Автоматизация обработки биомедицинской информации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Задание к курсовой работе

2. Основная часть, расчеты

2.1 Расчет по методу k-внутригрупповых средних

2.2 Расчет по методу среднего подпространства

2.3 Расчет по методу функционал качества разбиения

3. Список используемой литературы

1. Задание к курсовой работе

Данная курсовая работа рассчитывается по 10 варианту.

Будут изучаться следующие методы:

№ 5 - k-внутригрупповых средних,

№ 9 - Среднего подпространства,

№ 10 - Функционал качества разбиения.

Исходные данные в Таблице 1.1 (строки Ni - объекты, столбцы Lj - параметры, итого в задании 10 объектов по 5 параметров).

Таблица 1.1

Ni	Вариант № 10
1	53,26	6,29	-2,91	14,75	4,77
2	51,18	91,42	-1,06	2,48	85,61
3	51,11	8,76	10,45	8,74	4,70
4	50,72	97,54	8,57	4,36	83,96
5	48,39	11,72	5,56	13,36	5,14
6	57,97	89,78	-2,40	4,36	84,85
7	55,35	59,72	3,61	-0,40	15,72
8	50,09	60,91	0,15	1,56	15,27
9	51,78	56,60	7,28	5,88	15,53
10	52,16	58,65	9,90	14,33	15,53

Данные курсовой работы рассчитывались в программе Microsoft Excel.

2. Основная часть, расчеты

2.1 Расчет по методу k-внутригрупповых средних

Данный алгоритм относится к статистическим алгоритмам и предполагает многократное использование алгоритма при различных начальных установках.

На первом этапе рассчитывается матрица расстояний. Данные представлены в Таблице 2.1.1.

Таблица 2.1.1. Расчет расстояний между точками

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0,00	118,07	15,01	121,84	11,27	116,25	57,02	57,33	53,21	54,98
2	118,07	0,00	116,41	11,69	114,01	7,40	77,05	76,69	78,77	79,04
3	15,01	116,41	0,00	119,11	7,85	114,98	53,54	54,68	49,24	51,37
4	121,84	11,69	119,11	0,00	116,93	15,29	78,46	78,35	79,77	79,36
5	11,27	114,01	7,85	116,93	0,00	112,62	51,55	51,90	46,82	48,42
6	116,25	7,40	114,98	15,29	112,62	0,00	75,82	75,84	77,72	77,84
7	57,02	77,05	53,54	78,46	51,55	75,82	0,00	6,72	8,68	16,37
8	57,33	76,69	54,68	78,35	51,90	75,84	6,72	0,00	9,54	16,36
9	53,21	78,77	49,24	79,77	46,82	77,72	8,68	9,54	0,00	9,09
10	54,98	79,04	51,37	79,36	48,42	77,84	16,37	16,36	9,09	0,00

Для представления расстояния между объектами воспользуемся матрицей расстояния, рассчитанной по формуле Евклида

.

Формула для расчета в Excel: =КОРЕНЬ(СТЕПЕНЬ(C4-C5;2)+СТЕПЕНЬ(D4-D5;2)+СТЕПЕНЬ(E4-E5;2)+СТЕПЕНЬ(F4-F5;2)+СТЕПЕНЬ(G4-G5;2)),

где C4, D4, E4, F4, G4 и т.д. - адрес ячеек, где содержаться данные варианта; СТЕПЕНЬ(…;2) - возведение во 2-ю степень; КОРЕНЬ - извлечение корня.

Для стандартизации таблицу расстояний можно нормировать, например, поделив все расстояния на наибольшее расстояние. В Таблице 2.1.1 максимальное расстояние между объектами 1 и 4, равно 121,84; каждое полученное число из Таблице 2.1.1 делится на 121,84. Нормированная матрица расстояний представлена в Таблице 2.1.2.

