Математические игры и головоломки

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №1 р.п. Мокшан

ученик 8а класса

МБОУ СОШ №1 р.п. Мокшан

2013 год

1. Введение

2.Основная часть

2.1. Популярная игра крестики-нолики на бесконечном поле (рэндзю)

2.2. Математические головоломки

3.Магические квадраты

3.1.Практическая часть

4. Задачи со спичками

4.1. Практическая часть

5.Исследование

6. Заключение

7. Список использованной литературы

1. Введение

Математики творческого склада обычно не стыдятся своего интереса к занимательным задачам и головоломкам. Топология берет свое начало в работе Эйлера о семи кенигсбергских мостах. Лейбниц потратил немало времени на решение головоломки, которая пережила свое второе рождение под названием «Проверьте уровень своего развития (IQ)». Крупнейший немецкий математик Гильберт доказал одну из основных теорем традиционной области занимательной математики -- разрезания фигур. А. Тьюринг, основоположник современной теории вычислительных машин, рассмотрел изобретенную С. Лойдом игру в 15.

В последнее время математическим играм внимание уделяется, в основном, для нахождения выигрышных стратегий, на что сильно повлияло распространение программирования: составить алгоритм, по которому в игру смог бы играть компьютер, часто бывает сложнее и интереснее, нежели самому научиться играть в неё, при этом глубже вникаешь в суть игры, после чего выиграть в неё можешь уже практически любого.

Цель моей работы - доказать, что математические игры - это ни что иное как решение математических задач, завуалированные в особую форму.

Оформление полученного мною материала;

Мной были изучены и обработаны материалы литературные источники, среди которых учебная, справочная, научно-популярная литература и интернет-сайт.Подготовлена презентация, сделанная в редакторе Power Poэnt.

2. Основная часть

2.1 Популярная игра крестики-нолики на бесконечном поле (рэндзю)

Примером может являться популярная игра крестики-нолики на бесконечном поле (рэндзю). Она, как известно, при правильной стратегии обоих игроков бесконечна, но выигрышную стратегию при этом никто не знает. В настоящее время придумано множество алгоритмов этой игры, основанных, прежде всего, на переборе различных вариантов и анализе игры на следующие несколько ходов, которые очень близки к выигрышной стратегии, но лишь при их реализации на компьютере - человек же им следовать практически не может. Существуют простейшие приёмы этой игры, которыми пользуются игроки, но решающей чаще всего бывает внимательность.

История

Игра появилась во втором тысячелетии до новой эры на территории одной из древнейших цивилизаций человечества в долине реки Хуанхэ. В течение столетий правила игры не менялись. Игра получила распространение на древнем востоке -- в Китае, Корее, и в VII веке н. э. эмигранты из Китая привезли рэндзю на Японские острова. В Японии игра носила название «гомоку» («пять камней») или «гомокунарабэ» («пять камней в ряд»). Игра в течение многих веков пользовалась широкой популярностью, в неё играли все, от простолюдинов до придворных, от детей до стариков. Играли в гомоку на досках 19Ч19 линий (аналогичной доскам для го) и 15Ч15.

Современное название «рэндзю», что в переводе означает «нитка жемчуга», игра получила в 1899 году. Название придумал Тенрю Кобаяси, знаток китайской поэзии. Возможно, оно связано с тем, что, согласно литературным источникам, в древности японские женщины-аристократки играли в гомоку чёрными и белыми жемчужинами.

