название современного электронного счётчика - «калькулятор»). Если какого-то разряда в числе нет, то пустует и соответствующий желобок. Не правда ли, это полностью совпадает с современным принципом записи чисел?

А дальше? Дальше счётчик кладёт в последний желобок к имеющимся там 9 камешкам еще 4, затем снимает оттуда 10 камешков, оставляя лишь 3, и 1 камешек кладёт во второй жёлоб. Потом добавляет ещё 3 камешка. Теперь камешки на доске показывают число 483 (CDLXXXIII).

Этот «вычислительный прибор» вам что-то напоминает? Ну, конечно же, добрые старые счёты. Только в счётах вместо камешков - деревянные шарики, нанизанные на проволоку. Русские счёты отличаются от западноевропейских тем, что на первых по десять шариков в ряду, а на вторых - по девять. Любопытно, что в Европе их и по сей день, называют «абак».

Умножение.

Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494 г.) приводит восемь различных методов умножения. Один из них носит название «ревность», или «решётчатое умножение». Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, - пишет Пачоли. - Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь».

Умножение чисел 987 и 1998 методом «ревность».

Перемножим этим способом числа 1998 и 987. Для этого запишем вверху таблицы число 987, а слева - 1998. Теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр-сомножителей, расположенных в одной строке и в одном столбце с этим квадратиком. Десятки располагаются в нижнем треугольнике, а единицы - в верхнем. После того как все треугольники заполнены, цифры в них складываются вдоль каждой диагонали. Результаты записываются справа и снизу от таблицы - получается 1 972 026. Этот способ ничуть не хуже, чем общепринятый. Он даже проще, поскольку в клетки таблицы заносятся числа прямо из таблицы умножения без одновременного сложения, присутствующего в стандартном методе. Затем остаётся только произвести сложение.

Другой способ называется «маленький замок». Сначала, как мы и привыкли, одно число записывается под другим, но затем цифры верхнего числа поочерёдно умножаются на нижнее число, причём начинают с цифры старшего разряда, и каждый раз добавляют нужное число нулей.

Умножение чисел 1998 и 987 методом «маленький замок».

На рисунке показано умножение чисел 1998 и 987 этим способом. Его преимущество в том, что уже с самого начала определяются цифры требуется быстро оценить величину. Остальные шесть приёмов, описанных Пачоли, также опираются на знание таблицы умножения.

Однако в России среди крестьян некоторых губерний был распространён способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Он получил название «русский крестьянский способ умножения». Здесь необходимо было лишь умение умножать и делить числа на 2. Перемножим ещё раз числа 1998 и 987 этим способом. Напишем одно из чисел слева, а второе - справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик.

Если при делении возникнет остаток (т.е. делимое окажется нечётным числом), то он отбрасывается. Умножение и деление на 2 продолжаем до тех пор, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки столбиков, в которых слева стоят чётные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце - получим 1972026. Это и есть произведение перемножаемых чисел.

Деление.

Хотя умножение в старину и считалось нелёгким делом, однако деление было ещё сложнее. В Италии до сих пор сохранилась поговорка «Трудное дело деление». Так обычно говорят, когда оказываются перед почти неразрешимой проблемой.

В Средние века людей, умевших производить деление, можно было пересчитать по пальцам. Их уважительно называли «магистрами деления». Они переезжали из города в город по приглашениям купцов, желавших привести в порядок свои счета.

Методов деления придумано немало. Монах-математик Герберт, будущий Папа Римский Сильвестр II., привёл в своих сочинениях несколько способов деления на абаке. При этом он придерживался таких принципов: - как можно меньше применять таблицу умножения, в частности не использовать умножение в уме двузначных чисел на однозначные; - избегать вычитаний, заменяя их сложениями; - работа должна выполняться автоматически, без проверок, при которых тоже могут появиться ошибки. Такие строгие ограничения он ввёл, учитывая, сколь неграмотны были монахи, производившие таблицы умножения. Но в итоге, правила Герберта оказались настолько сложными, что не были понятны даже самым прилежным счётчикам-абацистам.

Когда в Европе появился арабский способ деления, основанный на принятой сейчас позиционной десятиной системе счисления, он получил название «золотое деление». Им мы пользуемся и по сей день. А метод Герберта стали называть «железным делением».

Кроме этих способов были и другие. Например, раскладывали делитель на множители, а затем последовательно делили делимое на эти числа. При этом для деления на однозначные числа существовал специальный метод.

Долгое время в Европе конкурировали два способа деления: «золотое деление» и «галера». Прежде всего, напомним правила «золотого деления». Разделим 987 654 на 346

Деление 987654 на 346 методом «золотого деления»

Сначала находим наибольшее целое число, которое, будучи, умноженным на 346, окажется меньше, чем 987. Такое число - 2, оно и будет первой цифрой частного. Затем в уме умножаем 346 на 2, результат записываем под первыми тремя цифрами делимого и производим вычитание. Потом к полученному числу приписываем следующую цифру делимого и продолжаем процесс, повторяя те же действия.

Второй способ итальянцы называли «галера» из-за того, что после окончания вычислений цифры располагаются в виде фигуры, напоминающей это гребное судно. У англичан он известен как «метод зачёркиваний», поскольку здесь постоянно приходится зачёркивать цифры. Лука Пачоли считал этот способ самым быстрым. Может быть, кто-то из читателей решит пользоваться именно им. Метод «галера» отличается от «золотого деления» тем, что в нём нет умножения в уме многозначного числа на однозначные и вычитаниями полученного результатов по очереди. Этот метод зародился в Индии, оттуда он и проник в Европу. Правда, у индийцев в результате деления никаких корабликов не получалось. Ведь в то время они не пользовались для вычислений бумагой, а писали на дощечках, которые были покрыты пылью или песком. Вместо того чтобы зачёркивать цифры, они их просто стирали.

В результате деления методом «галера» образуется фигура, напоминающая лодку, а чёрточки превращаются в вёсла.

Я проверила, используя современные методы вычисления и вычислительную технику, правильно ли выполнено умножение многозначных чисел методом «ревность».

Заключение

Потребность в счете, измерениях, и желании проследить за изменением количественной характеристики, послужило толчком в зарождении математики и основными математическими действиями над числами. История показывает, как тяжел был путь выбора наиболее удобного варианта действий над числами. И не в последнюю очередь от этого зависит дальнейшее распространение и развитие математики как науки.

Размещено на Allbest.ru

...