Таблица 2.1.2. Нормирование расстояния на 121,84

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0,00	0,97	0,12	1,00	0,09	0,95	0,47	0,47	0,44	0,45
2	0,97	0,00	0,96	0,10	0,94	0,06	0,63	0,63	0,65	0,65
3	0,12	0,96	0,00	0,98	0,06	0,94	0,44	0,45	0,40	0,42
4	1,00	0,10	0,98	0,00	0,96	0,13	0,64	0,64	0,65	0,65
5	0,09	0,94	0,06	0,96	0,00	0,92	0,42	0,43	0,38	0,40
6	0,95	0,06	0,94	0,13	0,92	0,00	0,62	0,62	0,64	0,64
7	0,47	0,63	0,44	0,64	0,42	0,62	0,00	0,06	0,07	0,13
8	0,47	0,63	0,45	0,64	0,43	0,62	0,06	0,00	0,08	0,13
9	0,44	0,65	0,40	0,65	0,38	0,64	0,07	0,08	0,00	0,07
10	0,45	0,65	0,42	0,65	0,40	0,64	0,13	0,13	0,07	0,00

В Excelе для получения автоматически данных пишем формулу: =L3/$O$15, где первая ссылка на ячейку из Таблицы 2.1.1, а вторая ссылка на нужное число, поставив знак $ делаем данную ссылку постоянной, и при «протягивании» данная ссылка остается постоянной во всех формулах.

Выбираем количество классов с начальными центрами. Выбираются наиболее удалённые объекты с использованием матрицы расстояний - это будут Х1 и Х4, расстояние между которыми равно 1. Эти объекты назначаются начальными центрами классов S1 и S2. Но необходимо найти еще один класс. Найдём его из расчёта, что он будет расположен далее всех от классов S1 и S2. Сделать это можно по следующему алгоритму. Рассчитываем сумму расстояний от каждого объекта, не являющегося центром класса, и центрами класса. Данные представлены в Таблица 2.1.3.

Таблица 2.1.3. Сумма расстояний между центром S1 и S2 и Х10

№	Сумма расстояний между объектом Хi и центром S1=X1 и S2=X4	Результат
2	d2=d2-1+d2-4=	0,97	+	0,10	1,07
3	d3=d3-1+d3-4=	0,12	+	0,98	1,10
5	d5=d5-1+d5-4=	0,09	+	0,96	1,05
6	d6=d6-1+d6-4=	0,95	+	0,13	1,08
7	d7=d7-1+d7-4=	0,47	+	0,64	1,11
8	d8=d8-1+d8-4=	0,47	+	0,64	1,11
9	d9=d9-1+d9-4=	0,44	+	0,65	1,09
10	d10=d10-1+d10-4=	0,45	+	0,65	1,10

Формула: =P31+R31, сложение двух величин вычисленных ранее.

Из полученных данных выбираем наибольшее значение - это самый удаленный объект от центров классов S1 и S2. Данный объект становится новым центром класса S3.

Относим все оставшиеся объекты по классам по следующему правилу: объект относится к тому классу, к центру которого он ближе. Результат отнесения объектов по классам сведён в Таблице 2.1.4.

Таблица 2.1.4. Отношение объекта к классам

№	S1 - X1	S2 - X4	S3 - X8
Х2	0,97	0,10	0,63
Х3	0,12	0,98	0,45
Х5	0,09	0,96	0,43
Х6	0,95	0,13	0,62
Х7	0,47	0,64	0,06
Х9	0,44	0,65	0,08
Х10	0,45	0,65	0,13

Получаем разбиение S1 = {X1, X3, Х5}; S2 = {X4, X2, X6}; S3 = {X7, X8, X9, X10}. Находим центры полученных классов. Данные в Таблице 2.1.5.

Таблица 2.1.5. Центры классов

S	x	y	z	k	l
1	50,92	8,923	4,367	12,28	4,87
2	53,29	92,91	1,703	3,733	84,81
3	52,35	58,97	5,235	5,343	15,51

Формула: =(C4+C6+C8)/3, где ссылки в скобках это объекты отнесенные к конкретному классу и поделенные на их количество.

Рассчитываем матрицу расстояний между центрами классов и всеми объектами. Результат сведён в Таблицу 2.1.6.