В XIX веке начали издаваться книги по теории игры. Развитие теории привело к пониманию того, что начинающие (чёрные) имеют преимущество, достаточное для победы при точной игре независимо от защиты белых. Это привело к необходимости изменения правил: для чёрных были введён запрет на построение вилки 3-3. В XX веке игроки пришли к выводу, что этого недостаточно для уравнения шансов. В 1936 году, по предложению Рокусана Такаки, для чёрных были введены фолы (запрещённые ходы): вилки 3Ч3, 4Ч4 и постановка ряда из 6 и более камней в ряд, вилки кратностью более двух. Эти правила и стали классическими. Усложнение правил неожиданно привело к обогащению игры, поскольку появились принципиально новые тактические элементы -- выигрыш вынужденным фолом для белых и уход от фола для чёрных. Позже и это сочли недостаточным, и сейчас на официальных соревнованиях применяют, в дополнение ко всем вышеперечисленным ограничениям, так называемый дебютный регламент: специальный порядок нескольких первых ходов.

В XX веке рэндзю под различными названиями и с различными модификациями правил стало популярно среди учащейся молодёжи многих стран мира. Это связано с тем, что в рэндзю камни не перемещаются по доске, а, будучи однажды выставлены, остаются на месте до конца игры, что позволяет играть с помощью карандаша или ручки на листке в клетку.

Правила игры

Для играющего чёрными определён ряд фолов -- запрещённых ходов. Ему нельзя строить «вилки» 3Ч3 и 4Ч4 и ряд из 6 или более камней (так называемый «длинный ряд»), а также любые вилки кратностью более двух. Для белых фолов не существует, при построении непрерывного ряда из более чем 5 камней белые выигрывают.

Кроме того, с целью уравнивания шансов и компенсации преимущества первого хода на первые пять ходов (три чёрных камня и два белых) накладываются дополнительные условия, которые принято называть дебютным регламентом. Новички могут играть без него, в титульных же соревнованиях нередко используются довольно сложные регламенты.

Игрок может пасовать -- отказаться делать очередной ход, если считает невыгодным ходить. Если оба игрока пасуют подряд, фиксируется ничья, игра завершается. Пасовать можно лишь после того, как на доске появился шестой (третий белый) камень.

Игра продолжается либо до победы одного из игроков, либо до ничьей (по соглашению сторон либо вследствие двух последовательных пасов), либо до момента, когда ни у одной стороны не останется теоретической возможности разместить пятерку. В последнем случае результат партии также фиксируется как ничейный. На практике последний случай крайне маловероятен, обычно партия заканчивается за несколько десятков ходов

Рис. Игровое поле

В Советском Союзе регулярные соревнования по правилам классического рэндзю проводились с начала восьмидесятых годов XX века. Чемпионаты России проводятся ежегодно, начиная с 1992 года.

В настоящее время под эгидой Международной Федерации Рэндзю (RIF) систематически проводятся командные и личные чемпионаты мира и Европы, разработан Кодекс рэндзю и Квалификационная система. Первый чемпионат мира по рэндзю прошёл в 1989 году. Ведущие позиции в развитии рэндзю занимают Япония, Россия, Эстония, Швеция, Китай. В России рэндзю активно развивается в Москве, Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде, Тюмени, также очень сильна школа рэндзю из посёлка Подюга Архангельской области.

2.2 Математические головоломки

Математические головоломки бывают самые разные: «Магические квадраты», «Спички», «Игры с дыркой» (пятнашки), решётчатые и многие другие. Мы рассмотрим лишь некоторые из них.

Известен множеством головоломок на бумаге и как автор заданий чемпионатов мира по пазлспорту профессор математики из США Эрих Фридман.

В России и странах бывшего СССР известны Сергей Грабарчук?старший, Анатолий Калинин, Владимир Красноухов, Леонид Мочалов, как создатели механических головоломок, а также Андрей Богданов, Борис Кордемский, Ольга Леонтьева, Яков Перельман, Владимир Португалов, Риад Ханмагомедов, Михаил Хотинер, как авторы головоломок на бумаге. Валерий Руденко как автор пластмассовых головоломок.

Виды головоломок

Общепринятая классификация головоломок отсутствует, можно лишь условно разделить их на несколько групп:

Проволочная головоломка (компоненты соединены)

Печатные головоломки -- напечатанные или нарисованные «картинки», в которых надо нарисовать какие-то символы по определенным правилам.

