Линейная алгебра. Матрицы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

I. ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ. КРАТКИЙ ОБЗОР

1.1 Матрицы. Начальные сведения

Рассматриваем новый математический объект - матрицу. Это абстрактная таблица, состоящая из строк и столбцов вида:

, (1)

где - элементы матрицы, стоящие на пересечении -ой строки и -го столбца. Элементы могут быть любой природы (числа, многочлены, функции и др.) При этом говорят, что матрица имеет размерность , и кратко записывают , где , .

Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Например, - прямоугольная, а - квадратная матрица.

Элементы ,,,…, образуют главную диагональ в матрице . Если ниже главной диагонали стоят нулевые элементы, то матрица называется треугольной, например

Матрица вида называется трапециевидной.

Если вне главной диагонали стоят нулевые элементы, то матрица называется диагональной, например

Матрица вида является единичной.

Матрица, состоящая только из нулевых элементов, называется нулевой матрицей:

Если элементы матрицы, стоящие на симметричных местах относительно главной диагонали совпадают: , то такая матрица называется симметрической.

Например

Матрица вида называется матрицей-строкой, а матрица вида называется - матрицей-столбцом.

1.2 Операции над матрицами

Сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями. Они выполняются по следующим правилам:

1. , где .

2. , где .

Пример 1

.

3. Умножение матриц выполняется по следующей схеме:

, где .

Заметим, что в левой матрице число столбцов совпадает с числом строк в правой матрице. Только в этом случае операция умножения возможна.

Пример 2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример 3

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Замечание. В общем случае умножение матриц неперестановочно, т.е. . Однако, можно подобрать две квадратные матрицы, чтобы , в этом случае говорят, что матрицы коммутируют.

Пример 4

, ,

;

.

4. Матрицы можно возводить в степень, причем только квадратные, т.е. число столбцов должно соответствовать числу строк.

5. Рассмотрим еще одну операцию над матрицами - транспонирование. При транспонировании матрицы ее строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка. Обозначается или . Транспонировать можно матрицы любой размерности.

Пример 5

.

1.3 Определители квадратных матриц

Прежде чем ввести операцию обращения матриц , необходимо дать понятие определителя квадратной матрицы. Для квадратной матрицы размера 2Ч2 определителем является число Д, получающееся по формуле

(2)

Таким образом, , где - первые три буквы от латинского determinantis (определитель). Так легко получается детерминант 2-го порядка.

Пример 6

.

Однако для матрицы размера 3Ч3 определитель строится сложнее:

(3)

Для простоты запоминания пользуются следующими схемами:

первые три суммы последние три суммы

Схема называется правилом треугольников.

Модифицируем его, т.е. распрямим треугольники.

- схема Саррюса.(4)

Если квадратная матрица имеет размер 4Ч4 и выше, то для вычисления ее определителя применяется правило Лапласа:

где: ,(5)

т.е. детерминант матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки (или -го столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

При этом - минор (определитель -го порядка), получающийся из матрицы вычеркиванием -ой строки и -го столбца, - алгебраическое дополнение к элементу .

Заметим, что правило Лапласа позволяет определители -го порядка вычислять через определители -го порядка.

Пример 7



Замечание. Если определитель матрицы приведен к треугольному виду

,

то его значение равно произведению элементов, стоящих по главной диагонали, т.е. . Это автоматически следует из правила Лапласа.

Отметим элементарные преобразования (Э.П.) над строками определителя, которые не меняют его значения:

1) вынесение общего множителя строки за знак определителя;

2) прибавление к одной строке элементов другой строки;

3) прибавление к одной строке элементов другой, умноженных на некоторое число.

Пример 8

+ =

 +

Замечание 1. Такие же Э.П. можно выполнять и над столбцами определителя.

Замечание 2. Определитель

и называется определителем Вандермонда.

Студентам предлагается доказать это самостоятельно.

1.4 Нахождение обратной матрицы

Теперь можно перейти к обращению квадратных матриц. В этом случае должен быть отличным от нуля, и матрица является невырожденной. Для такой матрицы существует обратная матрица , причем дает единичную матрицу. Легко показать, что обратная матрица имеет вид:

,(6)

где - алгебраические дополнения элементов исходной матрицы:

Поскольку

Предлагаем студентам самостоятельно это проверить.

