Взгляд на теорему Пифагора с необычной стороны

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Бондаревская средняя общеобразовательная школа»

Кантемировского муниципального района

Воронежской области.

Исследовательская работа на тему:

«Взгляд на теорему Пифагора с необычной стороны»

Выполнила: ученица 9 класса

МКОУ «Бондаревская СОШ»

Кантемировского района Воронежской области

Сковородка Алла

Руководитель: учитель математики

МКОУ «Бондаревская СОШ»

Кантемировского района Воронежской области

Товменко С.П.

2012-2013 год



Содержание

Введение

1. Цель и задачи исследовательской работы

2. Биография Пифагора

3. История открытия теоремы

4. Различные формулировки теоремы

5. Способы доказательства теоремы

5.1 Простейшее доказательство

5.2 Доказательство методом разложения

5.3 Доказательство методом дополнения

5.4 Геометрические методы доказательства

5.5 Доказательство, основанное на теории подобия

5.6 Доказательство индийского математика Басхары

5.7 Векторное доказательство

5.8 Алгебраическое доказательство

6. Значение теоремы Пифагора

7. Применение теоремы

8. Старинные задачи в стихах

9. Практикум по решению задач школьного курса

Заключение

Список использованной литературы



Введение

теорема пифагор доказательство школьный

При изучении курса математики, мы познакомились с новым разделом - это раздел «Геометрия». Наш учитель математики познакомил нас в 8 классе с простой теоремой для прямоугольного треугольника - теоремой Пифагора. Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах»- квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота-красота-значимость. С одной стороны ее формулировка очень проста, ее доказательство не вызывает никаких затруднений. Но меня больше всего поразило другое - это одна из немногих теорем, которая имеет так много различных способов доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т. д.) Это меня очень заинтересовало. Ведь, как правило, теорема имеет 1-2 доказательства. А здесь все наоборот. Цель моей работы была: с помощью различных интернетисточников и литературы изучить биографию древнегреческого философа и математика Пифагора и способы доказательства теоремы Пифагора.



1. Цели и задачи исследовательской работы

§ Основная цель моей работы состоит в том, чтобы рассмотреть различные способы доказательства теоремы Пифагора.

§ Изучить биографию Пифагора

§ Изучить историю открытия теоремы

§ Показать какое значение имеет теорема Пифагора в развитии науки и техники, в математике в целом.



2. Биография Пифагора

«Будь справедлив и в словах, и в поступках своих…»

Пифагор Самосский

(ок. 580 - ок. 500 г. до н.э.)

Древнегреческий философ и математик, основатель религиозно-философской школы, получившей название пифагореизма. По свидетельству Гераклида Понтийского (4 в. до н. э.), Пифагор впервые ввел в язык понятие «философия» («любомудрие») и назвал себя философом.

Подлинных сочинений Пифагора не сохранилось, возможно, их никогда и не было. Существует большое число разрозненных свидетельств античных авторов об учении Пифагора и его жизни. Кроме того, сохранились четыре поздних биографии Пифагора Порфирия, Диогена Лаэртского, Ямвлиха и анонимного автора. Все эти биографии противоречивы, полны легендарных, фантастических мотивов и создают скорее полумифический, чем реальный, образ Пифагора.

Родиной Пифагора был остров Самос. В юности он ездил учиться в Милет, где слушал Анаксимандра, его учителем был также Ферекид Сиросский, автор одной из первых теогонии в прозе. Многие древние легенды о Пифагоре рассказывают, о его путешествиях с целью обучения в Египет, Вавилон, Персию. Говорили также, что Пифагор воспринял свою философию у евреев, персидских магов, вавилонских и египетских жрецов. Хотя в самом факте путешествия Пифагора на Восток нет ничего невозможного, говорить о его абсолютной достоверности мы не можем.