Таблица 2.1.6. Матрица расстояний между центрами классов и всеми объектами

Объекты	Класс S1	Класс S2	Класс S3
Х1	8,45	118,54	55,19
Х2	115,98	4,07	77,56
Х3	7,05	116,64	51,75
Х4	119,12	8,73	78,66
Х5	4,11	114,33	49,20
Х6	114,42	7,00	76,47
Х7	53,66	76,81	6,73
Х8	54,26	76,66	7,01
Х9	49,37	78,46	3,23
Х10	51,21	78,45	10,13

Формула: =КОРЕНЬ(СТЕПЕНЬ(C4-$K$54;2)+СТЕПЕНЬ(D4-$L$54;2)+СТЕПЕНЬ(E4-$M$54;2)+СТЕПЕНЬ(F4-$N$54;2)+СТЕПЕНЬ(G4-$O$54;2)).

Относим объекты к соответствующим классам (в таблице объекты выделены жирным шрифтом). Получаем новое разбиение: S1 = {X1, X3, Х5}; S2 = {X4, X2, X6}; S3 = {X7, X8, X9, X10}.

В данном случае разбиение в Таблице 2.1.6 совпало с разбиением в Таблице 2.1.4. Алгоритм разбиения закончен.

2.2 Расчет по методу среднего подпространства

Воспользуемся разбиением на классы из предыдущего метода, тогда получим:

NS1 + NS2 + NS3 = N - вся выборка разделена на классы, где

S1 = {X1, X3, Х5}; S2 = {X4, X2, X6}; S3 = {X7, X8, X9, X10}

Центры тяжести каждого класса тоже были рассчитаны в предыдущем методе:

Таблица 2.2.1. Центры тяжести классов

S	x	y	z	k	l
1	50,92	8,923	4,367	12,28	4,87
2	53,29	92,91	1,703	3,733	84,81
3	52,35	58,97	5,235	5,343	15,51

Принимаем за базисные для R2 вектора и . Получим = 118,07 и = 15,01. Эти векторы лежат в многомерном пространстве RL, но и принадлежат плоскости, описываемой векторами и . На плоскость Р спроектируем исходную совокупность векторов . Так как векторы и могут быть не ортогональны, то нужно сделать новую систему координат ортогональной и ортонормированной.

Используем процедуру Грамма-Шмидта, проводим ортогонализацию векторов и . Получаем новую совокупность векторов по формуле: , где ? = 0, а ? = 15,01 => [0 ; 15,01]

Ортонормируем полученные векторы и переходим к ортонормированному для R2 базису: => = 0, = 1.

Убеждаемся, что полученный базис является ортогональным. Для этого воспользуемся скалярным произведением векторов и , которое должно быть равно нулю: , (0 · 1) = 0

Используя полученный базис , определяем проекции совокупности L-х исходных векторов в R2 пространстве:

Уп1 = · Хтп = 0, т.к. = (0; 0; 0; 0; 0;) Уп2 = · Хтп = (415,49; 528,81; 44,97; 39,92; 321,54)

Опять воспользуемся разбиением на классы из предыдущего метода, тогда получим:

S0 = (X1, X3, Х5); S1 = (X4, X2, X6); S2 = (X7, X8, X9, X10)

Центры тяжести каждого класса тоже были рассчитаны в предыдущем методе, данные в Таблице 2.2.1.

Х0 = (50,92; 8,92; 4,37; 12,28; 4,87)

Х1 = (53,29; 92,91; 1,7; 3,73; 84,81)

Х2 = (52,35; 58,97; 5,24; 5,34; 15,51)

Примем векторы за базисные векторы для R2:

а1 = Х1-Х0 = (2,37; 83,99; -2,66; -8,55; 79,94)

а2 = Х2-Х0 = (1,43; 50,05; 0,87; -6,94; 10,64)

Используя процедуру Гамма-Шмидта и учитывая, что , получаем следующие значения:

5	5
У (а1l · а2 l ) = 5115	У ( а? 1l)2 = 13530
L=1	L=1

Тогда: а?2l = а2l - 0,38 · а?1l

В итоге получаем следующие координаты для вектора :

= (0,52; 18,13; 1,88; -3,692; -19,73)

Проортонормируем полученные вектора и перейдём к ортонормированному для R базису, для чего воспользуемся одним из предыдущих выражений:

5	5
У (а?1l)2 = 116,32	У ( а? 2l)2 = 33,54
L=1	L=1

Получаем следующие значения для векторов и :

= (3,15; 101,92; -3,54; -11,37; 105,3)

= (0,7; 24,11; 2,4; -4,91; -23,81)

Проверим, что полученный базис является ортогональным:

( · ) = 3,15 * 0,7 + 101,92 * 24,11 + (-3,54) * 2,4 + (-11,37) * (-4,91) + 105,3 * (-23,81) = -0,01 ? 0

Используя полученный базис , определим проекции исходных пятимерных векторов в пространство R2 используя выражения выше.

Результаты сведены в Таблицу 2.2.2.

Таблица 2.2.2.

	У1	У2	У3	У4	У5	У6	У7	У8	У9	У10
х1	2,12	4,12	2,54	4,15	1,97	4,79	7,81	8,3	8,4	8,47
у2	-2,36	-3,77	-2,63	-3,86	-2,15	-3,64	-3,24	-2,7	-2,78	-3,59

Расположение образов , представлено на Рисунке 2.2.1.

Рисунок 2.2.1.

Полученные результаты согласуются с теоретическими ожиданиями.

2.3 Расчет по методу функционал качества разбиения

Требуется разбить анализируемое множество данных F = {f1,f2,…,fN} на К непересекающихся подмножеств F1, F2, …, FN, формирующих классы S1, S2, …, Sk. Чтобы поставить задачу разбиения, определяем функционал критерия Qw, который измеряет качество группировки любой группы анализируемых наблюдений. При этом под наилучшим разбиением понимается то разбиение Sw, на котором достигается глобальный экстремум выбранного функционала качества разбиения.

Воспользуемся наиболее распространённым критерием качества разбиения - суммой квадратов ошибок:

где Nm - число объектов наблюдения в m классе Sm, центр тяжести m класса (средний вектор).

Для класса Sm средний вектор лучше всего представляет наблюдения Xi Sm, то есть он минимизирует - сумму квадратов длины векторов Xi. Таким образом, функционал Qw измеряет общую квадратную ошибку, вносимую при представлении N наблюдений , центрами K групп . Значения Qw зависят от того, каким образом наблюдения сгруппированы, а оптимальным разделением считается то, которое минимизирует Qw.

Для расчётов воспользуемся результатами разбиения алгоритмов иерархической группировки ближний сосед. Рассчитаем Qw для каждого шага объединения.

Рассматриваем расстояния между объектом 4 и всеми остальными и между 6 и всеми остальными. По названию метода понятно, что из каждой пары расстояний выбирается минимальное. Матрица представлена в Таблице 2.3.1 (рассматриваемые колонки выделены желтым цветом, а минимальные расстояния в каждой паре выделены жирным шрифтом), а полученный результаты в последующих таблицах.

Таблица 2.3.1

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0,00	0,97	0,12	1,00	0,09	0,95	0,47	0,47	0,44	0,45
2	0,97	0,00	0,96	0,10	0,94	0,06	0,63	0,63	0,65	0,65
3	0,12	0,96	0,00	0,98	0,06	0,94	0,44	0,45	0,40	0,42
4	1,00	0,10	0,98	0,00	0,96	0,13	0,64	0,64	0,65	0,65
5	0,09	0,94	0,06	0,96	0,00	0,92	0,42	0,43	0,38	0,40
6	0,95	0,06	0,94	0,13	0,92	0,00	0,62	0,62	0,64	0,65
7	0,47	0,63	0,44	0,64	0,42	0,62	0,00	0,06	0,07	0,13
8	0,47	0,63	0,45	0,64	0,43	0,62	0,06	0,00	0,08	0,13
9	0,44	0,65	0,40	0,65	0,38	0,64	0,07	0,08	0,00	0,07
10	0,45	0,65	0,42	0,65	0,40	0,64	0,13	0,13	0,07	0,00