Замечание. Обратную матрицу можно построить с помощью элементарных преобразований по следующей схеме:

. (7)

Пример 9

С помощью элементарных преобразований провести обращение матрицы

.

Решение

 + - +

+

+ +

.

Действительно,

.

1.5 Решение матричных уравнений

Пусть задано уравнение

, (8)

где матрица квадратная с . Тогда умножим слева заданное равенство на и получим

или

(9)

Заметим, что если размерность матрицы есть , то искомая матрица имеет такую же размерность, что и , поскольку

Аналогично решается уравнение

при этом

. (10)

Пример 10

Решить матричное уравнение

.

Решение

Имеем уравнение , где , . Находим , тогда .

Вычислим алгебраические дополнения матрицы :

Таким образом, .

Сделаем проверку: .

Искомое решение: .

Проверить, что дает матрицу .

1.6 Решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) матричным методом и по правилу Крамера

Пусть задана система вида:

(11)

Запишем квадратную матрицу системы размерности :

, матрицу-столбец из неизвестных , и матрицу-столбец из свободных коэффициентов .

В этих обозначениях система (11) примет вид:

. (12)

Если , то решение матричного уравнения (12) следующее:

. (13)

Заметим, что , т.е. - матрица такой же размерности, что и . Формула для обратной матрицы

.

Решение:

.

Тем самым мы получили формулы Крамера:

. (14)

для СЛАУ (11), где главный определитель системы , а - вспомогательные определители (получающиеся из главного заменой -го столбца на столбец из свободных коэффициентов). Например

можно обозначить .

Теорема 1 (Крамера).

СЛАУ (11) можно привести к виду:

. (15)

Тогда возможны три случая:

1. Если главный определитель , то система (11) имеет единственное решение:

, где .

2. Если , а хотя бы один , то система не совместна (решений не имеет), поскольку имеется противоречивое уравнение .

3. Если и все , то система имеет бесконечное число решений.

1.7 Метод Гаусса

Для систем произвольного вида

, где (16)

(прямоугольных), где число уравнений не совпадает с числом неизвестных, применяется общий метод последовательного исключения (МПИ) неизвестных, основанный на элементарных преобразованиях типа:

1) умножение некоторого уравнения системы на отличное от нуля число;

2) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число, отличное от нуля;

3) перестановка местами двух уравнений системы.

Такие преобразования системы не изменяют множество ее решений и называются преобразованиями типа Гаусса. Заметим, что, выполняя преобразования 1-3 над уравнениями системы, соответствующие элементарные преобразования производятся над строками расширенной матрицы системы:

.

Поэтому на практике экономичней проводить МПИ в матричной форме. После конечного числа шагов элементарных преобразований приходим к матрицам вида:

а) или

б)

В случае а) система примет треугольную форму и будет иметь единственное решение, а в случае б) система примет трапециевидную форму и будет иметь множество решений.

Заметим, что если на некотором шаге появится строка , , то система будет несовместной, т.е. не будет иметь решений.

Нахождение неизвестных из преобразованной (треугольной или трапецевидной) системы идет снизу вверх и называется обратным ходом в методе Гаусса.

1.8 Метод Жордановых исключений

В основе метода Жордановых исключений лежат элементарные преобразования типа Гаусса, с помощью которых приводим матрицу системы к единичной . Тогда расширенная матрица СЛАУ примет вид:

.

Автоматически получим решение СЛАУ: (см. пример 11).

При решении СЛАУ методом Жордановых исключений удобно расширенную матрицу системы записывать в виде следующей таблицы:

1.9 Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом этой матрицы и обозначается . Для вычисления ранга матрицы применяем метод окаймляющих миноров.

Например, задана матрица

Находим ее окаймляющие миноры:

; ; .

Окаймляющий минор 3-го порядка равен нулю, следовательно ранг равен порядку предыдущего минора , т. е. .

Замечание. Минор порядка , содержащий в себе минор порядка , называется окаймляющим минором . Если у матрицы найдется минор , а все окаймляющие его миноры , то .