Когда Пифагору исполнилось 40 лет, избегая давления тирании Поликрата, он уехал в Кротон в Южной Италии. Годом его отъезда с Самоса историк Аполлодор (2 в. до н. э.) считал первый год 62-й олимпиады, т. е. 531 г. дон. э., основываясь на более ранних свидетельствах. В Кротоне вокруг Пифагора сложился круг учеников, не только занимающихся религиозно-философскими вопросами, но и участвующих в политической жизни города. Возрастающее политическое влияние Пифагора вызывало одновременно враждебность тех, кто это влияние утратил около 500 г. до н. э. дом пифагорейцев в Кротоне был сожжен. В результате восстания под предводительством Килона Пифагор бежал в Метапонт, где и умер около 497 г. до н. э.

Поначалу пифагорейское учение передавалось только устно. Первое письменное изложение его мы находим у Филолая, современника Демокрита и Сократа, во второй половине 5 в. до н. э. Кроме того, взгляды пифагорейцев изложены в сочинениях Аристотеля, Секста Эмпирика, Ямвлиха и других античных авторов.

Позднейшие рассказы неоплатоников дополнили биографию Пифагора сведениями о его молодости, происхождении, общении с богами, воспоминаниях о своем существовании до рождения. По этим известиям, общество пифагорейцев было устроено наподобие тайной организации со строгим разделением членов, с посвящениями и обрядами. В члены его принимали после 2 - 5-летнего испытания в молчании. У настоящих пифагорейцев было общее имущество; они придерживались строгих правил жизни: отказывались от употребления мяса и бобов, не позволяли хоронить в шерстяных одеждах. Цель такого воздержания очищение человека в течение жизни, дабы после смерти возвратиться к жизни среди богов, что подразумевало не только отказ от чувственных удовольствий или от мясной пищи, но и ведение созерцательного образа жизни. Основой мира Пифагор признавал число. По словам Аристотеля, числа для пифагорейцев являлись не только началами математики, но и началами всех вещей, а весь мир гармонией чисел; само знание «совершенства чисел» Пифагор называл счастьем. Пифагорейцы открыли многие числовые соотношения не только в математике, но и в музыке. Совершенным числом пифагорейцы считали 10 декаду, -- которое они изображали в виде равностороннего треугольника, образованного из четырех первых чисел и имевшего по четыре в каждой из сторон (10=1+2+3+4). В школе Пифагора особое внимание уделялось свойствам целых чисел, среди которых различались четные и нечетные, простые и составные, квадратные, кубические, а также учение о пропорциях и средних величинах. В геометрии изучались «совершенные», то есть правильные многоугольники и многогранники, игравшие важную роль в космологии Пифагора. Уже ранний пифагореизм придавал большое значение мистическим свойствам целых чисел 1,7, 10.

Философия Пифагора основывалась на вере в бессмертие души; учении о переселении душ в других существ; на представлении о цикличности всех процессов в мироздании через определенные промежутки времени -- и отсюда о том, что в мире нет ничего Нового; на учении о родстве всех живых существ, обладающих душой.



3. История открытия теоремы

Перебрав целую кипу книг, учебников, журналов, проштудировав много - много страниц Интернета, я пришла к выводу о том, что Началом жизни теоремы Пифагора, пожалуй, можно считать время древнего Китая. В книге Чупея, посвященной математике говорилось о треугольнике со сторонами 3, 4, и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». В этой же книге был предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считал, что равенство 3²+4²=5² уже было известно египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками. Голландский математик Ван-дер-Ваден высказал свое мнение о том, что «…Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку...»

Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он доказал эту теорему. Древняя легенда свидетельствует о том, что Пифагор в честь этого открытия принес в жертву быка или даже 100 быков.

Уделом истины не может быть забвенье,

Как только мир ее увидит взор;

И теорема та, что дал нам Пифагор,

Верна теперь, как в день ее рожденья.

За светлый луч с небес вознес благодаренье

Мудрец богам не так, как было до тех пор.

Ведь целых сто быков послал он под топор,

Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.

Быки с тех пор, как только весть услышат,

Что новой истины уже следы видны,

Отчаянно мычат и ужаса полны:

Им Пифагор навек внушил тревогу.

Не в силах преградить той истине дорогу

Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.