	1	2	3	4-6	5	7	8	9	10
1	0,00	0,97	0,12	0,95	0,09	0,47	0,47	0,44	0,45
2	0,97	0,00	0,96	0,06	0,94	0,63	0,63	0,65	0,65
3	0,12	0,96	0,00	0,94	0,06	0,44	0,45	0,40	0,42
4-6	0,95	0,06	0,94	0,00	0,92	0,62	0,62	0,64	0,65
5	0,09	0,94	0,06	0,92	0,00	0,42	0,43	0,38	0,40
7	0,47	0,63	0,44	0,62	0,42	0,00	0,06	0,07	0,13
8	0,47	0,63	0,45	0,62	0,43	0,06	0,00	0,08	0,13
9	0,44	0,65	0,40	0,64	0,38	0,07	0,08	0,00	0,07
10	0,45	0,65	0,42	0,64	0,40	0,13	0,13	0,07	0,00

	1	2	3	4-6	5	7-8	9	10
1	0,00	0,97	0,12	0,95	0,09	0,47	0,44	0,45
2	0,97	0,00	0,96	0,06	0,94	0,63	0,65	0,65
3	0,12	0,96	0,00	0,94	0,06	0,44	0,40	0,42
4-6	0,95	0,06	0,94	0,00	0,92	0,62	0,64	0,65
5	0,09	0,94	0,06	0,92	0,00	0,42	0,38	0,40
7-8	0,47	0,63	0,44	0,62	0,42	0,00	0,07	0,13
9	0,44	0,65	0,40	0,64	0,38	0,07	0,00	0,07
10	0,45	0,65	0,42	0,64	0,40	0,13	0,07	0,00

	1-3	2	4-6	5	7-8	9	10
1-3	0,00	0,97	0,95	0,09	0,47	0,44	0,45
2	0,97	0,00	0,06	0,94	0,63	0,65	0,65
4-6	0,95	0,06	0,00	0,92	0,62	0,64	0,65
5	0,09	0,94	0,92	0,00	0,42	0,38	0,40
7-8	0,47	0,63	0,62	0,42	0,00	0,07	0,13
9	0,44	0,65	0,64	0,38	0,07	0,00	0,07
10	0,42	0,65	0,64	0,40	0,13	0,07	0,00

	1-3	2	4-6	5	7-8-9-10
1-3	0,00	0,97	0,95	0,09	0,44
2	0,96	0,00	0,06	0,94	0,63
4-6	0,94	0,06	0,00	0,92	0,62
5	0,09	0,94	0,92	0,00	0,38
7-8-9-10	0,44	0,63	0,62	0,38	0,00

	1-3	2-4-6	5	7-8-9-10				1-3-5	2-4-6	7-8-9-10
1-3	0,00	0,95	0,09	0,44			1-3-5	0,00	0,92	0,38
2-4-6	0,96	0,00	0,92	0,62			2-4-6	0,92	0,00	0,62
5	0,09	0,92	0,00	0,38			7-8-9-10	0,38	0,62	0,00
7-8-9-10	0,44	0,62	0,38	0,00

	1-3-5	2-4-6-10
1-3-5	0,00	0,38
2-4-6-10	0,38	0,00

Итак, на последнем шаге все объекты объединились в один класс.