Рассмотрим произвольную систему вида (16)

Основная матрица этой системы , а расширенная , где , . Система (16) будет совместной (т.е. будет иметь решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы этой системы, т.е.

.

Это и есть теорема Кронекера-Капелли.

Для ранга системы возможны два случая:

1) если общий ранг равен числу неизвестных , то система (16) будет иметь единственное решение;

2) если , то система (16) будет иметь бесконечное число решений.

Если же , то система (16) несовместна, т.е. не имеет решений.

Пример 11

Выяснить совместность системы и найти ее решение.

Решение

Система является переопределенной: число уравнений больше числа неизвестных . Запишем основную и расширенную матрицы системы:

и

Методом окаймляющих миноров найдем ранги этих матриц:

, ,

.

Так как основная матрица не имеет минора 4-го порядка, то ее ранг равен 3, т.е. .

Для расширенной матрицы считаем окаймляющий минор:

.

Следовательно, ранг расширенной матрицы равен 3, т.е. . Тогда, по теореме Кронекера-Капелли, исходная система имеет единственное решение, т.к. .

Найдем это решение методом Жордановых исключений:

+ ~ ~

~ + ~ - + ~ ~

~

Ответ: система имеет единственное решение .

1.10 Однородные системы

Система вида

, (17)

где , называется однородной. Она всегда совместна, поскольку набор значений неизвестных удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение называется тривиальным, в остальных случаях:

1) однородная система будет иметь ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных;

2) если в однородной системе число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевое решение;

3) однородная система, в которой число уравнений равно числу неизвестных, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю;

4) пусть наборы и являются решениями однородной системы, тогда их линейная комбинация - также решение однородной системы (17).

Из числа решений однородной системы (17) всегда можно построить конечную линейно независимую систему решений, причем такую, что всякое другое решение системы (17) будет линейной комбинацией решений, входящих в эту построенную систему. Такую систему решений называют фундаментальной.

Теорема 2. Если ранг , то всякая фундаментальная система решений однородной системы (17) будет состоять из решений.

Пример 12

Построить фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:



Решение

Выясним ранг системы, т.е. запишем матрицу

и вычислим миноры:

; ;

;

.

Следовательно, ранг системы равен 2, т.е. . А значит, система имеет ненулевые решения и, по теореме 2 фундаментальная система решений будет состоять из линейно независимых решений. При этом базисный минор и тогда однородная система равносильна системе из 2-х уравнений:

где и (при базисном миноре) являются основными (или базисными) переменными, а и - свободными, принимающими любые действительные значения.

По формуле Крамера находим

и , где ,

, .

Получаем решение исходной однородной системы в виде

; ,

где . Полагаем для свободных переменных и и находим 2 линейно независимых решения: и .

Все решения однородной системы получаются как линейная комбинация: ; - любые действительные числа.

Замечание. Геометрически полученное решение в 4-х мерном пространстве изображается 2-х мерной плоскостью, т.к. ее параметрические уравнения имеют вид:

, , , где .

II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

2.1 n-мерные векторные пространства

Упорядоченная совокупность действительных чисел, записанных в виде , называется -мерным вектором, где -я компонента. Два -мерных вектора и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: .

Операции над -мерными векторами

Пусть и , тогда

1) - сложение векторов;

2) - умножение вектора на число.

Операции 1-2 называются линейными и удовлетворяют следующим свойствам:

1) - коммутативность;

2) - ассоциативность;

3) - дистрибутивность;

4) существует нуль-вектор такой, что ;

5) для любого найдется противоположный , такой, что .

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее свойствам 1-5, называется векторным пространством. Если под рассматривать объекты любой природы (например алгебраические многочлены степени не выше ), то соответствующее множество элементов называется линейным пространством. Линейное пространство называется -мерным, если в нем существует линейно независимых векторов, а любые векторов уже линейно зависимы.

Размерность пространства - это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов, т.е. . Совокупность линейно независимых векторов -мерного пространства называется базисом.

Замечание. Векторы пространства называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , неравные одновременно нулю, что

. (18)

В противном случае векторы являются линейно независимыми, т.е. равенство (18) выполняется только при .