4. Различные формулировки теоремы

Вот несколько различных формулировок теоремы Пифагора:

1. Евклид: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол» (в переводе с греческого);

2. Аннаирици: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол» (латинский перевод арабского текста);

3. Geometria Culmonensis (около 1400 г.) «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу»;

4. Ф.И. Петрушевский: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол» (первый русский перевод «Начала» Евклида).

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако, одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду. Но история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Поэтому вопрос остается открытым, но это уже не важно. Главное, что великая и могучая теорема Пифагора (пусть даже и не им открытая) дало мощный толчок в нашем развитии. Теорема Пифагора: Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c).

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

а² + b ²= c²

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a² + b² = c², существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.



5. Способы доказательства теоремы

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путем

К результату мы придем.

Что и требовалось доказать.

Существует множество доказательств теоремы Пифагора. Это объясняется тем, что в прошлом для получения звания магистра математики зачастую требовалось представление нового доказательства этой теоремы.

5.1 Простейшее доказательство

Доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.



Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два.

Теорема доказана.

5.2 Доказательство методом разложения

Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж. Вот некоторые из них:

1. Доказательство Энштейна: здесь в качестве составных частей разложения фигурируют треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, достаточно подметить, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF. (Рисунок 2);

2. Доказательство Нильсена: на этом чертеже (Рисунок 3) вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена;

3. Доказательство Бехтера: на следующем чертеже (Рисунок 4) дано весьма наглядное разложение Бетхера;

4. Доказательство Перигаля: в учебниках часто встречается разложение, указанное на рисунке (так называемое «колесо с лопастями»). Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.



5. Доказательство Гутхейля: изображенное на следующем рисунке разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника (Рисунок 6);

5.3 Доказательство методом дополнения

1. Доказательство методом вычитания:

На чертеже к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1 (Рисунок 8).



Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK в нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики;

2. Доказательство методом вычитания (второе):

Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника (Рисунок 9). Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе: треугольники 1, 2, 3, 4 прямоугольник 5, прямоугольник 6 и квадрат 8, прямоугольник 7 и квадрат 9. Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах: прямоугольники 6 и 7, прямоугольник 5, прямоугольник 1 (заштрихован), прямоугольник 2 (заштрихован). Теперь покажем, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что: прямоугольник 5 равновелик самому себе; четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7; прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован); прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2 (заштрихован).

5.4 Геометрические методы доказательства

1. Доказательство Евклида.



Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника -- BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, -- это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно -- AB=AK, AD=AC -- равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата -- 90°).

Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

2. Упрощенное доказательство Евклида.

Пусть квадрат, построенный на одном из катетов (на рисунке это квадрат, построенный на большем катете), расположен с той же стороны катета, что и сам треугольник (Рисунок 11).

Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника (он заштрихован) - площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника.

3. Доказательство Хоукинсa.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB' (Рисунок 12).



Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ'. Получаем , , .

Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание A'В'=c и высоты DA и DB, поэтому: .

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: aІ+bІ=cІ.

4. Доказательство Вальдхейма: чтобы доказать теорему достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями (Рисунок 13).

, .

Приравнивая правые части, получим: aІ+bІ=cІ.

5.Геометрическое доказательство методом Гарфилда.

Три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна

0,5(а+в)(а+в), во втором ав+0,5сІ.

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

5.5 Доказательство, основанное на теории подобия

В прямоугольном треугольнике АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD. Тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными (Рисунок 14). Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику.

Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия (по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол a, треугольники CBD и АВС - общий угол b. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику.

5.6 Доказательство индийского математика Басхары

Метод Басхары (Рисунок 15) заключается в следующем: выражаем площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников () и площадь квадрата . То есть получаем:

5.7 Векторное доказательство

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах (Рисунок 16). Тогда справедливо векторное равенство: .

Тогда . Возведем обе части в квадрат, получим:

.Так как a перпендикулярна b, то . Откуда и получаем cІ=aІ+bІ.

5.8 Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора

Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.

Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол -- 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

Существует ещё много доказательств теоремы Пифагора, проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов.



6. Значение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора - это одна из важных теорем геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Одна из теорем позволяет убедиться в том, что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то: а) наклонные равны, если равны их проекции:

в) та наклонная больше, которая имеет большую проекцию.

Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия. Эта наука нашла применение в землемерии.

Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.

Благодаря тому, что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трехмерное пространство и дальше - в многомерные пространства. Этим определяется ее исключительная важность для геометрии и математики в целом.

Пифагоровы тройки:

Пифагоровы тройки - это наборы из трёх натуральных чисел (x, y и z), из которых сумма квадратов двух чисел равна квадрату третьего числа (x² + y² = z² ). В школьной программе пифагоровы тройки не изучаются, появляясь лишь как любопытный частный случай при рассмотрении прямоугольных треугольников. Между тем, пифагоровы тройки являются объектом теории чисел... Сейчас уже найдены стороны 50-го «пифабедренного» треугольника, значения которых очень велики.

Поскольку уравнение x² + y² = z² однородно, при домножении x, y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть x,y,z -- взаимно простые числа. Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Простейший из них -- египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (32 + 42 = 52).

Некоторые Пифагоровы тройки:

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 35, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Пифагоровы тройки имеют важное значение в геометрии. Несмотря на то, что в школе на изучение Пифагоровых троек не отводится много времени, в настоящее время знание их необходимо при решении многих математических задач.



7. Применение теоремы

Область применения теоремы достаточно обширна. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости.

Диагональ d квадрата со стороной, а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а.

Таким образом, d=2aІ.

Теорема Пифагора также применяется в литературе, мобильной связи, архитектуре (индийцы, например, использовали её для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта), а также в астрономии.

Нахождение высоты объекта и определение расстояния до не доступного предмета. Подобные задачи решаются и в нашей повседневной жизни: в строительстве и машиностроении при проектировании любых строительных объектов. Например:

1)В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF.

2)Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Решение:

По теореме Пифагора h² ? a²+b², значит h ? (a²+b²)^Ѕ.

Ответ: h ? (a²+b²)^Ѕ

3)Мобильная связь.

В настоящее время при строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R=200 км?, если известно, что радиус Земли равен 6380 км.)

Решение:

Пусть AB=x, BC=R=200км, OC=r=6380км.

OB=OA+AB

OB=r+x. Используя теорему Пифагора, получим ответ.

Ответ: 2,3 км.

3)Астрономия.

На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c, то наше уравнение примет вид

c * t = l Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость! Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в точку C), пока путешествует световой луч(по отношении например, к космическому кораблю)? Точнее, опять спросим о половине данного смещения! Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде:v * t' = d. Где буквой v обозначена скорость движения космического корабля.

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра.



8. Старинные задачи в стихах

Задача индийского математика ХII века Бхаскары:

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол обломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С стечением реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота

Задача древних индусов.

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Задача из первого учебника математики на Руси. Назывался этот учебник «Арифметика». Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

Случился некоему человеку к стене лествницу прибрати, стены же тоя высота есть 125 стоп. И ведати хощет, коли стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать.

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

«Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша



Задача из старинного китайского трактата:

В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник, выходящий из воды на один фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Какова глубина озера?

Пифагорова головоломка.

Из семи частей квадрата

составить снова квадрат, прямоугольник,

равнобедренный треугольник, трапецию.

Квадрат разрезается так:

E, F, K, L - середины сторон квадрата,

О - центр квадрата, ОМ EF, NF EF.



9. Практикум по решению задач школьного курса

1. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см.Вычислите высоту треугольника к средней по величине стороне.

2. В равнобедренной трапеции основания равны 10 см и 40 см. Боковая сторона равна 25 см. Вычислите высоту трапеции

3. 3. В равнобедренной трапеции основания равны 7 см и 25 см, высота равна 12 см. Вычислите диагональ и периметр трапеции

4. В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны 9 см и 16 см. Вычислите периметр треугольника.