На первом шаге объединились объекты 4 и 6. Центр полученного класса имеет координаты:

X4-6 = 1/2*(Х4 + Х6) = 1/2*(50,72 + 57,97) = 54,35;

Y4-6 = 1/2*(Y4 + Y6) = 1/2*(97,54 + 89,78) = 93,66;

Z4-6 = 1/2*(Z4 + Z6) = 1/2*(8,57 + (-2,4)) = 3,09;

K4-6 = 1/2*(K4 + K6) = 1/2*(4,36 + 4,36) = 4,36;

L4-6 = 1/2*(L4 + L6) = 1/2*(83,96 + 84,85) = 84,41.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

Qw (4,6) = ((Х4 - Х4 6)2 + (Х6 - Х4 6)2) + ((Y4 - Y4 6)2 + (Y6 - Y4 6)2) + ((Z4 - Z4 6)2 + (Z6 - Z4 6)2) + ((K4 - K4 6)2 + (K6 - K4 6)2) + ((L4 - L4 6)2 + (L6 - L4 6)2) =

= ((50,72 - 54,35)2 + (57,97 - 54,35)2) + ((97,54 - 93,66)2 + (89,78 - 93,66)2) + ((8,57 - 3,09)2 + (-2,4 - 3,09)2) + ((4,36 - 4,36)2 + (4,36 - 4,36)2) + ((83,96 - 84,41)2 + (84,85 - 84,41)2) = 116,96.

Функционал качества разбиения на первом шаге равен: Qw1 = Qw(4,5).

На следующем шаге объединяются объекты 7 и 8. Центр полученного класса:

X7-8 = 1/2*(Х7 + Х8) = 1/2*(55,35 + 50,09) = 52,72;

Y7-8 = 1/2*(Y7 + Y8) = 1/2*(59,72 + 60,91) = 60,32;

Z7-8 = 1/2*(Z7 + Z8) = 1/2*(3,61 + 0,15) = 1,88;

K7-8 = 1/2*(K7 + K8) = 1/2*(-0,4 + 1,56) = 0,58;

L7-8 = 1/2*(L7 + L8) = 1/2*(15,72 + 15,27) = 15,5.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

Qw (7,8) = ((Х7 - Х7 8)2 + (Х8 - Х7 8)2) + ((Y7 - Y7 8)2 + (Y8 - Y7 8)2) + ((Z7 - Z7 8)2 + (Z8 - Z7 8)2) + ((K7 - K7 8)2 + (K8 - K7 8)2) + ((L7 - L7 8)2 + (L8 - L7 8)2) =

= ((55,35 - 52,72)2 + (50,09 - 52,72)2) + ((59,72 - 60,32)2 + (60,91 - 60,32)2) + ((3,61 - 1,88)2 + (0,15 - 1,88)2) + ((-0,4 - 0,58)2 + (1,56 - 0,58)2) + ((15,72 - 15,)2 + (15,27 - 15,)2) = 22,55

На следующем шаге получаем результат:

X1-3 = 1/2*(Х1 + Х3) = 1/2*(53,26 + 51,11) = 52,19;

Y1-3 = 1/2*(Y1 + Y3) = 1/2*(6,29 + 8,76) = 7,53;

Z1-3 = 1/2*(Z1 + Z3) = 1/2*(-2,91 + 10,45) = 3,77;

K1-3 = 1/2*(K1 + K3) = 1/2*(14,75 + 8,74) = 11,75;

L1-3 = 1/2*(L1 + L3) = 1/2*(4,77 + 4,7) = 4,74.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

Qw (1,3) = ((Х1 - Х1 3)2 + (Х3 - Х1 3)2) + ((Y1 - Y1 3)2 + (Y3 - Y1 3)2) + ((Z1 - Z1 3)2 + (Z3 - Z1 3)2) + ((K1 - K1 3)2 + (K3 - K1 3)2) + ((L1 - L1 3)2 + (L3 - L1 3)2) =

= ((53,26 - 52,19)2 + (51,11 - 52,19)2) + ((6,29 - 7,53)2 + (8,76 - 7,53)2) + ((-2,91 - 3,77)2 + (10,45 - 3,77)2) + ((14,75 - 11,75)2 + (8,74 - 11,75)2) + ((4,77 - 4,74)2 + (4,7 - 4,74)2) = 112,67

На следующем шаге получаем результат:

X1 3-5 = 1/2*(Х1 3 + Х5) = 1/2*(52,19 + 48,39) = 50,29;

Y1 3-5 = 1/2*(Y1 3 + Y5) = 1/2*(7,53 + 11,72) =9,62;