Любой вектор линейного пространства можно представить и при том единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса. Пусть образуют базис в , тогда называется разложением вектора по базису , а числа - координаты вектора относительно этого базиса.

Пусть заданы два базиса: - «старый» и - «новый». Разложим вектор по этим базисам:

,

.

Найдем связь «старых» и «новых» координат вектора . Для этого запишем:



и подставим в :

Из равенства векторов получим:

.

Отсюда замечаем, что матрица, по столбцам которой стоят координаты базисных векторов , является матрицей перехода от «старого» базиса к «новому» базису.

Обозначим ее через и получим замену «старых» координат «новыми»:

,

где. Обратно, замена «новых» на «старые» координаты будет осуществляться с помощью обратной матрицы:

.

2.2 Линейные операторы

Если указано правило, по которому вектору ставится в соответствие единственный вектор , то говорят, что задан оператор , такой, что

.

Он обладает свойствами:

1) - аддитивность;

2) - однородность,

и называется линейным оператором.

При этом вектор называют образом вектора , а сам вектор - прообразом вектора . Мы рассматриваем только случай, когда оператор задается матрицей , где , , поэтому для него справедливы свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) существует нулевой оператор , такой, что ;

5) существует тождественный оператор , такой, что .

Если и , то , где . Действительно, и . Это есть свойство транзитивности линейного оператора.

Теорема 3. Матрицы и линейного оператора в базисах и связаны соотношением

, (19)

где - матрица перехода от «старого» базиса к «новому» базису .

Доказать теорему самостоятельно.

Пример 13

В базисе линейный оператор задан матрицей . Найти матрицу оператора в базисе

.

Решение

Составим матрицу перехода от «старого» базиса к «новому» , по столбцам которой стоят координаты векторов и :

.

Тогда по формуле получим вид матрицы линейного оператора в «новом» базисе. Для этого построим обратную матрицу

,

где .

Алгебраические дополнения:

, , , ,

отсюда .

Находим

Ответ: матрица линейного оператора в «новом» базисе имеет вид .

2.3 Собственные векторы и собственные значения

Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если действие этого оператора на сводится к растяжению вектора в раз, т.е.

.

Число при этом называют собственным значением оператора .

Из данного определения следует схема получения и . Перепишем или и так как , то

.

В развернутом виде получим однородную систему:

(20)

которая называется характеристической, и будет иметь ненулевое решение, если ее определитель обращается в нуль:

(21)

Уравнение (21) называется характеристическим (или вековым) и служит для получения собственных значений . После раскрытия определителя приходим к алгебраическому уравнению 3-й степени вида:

(22)

где - след матрицы ; - алгебраические дополнения, - определитель матрицы .

Пусть уравнение (22) имеет три действительных корня . Тогда из системы (20) находим координаты собственных векторов . Составим матрицу , по столбцам которой стоят координаты этих векторов. Это матрица перехода от стандартного базиса к базису из собственных векторов и тогда линейный оператор в этом базисе будет иметь матрицу вида:

,

причем диагональную, по главной диагонали которой стоят собственные значения , т.е.

.

Это справедливо только для случая различных действительных корней.

Предлагаем студентам проверить это самостоятельно.

Замечание. Если матрица линейного оператора симметрическая , то ее собственные значения действительные и различные, а собственные векторы ортогональны.

Предлагаем студентам проверить это самостоятельно.

Пример 14

Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного в некотором базисе симметрической матрицей

.

Решение

Искомый собственный вектор удовлетворяет характеристической системе

Собственные значения удовлетворяют уравнению

.

После раскрытия определителя получаем алгебраическое уравнение 3-й степени:

, где ,

, , ,

.

Приходим к уравнению вида:

Получаем собственные значения - все действительные и различные.

Строим собственные векторы. Значение подставляем в характеристическую систему:

Ее определитель равен нулю, и, следовательно, ранг системы (т.к. минор ). Система равносильна системе:

или

, , .

По правилу Крамера . Полагаем и получаем 1-й собственный вектор . Можно взять и тогда .

Аналогично значение подставляем в характеристическую систему:

Вновь система равносильна двум уравнениям:

т. к. минор и .