5. Стороны ромба равны 13 см, а большая диагональ его равна 24 см. Вычислите другую диагональ.

6. Стороны прямоугольника равны 10 см и 24 см. Вычислите радиус описанной около прямоугольника окружности.

7. В прямоугольной трапеции основания равны 11 см и 20 см. Большая сторона ее равна 41 см. Вычислите меньшую боковую строну трапеции.

8. В трапеции основания равны 4 см и 18 см, боковая сторона - 15 см, а высота 12 см. Углы при большем основании острые. Вычислите периметр трапеции.

9. В прямоугольном треугольнике АВС А=60^{0, катет АС=6см.} Вычислите длину катета ВС и высоту треугольника, проведенную из вершины прямого угла.

10. Основания трапеции равны 4 см и 18 см, а боковые стороны - 13 см и 15 см. Вычислите высоту трапеции.

11. Две параллельные хорды равны 40 см и 14 см, а диаметр окружности равен 50 см. Вычислите расстояние между хордами.

12. В треугольнике две медианы равны 9 см и 12 см, пересекаются под прямым углом. Вычислите стороны треугольника.

13. В треугольнике основание равно 28 см, высота - 12 см, медиана, проведенная к основанию, - 13 см. Вычислите боковые стороны треугольника.

14.Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте 230 км, если расстояние между ними по прямой равно 2300 км? Радиус Земли равен 6370 км.

15.В треугольнике АВС угол С прямой,АС=4,sinА=0,25,Найдите высоту СH.

16. В треугольнике АВС угол С прямой АС=ВС, АВ=9,6, sin А=0,25.Найдите АС.



Заключение

На данный момент в научной литературе зафиксировано около 500 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. В данной исследовательской работе я рассмотрела всего лишь несколько различных доказательств данной теоремы, но я не буду останавливаться на достигнутом и планирую в дальнейшем расширить исследования по этой теме, пополняя ее новыми знаниями, открывая новые доказательства.

Данный факт даже нашёл отражение в художественной литературе: в повести «Приключения Электроника» главный герой на школьном уроке математики приводит у доски 25 различных доказательств теоремы Пифагора, повергнув в изумление учителя и всех одноклассников.

Пифагор первый дал название своему роду деятельности. Слово "философ", как и слово "космос" достались нам от Пифагора. В его философии много космического. Он утверждал, что для понимания Бога, человека и природы надо изучать алгебру с геометрией, музыку и астрономию. Кстати, именно пифагорейская система знаний, и называется по-гречески "математикой". Что касается пресловутого треугольника с его гипотенузой и катетами, то это, согласно великому греку, больше, чем геометрическая фигура. Это "ключ" ко всем зашифрованным явлениям нашей жизни. Всё в природе, говорил Пифагор, разделено на три части. Поэтому прежде чем решать любую проблему, её надо представить в виде треугольной диаграммы. "Узрите треугольник - и задача на две трети решена".

Пифагор не оставил после себя собрания сочинений, он держал своё учение в тайне и передавал ученикам устно. В результате тайна умерла вместе с ними. Кое-какая информация всё же просочилась в века, но теперь уже трудно сказать, сколько в ней истинного, а сколько ложного

Сонет Шамиссо.

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далёкий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, её почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,

А могут лишь закрыв глаза дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

Этими строками я и хотела бы закончить свою работу.



Список использованной литературы

1.Геометрия:учеб.для 7-9 кл. сред. шк./Погорелов А.В.-М.:Просвещение, 2011год.

2.Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы,- М.,1981.

3.Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для классов с углубленным изучением математики. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич.-М.:Просвещение,1997.

4.Энциклопедический словарь юного математика /А.П.Савин.-М.:Педагогика,1989.

5.Большая энциклопедия Кирила и Мефодия.-2004.

6.Проектная деятельность учащихся. Математика.М.В.Величко.-Волгоград.

7.Интеретресурсы: http//project.September.ru.work.php?id-590578,601958,

577294.zip - ZIP архив,

http://www.tonnel.ru.

http://www.tmn.fio.ru.

Размещено на Allbest.ru

...