6. Динамичные (собрать или разобрать головоломку возможно только путем вращения, трясения, кидания)

7. Плоскостные (решаются на плоскости).

3. Магические квадраты

Магический, или волшебный квадрат -- это квадратная таблица , заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от 1 до . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна .

Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением , хотя случай тривиален -- квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице (последовательность A006003 в OEIS):

Исторически значимые магические квадраты

Квадрат Ло Шу

Изображение Ло Шу в книге эпохи Мин

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.

Магический квадрат 4Ч4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514).

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2Ч2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.

Если в квадратную матрицу n Ч n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат -- нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) -- квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия:

Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н.Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

Квадраты с дополнительными свойствами

Дьявольский магический квадрат

Дьявольский квадрат или пандиагональный квадрат -- магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.

Существует 48 дьявольских квадратов 4Ч4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание ещё и симметрию относительно торических параллельных переносов, то остаётся только 3 существенно различных квадрата:

Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности ().

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенные.

n = 4k+2 и квадрата порядка n = 4. В то же время, существуют идеальные квадраты порядка n = 8. Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты порядка n = 8k, k=5,7,9…и порядка n = 8^p, p=2,3,4. В 2008 г. разработан комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k, k = 2, 3, 4,…

4. Задачи со спичками

4.1 Практическая часть

математическая игра головоломка магический квадрат

Ответ:

Ответ:

Пример 3. У этой коровы есть голова, тело, рога, ноги и хвост. Она смотрит влево. Передвиньте 2 спички так, чтобы корова смотрела вправо

.

Решение:

Ответ:

Ответ:

Пример 11. Двенадцать спичек выложены так, как показано на рисунке. Сколько здесь квадратов?

Ответ: Большой и 4 маленьких. Смотрим рисунки а-д.

2. Двадцать четыре спички выложены так, как показано на рисунке.

Сколько здесь квадратов? Выполните следующие задания:

а) уберите 4 спички так, чтобы образовалось 4 маленьких квадрата и один большой;

б) уберите 4 спички так, чтобы образовалось 5 равных квадратов;

в) уберите 6 спичек так, чтобы образовалось 5 равных квадратов;

г) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 5 равных квадратов;

д) переложите 12 спичек так, чтобы образовалось 2 равных квадрата;

е) уберите 6 спичек так, чтобы образовалось 2 квадрата и 2 равных неправильных шестиугольника;

ж) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 4 равных квадрата (два решения);

з) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 3 квадрата;

и) уберите 6 спичек так, чтобы образовалось 3 квадрата;

к) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 2 квадрата (два решения).

Ответ: Большой, 4 средних и 9 маленьких. Смотрим рисунки ниже а - к.

Пример 13. На рисунке изображено неверное равенство, составленное из спичек:

Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным. (Возможны два решения.

Пример 14. Из двенадцати спичек сложено имя «ТОЛЯ».

Пример 15. И «бокал» (см. левый рисунок), и «рюмка» (см. правый рисунок) составлены из четырех спичек. Внутри каждого «сосуда» -- вишенка. Как нужно переместить «бокал» и «рюмку», переложив по две спички в каждом из них, чтобы вишенки оказались снаружи?

Ответ:

Пример 16. Из спичек составлены три неверных равенства (см. рисунок). Переставьте в каждом ряду по одной спичке так, чтобы все равенства стали верными. Можно смещать части формулы без изменения рисунка.

Актуальность математических игр и головоломок в мире, в котором мы живем

Я провёл небольшое исследование.

Для этого опросил учащихся 7-8 классов нашей школы. Участие в опросе приняли 60 человек.

Результат представляю в виде круговой диаграммы. ВЫВОД: математические игры и головоломки в среде детей популярны.