Z1 3-5 = 1/2*(Z1 3 + Z5) = 1/2*(3,77+ 5,56) =4,67;

K1 3-5 = 1/2*(K1 3 + K5) = 1/2*(11,75 + 13,36) =12,55;

L1 3-5 = 1/2*(L1 3 + L5) = 1/2*(4,74 + 5,14) =4,94.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

Qw (1,3,5) = = ((Х1 3 - Х1 3 5)2 + (Х5 - Х1 3 5)2) + ((Y1 3 - Y1 3 5)2 + (Y5 - Y1 3 5)2) + ((Z1 3 - Z1 3 5)2 + (Z5 - Z1 3 5)2) + ((K1 3 - K1 3 5)2 + (K5 - K1 3 5)2) + ((L1 3 - L1 3 5)2 + (L5 - L1 3 5)2) =

= ((52,19 - 50,29)2 + (48,39 - 50,29)2) + ((7,53 - 9,62)2 + (11,72 - 9,62)2) + ((3,77 - 4,67)2 + (5,56 - 4,67)2) + ((11,75 - 12,55)2 + (13,36 - 12,55)2) + ((4,74 - 4,94)2 + (5,14 - 4,94)2) = 18,99

На следующем шаге получаем результат:

X2-4 6 = 1/2*(Х2 + Х4 6) = 1/2*(51,18 + 54,35) =52,76;

Y2-4 6 = 1/2*(Y2 + Y4 6) = 1/2*(91,42 + 93,66) =92,54;

Z2-4 6 = 1/2*(Z2 + Z4 6) = 1/2*(-1,06 + 3,09) =1,01;

K2-4 6 = 1/2*(K2 + K4 6) = 1/2*(2,48 + 4,36) =3,42;

L2-4 6 = 1/2*(L2 + L4 6) = 1/2*(85,61 + 84,41) =85,01.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

Qw (2,4,6) = ((Х2 - Х2 4 6)2 + (Х4 6 - Х2 4 6)2) + ((Y2 - Y2 4 6)2 + (Y4 6 - Y2 4 6)2) + ((Z2 - Z2 4 6)2 + (Z4 6 - Z2 4 6)2) + ((K2 - K2 4 6)2 + (K4 6 - K2 4 6)2) + ((L2 - L2 4 6)2 + (L4 6 - L2 4 6)2) =

= ((51,18 - 52,76)2 + (54,35 - 52,76)2) + ((91,42 - 92,54)2 + (93,66 - 92,54)2) + ((-1,06 - 1,01)2 + (3,09 - 1,01)2) + ((2,48 - 3,42)2 + (4,36 - 3,42)2) + ((85,61 - 85,01)2 + (84,41 - 85,01)2) = 18,6

На следующем шаге получаем результат:

X7 8-9 10 = 1/2*(Х7 + Х8) = 1/2*(55,35 + 50,09) = 52,72;

Y7 8-9 10 = 1/2*(Y7 + Y8) = 1/2*(59,72 + 60,91) = 60,32;

Z7 8-9 10 = 1/2*(Z7 + Z8) = 1/2*(3,61 + 0,15) = 1,88;

K7 8-9 10 = 1/2*(K7 + K8) = 1/2*(-0,4 + 1,56) = 0,58;

L7 8-9 10 = 1/2*(L7 + L8) = 1/2*(15,72 + 15,27) = 15,5.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

Qw (7,8,9,10) = ((Х7 8 - Х7 8 9 10)2 + (Х9 10 - Х7 8 9 10)2) + ((Y7 8 - Y7 8 9 10)2 + (Y9 10 - Y7 8 9 10)2) + ((Z7 8 - Z7 8 9 10)2 + (Z9 10 - Z7 8 9 10)2) + ((K7 8 - K7 8 9 10)2 + (K9 10 - K7 8 9 10)2) + ((L7 8 - L7 8 9 10)2 + (L9 10 - L7 8 9 10)2) = ((55,35 - 52,72)2 + (50,09 - 52,72)2) + ((59,72 - 60,32)2 + (60,91 - 60,32)2) + ((3,61 - 1,88)2 + (0,15 - 1,88)2) + ((-0,4 - 0,58)2 + (1,56 - 0,58)2) + ((15,72 - 15,5)2 + (15,27 - 15,5)2) = 71,77