Находим решения системы по формулам Крамера:

; ; .

Получаем координаты второго собственного вектора:

.

Полагаем и , . Можно взять и тогда .

Далее берем и подставляем в характеристическую систему:

, ,

.

Получим 3-й собственный вектор . Можно взять , тогда .

Ответ: , , , .

Заметим, что построенные векторы взаимно перпендикулярны в пространстве, т. к. , , .

Собственные векторы можно нормировать:

, , - эти три вектора образуют ортонормированный базис в 3-х мерном пространстве.

Показать, что матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов будет иметь диагональную форму:

.

2.4 Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Пусть задана квадратичная форма от двух переменных вида:

, где или

. (23)

Значит, матрица квадратичной формы является симметрической.

Пример 15

Для ,

т.е. .

Матрица квадратичной формы в базисе из собственных векторов будет диагональной, т.е. .

Действительно, составим характеристическую систему

Ее определитель равен нулю: или

,

где ,

.

Получим характеристическое уравнение, корни которого

, .

Решим систему при :

или .

Полагаем и получаем 1-й собственный вектор .

Аналогично, для :

или .

Полагаем и получаем 2-й собственный вектор .

Заметим, что , т. к. .

Строим матрицу перехода , ее определитель

.

Обратная матрица существует: , и в базисе из собственных векторов получаем вид матрицы квадратной формы:

.

Тогда квадратичная форма в базисе из собственных векторов примет канонический вид:

или .

При этом «новые» и «старые» координаты связаны между собой формулой

или

Замечание. Аналогично для квадратичной формы от 3-х переменных

, где или

(24)

Матрица (квадратичной формы)

- симметрическая.

Например,

,

т. к. .

В базисе из собственных векторов квадратичная форма примет вид:

,

где - собственные значения симметрической матрицы . При собственные векторы ортогональны.

Замечание об евклидовых пространствах

В линейном -мерном пространстве вводим скалярное произведение по правилу:

.

Такая операция над векторами обладает следующими свойствами:

1) - коммутативность;

2) - дистрибутивность;

3) - ассоциативность по умножению на скаляр;

4) при и при .

-мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам, называется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора в этом пространстве называется

, (25)

для которой выполняются свойства:

1) , если ;

2) при любом ;

3) - неравенство Коши-Буняковского;

4) - неравенство треугольника.

Угол между векторами и в евклидовом пространстве определяется из формулы:

, где . (26)

Определение корректно, т.к. согласно неравенству Коши-Буняковского

, т. е. .

Два вектора называется ортогональными, если , откуда .

Векторы -мерного пространства образуют ортонормированный базис, если при любых и при .

Теорема 4. Во всяком -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Например, в : , , .

III. ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

1. Вычислить определитель четвертого порядка с помощью свойств определителей:

.

Решение

Для удобства преобразований поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, после чего поставим перед определителем знак минус (т. к. при перестановке строк местами определитель меняет знак):

.

Преобразуем данный определитель так, чтобы в первом столбце все элементы, кроме одного, обратились в ноль; 1-ю строку умножим на (-2) и сложим со 2-й и 3-й строками, затем 1-ю строку умножим на (-3) и сложим с 4-й:

.

Раскладывая определитель по элементам первого столбца, получим:

.

Из 3-й строки вынесем общий множитель за знак определителя и поменяем местами 1-ю и 3-ю строки:

.

1-ю строку умножим на 2, сложим со 2-й; затем 1-ю строку умножим на 4, сложим с 3-й:

.

Разложим определитель по первому столбцу:

.

Из обеих строк определителя вынесем общие множители и вычислим его:

.

Итак, .

2. Найти обратную матрицу и сделать проверку:

.

Решение

Вычислим определитель данной матрицы (разложим по первой строке):

,

следовательно, обратная матрица существует.

Выпишем алгебраические дополнения матрицы A:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Составим матрицу , состоящую из алгебраических дополнений матрицы A:

.

Матрица, обратная к матрице A, будет иметь вид:

.

Проверка

.

3. Решить матричное уравнение:

.

Решение

Матричное уравнение задано в виде . Следовательно,

,

,

.

матрица линейный алгебраический вектор

Найдем матрицу, обратную к матрице A.