Для родителей учеников приготовил экспресс-анкету:

а) да б) нет в) иногда

2) часто оказываете помощь при выполнении домашнего задания

а) да б) нет в) иногда

3) успеваемость вашего ребенка

а) отличная б) хорошая в) удовлетворительная.

Выясняю интересный факт: при решении задач меньше обращаются за помощью те, кто увлечен математическими играми и головоломками. У этих же ребят и успеваемость лучше по сравнению с теми, кто к играм и головоломкам равнодушен.

Делаю собственный вывод:

Увлечение математическими играми и головоломками помогает в дальнейшем хорошо решать задачи и разбираться в математических упражнениях.

Заключение

Примером может являться популярная игра крестики-нолики на бесконечном поле (рэндзю). Она, как известно, при правильной стратегии обоих игроков бесконечна, но выигрышную стратегию при этом никто не знает. В настоящее время придумано множество алгоритмов этой игры, основанных, прежде всего, на переборе различных вариантов и анализе игры на следующие несколько ходов, которые очень близки к выигрышной стратегии, но лишь при их реализации на компьютере - человек же им следовать практически не может. Существуют простейшие приёмы этой игры, которыми пользуются игроки, но решающей чаще всего бывает внимательность.

В последнее время математическим играм внимание уделяется, в основном, для нахождения выигрышных стратегий, на что сильно повлияло распространение программирования: составить алгоритм, по которому в игру смог бы играть компьютер, часто бывает сложнее и интереснее, нежели самому научиться играть в неё, при этом глубже вникаешь в суть игры, после чего выиграть в неё можешь уже практически любого.

Мы рассмотрели лишь малую часть замечательных головоломок, которые придумали математики разных времён, но если когда-нибудь ещё и изобретут головоломку более популярную, чем, например, игра «15», то известней знаменитого кубика Рубика наверняка - нет!

При решении головоломок, как правило, используется математический метод - такие люди отличные программисты и математики, инженеры. В остальных случаях, когда решает головоломку не математик, идет озарение. То есть человек просто терпеливо перебирает, тыкает детальки и вдруг приходит догадка. Например, один из музыкантов головоломки раскладывал на звуки и симфонию представлял, а дизайнер сначала в уме разложил головоломку в пространстве, а потом уже на практике собрал ее.

Беседуя с одноклассниками, я убедился, что математические игры интересны школьникам. Задаваемые в остроумной и забавной форме, которую можно придумать по своему вкусу, эти задачи представляют собой очень хорошее и полезное развлечение для играющих. Они развивают навыки в быстром устном счете, навыки вычислений т.к. можно загадывать малые и большие числа. В этом практическая значимость моей работы.

Математические игры позволяют освоить в игровой форме комбинаторику. Решая головоломки можно научится искать решения в безвыходных ситуациях, почувствовать силу эврики. Некоторые головоломки стимулируют теоретические и практические разработки учёных.

Я.И. Перельман «Занимательная математика» - Москва, «Знание», 2006

Мартин Гарднер «Путешествие во времени» - Москва, «Мир», 2005

У. Болл, Г. Коксетер «Математические эссе и развлечения». - Москва, «Мир», 2006

В.Н. Дубровский, А.Т. Калинин «Математические головоломки» - Москва, «Знание», 2007

«Математический цветник» (составитель и редактор Д.А. Кларнер) - Москва, «Мир», 2005

М. Гарднер «Математические чудеса и тайны» Москва «Наука» 1970

Б. А. Кордемский «Удивительный мир чисел» Москва Просвещение 1986

Я. И Перельман «Занимательная алгебра» Москва «Наука» 1970

Я. И. Перельман «Занимательные задачи и опыты» Минск «Беларусь» 1994

В.В. Трошин «Магия чисел и фигур» Москва «Глобус» 2007

365 веселых игр и фокусов. Москва АСТ - пресс 2005

moikompas.ru/compas/focus_pocus

deltadim.narod.ru/matfocus.htm