На следующем шаге получаем результат:

X1 3 5-2 4 6 = 1/2*(Х1 3 5 + Х2 4 6) = 1/2*(50,29 + 52,76) = 51,53;

Y1 3 5-2 4 6 = 1/2*(Y1 3 5 + Y2 4 6) = 1/2*(9,62 + 92,54) = 51,08;

Z1 3 5-2 4 6 = 1/2*(Z1 3 5 + Z2 4 6) = 1/2*(4,67 + 1,01) = 2,84;

K1 3 5-2 4 6 = 1/2*(K1 3 5 + K2 4 6) = 1/2*(12,55 + 3,42) = 7,99;

L1 3 5-2 4 6 = 1/2*(L1 3 5 + L2 4 6) = 1/2*(4,94 + 85,01) = 44,97.

Функционал качества разбиения на этом шаге равен:

матрица расстояние функционал производный

Qw (1,2,3,4,5,6) = ((Х1 3 5 - Х1 3 5 2 4 6)2 + (Х2 4 6- Х1 3 5 2 4 6)2) + ((Y1 3 5 - Y1 3 5 2 4 6)2 + (Y2 4 6- Y1 3 5 2 4 6)2) + ((Z1 3 5 - Z1 3 5 2 4 6)2 + (Z2 4 6- Z1 3 5 2 4 6)2) + ((K1 3 5 - K1 3 5 2 4 6)2 + (K2 4 6- K1 3 5 2 4 6)2) + ((L1 3 5 - L1 3 5 2 4 6)2 + (L2 4 6- L1 3 5 2 4 6)2) = ((50,29 - 51,53)2 + (52,76- 51,53)2) + ((9,62 - 51,08)2 + (92,54- 51,08)2) + ((4,67 - 2,84)2 + (1,01- 2,84)2) + ((12,55 - 7,99)2 + (3,42- 7,99)2) + ((4,94 - 44,97)2 + (85,01- 44,97)2) = 6694,69

Таблица 2.3.2

Шаг	Центр класса	Объединение объектов	Функционал качества объединяемого класса	Общий функционал качества объединения
1	(52,76; 92,54; 1,01; 3,42; 85,01)	4-6	18,6	Qw1 = Q46 = 18,6
2	(50,29; 9,62; 4,67; 12,55; 4,94)	1-3	18,99	Qw2 = Q46 + Q13 = 37,59
3	(52,72; 60,32; 1,88; 0,58; 15,50)	7-8	22,55	Qw3 = Q13 + Q78 = 41,54
4	(51,97; 57,63; 8,59; 10,11; 15,53)	9-10	41,31	Qw4 = Q910 + Q78 = 63,89
5	(52,35; 58,97; 5,24; 5,34; 15,51)	7-8-9-10	71,77	Qw5 = Q910 + Q78109 = 112,42
6	(52,19; 7,53; 3,77; 11,75; 4,74)	1-3-5	112,67	Qw6 = Q78910 + Q135 = 184,44
7	(54,35; 93,66; 3,09; 4,36; 84,41)	2-4-6	116,96	Qw7 = Q246 + Q135 = 229,34
8	(51,94; 55,03; 4,04; 6,66; 30,24)	1-2-3-4-5-6-7-8-9-10	471,76	Qw8 = 471,76

Результаты критерия качества разбиения отобразим на графике. Резкое возрастание функции соответствует искусственному объединению классов. Можно рассмотреть первую производную функционала качества разбиения. При этом можно воспользоваться формулой:

График 2.3.1

Глядя на график можно сделать вывод, что результатом объединения являются следующие классы:

S1 = {X1,X3,Х5}, S2 = {X2,X4,X6}, S2 = {X7,X8,X9,X10}.

Размещено на Allbest.ru

...