следовательно, обратная матрица существует.

Выпишем алгебраические дополнения матрицы A:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Составим матрицу , состоящую из алгебраических дополнений матрицы A:

.

Матрица, обратная к матрице A, будет иметь вид:

.

.

Искомая матрица имеет вид:

.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение

Вычислим определитель системы:

.

Вычислим определители , в которых вместо первого, второго и третьего столбцов соответственно стоит столбец из свободных членов:

,

,

.

Найдем значения неизвестных :

, , .

Итак, , , .

5. Решить систему линейных уравнений матричным методом:

Решение

Перепишем систему уравнений в виде матричного уравнения:

, где , , .

Имеем:

,

,

.

Найдем матрицу, обратную к матрице A:

,

следовательно, обратная матрица существует.

Выпишем алгебраические дополнения матрицы A:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Составим матрицу , состоящую из алгебраических дополнений матрицы A:

.

Матрица, обратная к матрице A, будет иметь вид:

.

.

Итак, , , .

6. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение

Вычислим определитель системы:

.

Следовательно, система совместна и имеет единственное решение.

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду.

 + +

+ .

Из полученной матрицы составим систему линейных уравнений и найдем неизвестные с помощью обратного хода Гаусса:

Отсюда:

Ответ: , , .

7. Решить систему линейных уравнений методом Жордановых исключений:

Решение

Составим таблицу коэффициентов системы и преобразуем ее так, чтобы на ее главной диагонали стояли только единицы, а все остальные элементы были равны нулю.

3	1	-2	1	22
-2	3	-2	6	-5
1	4	1	-4	-5
-1	-1	-3	5	4
1	1/3	-2/3	1/3	22/3
0	11/3	-10/3	20/3	29/3
0	11/3	5/3	-13/3	-37/3
0	-2/3	-11/3	16/3	34/3
1	0	-4/11	-3/11	71/11
0	1	-10/11	20/11	29/11
0	0	5	-11	-22
0	0	-47/11	72/11	144/11
1	0	0	-59/55	267/55
0	1	0	-2/11	-15/11
0	0	1	-11/5	-22/5
0	0	0	-157/55	-314/55
1	0	0	0	7
0	1	0	0	0
0	0	1	0	1
0	0	0	1	3

Из таблицы имеем:

8. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы однородных линейных уравнений:

Решение

Запишем матрицу системы и преобразуем ее к ступенчатому виду:

~~~.

Ранг матрицы равен , значит фундаментальная система решений состоит из решений. Перепишем преобразованную систему:

где - базисные неизвестные, - свободные неизвестные.

Введем обозначения и запишем общее решение системы:

где и - произвольные постоянные.

Придадим произвольным постоянным и последовательно значения и соответственно, получим:

и - фундаментальная система решений.

9. Найти матрицу линейного оператора A в базисе , если в стандартном базисе матрица линейного оператора А имеет вид:

.

Решение

Матрицы и линейного оператора A связаны соотношением , где C - матрица перехода от базиса к базису , она имеет вид:

, .

Подставим матрицы , , в соотношение

.

Итак, .

10. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу

.

Решение

Составим характеристическое уравнение матрицы:

,

,

, , - собственные значения линейного оператора.

Найдем собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям:

для : ~~, откуда

, , примем , тогда ;

для : , откуда

- любое число, , , ;

для : ~~,

откуда

, , примем , тогда .

– : ;

– : ;

– : .

IV. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

1. Вычислить определитель четвертого порядка с помощью свойств определителей

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

2. Найти обратную матрицу и сделать проверку

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

3. Решить матричное уравнение

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

5. Решить систему линейных уравнений матричным методом

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

6. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

7. Решить систему линейных уравнений методом Жордановых исключений

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

8. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы однородных линейных уравнений

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

9. Найти матрицу линейного оператора A в базисе , если в стандартном базисе матрица линейного оператора А имеет вид

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. , .

21. , .

22. , .

23. , .

24. , .

25. , .

26. , .

27. , .

28. , .

29. , .

30. , .

10. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, имеющего в некотором базисе матрицу

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

Размещено на Allbest.ru

...